Energy of a graph and Randic index
Gerardo Arizmendi, Octavio Arizmendi
我们证明了，对于任何图$G$，它的图的能量至少是Randic指数的两倍。我们证明了等式成立当且仅当$G$是完全二部图的并集。
We prove that, for any graph $G$, its graph energy is at least twice the Randic index. We show that equality holds if and only if $G$ is the union of complete bipartite graphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Energy and Randic index of directed graphs
Randic指数的概念最近被推广到有向图。证明了$2R(G)\leq \mathcal{E}(G)\leq 2\sqrt{Δ(G)} R(G)$，其中$G$是一个有向图，$R(G)$表示Randic指数，$\mathcal{E}(G)$表示Nikiforov能量，$Δ(G) $表示$G$的最大度.在这两个不等式中，我们描述了等式成立的图。
Extremal k-apex Trees for Randic Index
Randic（连接性）指数是结构-性质和结构-活性关系研究中最成功的分子描述符之一。J. Gao发现了顶点树的Randic指数的精确上界。本文证明了k-顶点树对于k \ge 2不是正则图，并给出了k-顶点树的Randic指数的一个精确的上界（k>1）.
A note on the minimum reduced reciprocal Randić index of n-vertex unicyclic graphs
在所有顶点数固定的单圈图类中，刻画了具有最小既约反Randić指数的图.
First and Second Maximum of Randić Index Among all $k-$Cyclic Graphs of a Given Order
设$G$是一个单图，其边集为$E(G)$ . Randić指数$R(G)$定义为$R(G)=\sum_{uv\in E(G)}\frac{1}{\sqrt{deg_{G}(u)deg_{G}(v)}}$，其中$deg_G(u)$表示$u$在$G$中的顶点度。本文计算了所有$n-$顶点$k-$循环图的Randić指数的第一和第二最大值.
On Clique Version of the Randic Index
本文首先回顾了基于给定图$G$的加权点边关联矩阵思想的握手引理的加权版本。然后，我们得到了一个广义版本的握手引理的基础上的概念的团值。我们还定义了一个广义版本的Randic指数。更重要的是，我们证明了图$G$的广义Randic指标的一个上界。最后，我们总结了本文，并对未来可能的工作进行了讨论。
On the General Randić index of polymeric networks modelled by generalized Sierpiński graphs
单图$G$的广义Randić指标$R_α$定义为\[ R_α(G)=\sum_{v_{i}\sim v_{j}} (δ_{i}δ_{j})^α, \]，其中$δ_i$表示顶点$v_i$的度。Rodríguez-Velázquez和Tomás-Andreu [MATCH Commun.数学。计算。74（1）（2015）145- 160]获得了Sierpienski型聚合物网络的Randić指数$R_{-1/2}$的封闭式，其中基图是完全图、无三角形正则图或二分半正则图。本文给出了Sierpienski型聚合物网络的广义Randić指数$R_α$的封闭公式，其中基图是任意的.
Bounds and power means for the general Randic index
我们回顾了一般Randić指数$R_α = \sum_{ij \in E} (d_i d_j)^α$的界，并使用幂平均不等式来证明，例如，$α< 0$的$R_α\ge mλ^{2α}$，其中$λ$是图的谱半径。这使我们能够加强$R_α$的各种已知下限和上界，并推广Bollobás \emph{et al}的非谱界。我们还证明了零阶广义Randić指数，$Q_α= \sum_{i \in V} d_i^α\ge nλ^α$对于$α< 0$ .
Randic index, radius, and diameter for cactus graphs
研究了仙人掌图的Randic指标。它被证明是由半径（而不是一个均匀的路径），它是服从几个边界的基础上直径。研究了仙人掌的半径和直径，验证了仙人掌的半径界，并加强了仙人掌的两个直径界。一路上，我们产生了其他几个界限的Randic指数在图的大小，顺序和几个特殊类别的图，包括化学非平凡仙人掌和仙人掌与星形BC树的价。
Sharp bounds on the zeroth-order general Randić index of trees in terms of domination number
图$G=(V_G,E_G)$的零阶广义Randić指标，记作$^0R_α(G)$，是图$v\in V_G$上所有顶点的项$(d_{v})^α$之和，其中$α$是适当选取的实数.本文分别在区间$α\in(-\infty,0)\cup(1,\infty)$和区间$α\in(0,1)$上得到了控制数为$γ$的树的$^0R_α$的上、下界的精确估计.这些界限的相应的极值图也被特征化。
The extremal generalised Randić index for a given degree range
本文通过更一般命题给出O-Shi关于Randić指数下界结论的简短证明，并据此分类任意度范围内使广义Randić指数取极值的图，精确刻画行为转变。
Maximum zeroth-order general Randić index of orientations of trees, unicyclic and bicyclic graphs with given matching number
有向图$D$的零阶广义Randic指数$R^{0}_{a}$是$D$的所有弧$vw$上的$(d^{+}_{v})^{a}+(d^{-}_{w})^{a}$的和，其中$a$、$d^{+}_{v}$和$d^{-}_{w}$分别是任意实数，顶点$v$的出度和顶点$w$的入度。本文利用匹配数和阶确定了定向树、单圈图和双圈图的最大零阶广义Randić指数。
Sufficient conditions for matching extendability in terms of the Zeroth-order General Randić Index
研究图匹配可扩展性，基于零阶广义兰迪奇指数给出图成为\(k\)-可扩展图、\(n\)-因子临界图等的充分条件。
Sufficient conditions for Hamiltonianity in terms of the Zeroth-order General Randić Index
本文利用零阶广义拉迪奇指数给出图G具有哈密顿性（或k-哈密顿性）的充分条件，并证明这些条件不可被省略。同时讨论了当G为平衡二分图时的类似结果。
The asymptotic value of Randic index for trees
令$\mathcal{T}_n$表示所有具有$n$顶点的无根无标号树的集合，$(i,j)$表示双星。通过假设$\mathcal{T}_n$的每棵树的概率相等，我们证明了双星$(i,j)$在$\mathcal{T}_n$中出现次数的极限分布是正态的.在此基础上，得到了树的Randić指标的渐近值. Fajtlowicz指出，对于任何连通图，Randić指数至少是平均距离。利用这个渐近值，我们证明了这个猜想不仅对几乎所有的连通图成立，而且对几乎所有的树也成立。
Lower bounds for the Randić index in terms of matching number
该研究探讨图的Randić指数基于匹配数的下界，给出小余量图、次立方图的最优线性界，证明稀疏遗传图类满足线性界，确定近乎完美匹配图的最小Randić指数渐近增长率并提出普适猜想。
Construction of equienergetic and Randic' equienergetic graphs
本文给出了图对是等能图和Randic等能图的几种构造方法。此外，还得到了一些新的整图族和Randic整图族.作为应用，建立了具有互反特征值性质和反互反特征值性质的图序列。
On the Randic and degree distance indices of the Mycielskian of a graph
在寻找任意大色数的无三角形图时，Mycielski提出了一种图变换，将一个图变换为一个新的图，称为该图的Mycielski。本文给出了Mycielskian图的Randic指数的一些精确界。此外，我们还确定了每个直径为2的图的Mycielskian的度距离指标。
On the Randić index and conditional parameters of a graph
研究了单图中与顶点度有关的一些参数。因此，我们的主要工具是$n\times n$矩阵${\cal A}$，其（$i,j$）-条目是$$ a_{ij}= \left\lbrace \begin{array}{ll} \frac{1}{\sqrt{δ_iδ_j}} & {\rm if }\quad v_i\sim v_j ; \\ 0 & {\rm otherwise,} \end{array} \right. $$，其中$δ_i$表示顶点$v_i$的度。我们研究了Randić指数和一些有趣的特殊情况下的条件过剩，条件维纳指数，和条件直径。特别是，使用矩阵${\cal A}$或其特征值，我们得到紧界的研究参数。
Hermitian-Randić matrix and Hermitian-Randić energy of mixed graphs
设$M$是一个混合图，$H(M)$是它的Hermitian-邻接矩阵.如果我们给$M$中的每条边和弧加上一个Randić权，那么我们就可以得到一个新的加权Hermitian-邻接矩阵。这个新矩阵的性质是什么？受此启发，我们定义了混合图$M$的Hermitian-Randić矩阵$R_{H}(M)=(r_{h})_{kl}$，其中如果$(v_{k},v_{l})$是$M$的弧，则为$(r_{h})_{kl}=-(r_{h})_{lk}=\frac{\textbf{i}}{\sqrt{d_{k}d_{l}}}$（$\textbf{i}=\sqrt{-1}$），如果$v_{k}v_{l}$是$M$的无向边，则为$(r_{h})_{kl}=(r_{h})_{lk}=\frac{1}{\sqrt{d_{k}d_{l}}}$，否则为$(r_{h})_{kl}=0$。本文首先计算了混合图的Hermitian-Randić矩阵的特征多项式。此外，我们给出了一般混合图的Hermitian-Randić能量的界。最后，我们给出了混合树的Hermitian-Randić能量的一些结果。
Randić index, diameter and the average distance
图$G$的Randić指数，记为$R(G)$，定义为$G$的所有边$uv$上的$1/\sqrt{d(u)d(v)}$之和，其中$d(u)$表示$G$中顶点$u$的度。本文部分地解决了关于图$G$的Randić指标$R(G)$与直径$D(G)$和平均距离$μ(G)$的关系的两个问题.本文证明了：对于任意阶为$n$且最小度为$δ(G)$的连通图$G$，若$δ(G)\geq 5$，则$R(G)-D(G)\geq \sqrt 2-\frac{n+1} 2$ ;若$δ(G)\geq n/5$和$n\geq 15$，则$\frac{R(G)}{D(G)} \geq \frac{n-3+2\sqrt 2}{2n-2}$和$R(G)\geq μ(G)$ .此外，对于任意实数$\varepsilon \ (0<\varepsilon<1)$，如果$δ(G)\geq \varepsilon n$，则对于足够大的$n$，$\frac{R(G)}{D(G)} \geq \frac{n-3+2\sqrt 2}{2n-2}$和$R(G)\geq μ(G)$成立。
Energy and Randic' energy of special graphs
本文确定了给定图的m-分裂图、m-阴影图和m-重复图的Randic能量，其中m为任意整数。我们的结果允许构造具有相同Randic能量的图的无穷序列。此外，我们确定了一些图的不变量，如度Kirchhoff指数，Kemeny常数和一些特殊的图的支撑树的数量。从我们的结果，我们指出如何获得无穷多对等能图，Randic'等能图，以及，整图的无限族。
The Randic index and the diameter of graphs
图$G$的{ \it Randić index} $R(G)$定义为$G$的所有边$uv$上的1/ \sqrt{d_ud_v}之和，其中$d_u$和$d_v$分别是顶点$u$和$v,$的度.令$D(G)$为$G$连通时$G$的直径。Aouchiche-Hansen-Zheng证明了在$n$顶点上的所有连通图$G$中，路径$P_n$对于$R(G)/D(G)$和$R(G)- D(G)$都达到最小值.我们完全证明了这个猜想。事实上，我们证明了一个更强的定理：如果$G$是一个连通图，那么$R(G)-(1/2)D(G)\geq \sqrt{2}-1$，具有相等性当且仅当$G$是一条至少有三个顶点的路。
On the Randić energy of caterpillar graphs
阶为$n= r+\sum_{i=1}^r p_i$的毛虫图$T(p_1, \ldots, p_r)$，$r\geq 2$，是一棵树，使得移除其所有悬挂顶点会产生阶为$r$的路径。本文给出了一个实数是$T(p_1, \ldots, p_r)$的Randić矩阵特征值的充要条件.这个结果被应用于确定$r=2$（双星）和$r=3$情形下$T(p_1,\ldots, p_r)$的Randić能量的极值毛虫。我们描述了$r=2$的极值毛虫。此外，我们研究了家庭的毛虫$T\big(p,n-p-q-3,q\big)$的顺序$n$，其中$q$是一个功能的$p$，我们的特点，极端毛虫为三种情况：$q=p$，$q=n-p-b-3$和$q=b$，对于$b\in \{1,\ldots,n-6\}$固定。包括一些说明性的例子。
The variation of the Randic index with regard to minimum and maximum degree
图$G$的Randić指数$ R'(G) $的变化定义为\ $R(G) = \sum_{uv \in E(G)}\frac 1{\max \{d(u) d(v)\}}$，其中$d(u)$是顶点$u$的度，并且求和扩展到$G$的所有边$uv$。设$G(k,n)$是具有最小顶点度$k$的连通简单$n$ -顶点图的集合.本文在$G(k,n)$图中发现了Randić指数的变化达到最小值的图.当$k \leq \frac n2$时，极图是完全分裂图$K_{k,n-k}^*$，它只有两个度的顶点，即度$k$和度$n-1$，度$k$的顶点数为$n-k$，度$n-1$的顶点数为$k$ .对于$k \geq \frac n2$，极图也有二度顶点$k$和$n-1$，度$k$的顶点数为$\frac n2$。进一步推广了给定最大度的图的结果。
Randic energy of specific graphs
设$G$是一个顶点集为$V(G) = \{v_1, v_2,..., v_n\}$的简单图. $G$的Randić矩阵，由$R(G)$表示，被定义为$n\times n$矩阵，如果$v_i$和$v_j$相邻，则其$(i,j)$ -条目是$(d_id_j)^{\frac{-1}{2}}$，而对于另一种情况则是$0$。令Randić矩阵$R(G)$的特征值为$ρ_1\geq ρ_2\geq ...\geq ρ_n$，其为Randić特征多项式$\prod_{i=1}^n (ρ-ρ_i)$的根。$G$的Randić能量$RE$是$R(G)$的特征值的绝对值之和。在本文中，我们计算的Randić特征多项式和特定的图$G$的Randić能量。
Block eccentricity, a radius bound, and an application to the Randić index
本文提出基于块的偏心率框架，将半径与中心概念扩展到块，据此给出直径的新下界，并验证仙人掌图满足顶点半径与Randić指标之间的猜想界。
Some Bounds on Zeroth-Order General Randić$ Index
对于一个没有孤立点的图$G$，其逆度定义为$ID(G)=\sum_{u\in V(G)}d(u)^{-1}$，其中$d(u)$是$G$中与该点$u$相邻的顶点数.通过用任意非零实数替换$-1$，我们得到零阶广义Randić指数，即$^0R_γ(G)=\sum_{u\in V(G)}d(u)^γ$，其中$γ$是任意非零实数。在\cite{xd}，Xu et.等人根据图的色数、团数、连通度、割边数等确定了连通图$G$的逆度的上、下界.在本文中，我们推广了他们的结果，并研究了相同的结果是否适用于$γ<0$。相应的极图也得到了刻画。
Skew Randić Matrix and Skew Randić Energy
令$G$是一个简单的图，具有方向$σ$，它为每条边指定一个方向，使得$G^σ$成为有向图。$G$被称为有向图$G^σ$的基础图。本文定义了$G^σ$的带Randć权的加权斜邻接矩阵${\bf R_S}(G^σ)$为实斜对称矩阵$[(r_s)_{ij}]$，其中$(r_s)_{ij} = (d_id_j)^{-\frac{1}{2}}$和$(r_s)_{ji} = -(d_id_j)^{-\frac{1}{2}}$当$v_i \rightarrow v_j$是$G^σ$的弧时，否则为$(r_s)_{ij} = (r_s)_{ji} = 0$ .我们得到了定向图的斜Randić能量的一些性质。大多数性质类似于定向图的斜能量。但是，令人惊讶的是，具有最大或最小斜Randić能量的极值定向图是完全不同的。
More on energy and Randic energy of specific graphs
设$G$是阶为$n$的简单图.图$G$的能量$E(G)$是$G$的特征值的绝对值之和。由$R(G)$表示的$G$的Randic矩阵被定义为$n\times n$矩阵，如果$v_i$和$v_j$相邻，则其$(i,j)$ -条目为$(d_id_j)^{\frac{-1}{2}}$，而对于另一种情况，其$0$。$G$的Randić能量$RE$是$R(G)$的特征值的绝对值之和。在本文中，我们计算了一些图的能量和Randić能量。并提出了一个关于Randić能量的猜想。
Randić Incidence Energy of Graphs
设$G$是一个简单图，其顶点集为$V(G) = \{v_1, v_2,\ldots, v_n\}$，边集为$E(G) = \{e_1, e_2,\ldots, e_m\}$ .类似于Randić矩阵，这里我们引入图$G$的Randić关联矩阵，记为$I_R(G)$，它被定义为$n\times m$矩阵，如果$v_i$与$e_j$关联，则其$(i, j)$ -项为$(d_i)^{-\frac{1}{2}}$，否则为$0$。自然地，$G$的Randić入射能量$I_RE$是$I_R(G)$的奇异值之和。我们建立了Randić入射能量的上下限。图，这些界限是最好的可能的特点。此外，我们还研究了图与其子图的Randić关联能之间的关系。给出了二部图的Randić关联能量的一个精确上界，并确定了$n$ -顶点树中Randić关联能量最大的树.结果表明，某些结果与入射能量的结果有很大的不同。
Energy of a graph and Randić index of subgraphs
本文通过建立图的能量与边加权和的新不等式，证明了图的能量不小于任意子图Randić指数的两倍，从而推广了若干已知不等式。
Zeroth-order general Randic index of $k$-generalized quasi trees
对于简单图$G(V,E)$，零阶广义Randi\' c指标定义为$^0R_α(G)=\sum_{v\in V(G)}d(v)^α$，其中$d(v)$是顶点$v$的度，$α\ne0$是实数. $k$ -广义拟树是具有子集$V_k\subset V(G)$的连通图$G$，其中$|V_k|=k$使得$G-V_k$是树，但对于具有基数$k-1$的任何子集$V_{k-1}\subset V(G)$，$G-V_{k-1}$不是树.本文刻画了$α\neq 0$的具有零阶广义Randi ' c指标的最小值和最大值的极值$k$ -广义拟树.
The Randić index and signless Laplacian spectral radius of graphs
给定一个连通图$G$，Randic指数$R(G)$是$G$的所有边$\{u,v\}$上的$\tfrac{1}{\sqrt{d(u)d(v)}}$的和，其中$d(u)$和$d(v)$分别是顶点$u$和$v$的度。设$q(G)$是$G$和$n=|V(G)|$的无奇异拉普拉斯矩阵的最大特征值。Hansen和Lucas（2010）提出了以下猜想：\[ \frac{q(G)}{R(G)} \leq \begin{cases} \frac{4n-4}{n} & 4 \leq n\leq 12 \frac{n}{\sqrt{n-1}} & n\geq 13 \end{cases} \]具有相等性当且仅当$G=K_{n}$分别用于$4\leq n\leq 12$和$G=S_n$用于$n\geq 13$。Deng，Balachandran，and Ayyaswamy（J. Math. Anal. Appl.2014）对$4 \leq n \leq 11$验证了该猜想。本文完全解决了这个猜想。
Randić energy and Randić eigenvalues
设$G$是一个阶为$n$的图，$d_i$是$G$的顶点$v_i$的度.如果顶点$v_i$和$v_j$在$G$中相邻，则$G$的Randić矩阵${\bf R}=(r_{ij})$由$r_{ij} = 1 / \sqrt{d_jd_j}$定义，否则由$r_{ij}=0$定义。归一化的无符号拉普拉斯矩阵$\mathcal{Q}$被定义为$\mathcal{Q} =I+\bf{R}$，其中$I$是单位矩阵。Randić能量是$\bf{R}$的本征值的绝对值之和。本文给出了$G$的归一化无符号Laplacian特征值与其细分图$S(G)$的Randić能量之间的关系.我们还给出了一个图具有恰$k$和不同Randić特征值的充分必要条件。
On a Conjecture of Randić Index and Graph Radius
图$G$的Randic指数$R(G)$被定义为$G$的所有边$v_i v_j$上的$(d_i d_j)^{-1/2}$的和，其中$d_i$是$G$中的顶点$v_i$的度。图$G$的半径$r(G)$是$G$中任何图顶点的最小图偏心率。Fajtlowicz（1988）证明了所有连通图$G$的$R(G) \ge r(G)-1$. Caporossi和Hansen（2000）给出了一个更强的版本，$R(G) \ge r(G)$，它适用于除偶路之外的所有连通图。本文利用调和指数$H(G)$（定义为$G$的所有边$v_i v_j$上的$\frac{2}{d_i+d_j}$之和），证明了对于圈数为$k\ge 1$的图，调和指数为$R(G) \ge r(G)-31/105(k-1)$;对于除偶路以外的树，调和指数为$R(T)> r(T)+1/15$.这些结果改进和加强了已知的结果，这些结构。
Algorithm and Complexity for a Network Assortativity Measure
我们发现，找到一个图实现与最小的Randić指数为给定的度序列是可解决的多项式时间，制定的问题作为一个最小重量完美的b-匹配问题。然而，通过这种归约找到的实现并不保证是连通的。近似的最小权重的b-匹配问题的连接约束下，被证明是NP难的。对于最小Randić指数问题的最优解不连通的情况，我们描述了一种启发式方法，使用保留度序列的成对边交换来连接图。在我们的计算实验中，启发式算法表现良好，我们的启发式算法后实现的Randić指数平均在无约束最优值的3%以内。虽然我们专注于最小化Randić指数，我们的结果扩展到最大化Randić指数以及。提供了Randić指数在哺乳动物中控制呼吸的神经元网络的同步和在诊断患有痴呆的个体中使皮质厚度网络标准化方面的应用。
Short note on Randić energy
本文研究了简单连通图的Randić能量$RE$.我们提供的上界$RE$的顶点数和图的零。我们提出的图族，满足Gutman，Furtula和Bozkurt提出的猜想\cite{Gutman1}的最大RE。例如，我们证明了奇数阶星形满足猜想。
Note on a relation between Randic index and algebraic connectivity
AutoGraphiX关于连通图$G$的Randić指数$R$与代数连通度$a$之间关系的一个猜想是：$$\frac R a\leq (\frac{n-3+2\sqrt{2}}{2})/(2(1- \cos {\fracπ{n}})) $$具有相等性当且仅当$G$是$P_n$，这是Aouchiche和Hansen [M. Aouchiche和P. Hansen，谱图理论中的自动化算法综述，{ \it线性代数应用程序}。{ \bf 432}（2010），2293- 2322]。证明了该猜想对所有树和所有边连通度为$κ'(G)\geq 2$的连通图都成立，并且如果是$κ'(G)=1$，猜想对足够大的$n$也成立.该猜想也适用于所有具有直径$D\leq \frac {2(n-3+2\sqrt{2})}{π^2}$或最小度$δ\geq \frac n 2$的连通图。证明了$R\cdot a\geq \frac {8\sqrt{n-1}}{nD^2}$和$R\cdot a\geq \frac {nδ(2δ-n+2)} {2(n-1)}$，如果有$D\leq (n-1)^{1/4}$或$δ\geq \frac n 2-1$，则$R\cdot a$是最小的.
Predicting some physicochemical properties of octane isomers: A topological approach using ev-degree and ve-degree Zagreb indices
拓扑指数在理论化学中的QSPR研究中具有重要作用。在所有的拓扑指数中，Randić指数和Zagreb指数在化学和数学文献中的应用比任何其他拓扑指数都要多。大多数的拓扑指数，如Randić指数和Zagreb指数，都是基于连通图的顶点的度。最近在图论中定义了新的二度概念：ev-度和ve-度。在这项研究中，我们定义ev-degree萨格勒布指标，ve-degree萨格勒布指标和ve-degree Randić指标，通过使用这些新的图不变量作为平行于其相应的经典度版本。我们比较这些新的组的ev度和ve度指数与其他著名的和最常用的拓扑指数在文献中，如维纳，萨格勒布和Randić指数通过模拟辛烷异构体的一些物理化学性质。结果表明，与Wiener、Zagreb和Randić指数相比，ev-degree Zagreb指数、ve-degree Zagreb指数和ve-degree Randić指数在预测辛烷的某些特定理化性质时具有更好的相关性。研究了第二类Zagreb指数与ev-度和ve-度Zagreb指数之间的关系以及ev-度和ve-度Zagreb指数的一些数学性质。保留字：
Sharp bounds for the Randic index of graphs with given minimum and maximum degree
图$G$的Randi{\' c}指标，记作$R(G)$，是$E(G)$中所有边$uv$上的$\frac 1{\sqrt{d(u)d(v)}}$的和.设$R(G)=\sum_{uv \in E(G)} \frac 1{\sqrt{d(u)d(v)}}$，称为它的Randi{\' c}指数，设$d$和$D$为正整数$d < D$ .本文证明了：如果$G$是一个具有最小度$d$和最大度$D$的图，则$R(G) \ge \frac{\sqrt{dD}}{d+D}n$ ;等式仅当$G$是一个$n$ -顶点$(d,D)$ -双正则图时成立.此外，我们表明，如果$G$是一个$n$ -顶点连通图的最小程度$d$和最大程度$D$，然后$R(G) \le \frac n2- \sum_{i=d}^{D-1}\frac 12 \left( \frac 1{\sqrt{i}} - \frac 1{\sqrt{i+1}}\right)^2$，它是尖锐的无限多$n$，我们的特点时，平等持有的界限。
Computational and analytical studies of the Randić index in Erdös-Rényi models
在这项工作中，我们进行计算和分析研究的Randić指数$R(G)$在Erdös-Rényi模型$G(n,p)$的特点是$n$顶点独立连接的概率$p \in (0,1)$。首先，从一个详细的缩放分析，我们表明，$\left\langle \overline{R}(G) \right\rangle = \left\langle R(G)\right\rangle/(n/2)$的规模与产品$ξ\approx np$，所以我们可以定义三个制度：一个政权的大多数孤立的顶点时$ξ< 0.01$（$R(G)\approx 0$），过渡制度的$0.01 < ξ< 10$（其中$0<R(G)< n/2$），和一个政权的几乎完全图的$ξ> 10$（$R(G)\approx n/2$）。然后，受$\left\langle \overline{R}(G) \right\rangle$标度的启发，我们解析地（i）获得了连接$R(G)$与其他拓扑指数的新关系，并刻画了相对于所获得的关系极值的图，以及（ii）应用这些结果以获得关于Erdös-Rényi模型中的图的$R(G)$的不等式。
Some New Lower Bounds for the Estrada Index
设$G$是一个以$n$为顶点的图，$λ_1,λ_2,\ldots,λ_n$是它的特征值. $G$的Estrada指数是一个不变量，它是由图的邻接矩阵的特征值计算出来的。本文给出了图的Estrada指数的一些新的下界，特别是仅依赖于顶点数、边数、Randić指数、最大度、最小度和直径的二部图的Estrada指数的下界.
Graph entropy, degree assortativity, and hierarchical structures in networks
本文研究了图熵、度 assortativity 和层次结构之间的关系，证明了最大熵图具有高度 assortativity 并且度中心性与特征向量中心性一致，同时揭示了 Randić 指数与图结构之间的联系。
On general Sombor index
我们提出的其他重要的图形参数的一般Sombor指数，概括了被遗忘的指数和Sombor指数的界限。我们还探讨了Nordhaus-Gaddum型结果的一般Sombor指数。进一步给出了广义Sombor指数与广义Randić指数、广义和连通性指数之间的关系。
Counterexamples to conjectures on graph distance measures based on topological indexes
本文证明了[M. Dehmer，F. Emmert-Streib，Y. Shi，Interrelations of graph distance measures based on topological indices，PLoS ONE 9（2014）e94985]通过提供不满足所提出的不等式的显式树类，基于拓扑指数的图距离测量。这些构造基于具有相同维纳指数、图能量或Randic指数但不同度序列的树的家族。
The minimum ABS index of trees with given number of pendent vertices
最近发展起来的原子-键和连接指数（ABS）是基于图的分子描述符连接性（Randic）、原子-键连接性和连接性指数的一个变体，本文提出了具有给定悬挂顶点数的树的最小ABS指数，解决了A.阿里岛，智-地古特曼和我。李明，单圈图的原子-键和连通性指数及其应用，电子数学杂志。（2023）1-7
Cacti with maximum Kirchhoff index
阻力距离的概念最早由Klein和Randić提出。图$G$的Kirchhoff指数$Kf(G)$是图$G$中所有顶点对之间的电阻距离之和。一个连通图$G$称为仙人掌，如果$G$的每个块是边或圈。令$Cat(n;t)$是具有$n$顶点和$t$圈的连通仙人掌的集合，其中$0\leq t \leq \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor$。本文刻画了仙人掌的最大克希霍夫指数，并给出了相应的极图。
Ordering connected graphs by their Kirchhoff indices
图$G$的Kirchhoff指数$Kf(G)$是图中所有无序顶点对之间的电阻距离之和，它是由Klein和Randić引入的。本文刻画了具有$p\leq\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$的完全图$K_n$中删除$p$边所得到的图中具有Kirchhoff指标的所有极图，并得到了这类图的Kirchhoff指标的一个精确的上界.另外，在所有$n>27$阶的连通图中，完全确定了所有具有第一到第九个最大Kirchhoff指数的图.
Extremal Kirchhoff index in polycyclic chains
图的Kirchhoff指数是由Klein和Randić于1993年提出的，它在计算机科学、复杂网络和量子化学的研究中有着广泛的应用。图$G$的Kirchhoff指数定义为$Kf(G)=\sum\limits_{\{u,v\}\subseteq V(G)}Ω_{G}(u,v)$，其中$Ω_{G}(u,v)$表示$G$中$u$和$v$之间的电阻距离。在本文中，我们确定了最大值（分别为）。最小）$k$ -多环链相对于$k\geq 5$的基尔霍夫指数，其扩展了Yang和Klein [Comparison theorem on resistance distances and Kirchhoff indicators of $S,T$ -isomers，Discrete Appl.Math.175（2014）87-93]，Yang和Sun [Minimal hexagonal chains relating to the Kirchhoff index，离散数学。345（2022）113099]，Sun和Yang [相对于Kirchhoff指数的极五边形链，Appl. Math. Comput. 437（2023）127534]和Ma [相对于Kirchhoff指数的极值八边形链，arXiv：2209.10264]。
Diminished Sombor index and its relationship with topological indices
本文研究了简单图的 Diminished Sombor 指数，利用多种经典拓扑指数为其建立了精确界，并刻画了达到等号条件的极图。
Kirchhoff index of a nested geometric graph with weighted multiple edges
本文研究了具有加权多重边的嵌套几何图序列Gn的基尔霍夫指数，推导了拉普拉斯矩阵特征多项式的递推关系，并获得Kf(Gn)的显式公式，揭示其渐近线性增长特性。
On the Vertex-Degree-Function Indices of Connected (n,m)-Graphs of Maximum Degree at Most Four
本文研究了最大度至多为4的连通图的顶点度函数指标，给出了基于图阶和规模的精确界限，确定了达到界限的图，并将多个现有指标作为特例推导。
A survey on the skew energy of oriented graphs
设$G$是一个具有邻接矩阵$A(G)$的简单无向图. $G$的能量定义为$A(G)$的所有特征值的绝对值之和，这是Gutman在20世纪70年代提出的。由于图能量在化学中有重要的应用，它引起了人们的极大关注，并得到了许多推广。斜能和类斜能是定向图的推广。设$G^σ$是$G$的有向图，其邻接矩阵为斜邻接矩阵$S(G^σ)$. $G^σ$的偏斜能量，用$\mathcal{E}_S(G^σ)$表示，定义为$S(G^σ)$的所有特征值的范数之和，这是由Adiga，Balakrishnan和So在2010年引入的。本文综述了关于定向图的斜能量的主要结果。提出了一些有待进一步研究的问题。此外，还对斜Laplacian能量和斜Randić能量等类斜能量的结果进行了综述。
The asymptotic value of graph energy for random graphs with degree-based weights
本文研究了$G_{n,p}(f)$中的加权随机图$G_p(f)$的能量，其中$ij$的每条边都带有权值$f(d_i,d_j)$，$d_v$是随机变量，是Erdös-Rényi随机图模型$G_{n,p}$的随机图$G_p$中顶点$v$的度，$f$是关于两个变量的对称实函数.假设对于某些常数$C, m>0$和$f((1+o(1))np,(1+o(1))np)=(1+o(1))f(np,np)$，有$|f(d_i,d_j)|\leq C n^m$。然后，对于$G_{n,p}(f)$中的几乎所有图$G_p(f)$，$G_p(f)$的能量是$(1+o(1))f(np,np)\frac{8}{3π}\sqrt{p(1-p)}\cdot n^{3/2},$，其中$p\in(0,1)$是任意固定的且与$n$无关.因此，利用这一篮子，我们可以得到各种化学用途的图能量的渐近值，如Randić能量，ABC能量，以及由各种基于度的化学指标得到的随机矩阵的能量。
Results on resistance distance and Kirchhoff index of graphs with generalized pockets
本文利用因子图的阻力距离和Kirchhoff指数，导出了具有广义口袋的图的阻力距离和Kirchhoff指数的封闭公式.
The (multiplicative degree-)Kirchhoff index of graphs derived from the Catersian product of $S_n$ and $K_2$
最近，Li等人[Appl. Math. Comput. 382（2020）125335]提出了由星图$S_n$和完全图$K_2$的Catersian积$S_n \times K_2$导出的图的Kirchhoff指标和乘法度-Kirchhoff指标的确定问题.在本文中，我们完全解决这个问题。也就是说，对于由$S_n \times K_2$导出的一些图，得到了Kirchhoff指标、乘法度Kirchhoff指标和生成树数的显式封闭公式.
Some New Sufficient Conditions for a Graph to be $l$-Deficient
本文利用零阶广义兰迪奇指数，给出连通图、二分图和平衡二分图满足 \(l -\)亏缺性质的充分条件，且条件不可去掉，还借此加强和推广了前人相关结果。
Asymptotic distribution of degree--based topological indices
本文研究异质Erdős-Rényi随机图中基于度的拓扑指数的渐近分布，证明其经适当变换后依分布收敛于标准正态分布，且发现广义Randić指数在τ=-1/2处存在相变。
Degree-based weighted adjacency matrices: spectra, integrality, and edge deletion effects
本文研究了基于度数的加权邻接矩阵的谱特性、整数性及边删除效应，修正了先前结果并解决了相关开放问题。
Wiener index and Harary index on pancyclic graphs
Wiener指标和Harary指标是刻画分子图的两个经典而著名的拓扑指标。最近，Yu等\cite{YYSX}利用图的边数、谱半径和无号Laplacian谱半径建立了图是泛圈图的充分条件.本文利用图的Wiener指标、Harary指标、距离谱半径和Harary谱半径，给出了图是泛圈图的几个充分条件.
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