关于 $k$-限制支配：复杂性与 Sierpiński 图

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图 $G$ 的支配集 $D$ 被称为 $k$-限制的，如果 $D$ 中每个顶点在 $D$ 外至多有 $k$ 个邻居。$G$ 的所有 $k$-限制支配集的最小基数称为 $k$-限制支配数，记为 $\gamma_k^L(G)$。本文证明了 $1$-限制支配集问题是 $\mathsf{NP}$-完全的，回答了文献中提出的一个开放问题。我们进一步证明，对于每个正整数 $k$，$k$-限制支配集问题即使在平面图上也是 $\mathsf{NP}$-完全的。此外，我们研究了 Sierpiński 图的 $k$-限制支配数。我们确定了所有整数 $n\ge 1$ 和 $m\ge 2$ 的 $\gamma_1^L(S(n,m))$ 的精确值，并获得了平面族 $S(n,3)$ 的 $k$-限制支配数。

英文摘要

A dominating set $D$ of a graph $G$ is called $k$-limited if every vertex of $D$ has at most $k$ neighbors outside $D$. The minimum cardinality among all $k$-limited dominating sets of $G$ is the $k$-limited domination number, denoted by $γ_k^L(G)$. In this paper, we prove that the $1$-Limited Dominating Set problem is $\mathsf{NP}$-complete, answering an open question posed in the literature. We further show that, for every positive integer $k$, the $k$-Limited Dominating Set problem is $\mathsf{NP}$-complete even when restricted to planar graphs. In addition, we study the $k$-limited domination number of Sierpiński graphs. We determine the exact value of $γ_1^L(S(n,m))$ for all integers $n\ge 1$ and $m\ge 2$, and obtain the $k$-limited domination number for the planar family $S(n,3)$.

发表机构

• University of Maribor（马里博尔大学）

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