Remark on the exponential decay of the solutions of the damped wave equation
Giovanni Cimatti
证明了一类阻尼波动方程初边值问题解指数衰减的条件。本文还提出了指数衰减系数的有效计算方法。
A condition which guaranties the exponential decay of the solutions of the initial-boundary value problem for the damped wave equation is proved. A method for the effective computability of the coefficient of exponential decay is also presented.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Remarks on the asymptotic behavior of the solution of an abstract damped wave equation
研究了一类抽象的阻尼波动方程。证明了当时间趋于无穷大时，阻尼波方程的解更接近热型方程的解。作为我们方法的应用，我们还研究了欧几里得空间中阻尼波动方程在几何控制条件下的渐近性态。
Exponential stability for a coupled system of damped-undamped plate equations
本文考虑无阻尼和结构阻尼板方程的耦合系统在两个充分光滑有界子域上的传递问题。结果表明，阻尼的大小无关的阻尼部分，是强大到足以产生均匀指数衰减的耦合系统的能量。
A remark on the critical exponent for the semilinear damped wave equation on the half-space
本文证明了半空间上半线性阻尼波动方程整体解的不存在性，并确定了其临界指数。
A remark on semi-linear damped $σ$-evolution equations with a modulus of continuity term in nonlinearity
在本文中，我们证明了在适当的连续模的假设下，我们得到了具有非线性连续模项的半线性阻尼$σ$ -发展方程的小数据Sobolev解的整体（在时间上）存在性或局部（在时间上）Sobolev解的爆破结果.
Exponential stability of a damped beam-string-beam transmission problem
本文考虑梁-弦-梁的传递问题，其中两个结构阻尼或无阻尼梁与一个结构阻尼弦通过传递条件耦合。我们表明，对于这种类型的结构，由摩擦部分产生的耗散足够强，以产生解的指数衰减，无论其大小有多小：对于阻尼-阻尼-阻尼情形中的指数稳定性我们使用能量方法，而对于无阻尼-阻尼-无阻尼情形中的指数稳定性我们使用来自半群理论的频域方法，该方法将矛盾论证与乘子技术相结合，对解决方案进行了专门的分析。此外，我们还证明了首先由弱公式定义的解实际上具有更高的索伯列夫空间正则性。
Strongly damped wave equation with exponential nonlinearities
本文研究了具有指数增长源和阻尼项的二维强阻尼波动方程的初边值问题。我们首先证明了这个问题的适定性，然后证明了在$(H_{0}^{1}(Ω)\cap L^{\infty}(Ω))\times L^{2}(Ω)$的整体吸引子的存在性。
Exponential Energy Decay for Damped Klein-Gordon Equation with Nonlinearities of Arbitrary Growth
我们得到了在整个空间或在星形障碍物的外部，具有阻尼的非线性Klein-Gordon方程的总能量在空间无穷远处的一致指数衰减。
Exponential decay for the damped wave equation in unbounded domains
研究了无界区域上阻尼波动方程生成的半群的衰减性。首先证明了在自然几何控制条件下，半群的指数衰减性。然后，我们证明了在较弱的条件下的对数衰减的解决方案（假设初始数据是光滑的）。作为推论，我们得到了以前的稳定和控制的结果的几个扩展。
A remark on the logarithmic decay of the damped wave and Schrödinger equations on a compact Riemannian manifold
本文考虑C1类PDMATHABMMW 2，$\infty$的紧致黎曼流形（M，g）和M上的阻尼波或薛定谔方程，在阻尼函数a = a（x）的作用下.我们建立了以下事实：如果集合{x $\in$ M ; a（x）= 0}的测度是严格正的，则相关能量随时间的衰减至少是对数的。
Local existence and exponential growth for a semilinear damped wave equation with dynamic boundary conditions
本文考虑了一个具有动力边界条件的多维阻尼半线性波动方程，它与Kelvin-Voigt阻尼有关。我们首先利用Faedo-Galerkin逼近和压缩映射定理证明了局部解的存在性。其次，给出了能量的指数增长性和解的$L^p$范数。
Exponential mixing for the white - forced damped nonlinear wave equation
研究了有界区域D $\subset$ R3上的随机非线性波动方程。我们证明了与解流相关的马尔可夫过程具有唯一的平稳测度$μ$，并且任何解的规律在双Lipschitz范数下以指数速率收敛于$μ$
Exponential decay for damped Klein-Gordon equations on asymptotically cylindrical and conic manifolds
研究了具有多个圆柱和次圆锥端点的非紧流形上的阻尼Klein-Gordon方程的整体能量在有界扰动下的衰减。我们证明了在几何控制条件下，衰减是指数的，而在较弱的网络控制条件下，衰减是对数的，通过发展的整体Carleman估计与多个权重。
Exponential Decay Rates for the Damped Korteweg-de Vries Type Equation
建立了整条实直线上具有局部阻尼的Korteweg-de Vries方程的$L^2-$范数的指数衰减率。另外，利用经典的方法，我们确定了具有阻尼的Korteweg-de Vries方程的解在整个区域上的$H^1-$范数，对于任意的初值，该解不具有衰减性.
Exponential decay for solutions to semilinear damped wave equation
研究了有界区域上具有强阻尼项的半线性波动方程解的衰减估计。引入适当的Lyaponuv函数，我们证明了当阻尼是线性的，我们可以找到初始数据，对于它的解指数衰减。这个结果改进了Gazzola和Squassina的文章中的早期结果。
Some remarks on the asymptotic profile of solutions to structurally damped $σ$-evolution equations
本文研究了线性结构阻尼$σ$ -发展方程在$L^2$意义下Cauchy问题解的渐近分布.根据参数$σ$和$δ$，我们不仅要指出解的近似公式，而且还要认识到在抛物型阻尼和$σ$ -演化型阻尼的不同情况下，它们的衰减率的最优性。此外，我们还讨论了在$σ$ -发展方程中混合这两种阻尼项时，它们对解的渐近分布的影响.
Sharp conditions for exponential and non-exponential uniform stabilization of the time-dependent damped wave equation
本文研究时变阻尼波动方程的一致镇定问题，证明推广的几何控制条件等价于指数镇定，并对不满足该条件的阻尼给出非指数衰减速率的上下界。
Exponential convergence to steady-states for trajectories of a damped dynamical system modelling adhesive strings
针对模拟一维粘合弹性体的带Neumann边界的半线性阻尼波动方程，研究其全局适定性与渐近行为，证明了解会以指数速率收敛到唯一确定的平衡点，补充了含连续平衡点集的阻尼系统的收敛性结论。
Nonlinear Damped Timoshenko Systems with Second Sound - Global Existence and Exponential Stability
本文考虑一维有界区域中的Timoshenko型非线性热弹性系统。该系统有两个耗散机制存在于方程中的横向位移和旋转角-摩擦阻尼和耗散通过双曲线热传导建模的卡塔内奥定律，分别。在线性和非线性情形下，证明了小的光滑解的整体存在性和指数稳定性。
Regularity and asymptotic behaviour for a damped plate-membrane transmission problem
本文考虑一个结构阻尼板方程与一个阻尼或无阻尼波动方程通过透射条件耦合的透射问题。我们表明，指数稳定性保持在阻尼阻尼的情况下，多项式稳定性（但没有指数稳定性）保持在阻尼无阻尼的情况下。此外，我们还证明了由弱公式首次定义的解实际上具有更高的索伯列夫空间正则性。
Existence and exponential stability of a damped wave equation with dynamic boundary conditions and a delay term
本文考虑了一个多维波动方程，其动力边界条件与Kelvin-Voigt阻尼有关，且在边界上有一个时滞项。如果反馈中时滞项的权值小于无时滞项的权值，或者在阻尼因子与两个权值之差之间的假设下，时滞项的权值大于无时滞项的权值，则证明了解的整体存在性.在相同的假设条件下，利用适当的李雅普诺夫泛函证明了系统的指数稳定性。更准确地说，我们表明，即使当时滞的重量是大于的重量阻尼的边界条件，强阻尼项仍然提供指数稳定的系统。
Best exponential decay rate of energy for the vectorial damped wave equation
当满足几何控制条件时，标量阻尼波动方程解的能量一致指数快速衰减。勒博[leb93]的一个定理给出了这个指数衰减率的表达式，表示为沿测地线的阻尼项的平均值和方程的无穷小生成元的谱。本文的目的是将这一结果推广到无边界的黎曼流形上的向量阻尼波动方程的情形。我们得到一个表达式类似勒博的一个，但新的现象，如高频过阻尼出现在比较的标量设置。我们还证明了向量波动方程强稳定的一个充要条件。
Imperfect geometric control and overdamping for the damped wave equation
本文考虑了非理想几何控制流形上的阻尼波动方程。我们证明了在双曲周期测地线的情况下，\cite{Chr-NC-erratum}中的次指数能量衰减估计是最优的。我们表明，如果方程是过阻尼的，那么能量呈指数衰减。最后，我们表明，如果方程是过阻尼的，但几何控制失败的一个双曲周期测地线，那么尽管如此，能量指数衰减。
Exponential decay of solutions of damped wave equations in one dimensional space in the $L^p$ framework for various boundary conditions
我们建立了一维空间中Dirichlet，Neumann和动态边界条件下阻尼波方程解的衰减性，其中阻尼系数是空间和时间的函数.分析的基础上研究了相应的双曲系统与黎曼不变量。研究这类系统的关键是利用内耗散能来估计解与其平均值之间的差异。
Uniform Exponential Attractors for Non-Autonomous Dynamical Systems and an Application to the damped hyperbolic equation with sub-quintic growth
本文建立非自治动力系统一致指数吸引子的抽象框架，将其应用于次五次增长的弱阻尼双曲方程，构造Shatah-Struwe解过程的指数吸引子并证明其关于外部强迫项的Hölder连续性。
Decays rates for Kelvin-Voigt damped wave equations II: the geometric control condition
本文研究Kelvin-Voigt阻尼波方程在几何控制条件下的衰减率。我们证明，当阻尼系数是足够光滑（$C^1$消失很好），我们表明，指数衰减遵循几何控制条件（见~ \cite{BuCh, Te12}的阻尼函数更强的假设下的类似结果）。
The pressureless damped Euler-Riesz equations
本文分析了$\mathbb{R}^d$和$\mathbb{T}^d$中的无压阻尼Euler-Riesz方程。我们构造了系统在一个常数背景态下经典解的整体存在性和唯一性。我们还建立了大时间行为的经典解显示的解决方案，朝着平衡的时间走向无穷大。对于整个空间的情况下，我们首先显示了额外的假设下的初始数据的存在性理论相比，解决方案的代数衰减率。然后，我们改进参数，使其在整个空间中具有指数衰减的收敛速率。在周期域的情况下，没有任何进一步的正则性假设的初始数据，我们提供了指数收敛的解决方案。
Energy asymptotics for the strongly damped Klein-Gordon equation
本文研究了具有散焦非线性项的强阻尼Klein Gordon方程周期解的能量渐近行为。我们首先证明了零均值解的指数衰减为零。然后，我们刻画了当时间趋于无穷大时，具有足够小的初始数据的解的能量极限，并证明了该极限不一定为零。
Exponential decay estimates for semilinear wave-type equations with time-dependent time delay
研究了一类具有不定常时滞和不定常时滞反馈系数的二阶半线性阻尼发展方程。非线性项满足局部Lipschitz连续性假设。在适当的条件下，我们证明了我们的模型的适定性和指数稳定性的小初始数据。我们的论点结合了一些连续性参数的李雅普诺夫函数的方法。此外，作为我们抽象结果的一个应用，分析了具有源项和时滞反馈的阻尼波动方程。
A global existence result for two-dimensional semilinear strongly damped wave equation with mixed nonlinearity in an exterior domain
研究了具有混合非线性项$|u|^p+|u_t|^q$的二维半线性强阻尼波动方程，其中$p,q>1$ .在指数加权空间中，假设初始数据很小，并对非线性项的幂满足一定条件，利用加权能量方法，证明了小数据能量解的全局（时间）存在性，并具有适当的高正则性.
On the exponential stability of uniformly damped wave equations
本文在希尔伯特复形框架下研究均匀阻尼波动方程，建立了温和解的指数衰减估计，并将结果推广到相容离散化得到的数值近似。
Optimal indirect stability of a weakly damped elastic abstract system of second order equations coupled by velocities
本文利用Riesz基方法研究了两个通过速度耦合的二阶弱阻尼发展方程系统的稳定性。如果分数阶阻尼成为粘性和波传播的速度相同，我们证明了指数稳定的系统，否则，我们建立了一个最佳的多项式衰减率。最后，我们提供了一些说明性的例子。
Attractors for Strongly Damped Wave Equations with Nonlinear Hyperbolic Dynamic Boundary Conditions
建立了一类具有非线性双曲动力边界条件的强阻尼半线性波动方程的适定性。结果进行了一个参数的存在下，区分是否基本的操作是分析，$α>0$，或只有Gevrey类，$α=0$。我们建立了每个$α\in[0,1],$的全局吸引子的存在性，并证明了全局吸引子族是上连续的，如$α\rightarrow0.$。此外，对于每个$α\in[0,1]$，我们证明了弱指数吸引子的存在性。弱指数吸引子是相空间的弱拓扑中的有限维紧集。这一结果保证了在弱拓扑下，相应的全局吸引子也具有有限的分形维数，而且维数与扰动参数$α$无关.在这两种情况下，吸引子的非线性项的最小假设下发现。
Morawetz estimates and stabilization for damped Klein-Gordon equation with small data
该研究利用小数据解的 Morawetz 型估计与 Ruiz 唯一延拓原理，证明三维空间中（部分）阻尼 Klein-Gordon 方程在小数据条件下的全局解指数衰减。
Damped Euler system with attractive Riesz interaction forces
本文研究周期域上带吸引性Riesz相互作用和线性阻尼的压差Euler方程，建立了平衡态附近的全局适定性，并证明解随时间指数收敛到平衡态。
Persistently damped transport on a network of circles
在本文中，我们解决了系统的迁移方程的间歇阻尼$N \geq 2$圆相交于一个单点$O$网络的指数稳定性。$N$方程通过它们在$O$处的值的线性混合而耦合，由矩阵$M$描述。间歇阻尼的活动由持续激励信号确定，所有这些信号都属于固定类别。主要结果是，在适当的假设下，$M$和合理的比例之间的圆圈的长度，这样的系统是指数稳定的，一致的持续激励信号。证明依赖于该系统的解的显式公式，该公式允许人们追踪间歇阻尼的影响。
Abstract damped wave equations: The optimal decay rate
本文针对抽象阻尼波动方程生成的半群，在已知指数稳定性充要条件下证明其算子范数具有最优指数衰减估计，并刻画了共振情形下由因子(1+t)造成的衰减惩罚。
Uniform stability of the damped wave equation with a confining potential in the Euclidean space
本文研究欧几里得空间中带约束势的阻尼波动方程的能量均匀指数衰减，给出充要条件，并引入由转向点导致的新几何条件。
Remark on stabilization of second order evolution equations by unbounded dynamic feedbacks and applications
本文考虑了具有无界动态反馈的二阶发展方程。在一个正则性假设下，我们证明了无阻尼问题的可观测性意味着阻尼问题的衰减估计。我们考虑均匀和非均匀衰减特性。
Stability for an inverse source problem of the damped biharmonic plate equation
本文研究了三维阻尼双调和板方程源反问题的稳定性。稳定性估计由Lipschitz型数据差异和源函数的高频尾部组成，其中高频尾部随着频率的上界增加而减小。稳定性也表现出指数依赖于常数阻尼系数。分析采用Carleman估计和时间衰减估计的阻尼板波方程，以获得一个精确的可观测性界，并依赖于研究的共振自由区和上界的预解式的双调和算子相对于复杂的波数。
Sharp exponential decay rates for anisotropically damped waves
本文研究了紧致黎曼流形上阻尼系数各向异性的零阶拟微分算子模型的阻尼波动方程的能量衰减问题。我们证明了能量的解决方案以指数速度衰减当且仅当阻尼系数满足各向异性模拟的经典几何控制条件，以及一个独特的连续假设。此外，我们计算一个明确的公式的最佳衰减率的谱横坐标和长时间平均的主象征的阻尼测地线，在类似的工作勒博的各向同性的情况下。我们还构建了真正的各向异性阻尼满足我们的假设上的平坦环面。
Exponential Mixing for 2D Stochastic Damped Euler Equation Driven by Bounded Noise
本文研究有界随机强迫驱动的二维环面上随机阻尼欧拉方程的长时间行为，通过建立涡量全局一致W^{1,∞}估计，证明当阻尼系数足够大时，马尔可夫半群存在唯一不变测度并指数收敛到平衡态，首次获得无粘随机欧拉型方程的指数混合结果。
Damped wave equations on compact hyperbolic surfaces
我们证明了具有正则初值的紧致双曲曲面上的阻尼波动方程的解的能量指数衰减，只要阻尼是非平凡的。证明是基于一个类似的战略，在Dyatlov-Jin，特别是，使用分形不确定性原理证明在Bourgain-Dyatlov。
Equivalence between the energy decay of fractional damped Klein-Gordon equations and geometric conditions for damping coefficients
本文研究$\mathbb{R}^d$上分数阶阻尼Klein-Gordon方程，证明了一维及高维情形下能量衰减（包括$o(1)$和对数衰减）与阻尼系数几何条件（如几何控制和厚度）的等价性，并指出$0<s<2$时指数衰减仅与正下界等价。
Lyapunov functions for linear damped wave equations in one-dimensional space with dynamic boundary conditions
本研究针对一维空间中具有动态边界条件的线性阻尼波动方程，通过构造适当的Lyapunov函数，建立了解的指数衰减性，并提供了数值模拟验证，该结果与比例积分控制的调节问题相关。
Critical exponent of Fujita-type for the semilinear damped wave equation on the Heisenberg group with power nonlinearity
本文考虑Heisenberg群上具有幂非线性项的半线性阻尼波动方程的Cauchy问题。证明了临界指数是Fujita指数$p_{\mathrm{Fuj}}(\mathscr{Q}) = 1+2 / \mathscr{Q}$，其中$\mathscr{Q}$是Heisenberg群的齐次维数.一方面，我们将证明$p >p_{\mathrm{Fuj}}(\mathscr{Q})$在指数加权能量空间中小数据解的整体存在性。另一方面，在一定的积分符号假设下，利用检验函数方法，得到了Cauchy数据下$1 < p \leq p_{\mathrm{Fuj}}(\mathscr{Q})$的爆破结果.
Sharp estimates for the number of degrees of freedom for the damped-driven 2D Navier--Stokes equations
本文导出了二维Navier-Stokes系统和带阻尼Navier-Stokes系统的渐近自由度（决定模态和节点）个数的上界。在第一种情况下，我们得到了以前已知的估计在一个明确的形式，这是大于分形维数的全球吸引。然而，对于具有阻尼的Navier-Stokes系统，我们对决定模式和节点的数量的估计与对全局吸引子的分形维数的尖锐估计相当。我们的调查阻尼驱动的二维Navier-Stokes系统的灵感来自Stommel-Charney正压模式的海洋环流的阻尼代表瑞利摩擦。我们注意到，我们的结果同样适用于Stommel-Charney模型。
Energy decay and global solutions for a damped free boundary fluid-elastic structure interface model with variable coefficients in elasticity
我们处理一个自由边界流固耦合模型。在该模型中，粘性不可压缩流体通过公共边界与弹性体相互作用。流体的运动由Navier-斯托克斯方程控制，而弹性结构的位移由变系数波动方程描述。耗散作用在流体和弹性体的共同边界上。在小初值条件下，证明了该系统解的整体存在性，并得到了解的指数衰减性。
On the decay in $W^{1,\infty}$ for the 1D semilinear damped wave equation on a bounded domain
本文研究了一维空间中一类具非线性时变阻尼的半线性波动方程。对于这个问题，我们在时域$(0,1)\times [0,+\infty)$中证明了$W^{1,\infty}$的适定性结果。然后，我们解决的问题的时间渐近稳定性的零解决方案，并表明，在适当的条件下，解决方案衰减到零，在空间$W^{1,\infty}$的指数速度。证明是基于相应的半线性系统的一阶导数的分析，我们证明了压缩性质的不变域。
Energy decay estimates for an axially travelling string damped at one end
本文研究一端带阻尼点的轴向运动弦的小振动，通过时变区间波动方程建模，导出了能量指数衰减的精确上下界估计及显式常数，并发现该结果在非运动情形下亦未被文献报告。
On the energy decay rates for the 1D damped fractional Klein-Gordon equation
我们考虑分数阶Klein-Gordon方程在一维空间中，受到阻尼系数，这是非平凡的和周期性的，或更一般地严格为正的周期集。我们表明，该解决方案的能量衰减的多项式率$O(t^{-\frac{s}{4-2s}})$为$0< s<2 $和一些指数率时，$s\geq 2$。我们的方法是基于$C_0$半群的渐近理论，其中一个可以涉及的能量的衰减率方面的半群生成元的预解式增长。主要的技术成果是一个新的可观测性估计的分数拉普拉斯算子，这可能是独立的利益。
Asymptotics of solutions with a compactness property for the nonlinear damped Klein-Gordon equation
考虑具有$α>0$，$2 \le N\le 5$和能量次临界指数$p>2$的非线性阻尼Klein-Gordon方程\[ \partial_{tt}u+2α\partial_{t}u-Δu+u-|u|^{p-1}u=0 \quad \text{on} \ \ [0,\infty)\times \mathbb{R}^N \].我们研究的解决方案，它是假设只有一个非线性对象出现渐近大的时间，至少是一个序列的时间。我们首先证明了非线性对象必然是一个束缚态。其次，我们证明了当非线性对象是一个非简并态或简并激发态满足一个简单性条件时，收敛性对所有正时间成立，分别以指数或代数速度。最后，我们提供了一个例子，解决方案的收敛速度$t^{-1}$的激发态。
A turbulent study for a damped Navier-Stokes equation: turbulence and problems
本文研究三维空间中带无散度外力的阻尼不可压缩 Navier-Stokes 方程，在 Grashof 数足够大时，根据 Kolmogorov 耗散定律证明了流体特征速度与能量耗散率的上下界估计，主要贡献在于下界估计，并探讨了湍流理论的有效性。
Semi-uniform stability of operator semigroups and energy decay of damped waves
本文综述 $C_0$-半群的半一致稳定性抽象结果，并说明其在阻尼二阶 Cauchy 问题能量衰减率估计中的应用。
Slow motion for one-dimensional nonlinear damped hyperbolic Allen-Cahn systems
考虑一类在实直线上有界区间上的非线性阻尼双曲型反应扩散方程组，在齐次Neumann边界条件下，研究了其解的亚稳态动力学性质.利用Bronsard和Kohn [CPAM 1990]提出并由Grant [SIAM J. Math. Anal. 1995]在Cahn-Morral方程组的研究中，我们改进并推广了双曲型Allen-Cahn方程的结果.特别地，我们研究了$\varepsilon\to0^+$解的极限行为，其中$\varepsilon^2$是扩散系数，我们证明了亚稳态的存在性和持久性的时间$T_\varepsilon>\exp(A/\varepsilon)$。这样的亚稳态具有过渡层结构，并且过渡层以指数小的速度移动。
Logarithmic stability for determining the damping coefficient for the time-fractional damped wave equation
研究时间分数阶阻尼波动方程中阻尼系数的反问题，通过傅里叶-拉普拉斯变换和复几何光学解，利用低频估计和高频衰减论证，得到条件对数稳定性结果。
Stabilizing effect of a background magnetic field on the 2D damped wave-type MHD equations
本文证明背景磁场对阻尼波动型MHD方程具有稳定化效应，通过设计各向异性能量泛函并利用耦合系统的代数结构抵消最危险的非线性项，得到小扰动全局稳定性和最优衰减率。
On nonlinear damped wave equations for positive operators. I. Discrete spectrum
本文研究了具有离散谱的一般正算子的非线性阻尼波方程的Cauchy问题。我们推导出衰减率取决于运营商的频谱和质量项的底部之间的相互作用的线性问题的解决方案的时间指数衰减。因此，我们证明了半线性和更一般的非线性方程的小数据的全球时间适定性结果。例子给出了非线性阻尼波方程的谐振子，扭曲的拉普拉斯算子（朗道哈密尔顿），并为Laplacian紧流形。
Determining form and data assimilation algorithm for weakly damped and driven Korteweg-de Vries equaton- Fourier modes case
我们表明，弱阻尼和驱动Korteweg-de Vries方程（KdV）的全局吸引子嵌入在一个常微分方程的长时间动态称为确定形式。特别是，有一个一对一的识别的阻尼和驱动KdV的全局吸引子和稳态解的确定形式的轨迹。此外，我们分析了一个数据同化算法（降尺度）的弱阻尼和驱动KdV。我们表明，给定一定数量的低傅立叶模式的KdV方程的参考解，该算法恢复在时间上的指数速率的全部参考解。
Eigenfrequencies and expansions for damped wave equations
研究了紧致流形上阻尼波方程的本征频率和传播子展开式。在几何控制的假设下，传播子被证明在实轴附近允许一个多本征模的扩展，误差项随时间呈指数衰减。在非退化椭圆闭测地线不满足阻尼系数支撑的情况下，我们证明了存在一个快速收敛到实轴的本征频率序列。在Zoll流形的情况下，我们表明，传播子可以扩展在集群的本征频率在整个谱带。
Lp-asymptotic stability of 1D damped wave equations with localized and linear damping
本文利用$p\in (1,\infty)$研究了一维线性阻尼波动方程在$[0,1]$中Dirichlet边值问题的$L^p$ -渐近稳定性.阻尼项被假定为线性的，并且被局部化到$[0,1]$的任意开子区间。我们证明了与前一个方程相关联的半群$(S_p(t))_{t\geq 0}$是适定的和指数稳定的。该证明依赖于乘子方法，并且取决于是$p\geq 2$还是$1<p<2$。
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