关于Poncelet定理的两个推广
On two extensions of Poncelet theorem
摘要:
在这个注记中,我提供了两个经典的Poncelet定理的一个特殊情况下的扩展。
英文摘要:
In this note I provide two extensions of a particular case of the classical Poncelet theorem.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
On two extensions of Poncelet theorem
Ciro Ciliberto
在这个注记中,我提供了两个经典的Poncelet定理的一个特殊情况下的扩展。
In this note I provide two extensions of a particular case of the classical Poncelet theorem.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
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Poncelet's theorem for conics in any position and any characteristic
庞斯莱定理指出,如果存在一个内接于给定圆锥曲线C并外接于另一个圆锥曲线D的n边多边形,则有无穷多个这样的n边形。我们所知道的这个定理的证明,包括庞斯莱的原始证明和格里菲思和哈里斯著名的现代证明,假设两个二次曲线处于一般位置(即不相切或至少不密切),或在复数域上定义,或两者兼而有之。在这里,我们表明,庞斯莱定理适用于任何两个二次曲线C和D的射影平面上的代数闭域k的任何特征以外的两个。当C与D密切且char(k)>2时,我们的结果表明,总存在无穷多个char(k)边内接于C且外切于D的多边形。我们还在附录中描述了特征二的情况。
Poncelet's Theorem in the four nonisomorphic finite projective planes of order 9
研究了四个9阶非同构有限射影平面上的Poncelet定理。在这些平面中,只有Desklesian平面是Poncelet平面,而其他三个平面是在9阶迷你四元数近场上构造的,不是。这给出了9阶有限射影平面中的庞斯莱定理的完整讨论。
A vector bundle proof of Poncelet theorem
在萨拉托夫镇,他是prisonner,蓬斯莱,继续工作的欧拉和施泰纳的多边形同时列入一个圆圈和外切周围的其他圆,证明了以下概括:“让C和D是两个光滑的二次曲线在投影复平面。如果D通过一个n条边与C相切的完整多边形的n(n-1)/2个顶点,则D通过无穷多个这样的多边形的顶点。根据Marcel Berger的说法,这个定理是关于二次曲线几何的最好的结果。即使是这样,也没有什么证据。据我所知,只有三个。第一个证明发表于1822年,基于无穷小变形,是蓬斯莱提出的。后来,雅可比提出了一个新的证明的基础上有穷级点的椭圆曲线;他的证明,当然是最有名的,是解释在一个现代的方式和详细的格里菲斯和哈里斯。韦尔在1870年证明了庞斯莱定理在空间(更确切地说是两个二次曲面),这意味着一个以上时,一个二次曲面是一个锥;这一证明是解释巴特和鲍尔。我们在这篇短文中的目的是利用向量丛技术对这个著名的结果提出一个新的证明。蓬斯莱不欣赏雅可比的原因,这是太远的几何直观。我想他也不会因为同样的原因而欣赏我们的证据。
Poncelet theorems
本文汇集了 Poncelet 定理的多个经典版本及一个新版本,涵盖三维空间、圆列、三圆、三圆锥曲线和旋转二次曲面等情形,系统整理了相关公式与定理。
Marden theorem and Poncelet-Darboux curves
多项式几何中的马登定理和二次曲线射影几何中的庞斯莱定理以其经典之美占据了非常特殊的位置。我们的主要目的是提出一个强大的和意想不到的两个定理之间的关系。我们建立了完整的Marden定理和Poncelet-Darboux定理之间的动力学等价性。通过引入一类{ \it等焦变形},构造了Marden曲线与Poncelet-Darboux曲线之间的态射.然后我们提出了一个有效的准则,对多项式定义的Poncelet-Darboux曲线的次数$n-1$,完全分解的曲线上的$(n-1)/2$二次曲线,如果$n$是奇数,如果$n$是偶数,完全分解由$(n-2)/2$二次曲线和一条线。这是研究特殊瞬子丛的一个重要问题。
Poncelet's theorem and Billiard knots
设$D$是任意椭圆正圆柱体。证明了每种纽结都可以实现为$D.$中球的轨迹,从而证明了Lamm的一个猜想,并对Jones和Przytycki的一个猜想给出了新的证明.我们使用Jacobi的证明Poncelet定理的手段椭圆函数。
A Poncelet theorem for lines
我们的目的是证明一个庞斯莱型定理的线配置的复射影。更准确地说,我们说一个多边形有2n条边连接2n个顶点A1,A2,.,A2n在n条线的构形Ln中内接良好,如果构形的每条线恰好包含A1,A2,.,A2n。证明了:设Ln是复射影平面上的n条直线的构形,D是复射影平面上的光滑二次曲线。如果它存在一个多边形与2n边很好地内接在Ln和外切周围D然后有无限多个这样的多边形。特别地,Ln中的一般点是这样的多边形的顶点。“我们提出了一个基于Frégier对合的初等证明。我们首先回顾有关这些对合的一些事实。然后我们探讨以下问题:什么时候对合的乘积对应于对合?它导致帕斯卡定理,其对偶版本证明的Brianchon,并证明其推广莫比乌斯。
Feuerbach's and Poncelet's theorems meet in space
我们提出了费尔巴哈定理的3D推广:第一个涉及欧拉圆的四面体模拟,第二个是通过“向上接触”构造完成的。然后,我们给出了一个几何证明的格雷斯定理(一个经典的,但仍然不是众所周知的,3D费尔巴哈定理),并显示其关系的Poncelet封闭定理。我们的基本证明是基于一个领域的虚发电机和各向同性切线二次曲线的属性。然后,我们证明了格雷斯定理蕴涵拉盖尔定理,推广的欧拉-Chapple公式。此外,我们认为一个空间模拟的庞斯莱定理。证明了在双心四面体的庞斯莱旋转下,Grace球面与一个固定球面接触。最后,提升到三维空间提供了费尔巴哈定理的一个新的证明,也许是欧拉-查普尔公式的最短证明。
Poncelet's closure theorem and the embedded topology of conic-line arrangements
本文研究Poncelet闭合定理产生的圆锥-直线排列,通过二重覆盖构造Zariski对,证明度$2m+6$的可约曲线族存在。
Bicentennial of the Great Poncelet Theorem (1813-2013): Current Advances
在庞斯莱定理成立200周年之际,本文对庞斯莱定理的一些最新结果作了回顾。我们正在讲述一个最美丽的几何定理的故事,回顾一般数学观众的戏剧性的历史情况下,导致它的发现,一瞥其内在的吸引力,其关系的重要性共焦二次曲线内的台球动态。我们专注于三个主要问题:A)伪欧几里德空间的情况下,提出了最近的相对论二次曲面的概念,并将其应用于描述周期轨迹的台球在二次曲面。B)所谓的台球代数和现代离散微分几何基础之间的关系,导致了双反射网。C)我们引入了一类新的动力系统--由多个具有非凸角的共焦二次曲线的弧构成的边界生成的伪可积台球。这种台球的动力学有几个非凡的特性。它们与区间交换变换有关,并生成极小但不唯一遍历的流族。这种类型的动力学提供了一种新的庞斯莱孔主义-当地的。
Hyperelliptic Jacobians as Billiard Algebra of Pencils of Quadrics: Beyond Poncelet Porisms
Griffiths和Harris在理解Poncelet型问题的高维类似物和综合方法以获得更高生成加法定理方面的30年计划已得到解决和完成。从观察一些经典结构和构形的台球性质出发,构造了台球代数,它是$R^d$中与给定共焦族的d-1二次曲面同时相切的直线集合T上的群结构.利用该工具,Reid,Donagi和Knoerrer的相关结果得到了进一步的发展、实现和简化。我们得到一个基本性质的T:任何两条线从这个集合可以得到从对方最多d-1台球反射在一些二次曲面从共焦家庭。我们引入两个层次的概念:s-斜线在T和s-弱庞斯莱轨线,s =-1,0,. d-2。本文利用台球动力学、二次曲面交线的线性子空间和超椭圆Jacobian之间的相互关系,得到了Cayley定理、Weyr定理、Griffiths-Harris定理和Darboux定理等亏格为1的经典结果的高维和高阶推广。
Loci of Poncelet Triangles in the General Closure Case
我们分析了两个著名的三角porisms的变体的三角形中心的轨迹:双中心和共焦家庭。具体来说,我们唤起了庞斯莱的封闭定理的一般版本,使个别方面可以切线单独的铅笔焦散。我们表明,尽管更复杂的动态几何,某些三角形中心和相关点的轨迹仍然是圆锥曲线和/或圆。
A non-Archimedean Ohsawa-Takegoshi extension theorem
证明了完备非阿基米德域上Berkovich闭单位圆盘上的Ohsawa-Takegoshi型扩张定理。作为应用,我们建立了拟次调和函数在Berkovich单位圆上的Demaily正则化定理的一个非阿基米德模拟。
Extension Theorems for differential forms on low-dimensional good quotients
在本文中,我们将表明,拉回的任何正规微分形式定义在一个良好的三维和四维商的光滑轨迹上的任何决议产生一个正规微分形式。
A general extension theorem for cohomology classes on non reduced analytic spaces
本文的主要目的是将Ohsawa-Takegoshi著名的L ${}^2$扩张定理推广到几个方向:扩张的全纯截面取在可能奇异的埃尔米特线丛中,从其进行扩张的子簇可以是非约的,环境流形是K{ä}hler的全纯凸的,但不一定是紧的.
The derived category of an étale extension and the separable Neeman-Thomason theorem
本文证明概形étale态射对应导出范畴可分扩张,并将Neeman-Thomason局部化定理推广到三角范畴可分扩张。
A simple proof of the Ohsawa-Takegoshi extension theorem
通过直接求解d杆方程,给出了Ohsawa-Takegoshi定理的一个直接证明.
Extension theorems, Non-vanishing and the existence of good minimal models
本文证明了非负Kodaira维数$κ(K_X+S+B)\geq 0$的有效plt对$(X,S+B)$的一个扩张定理。主要的新成分是一个完善的大泽武越$L^2$扩展定理涉及奇异厄米度量。
Bochner-Hartogs type extension theorem for roots and logarithms of holomorphic line bundles
本文证明了全纯线丛在严格伪凹边界上的根和丛的扩张定理:当临界点的维数和Morse指数为2时,它们在除一种情形外的所有情形下都扩张。在这种情况下,我们给出了一个明确的描述障碍的扩展。
Galois correspondence theorem for Picard-Vessiot extensions
本文将微分伽罗瓦群的定义和以前建立的具有实封闭的常数域的实微分域的Picard-Vessiot扩张的伽罗瓦对应定理推广到任意Picard-Vessiot扩张.
Extension theorems for reductive group schemes
证明了约化群概型的几个基本扩张定理。我们还证明了交换$\dbZ$ -代数上具有完美Killing型的李代数是伴随群概型的李代数。
A simplified proof of the o-minimal Whitney Extension Theorem
本文提供了一个简化版的极小化维特尼扩展定理证明,引入了可定义的Urysohn引理变体,用于C^q类函数的扩展。
The Hartpgs-type extension theorem for meromorphic mappings into q-complete complex spaces
本文证明了亚纯映射扩张的一个结果,它可以看作是全纯函数的Hartogs扩张定理的直接推广.即:定理。每个亚纯映射$f:H_n^q(r)\to Y$,其中$Y$是$q$ -完备复空间,扩张为从$Δ^{n+q}$到$Y$的亚纯映射.这里$H_n^q(r):=Δ^n\times (Δ^q\setminus \barΔ_r^q)\cup Δ_r^n\times Δ^q$是$C^{n+q}$中的“q凹”Hartogs图。注意,在$q=1$的情况下,即当$Y$是Stein时,该定理的陈述恰好是Hartogs定理。
Versions of injectivity and extension theorems
利用乘子理想层给出了内射性定理的一个解析形式,并证明了dlt对伴随丛的一些扩张定理。此外,结合极小模型程序的技巧,我们得到了与双有理几何中的丰度猜想和超Kähler流形上的Strominger-Yau-Zaslow猜想有关的半满性的一些结果.
Algebraic sets, ideals of points and the Hilbert's Nullstellensatz theorem for skew PBW extensions
本文定义了左Noether域上系数双射斜PBW扩张的代数集和点的理想。推广了交换代数几何中仿射代数集的一些性质,特别地,构造了一个Zebraki拓扑。此外,假设扩展是准交换多项式中心和系数环是一个代数闭域,我们将证明一个适应版本的希尔伯特零星定理,涵盖了经典的。斜PBW扩展的Gröbner基将用于定义代数集和证明主要定理。来自数学物理和非交换代数几何的许多关键代数和环都是斜PBW的扩展。
On the Ohsawa-Takegoshi extension theorem
对定义在射影流形的具有简单正规交叉的超曲面上的扭曲标准形建立了一个新的推广结果。附录中给出的一些例子表明,我们得到的扩展的界限是尖锐的。
A Hilbert bundle approach to the sharp strong openness theorem and the Ohsawa-Takegoshi extension theorem
本文提出复Brunn-Minkowski理论的希尔伯特丛方法,建立一般单调性定理,并由此推广Guan尖锐强开性定理、证明尖锐Ohsawa-Takegoshi延拓定理,同时用Donnelly-Fefferman估计给出Guan-Zhou强开性定理的新证明。
$L^2$-extension theorems for jet sections of nef holomorphic vector bundles on compact Kähler manifolds and rational homogeneous manifolds, I
本文研究了曲率为埃尔米特矩阵流的具有奇异埃尔米特度量的全纯向量丛。得到了紧致Kähler流形上nef全纯向量丛的全纯喷流截面的一个延拓定理.利用它证明了具有强Griffiths nef切丛的Fano流形是有理齐性空间。
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