Poncelet's theorem and Billiard knots
设$D$是任意椭圆正圆柱体。证明了每种纽结都可以实现为$D.$中球的轨迹，从而证明了Lamm的一个猜想，并对Jones和Przytycki的一个猜想给出了新的证明.我们使用Jacobi的证明Poncelet定理的手段椭圆函数。
2011-10-03 math.AG math.GT
Feuerbach's and Poncelet's theorems meet in space
我们提出了费尔巴哈定理的3D推广：第一个涉及欧拉圆的四面体模拟，第二个是通过“向上接触”构造完成的。然后，我们给出了一个几何证明的格雷斯定理（一个经典的，但仍然不是众所周知的，3D费尔巴哈定理），并显示其关系的Poncelet封闭定理。我们的基本证明是基于一个领域的虚发电机和各向同性切线二次曲线的属性。然后，我们证明了格雷斯定理蕴涵拉盖尔定理，推广的欧拉-Chapple公式。此外，我们认为一个空间模拟的庞斯莱定理。证明了在双心四面体的庞斯莱旋转下，Grace球面与一个固定球面接触。最后，提升到三维空间提供了费尔巴哈定理的一个新的证明，也许是欧拉-查普尔公式的最短证明。
2023-01-05 math.AG math.DS math.MG
Poncelet's closure theorem and the embedded topology of conic-line arrangements
本文研究Poncelet闭合定理产生的圆锥-直线排列，通过二重覆盖构造Zariski对，证明度$2m+6$的可约曲线族存在。
2023-12-20 math.AG math.CO math.GT
Bicentennial of the Great Poncelet Theorem (1813-2013): Current Advances
在庞斯莱定理成立200周年之际，本文对庞斯莱定理的一些最新结果作了回顾。我们正在讲述一个最美丽的几何定理的故事，回顾一般数学观众的戏剧性的历史情况下，导致它的发现，一瞥其内在的吸引力，其关系的重要性共焦二次曲线内的台球动态。我们专注于三个主要问题：A）伪欧几里德空间的情况下，提出了最近的相对论二次曲面的概念，并将其应用于描述周期轨迹的台球在二次曲面。B）所谓的台球代数和现代离散微分几何基础之间的关系，导致了双反射网。C）我们引入了一类新的动力系统--由多个具有非凸角的共焦二次曲线的弧构成的边界生成的伪可积台球。这种台球的动力学有几个非凡的特性。它们与区间交换变换有关，并生成极小但不唯一遍历的流族。这种类型的动力学提供了一种新的庞斯莱孔主义-当地的。
2013-03-23 math.AG math.DS nlin.SI
Hyperelliptic Jacobians as Billiard Algebra of Pencils of Quadrics: Beyond Poncelet Porisms
Griffiths和Harris在理解Poncelet型问题的高维类似物和综合方法以获得更高生成加法定理方面的30年计划已得到解决和完成。从观察一些经典结构和构形的台球性质出发，构造了台球代数，它是$R^d$中与给定共焦族的d-1二次曲面同时相切的直线集合T上的群结构.利用该工具，Reid，Donagi和Knoerrer的相关结果得到了进一步的发展、实现和简化。我们得到一个基本性质的T：任何两条线从这个集合可以得到从对方最多d-1台球反射在一些二次曲面从共焦家庭。我们引入两个层次的概念：s-斜线在T和s-弱庞斯莱轨线，s =-1，0，. d-2。本文利用台球动力学、二次曲面交线的线性子空间和超椭圆Jacobian之间的相互关系，得到了Cayley定理、Weyr定理、Griffiths-Harris定理和Darboux定理等亏格为1的经典结果的高维和高阶推广。
2008-07-09 math-ph math.AG math.MP
The pentagram map, Poncelet polygons, and commuting difference operators
五角星形映射将平面多边形$P$转换为多边形$P'$，该多边形的顶点是$P$的连续最短对角线的交点。这张地图是已知的互动很好的庞斯莱多边形，即多边形同时内接在一个圆锥曲线和外切约圆锥曲线。R. Schwartz说，如果$P$是一个庞斯莱多边形，那么$P$在五角星形映射下的图像与$P$在投影上等价。在本文中，我们表明，在凸的情况下，这个属性的特点庞斯莱多边形：如果一个凸多边形是投影等价于其五角星形的形象，那么它是庞斯莱。证明是基于交换差分算子的理论，以及实际椭圆曲线和theta函数的性质。
2022-02-11 math.AG math.DG nlin.SI
A Poncelet Criterion for special pairs of conics in $PG(2,p)$
本文研究了域$GF(p)$上有限射影坐标平面上的庞斯莱定理，并集中讨论了一种特殊的二次曲线束。对于这样的二次曲线对，我们研究是否可以找到多边形与$n$双方，这是在一个圆锥曲线和外切的其他，所谓的庞斯莱多边形。通过对这些对使用适当的元素的二面体群，我们证明了长度$n$这样的Poncelet多面体是独立的起点。在这个意义上，庞斯莱的Porism是有效的。利用欧拉的约数和公式，我们可以说明不同的圆锥曲线对的数目，它携带长度为$n$的庞斯莱多项式。此外，我们将引入多项式，其零点在$GF(p)$中产生关于给定二次曲线对的关系的信息。特别是，我们可以决定一个给定的整数$n$，是否以及如何找到庞斯莱多边形的二次曲线对在给定的坐标平面。我们将看到，这个条件与二次剩余理论密切相关。
2014-09-10 math.AG math.CO math.NT
Poncelet-Darboux, Kippenhahn, and Szegő: interactions between projective geometry, matrices and orthogonal polynomials
研究了支撑在单位圆T上的多边形族的包络线即代数曲线。我们解决，特别是，这样的曲线的最小类的特征，并表明，这些曲线的所有实现基本上是等价的，可以描述在正交多项式的单位圆（OPUC），也被称为SzegIgnolynomials。我们的结果有连接到经典的结果从代数和射影几何，如定理的Poncelet，达布，Kippenhahn;数值域的一类矩阵;和Blaschke产品和磁盘功能。本文包含新的结果，一些旧的结果从不同的角度或不同的证明，并为我们的分析正式的基础。我们给出了一个严格的定义的Poncelet属性，曲线相切的一个家庭的多边形，多边形与Poncelet曲线。因此，我们能够澄清一些误解，出现在文献中，并提出反例，以一些现有的断言，以及必要的修改，他们的假设，以验证他们。例如，我们证明了在T上支持的某些多边形族中内接的曲线不一定是凸的，可以有尖点，甚至可以与单位圆相交。有两个观点在这项工作中起着统一的作用。第一个是OPUC的实用性，第二个是使用切线坐标的优点。后一种观点在B.我们已经试着正确看待他的贡献。
2021-01-28 math.AG math.CA math.CV
Caustics of Poncelet polygons and classical extremal polynomials
全面分析了台球在欧氏平面内的椭圆的周期性轨迹。该方法的新颖性是基于作者最近建立的关系之间的周期性台球轨迹和极值多项式的系统上的$d$间隔的实线和椭球台球在$d$维空间。即使在平面的情况下，系统地研究在本文中，它导致新的结果在表征$n$周期性的轨迹与所谓的$n$椭圆周期性的轨迹，这是$n$ -周期性的椭圆坐标。的特征都是在底层的椭圆曲线和它的除数和多项式函数方程，如佩尔方程。这种新的方法也揭示了一些经典的结果。特别是，我们连接搜索焦散线产生的周期性轨迹与三个经典类的极值多项式的两个间隔，介绍了Zolotarev和Akhiezer。主要的分类工具是卷绕数，我们提供了几种解释，包括极值多项式交替点的数量。后者暗示了卷绕数之间的重要不等式，从而提供了旋转数单调性的另一个证明。一个完整的目录台球轨迹与小周期提供了$n=3, 4, 5, 6$随着一个有效的搜索焦散。作为一个副产品，一个有趣的连接之间的凯莱型条件和判别可分多项式已被观察到所有这些小周期。
2018-12-07 math.AG math.CA math.DS
A Strong Abhyankar-Moh Theorem and Criterion of Embedded Line
用较弱的条件代替著名的Abhyankar-Moh定理中平面多项式曲线为直线的条件。由这一强定理得到了嵌入线的一个判别准则：两个多项式能生成整个多项式环当且仅当它们的导数能生成。
2014-02-17 math.AG
Deformations of the trivial line bundle and vanishing theorems
本文重新证明了Green-Lazarsfeld“通有消失”定理的一种一般形式，并给出了一些新的应用.
2000-12-14 math.AG
A Bertini-type theorem for free arithmetic linear series
本文证明了算术Bertini定理的一个版本，该定理断言给定的无算术分次算术线性级数存在严格小且一般光滑的部分。
2016-01-20 math.AG
Kac's Theorem for weighted projective lines
我们证明了一个类似的卡茨定理，描述的维数向量的不可分解的相干层，或抛物丛，加权射影线。利用Peng和Xiao的一个定理，将一个李代数与有限域上的加权射影线的凝聚层范畴联系起来，并找到这个李代数中满足定义Kac-Moody李代数的loop代数的关系的元素.
2007-09-20 math.AG
Vanishing theorem for the cohomology of line bundles on Bott-Samelson varieties
利用Bott-Samelson簇的Toric退化和Toric簇上线丛的上同调的描述，导出了Bott-Samelson簇上线丛的上同调的消失结果.
2008-11-26 math.AG
A sharp vanishing theorem for line bundles on K3 or Enriques surfaces
设$L$是K3或Enriques曲面上的线丛。我们给$H^1(L)$的消灭定理，不像大多数消灭定理，给出了必要和充分的几何条件消失。这个结果在我们研究Enriques曲面上曲线的Brill-Noether理论（参考文献[KL 1]）和Enriques-Fano三重理论（参考文献[KLM]）中是必不可少的。
2007-06-22 math.AG
A Uniqueness Theorem for Frobenius Manifolds and Gromov--Witten Theory for Orbifold Projective Lines
证明了对于至多有三个轨道点的轨道射影线，由Gromov-Witten理论构造的Frobenius结构是由具有一定自然初始条件的WDVV方程唯一确定的.
2012-09-21 math.AG
The motivic fundamental group of the projective line minus three points and the theorem of Siegel
本文建立了射影直线减三点的原幂幺基基本群的结构理论与丢番图几何之间的联系。特别是，我们给出了西格尔定理的p-adic证明。
2004-09-23 math.AG math.NT
Bochner-Hartogs type extension theorem for roots and logarithms of holomorphic line bundles
本文证明了全纯线丛在严格伪凹边界上的根和丛的扩张定理：当临界点的维数和Morse指数为2时，它们在除一种情形外的所有情形下都扩张。在这种情况下，我们给出了一个明确的描述障碍的扩展。
2011-04-17 math.AG math.CV
On Junyan Cao's vanishing theorem for pseudoeffective line bundles
曹俊彦得到了一个非常一般的消灭定理，它适用于任何紧Kähler流形，对于值在由相应的乘子理想层扭曲的伪有效线丛中的上同调群。在本文中，我们用线丛的数值维数来代替一个给定的奇异度量的数值维数，给出了这个结果的一个版本，它可以更小。
2020-11-27 math.AG math.CV
Vanishing theorems and adjoint linear systems on normal surfaces in positive characteristic
本文证明了正特征曲面上大类的Kawamata-Viehweg消失定理，并由此建立Reider型定理与态射延拓定理，进而用有理函数刻画任意基域上平面曲线的非奇异有理点。
2021-07-07 math.AG math.NT
Injectivity theorem for pseudo-effective line bundles and its applications
我们制定和建立推广的Kollár的内射性定理的伴随丛扭曲适当的乘子理想层。作为应用，我们推广了Kollar的挠自由性，Kollar的消灭定理，以及伪有效线丛的一般消灭定理。我们的方法是不是霍奇理论，但分析，这使我们能够处理奇异厄米度量与非代数奇点。为了证明主内射性定理，我们使用非紧Kähler流形上的$L^{2}$ -调和形式.作为应用，我们证明了一个关于乘子理想层对自由线性系一般成员的限制的Bertini型定理。
2022-05-21 math.AG math.CV math.DG
An arithmetic Hilbert-Samuel theorem for singular hermitian line bundles and cusp forms
证明了有限高半正奇异厄米线丛的算术Hilbert-Samuel型定理。特别地，该定理适用于Burgos-Kramer-Kühn的对数奇异度量。因此，我们的定理适用于某些非紧Shimura簇及其尖点形式丛。作为应用，我们处理Hilbert模曲面的情况，建立了一个算术模拟的经典结果表示空间的尺寸的尖点形式的特殊值的戴德金ζ函数。
2012-09-05 math.AG math.DG math.NT
Generalizing the Converse to Pascal's Theorem via Hyperplane Arrangements and the Cayley-Bacharach Theorem
使用一个新的角度来看，超平面安排的启发，我们推广逆帕斯卡定理，有时也被称为Braikenridge-Maclaurin定理。特别是，我们表明，如果2k线满足一个给定的线，绿色，在k个三重点，如果我们的颜色，其余的线，使每个三重点在于一个红色和蓝色的线，然后交叉点的红色和蓝色的线躺在一个独特的曲线度k-1。我们还使用这些想法，以延长第二次推广的Braikenridge-Maclaurin定理，由于莫比乌斯。最后，我们使用Terracini引理和割线变种，以表明这一过程中构建了一个密集的曲线集的空间中的平面曲线的程度d，为d <= 5。该过程不能产生更高次数的密集曲线集。这篇说明书用几个练习加以点缀，以逗乐读者。
2011-08-16 math.AC math.AG math.HO
