Perfect Italian Domination Number of Graphs
本文给出了任意两个图的笛卡儿积的完美意大利控制数的一个上界，并得到了某些特殊图的笛卡儿积的完美意大利控制数的精确值。证明了对任意两个正整数$a$，$b$，存在图$G$和$G$的诱导子图$H$，使得$γ_I^p(G) = a$和$γ_I^p(H) = b$ .得到了图$G$的完美意大利控制数与罗马控制数及完美控制数之间的关系，并解决了相应的实现问题.利用图的完美控制数，我们还得到了图的Mycielskian的完美意大利控制数。还包括与这些参数有关的一些公开问题。
2021-11-14 math.CO
Domination game and total domination game played on Sierpiński graphs
University of Maribor（马里博尔大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；Trinity College（三一学院）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）
该研究聚焦谢尔宾斯基图上的控制与全控制博弈，通过推导严格不等式改进了控制博弈数的平凡界，并确立了全控制博弈数的下界，丰富了图论博弈领域的相关结论。
2026-08-24 math.CO
On the Roman domination number of generalized Sierpinski graphs
一个映射$f : V \rightarrow \{0, 1, 2\}$是图$G=(V,E)$上的罗马控制函数，如果对于每个具有$f(v) = 0$的顶点$v\in V$，存在一个与$v$相邻的顶点$u$，使得$f(u) = 2$。罗马控制函数的权由$f(V) =\sum_{u\in V}f(u)$给出。$G$上罗马控制函数的最小权称为$G$的罗马控制数。本文研究了广义Sierpienski图$S(G,t)$的罗马控制数.更精确地说，我们得到了$S(G,t)$的罗马控制数的一个一般上界，并讨论了这个上界的紧性。特别是，我们专注于的情况下，基图$G$是一条路，一个循环，一个完全的图或图有一个唯一的通用顶点。
2016-05-23 math.CO
A Graph Theoretical Approach to Optimizing Minimum Italian Domination Sets
Government College University Lahore（拉合尔政府学院大学）；COMSATS, University Islamabad Lahore Campus（科马斯特斯伊斯兰堡大学拉合尔校区）
本文针对Toeplitz图族，分析意大利支配数的变化规律，为基于该问题的网络安全策略提供图论层面的支撑。
2026-08-14 math.CO
From Italian domination in lexicographic product graphs to w-domination in graphs
本文证明了字典序积图$G\circ H$的意大利控制数可以用$G\circ H$的五个不同的控制参数来表示。这些参数可以在以下统一的方法下定义，该方法包括几个众所周知的支配参数的定义并引入新的支配参数。令$N(v)$表示$v\in V(G)$的开邻域，并且令$w=(w_0,w_1, \dots,w_l)$是非负整数的向量，使得$ w_0\ge 1$。我们说一个函数$f: V(G)\longrightarrow \{0,1,\dots ,l\}$是$w$ -支配函数，如果对每个顶点$v$有$f(N(v))=\sum_{u\in N(v)}f(u)\ge w_i$，$f(v)=i$ . $f$的权重定义为$ω(f)=\sum_{v\in V(G)} f(v)$。$G$的$w$ -控制数，记为$γ_{w}(G)$，是$G$上所有$w$ -控制函数中的最小权.如果我们在需要时对$G$的最小度施加限制，则在这种方法下，我们可以定义例如控制数、总控制数、$k$ -控制数、$k$ -元组控制数、$k$-元组总控制数、意大利控制数、总意大利控制数和$\{k\}$ -控制数。具体来说，我们表明，$γ_{I}(G\circ H)=γ_{w}(G)$，其中$w\in \{2\}\times\{0,1,2\}^{l}$和$l\in \{2,3\}$。关于等式是否对$w_0,\dots,w_l$的特定值成立…
2021-05-11 math.CO
On $k$-limited domination: complexity and Sierpiński graphs
University of Maribor（马里博尔大学）
本文证明了 $k$-限制支配集问题的复杂性（包括平面图情形），并确定了 Sierpiński 图的 $k$-限制支配数的精确值。
2026-10-02 math.CO
Restrained Italian domination in trees
让$G=(V,E)$是一个图。$V$的子集$D$是一个\textit{restrained dominating set}，如果$V \setminus D$中的每个顶点都与$D$中的一个顶点相邻，并且与$V \setminus D$中的一个顶点相邻。\textit{restrained domination number}，记作$γ_r(G)$，是$G$的约束控制集的最小基数。一个函数$f : V \rightarrow \{0, 1, 2\}$是$G$上的一个\textit{restrained Italian dominating function}，如果（i）对于$f(v)=0$的每个顶点$v \in V$，它保持$\sum_{u \in N_G(v)} f(u) \geq 2$，（ii）由$\{v \in V \mid f(v)=0 \}$导出的子图没有孤立的顶点。\textit{restrained Italian domination number}，用$γ_{rI}(G)$表示，是在$G$的所有受约束意大利控制函数上取的最小权重。已知对任何图$G$，都有$γ_r(G) \leq γ_{rI}(G) \leq 2γ_r(G)$.在本文中，我们刻画了树$T$为$γ_r(T) = γ_{rI}(T)$，我们还刻画了树$T$为$γ_{rI}(T) = 2γ_r(T)$。
2021-01-16 math.CO
From the strong differential to Italian domination in graphs
给定一个图$G$和一个顶点子集$D\subseteq V(G)$，$D$的外邻域定义为$N_e(D)=\{u\in V(G)\setminus D:\, N(u)\cap D\ne \varnothing\}$，其中$N(u)$表示$u$的开邻域。现在，给定子集$D\subseteq V(G)$和顶点$v\in D$，$v$相对于$D$的外部私有邻域被定义为$epn(v,D)=\{u\in V(G)\setminus D: N(u)\cap D=\{v\}\}.$。集合$D\subseteq V(G)$的强微分被定义为$\partial_s(D)=|N_e(D)|-|D_w|,$，其中$D_w=\{v\in D: epn(v,D)\neq \varnothing\}$。本文主要研究了图的强微分，定义图为$$\partial_s(G)=\max \{\partial_s(D): D\subseteq V(G)\}.$$.在其他结果中，我们得到了$\partial_s(G)$的一般界，并证明了一个Gallai型定理，即$\partial_s(G)+γ_{I}(G)=n(G)$，其中$γ_{I}G)$表示$G$的意大利控制数.因此，我们可以把图的强微分理论看作是研究意大利控制论的一个新途径。这种方法的一个优点是，它允许我们研究意大利控制数，而不使用函数。正如我们所预料的那样，我们得到了图…
2021-05-26 math.CO
Double Italian domination in trees
School of Mathematics and Statistics, Jiangsu Normal University（江苏师范大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou University（郑州大学数学与统计学院）
本文研究树上双重意大利 domination 数，发现其与双重罗马 domination 数不同，并给出了非平凡树的精确界及达到该界的树特征。
2026-03-30 math.CO
Italian domination in generalized Petersen graphs
在图$G=(V,E)$中，每个顶点$v\in V$用$0$、$1$或$2$标记，使得每个用$0$标记的顶点与至少一个标记为$2$的顶点或两个标记为$1$的顶点相邻。这种标记被称为$G$的意大利支配函数（IDF）。IDF $f$的重量为$w(f)=\sum_{v\in V}f(v)$。$G$的意大利控制数是$γ_{I}(G)=\min_{f} w(f)$。Gao等人（2019）已确定了$γ_I(P(n,3))$的价值。本文主要研究了广义Petersen图$P(n, k)$，$k\neq3$的意大利控制数.我们确定了$k\ge4$、$k\equiv2,3(\bmod5)$和$n\equiv0(\bmod5)$的$γ_I(P(n, 1))$、$γ_I(P(n, 2))$和$γ_I(P(n, k))$的值。对于其它$P(n,k)$，我们给出了$γ_I(P(n, k))$的一个界.利用所得到的结果，我们通过给出$P(n,1)$是$γ_I=γ_{r2}$的一个例子并表征$P(n,2)$，其中$γ_I(P(n,2))=γ_{r2}(P(n,2))$部分地解决了Brešar等人（2007）提出的公开问题。此外，我们的结果意味着$P(n,1)$ $(n\equiv0(\bmod\ 4))$是意大利语，$P(n,1)$ $(n\not\equiv0(\bmod\ 4))$和$P(n,2)$不是意大利语…
2020-05-04 math.CO
Edge Domination Number and the Number of Minimum Edge Dominating Sets in Pseudofractal Scale-Free Web and Sierpiński Gasket
最小边支配集（MEDS）问题作为一个基本的研究对象，具有重要的理论和实际意义。然而，确定一般图中MEDS的大小和所有MEDS的数量是NP困难的，因此找到可以精确解决MEDS问题的特殊图是有意义的。本文研究了顶点数和边数相同的伪分形无标度网和Sierpienski垫片上的MEDS问题。对于这两个图，我们得到精确的表达的边控制数，以及递归的解决方案，不同的MEDS的数量。在伪分形无标度网中，边控制数是边数的九分之一，是Sierpienski gasket边控制数的五分之三。此外，在伪分形无标度网络中的所有MED的数量也是小于对应的Sierpienski垫片。我们认为，所研究的两个图之间MED的大小和数量的差异在于无标度拓扑。
2021-06-10 cs.DM math.CO
The Italian domination numbers of some products of directed cycles
定义了一个有向图$D$上的意大利控制函数为函数$f : V(D) \rightarrow \{0, 1, 2\}$，使得每个顶点$v \in V(D)$和$f(v) = 0$至少有两个内邻居被分配给$f$下的$1$或一个内邻居被分配给$w$和$f(w) = 2$ .本文确定了某些有向圈积的Italian控制数的精确值。
2020-08-23 cs.DM math.CO
Dominating sequences under atomic changes with applications in Sierpiński and interval graphs
图$G$的不同顶点的序列$S=(v_1,\ldots,v_k)$称为合法序列，如果对任何$i$有$N[v_i] \setminus \cup_{j=1}^{i-1}N[v_j]\not=\emptyset$。图$G$中合法（控制）序列的最大长度称为图的Grundy控制数$γ_{gr}(G)$。已知确定Grundy控制数的问题一般是NP-完全的，而对于树和其他一些图类，存在有效的算法。本文给出了求区间图Grundy控制数的一个有效算法。我们还证明了任意Sierpienski图$S_p^n$的Grundy控制数的精确值，并给出了构造相应序列的算法。这些结果是利用本文的主要结果得到的，这些结果是点和边去除图的Grundy控制数的精确界。也就是说，给定一个图$G$，$e\in E(G)$和$u\in V(G)$，我们证明了$γ_{gr}(G)-1\le γ_{gr}(G-e) \le γ_{gr}(G)+1$和$γ_{gr}(G)-2\le γ_{gr}(G-u) \le γ_{gr}(G)$。对于每一个边界都存在图，其中所有三种可能性分别发生在不同的边和顶点上。
2016-03-16 math.CO
Restrained Italian domination in graphs
对于图$G=(V(G),E(G))$，意大利控制函数（ID函数）$f:V(G)\rightarrow\{0,1,2\}$具有这样的性质：对于每个具有$f(v)=0$的顶点$v\in V(G)$，$v$与在$f$下被分配$2$的顶点相邻，或者$v$与在$f$下被分配$1$的至少两个顶点相邻。ID函数的权重是$\sum_{v\in V(G)}f(v)$。意大利控制数是$G$的所有ID函数的最小权重。在本文中，我们开始研究ID函数的一个变体。$G$的一个约束意大利控制函数$f$是$G$的一个ID函数，它使得由$\{v\in V(G)\mid f(v)=0\}$导出的子图没有孤立点，约束意大利控制数$γ_{rI}(G)$是$G$的所有RID函数的最小权.我们首先证明了计算这个参数的问题是NP-难的，即使是限制在二分图和弦图以及平面图与最大程度的五。我们证明了，$γ_{rI}(T)$的顺序$n\geq3$不同于双星$S_{2,2}$的树$T$可以从下面有界的$(n+3)/2$。此外，本文还刻画了该下界的所有极树。对于一般图，我们也给出了这个参数的一些精确界，并给出了具有小或大$γ_{rI}(G)$的图$G$的特征。
2020-09-25 math.CO
Covering Italian domination in graphs
对于图$G=(V(G),E(G))$，$G$的意大利控制函数（ID函数）是函数$f:V(G)\rightarrow \{0,1,2\}$，使得对于每个顶点$v\in V(G)$具有$f(v)=0$，$f(N(v))\geq2$，即，存在顶点$u \in N(v)$具有$f (u) = 2$，或者存在两个顶点$x,y\in N(v)$具有$f(x)=f(y)=1$。函数$f:V(G)\rightarrow \{0,1,2\}$是$G$的覆盖意大利控制函数（CID函数），如果$f$是ID函数，并且$\{v\in V(G)\mid f(v)\neq0\}$是顶点覆盖集。覆盖意大利控制数（CID数）$γ_{cI}(G)$是在$G$的所有CID函数上采取的最小权重。本文研究了图的CID数。我们表明，这个参数的计算问题是NP-困难的，即使限制到一些著名的家庭的图，并找到一些界限这个参数。我们刻画了图的CID数达到其顶点覆盖数的上界两倍的图族以及CID数达到其阶数的下界一半的所有无爪图。我们也给出了一些具有小或大CID数的图族的特征。
2020-04-06 math.CO
On the total Italian domination number in digraphs
本文研究有向图的全意大利支配数，给出其上下界，并确定笛卡尔积 $P_2\Box P_n$ 和 $P_3\Box P_n$ 的精确全意大利支配数。
2025-08-18 math.CO
Bounds for (strong) Roman $k$-dominations
Ilam University（伊拉姆大学）
本文研究了连通图的罗马k-支配和强罗马k-支配数的精确上界，统一并扩展了k=2和k=3时的已有结果，并精确刻画了达到这些上界的图。
2026-04-08 math.CO
Graphs that are simultaneously efficient open domination and efficient closed domination graphs
一个图是一个有效的开（或闭）控制图，如果存在一个顶点子集，其开（或闭）控制图，则存在一个顶点子集，其开（或闭）控制图。闭）邻域划分其顶点集。图是有效的开放以及有效的封闭（简称EOCD图）进行了研究。给出了EOCD图的有效开控制集和有效闭控制集的结构。证明了一个图是否为EOCD图的判定问题是一个NP完全问题。给出了构造所有EOCD树的递归描述，并在Sierpienski图中刻画了EOCD图。
2015-11-05 math.CO
Independent Double Roman Domination on Block Graphs
给定一个图$G=(V,E)$，如果当$f(v)=0$时$f$满足$\sum_{u \in N(v)}f(u) \geq 2$，则$f:V \rightarrow \{0,1,2 \}$是$G$的意大利控制函数.将$w(f)=\sum_{v \in V}f(v)$表示为$f$的重量。设$V_i=\{v:f(v)=i\},i=0,1,2$，如果$V_1 \cup V_2$是独立集，则称$f$为独立意大利控制函数. $G$的独立意大利控制数是独立意大利控制函数$f$的最小权，记为$i_{I}(G)$。将连通块图$G$的独立控制问题等价地转化为其块割点图$T$的诱导独立控制问题，并给出了求解任意连通块图$G$的$i_{I}(G)$的基于动态规划的线性时间算法.
2019-08-02 cs.DM cs.DS math.CO
The k-Power Domination Number in Some Self-Similar Graphs
$k$ -幂控制问题是图论中的一个问题，在许多领域都有应用.然而，由于确定一般图的k-幂控制数是一个NP完全问题，因此很难精确计算出$k$ -幂控制数。我们确定了两个顶点数和边数相同的图：伪分形无标度网和Sierpirobski gasket的精确$k$ -幂控制数。在Sierpienski垫片中，对于$k\ge2$，$k$ -幂控制数变为1，而$k$ -幂控制数相对于伪分形无标度网中的顶点数以指数速率增加。无标度特性可以解释两个图的行为差异。
2019-11-19 cs.DM cs.NI math.CO
Perfect Italian domination on planar and regular graphs
图$G=(V,E)$的完美意大利控制函数是函数$f : V \to \{0,1,2\}$，使得对于每个顶点$f(v) = 0$，它保持$\sum_{u \in N(v)} f(u) = 2$，即，由$f$分配给$v$的邻居的标签的权重正好是2。一个完美意大利函数的权是顶点权的和。$G$的完美意大利控制数，记作$γ^p_I(G)$，是$G$的任何完美意大利控制函数的最小权。在引入参数的同时，Haynes和Henning（离散应用数学（2019），164- 177）还提出了确定最佳可能常数$c_\mathcal{G}$的问题，使得当$G$在特定的图类$\mathcal{G}$中时，对于所有$n$阶的图，$γ^p_I(G) \leq c_\mathcal{G} \times n$。他们证明了当$\mathcal{G}$是二部图类时，$c_\mathcal{G} = 1$是二部图，并提出了平面图和正则图的问题。我们解决了他们的问题，正是平面图证明$c_\mathcal{G} = 1$和立方图证明$c_\mathcal{G} = 2/3$。对于分裂图，我们还表明，$c_\mathcal{G} = 1$。此外，我们还刻画了$γ^p_I(G)$等于2和3的图$G$，并确定了几个简单结构图的参数的精确值。我们的结论是证明它是NP-完全的决定是否一个给定的二部平面图承认一个完美的意大利控制功能的重量…
2020-05-27 cs.DM math.CO
Isolation number: Cartesian and lexicographic products and generalized Sierpiński graphs
本文研究隔离数在笛卡尔积、字典序积和广义谢尔宾斯基图等图运算下的行为，证明多个上下界，并得到超立方体棱柱及经典谢尔宾斯基图的精确隔离数值。
2025-08-22 math.CO
On a generalization of Roman domination with more legions
本文将 Roman 与 Italian 控制推广为任意正整数 k 下的强 Roman 及 Roman k-控制，比较其控制数，并首次确定完全二部图上的相关控制数。
2022-12-17 math.CO
Sierpi\' nski Gasket Graphs and Some of Their Properties
{ \it Sierpienski分形}或{ \it Sierpienski垫片} $Σ$是动力系统和概率专家研究的常见对象。本文研究了一个图$S_n$，它是由导致$Σ$的过程的第一次$n$迭代所得到的，并研究了它的一些性质，包括它的圈结构、控制数和pebbling数.提出了各种悬而未决的问题。
2005-09-12 math.CO
Relating the outer-independent total Roman domination number with some classical parameters of graphs
对于一个给定的没有孤立点的图$G$，我们考虑一个函数$f: V(G) \rightarrow \{0,1,2\}$。对于每个$i\in \{0,1,2\}$，设$V_i=\{v\in V(G):\; f(v)=i\}$。如果满足：（i）$V_0$中的每个顶点至少与$V_2$中的一个顶点相邻;（ii）$V_0$是一个独立集;（iii）由$V_1\cup V_2$导出的子图没有孤立点，则称$f$是图$G$的外独立全罗马控制函数. $G$的所有外独立全罗马控制函数中的最小可能权$ω(f)=\sum_{v\in V(G)}f(v)$称为$G$的外独立全罗马控制数。在这篇文章中，我们得到了这个参数的新的紧界，改进了一些著名的结果。这样的界限也可以被看作是这个参数和图论中其他几个经典参数之间的关系，如控制，全控制，罗马控制，独立性和顶点覆盖数。此外，我们还计算了Sierpienski图、循环图以及完全图的笛卡尔积和直积的外独立全罗马控制数。
2021-12-10 math.CO
Counting Weight-$k$ Italian Dominating Sets on Trees and Cycles
College of Science, China Jiliang University（中国计量大学理学院）
本文研究路径、树和环上意大利支配函数的计数问题，提出动态规划算法计算所有权重系数，并给出环上系数的闭式表达式，验证了已知的意大利支配数。
2026-10-02 math.CO
The Italian bondage and reinforcement numbers of digraphs
有向图$D$上的一个\textit{Italian dominating function}被定义为一个函数$f : V(D) \rightarrow \{0, 1, 2\}$，使得每个顶点$v \in V(D)$都有至少两个内邻居被指定为$f$下的$1$或一个内邻居被指定为$f(w) = 2$ .意大利控制函数$f$的\textit{weight}是值$ω(f) = f(V(D)) = \sum_{u \in V(D)} f(u)$。有向图$D$的\textit{Italian domination number}，记作$γ_I(D)$，是$D$上所有意大利控制函数的权的最小值。一个有向图$D$的\textit{Italian bondage number}，记作$b_I(D)$，是$A(D)$的最小弧数，在$D$中除去这些弧会产生一个有$γ_I(D') > γ_I(D)$的有向图$D'$。一个有向图$D$的\textit{Italian reinforcement number}，记作$r_I(D)$，是将其添加到$D$中导致一个有向图$D'$与$γ_I(D') < γ_I(D)$的额外弧的最小数目。本文主要研究了有向图中的意大利束缚数和意大利加强数，并给出了$b_I(D)$和$r_I(D)$的一些界。我们还确定了几类有向图的意大利束缚数和加强数。
2020-08-24 cs.DM math.CO
Roman $\{2\}$-domination on Graphs with "few" 4-paths
本文通过模分解分析，研究了在具有有限数量4-路径的图类上的罗马{2}-控制问题，给出了蜘蛛图、良好标记蜘蛛图及某些关键素分裂图的罗马{2}-控制数，并提供了计算余图、P4-稀疏图、P4-整洁图和伙伴限制图的罗马{2}-控制数的线性时间算法，同时证明了罗马{2}-控制在P4-负载图上的NP完全性。
2026-05-27 math.CO
