从遍历论观点看Sarnak猜想
Sarnak's Conjecture from the Ergodic Theory Point of View
摘要：
本文是关于Sarnak猜想的综述
英文摘要：
This is a survey on Sarnak's Conjecture
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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相关论文
从遍历论观点看Chowla和Sarnak定理
The Chowla and the Sarnak conjectures from ergodic theory point of view
我们重新措辞的条件从Chowla和Sarnak命题在抽象的设置，即，为序列的号码在{-1，0，1}，并介绍了几个自然的推广。我们研究了这些性质与拓扑动力学和遍历论中其他概念之间的关系。
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Sarnak猜想--什么是新的
Sarnak's Conjecture -- what's new
综述了近七年来关于Möbius不交性的Sarnak猜想的研究结果，重点讨论了猜想的遍历论方面.
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遍历权的对数Sarnak猜想
The logarithmic Sarnak conjecture for ergodic weights
萨尔纳克的莫比乌斯不相交性猜想指出，默比乌斯函数与由零拓扑熵的拓扑动力系统产生的任何有界复数序列不相关。我们验证了一个大类的系统，其中包括所有的唯一遍历系统的熵为零，这一猜想的数学平均的变体。我们的结果的一个后果是，刘维函数具有超线性块增长。我们的证明使用不相交参数和关键成分是一个结构性的结果，自然与莫比乌斯和刘维函数的措施保持系统。我们证明了这类系统不存在无理谱，其构造块是无限步零系和Bernoulli系统。为了建立这种结构的结果，我们通过陶最近获得的一些身份与纯粹遍历性质的问题。除了主机和克拉遍历结构的结果，我们的分析是由强平稳性的概念，这是由Furstenberg和Katznelson在90年代初推出的，自然发挥了核心作用，在结构分析的措施保持系统与乘性函数。
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萨尔纳克猜想的多项式版本
A polynomial version of Sarnak's conjecture
由于El Abdalaoui，Kulaga-Przoul，Lemanczyk，De La Rue的Sarnak猜想的变化以及观察到Mobius函数对于$L^q$中的多项式逐点遍历定理是一个很好的权重（极限为零），q>1，我们引入了极小系统的Sarnak猜想的多项式版本。
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关于Kloosterman和的Chowla与Sarnak猜想
Chowla and Sarnak Conjectures for Kloosterman Sums
本研究将莫比乌斯函数领域知名的Chowla与Sarnak猜想拓展至Kloosterman和场景，提出了若干对应猜想，并证明部分情形下这些猜想可无条件成立，为Kloosterman和的数论研究提供了新结论。
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Sarnak猜想多项式化的一个反例
A counter-example for polynomial version of Sarnak's conjecture
我们构造了最小系统Sarnak猜想的多项式版本的反例，该反例利用了默比乌斯函数与沿着最小系统中实现的确定性序列的多项式的子序列是线性无缘的。我们的例子是在类Toeplitz系统，这是最小的。
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Lubotzky Phillips Sarnak遍历定理的精确收敛速度
The exact convergence rate in the ergodic theorem of Lubotzky Phillips Sarnak
当保测变换的作用群是自由的，且平均值取在由字度量定义的球面或球上时，我们计算了von Neumann型遍历定理的精确收敛速度.依靠上界的库普曼运营商推导出的频谱Lubozky，菲利普斯，Sarnak从Deligne的工作的Weil猜想，我们计算精确的收敛速度的自由群（秩$(p+1)/2$，其中$p\equiv 1\mod 4$是素数）的等距的圆形球面定义的Lipschitz四元数。我们还表明，任何有限秩自由群的自同构的环面实现了最低可能的差异，并证明了匹配的上界的收敛速度。
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Siegel零点与Sarnak猜想
Siegel Zeros and Sarnak's Conjecture
在Siegel零点存在的条件下，证明了存在一个递增的正整数序列，使得关于Liouville函数的$k$ -点相关的Chowla猜想成立.这扩展了Germán和Kátai的工作，他们在相同的假设下研究了$k=2$的情况。一个直接的推论，这是从一个众所周知的论点，由于萨纳克，是萨纳克的猜想莫比乌斯不相交举行。更准确地说，假设存在西格尔零点，存在一个自然数的子序列，对于该子序列，刘维尔函数渐近正交于任何拓扑熵为零的序列。
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Sarnak猜想沿着一个子序列暗示了Chowla猜想
Sarnak's conjecture implies the Chowla conjecture along a subsequence
证明了零熵动力系统的莫比乌斯不相交性意味着存在一个递增的正整数序列，沿着该序列，关于默比乌斯函数自相关的Chowla猜想成立.
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自动序列实现了Sarnak猜想
Automatic sequences fulfill the Sarnak conjecture
本文提出了一种处理自动序列的新方法。这种方法使我们能够证明一个莫比乌斯随机性原则的自动序列，从中我们推导出Sarnak猜想这类序列。此外，我们可以证明一个素数定理的自动序列所产生的强连接自动机的初态是固定的过渡对应于$0$。
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关于Möbius流上Sarnak定理的Veech证明
On Veech's proof of Sarnak's theorem on the Möbius flow
我们提出Veech的证明的Sarnak定理的莫比乌斯流说，有一个唯一的容许措施的莫比乌斯流。由此，我们利用Tao的对数定理证明了对数Sarnak猜想等价于对数Chowla猜想，并进一步证明了如果偶对数Sarnak猜想成立，则存在一个对数密度为1的子序列，沿着该序列Chowla猜想成立，即默比乌斯函数是拟通有的.
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秩一子移位的Sarnak猜想
Sarnak's conjecture for rank-one subshifts
利用\cite{KLR}中的技巧，我们证明了Sarnak关于两类具有无界切割参数的秩一子移位的猜想.我们考虑的第一类秩一子移位被称为{ \em几乎完全同余类}（{ \em accc}），其定义是由\cite{GS}的主要结果所激发的，这意味着，当一个秩一子移位携带唯一的非原子不变概率测度时，如果它在测量理论上同构于一个里程计，则它是accc。第二类，我们认为由Katok的地图和它的推广。
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高阶振荡序列、$d$ -环面上的仿射远端流和Sarnak猜想
Higher Order Oscillating Sequences, Affine Distal Flows on the $d$-Torus, and Sarnak's Conjecture
本文给出了高阶振荡序列的两个精确定义，并说明了这一概念在Sarnak猜想研究中的重要性。证明了对于所有$d\geq 2$，$d$阶的任意高阶振荡序列与$d$ -环面上的所有仿射远端流线性无缘.这个结果的一个结果是，任何高阶振荡序列的顺序$2$是线性无缘的所有仿射流的$2$ -环面与零拓扑熵。特别是，这重新确认Sarnak的猜想的所有仿射流的$2$ -环面与零拓扑熵和所有仿射远端流的$d$ -环面的所有$d\geq 2$。
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Hecke点等分布的遍历理论证明
Ergodic theoretic proof of equidistribution of Hecke points
我们使用的理论证明，在一般的设置，均匀分布的Hecke点的单幂流。我们遵循Burger-Sarnak的方法，并使用Mozes-Shah定理。
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对数平均Sarnak猜想中的任意缓慢衰减
Arbitrarily slow decay in the logarithmically averaged Sarnak conjecture
本文针对陶哲轩提出的对数平均Sarnak Möbius不交猜想，构造出满足猜想但$o(1)$项可任意缓慢趋于零的零熵动力系统例子，揭示了该猜想收敛速率不存在统一下界。
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多项式平均复杂度与对数Sarnak猜想
Polynomial mean complexity and Logarithmic Sarnak conjecture
本文将对数Sarnak猜想约化为具有多项式平均复杂度的$\{0,1\}$ -符号系统.通过证明对数Sarnak猜想对任何具有次线性复杂度的拓扑动力系统都成立，我们提供了$1$ -Fourier均匀性猜想的一个变体，其中频率被限制在填充维数小于1的$[0,1]$的任何子集上.
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关于与确定序列正交的算术函数
On arithmetic functions orthogonal to deterministic sequences
我们证明了Veech关于Möbius正交性的猜想与Sarnak猜想的等价性，并证明了Möbius函数的Furstenberg系统具有Kolmogorov型性质.这就产生了一个组合条件的默比乌斯函数本身这是等价于Sarnak的猜想。事实上，我们的论点仍然有效，在一个更大的范围内：我们的特点是所有有界的算术函数正交的所有拓扑系统的所有遍历措施产生系统从一个固定的示性类（零熵类是这样的一个示性类的一个例子）的特性持续在对数设置。作为推论，我们得到了对数Sarnak猜想成立的充要条件是所有遍历测度为零的动力系统都满足对数M“obius正交性.
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具有离散谱的遍历系统拓扑模型的Möbius不相交性
Möbius disjointness for topological models of ergodic systems with discrete spectrum
我们提供了一个标准，一个点满足所需的不相交条件Sarnak的莫比乌斯不相交猜想。作为一个直接应用，我们证明了该猜想对具有离散谱的遍历系统的任何拓扑模型都成立。
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由Sarnak猜想激发的振荡阶数——第二部分
Orders of Oscillation Motivated by Sarnak's Conjecture--Part II
本文延续Sarnak猜想相关研究，证明高阶振荡序列与多项式斜积及极小拟离散谱动力系统的线性不交性，并提出多重线性不交序列概念并构造实例。
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0-1 Thue-Morse型序列与Sarnak猜想
0-1 sequences of the Thue-Morse type and Sarnak's conjecture
我们表明，图像通过$z\mapsto z^m$的连续部分的动力系统的谱测度所产生的0-1序列的Thue-Morse型是成对的相互奇异的不同奇数$m\in\N$。Sarnak的猜想正交的默比乌斯函数被证明持有这样的动力系统。同样的猜想，以持有所有系统引起的定期Toeplitz序列。构造了一个Sarnak猜想失败的非正则Toeplitz序列。
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零熵非交换环道自同构序列与Sarnak猜想
Sequences from zero entropy noncommutative toral automorphisms and Sarnak Conjecture
本文研究了非交换环面自同构的Sarnak猜想的$C^*$ -代数形式。设$A_Θ$是一个非交换环面，$α_Θ$是由矩阵$S\in GL(d,\mathbb{Z})$产生的非交换环面自同构.证明了若$α_Θ$的Voiculescu-Brown熵为零，则序列$\{ρ(α_Θ^nu)\}_{n\in \mathbb{Z}}$是零密度序列与零密度序列之和，其中$u\in A_Θ$和$ρ$是$A_Θ$上的任意状态.然后根据Green和Tao的一个结果，该序列与默比乌斯函数是线性无缘的.
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将Sarnak猜想化为Toeplitz系统
Reducing the Sarnak Conjecture to Toeplitz systems
本文证明了对任意序列${\bf a}=(a_n)_{n\in \Z}\in \{1,\ldots,k\}^\mathbb{Z}$和$ε>0$，存在Toeplitz序列${\bf b}=(b_n)_{n\in \Z}\in \{1,\ldots,k\}^\mathbb{Z}$使得熵$h({\bf b})\leq 2 h({\bf a})$和$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^N|a_n-b_n|<ε$ .作为这一结果的应用，我们将Sarnak猜想化为Toeplitz系统，即如果默比乌斯函数与任何熵为零的Toeplitz序列不相交，则Sarnak猜想成立.
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几乎二次字增长序列的Sarnak猜想
Sarnak's Conjecture for Sequences of Almost Quadratic Word Growth
我们证明了对数Sarnak猜想序列的次二次字增长。特别是，我们表明，刘维函数至少有二次许多符号模式。我们推导出的主要定理从一个变种的界限之间的相关性的乘性函数和序列的次二次多的符号模式，发生的正对数密度。这使我们能够实际证明，我们的乘性函数不局部相关的序列次二次字的增长。我们还证明了一个条件的结果表明，如果$κ-1$ -傅立叶均匀猜想成立，那么刘维函数不相关序列与$O(n^{t-\varepsilon})$许多字的长度$n$其中$t = κ(κ+1)/2$。我们证明了一个变种的$1$ -傅立叶均匀性猜想的频率被限制到任何一组盒维数$< 1$。
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在Sarnak猜想的背景下重新审视里程计和Toeplitz系统
Odometers and Toeplitz systems revisited in the context of Sarnak's conjecture
虽然Sarnak猜想适用于紧群旋转（无理旋转，里程计），但我们甚至不知道它是否适用于所有的Jewett-Krieger模型。在本文中，我们证明了它，只要模型是在同一个拓扑扩展。特别是，我们重新建立（后[AKL]），经常Toeplitz系统满足Sarnak猜想，并作为另一个结果，所以做所有广义Sturmian子移位（不仅是经典Sturmian子移位）。我们还给出了一个例子，一个不规则的Toeplitz子移位，符合我们的标准。我们给出了一个里程表模型的例子，它甚至不是Toeplitz（它是弱混合的），因此不符合我们的标准。然而，对于这个例子，我们设法产生一个单独的证明Sarnak猜想。接下来，我们提供了一类Toeplitz序列失败Sarnak猜想（在弱意义上），所有这些例子都有正熵。最后，我们研究的例子Toeplitz序列从[AKL]（失败Sarnak的猜想在强意义上），并证明它有积极的熵，以及（这一证明已宣布在[AKL]）。本文可以认为是[AKL]的续篇，也填补了[D]的一些空白.
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几乎可数谱与对数Sarnak猜想
Almost Countable Spectrum and Logarithmic Sarnak Conjecture
本文通过引入几乎可数谱概念，证明了对数Sarnak猜想对一类零熵拓扑动力系统成立，涵盖Anzai斜积、悬浮流时间一映射等系统。
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算子遍历定理与莫比乌斯权重
Operator ergodic theorems with Möbius "weights"
Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem, UMR 5085 CNRS, Université de Rouen-Normandie（鲁昂诺曼底大学拉斐尔·萨勒姆数学实验室）；Department of Mathematics, Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学数学系）
本文研究了基于莫比乌斯函数的算子遍历定理，引入了算子动力学熵概念，并证明了在Sarnak猜想成立的情况下，该熵为零时收敛性成立。
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奇异谱动力系统的萨纳克莫比乌斯不交性与莫比乌斯流的分解
Sarnak's Möbius disjointness for dynamical systems with singular spectrum and dissection of Möbius flow
Univ Rouen Normandie（鲁昂诺曼底大学）；CNRS, Department of Mathematics, LMRS UMR 6085 F-76000, Rouen, France（法国国家科学研究中心，数学系，LMRS UMR 6085）
针对所有不变测度具有奇异谱的紧致度量动力系统，证明萨纳克莫比乌斯不交性猜想成立，通过建立 Chowla 猜想的特殊情形、运用 Veech 的计算及相关测度方法完成证明，还给出 Veech 相关未发表定理，由此简化证明了刘维尔函数二阶相关的数论定理。
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振荡序列、Gowers范数和Sarnak猜想
Oscillating sequences, Gowers norms and Sarnak's conjecture
证明了存在与拓扑熵为零的动力流类不正交的高阶振荡序列。进一步证明了$d$阶振荡序列与$d$ -维环面$\mathbb{T}^d$上斜积产生的$d$ -零序列正交.证明了任何高阶振荡序列都与具有拟离散谱的拓扑动力系统的任何动力序列正交。然而，我们提供了一个具有大Gowers范数高阶振荡序列的例子。利用Bourgain的双递归论证，我们进一步得到了短区间上默比乌斯函数的平均值的一个新的估计.
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二维环面的刚性与萨纳克猜想
Quantitative Rigidity of pseudo-rotations on the two-torus and Sarnak's conjecture
College of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）；School of Mathematical Sciences and LPMC, Nankai University（南开大学数学科学学院）
该研究针对二维环面的伪旋转，通过定量自由圆盘估计建立了满足$(C,\delta)$偏差条件的不同类型伪旋转的刚性结果，进而证明这些类均满足萨纳克猜想。
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任意数域上零序列的Sarnak猜想及其应用
Sarnak's Conjecture for nilsequences on arbitrary number fields and applications
对任意数域$K$提出了广义Sarnak的Möbius不交性猜想，并证明了$K$的整数环$\mathcal{O}_{K}$上多项式零序列$(Φ(g(n)Γ))_{n\in\mathbb{Z}^{D}}$与非周期乘法函数之间的一个定量不交性结果.这里$D=[K\colon\mathbb{Q}]$，$X=G/Γ$是一个流形，$g\colon\mathbb{Z}^{D}\to G$是一个多项式序列，而$Φ\colon X\to \mathbb{C}$是一个Lipschitz函数。证明使用的工具，从多维高阶傅立叶分析，多线性分析，轨道性质的nilmanifold，和正交准则的Kátai在$\mathcal{O}_{K}$。我们也利用这个结果的变形来导出在数论和组合学中的应用：（1）我们证明了$K$上乘法函数的一个结构定理，即每一个有界乘法函数都可以分解为一个概周期函数的和（结构部分）和具有任何次数的小Gowers一致性范数的函数（2）给出了$\mathcal{O}_{K}$中有界乘性函数的Gowers范数为零的充要条件;（3）给出了$K$上一大类三元齐次方程的划分正则性结果.例如，对于$a,b\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}$，我们证明了对于每个$\mathcal{O}_{K}$划分为多个细胞，其中$K=\mathbb{Q}(\sqrt{a},\sqrt{b},\sq…
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默比乌斯函数和随机莫比乌斯模型的谱性质
Spectral properties of the Möbius function and a random Möbius model
假设Sarnak猜想对任何奇异动力过程成立，我们证明了默比乌斯函数的谱测度等价于勒贝格测度.相反，在Elliott猜想下，我们建立了默比乌斯函数与任何具有奇异谱的唯一遍历动力系统正交.进一步，利用Mirsky定理，我们得到了关于默比乌斯函数的平方关于任意弱混合动力系统的正交性的Cellarosi-Sinai定理的一个新的简单证明.最后，我们建立了一个特殊的随机模型的Sarnak猜想。
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三个区间上区间交换变换的Mobius不交性
Mobius disjointness for interval exchange transformations on three intervals
我们表明，Sarnak的猜想莫比乌斯不相交持有的区间交换变换的三个区间（3-Istanus），满足一个温和的丢番图条件。
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揭示动力学中的普遍性、封闭性和正交性
Unveiling universality, encloseness, and orthogonality in dynamics
本文研究了拓扑系统中度量保持自同构特征类的正交性，发现强正交性下所有拓扑系统均满足正交性，并探讨了通用ergodic扩展的存在性及应用。
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Hecke本征形的质量等分布
Mass equidistribution for Hecke eigenforms
证明了Rudnick和Sarnak关于Hecke本征形质量等分布的一个猜想。这建立在作者的独立工作之上，参见arxiv.org：math/0809.1640和arxiv.org：math/0809.1635。
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解析拟周期薛定谔上循环的定量几乎约化与Möbius不交性
Quantitative almost reducibility and Möbius disjointness for analytic quasiperiodic Schrodinger cocycles
Sarnak的莫比乌斯不相交猜想指出，默比乌斯函数与任何零熵动力学都不相交。证明了Möbius不相交性猜想对几乎可约的单频解析拟周期上圈成立，将\cite{LS15,W17}推广到非对易情形.证明依赖于几乎可约化的定量形式。
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替换和莫比乌斯不相交性
Substitutions and Möbius disjointness
我们证明了关于Möbius不交性的Sarnak猜想对双射代换和其他类似的动力系统，例如\由Rudin-Shapiro型序列生成的那些。
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可见格点的遍历性质
Ergodic properties of visible lattice points
最近，无平方整数、可见格点和各种推广的动力学和谱性质受到越来越多的关注。一个原因是连接的一维例子，如$\mathscr B$ -免费的号码与Sarnak的猜想“随机性”的默比乌斯函数，另一个明确的可计算性的相关函数以及本征函数为这些系统连同内在的遍历性质。在这里，我们总结了一些结果，重点是光谱和动力学方面，并扩大了一点数学衍射理论的影响。
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莫比乌斯不相交猜想中的慢衰变
Arbitrarily slow decay in the Möbius disjointness conjecture
Sarnak的莫比乌斯不相交猜想断言，对于任何零熵动力系统$(X,T)$，对每个$f\in \mathcal{C}(X)$和每个$x\in X$都有$\frac{1}{N} \sum_{n=1} ^N f(T^n x) μ(n)= o(1)$。我们构造的例子表明，这个$o(1)$可以任意缓慢地归零。事实上，我们的方法产生了一个更一般的结果，其中代替$μ(n)$，可以放置任何有界序列，使得相应的绝对值序列的Cesàro均值不趋于零。
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Liouville系统的遍历性蕴含着Chowla猜想
Ergodicity of the Liouville system implies the Chowla conjecture
Chowla猜想断言，刘维尔函数的值形成一个正和负的正常序列。重新解释语言的遍历论它断言，刘维函数是通用的伯努利措施的空间序列的价值加或减一。我们表明，这些声明所隐含的弱得多的假设，刘维尔函数是通用的遍历措施。我们也给这个结果的变种有关的猜想艾略特的相关性的乘性函数的值在单位圆。我们的论点有一个遍历的味道，并结合了最近的结果在解析数论，有限和无穷分解的结果，涉及均匀性的equidistribution结果和定性的nilmanifold。
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具有拟离散谱、乘性函数和短区间平均正交性的自同构
Automorphisms with quasi-discrete spectrum, multiplicative functions and average orthogonality along short intervals
证明了关于Möbius不相交性的Sarnak猜想在拟离散谱自同构的每个唯一遍历模型中成立.该结果的结果是，对于每个具有无理前导系数的非常数多项式$P\in\R[x]$和对于每个乘性函数$\bnu:\N\to\C$、$|\bnu|\leq1$，我们有\[ \frac{1}{M} \sum\_{M\le m\textless{}2M} \frac{1}{H} \left| \sum\_{m\le n \textless{} m+H} e^{2πiP(n)}\bnu(n) \right|\longrightarrow 0 \]作为$M\to\infty$、$H\to\infty$、$H/M\to 0$。
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落球系统遍历猜想的条件证明
Conditional Proof of the Ergodic Conjecture for Falling Ball Systems
本文给出了一维理想弹性球在常重力加速度作用下沿射线直线下落系统的Wojtkowski遍历性猜想的一个条件证明。也就是说，我们证明了几乎每一个这样的系统是（完全双曲和）遍历，通过假设不同的奇点之间的横截性和稳定（不稳定）的不变流形之间的奇点。
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非常规遍历渐近解的发散率
Rates of Divergence of non-Conventional Ergodic Averages
本文研究遍历和沿时间序列（a_n）的增长率：S_N f（x）=f（T^{a_1}x）+. + f（T^{a_N}x）.我们描述了这些遍历和的最大增长率，并确定了一些序列，如（2^n），实现这种增长率。我们还回到Khintchine的强均匀分布猜想，该猜想指出平均值（1/N）（f（x）+f（2x mod 1）+.+ f（Nx mod 1））对[0，1）上的可积函数几乎处处逐点收敛到\int f.我们给出了这个猜想的一个初等反例，证明发散以最大速率发生。此外，我们考虑版本的欣钦猜想，其中的序列的正整数被取代的增加枚举的一个子半群的正整数。给出了修正猜想中半群收敛的充要条件。
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关于SU(2)中对数谱间隙猜想的论文
A zero-one law for the spectral gap property of pairs in SU(2)
Mathematics Institute and DIMAP, University of Warwick（华威大学数学研究所和DIMAP）；Graduate School of Mathematical Sciences, the University of Tokyo（东京大学大学院数理科学研究科）
本文证实了SU(2)中n=2时的零一定律，解决了谱间隙猜想的部分问题，并指出该结果的巴依尔范畴类比。
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一类三区间交换映射的豪斯多夫维数
Hausdorff dimension of a class of three-interval exchange maps
在\cite{B}中，Bourgain证明了Sarnak的不相交性猜想对某类三区间交换映射成立。本文对Bourgain的丢番图条件作了一些改进，并对证明中的常数作了估计。我们进一步证明了新的参数集具有正的但不是全豪斯多夫维数。特别是，这意味着这个集合的勒贝格测度为零。
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动力学中的刚性性与Möbius不相交性
Rigidity in dynamics and Möbius disjointness
本文证明若动力系统的所有不变测度满足特定刚性条件，则Sarnak猜想成立，并推广至可数个遍历测度情形，覆盖区间交换映射、环面斜积与流等新案例，改进多项早期结果。
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Pisot猜想与Rauzy分形
Pisot conjecture and Rauzy fractals
本文证明了遍历理论中关于不可约Pisot替换生成循环序列的Pisot猜想。
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论 Unique Games 中遍历动力学的涌现
On the Emergence of Ergodic Dynamics in Unique Games
本文提出一种基于动力系统的新方法研究 Unique Games Conjecture，通过构建平衡点对应解的动力系统并分析其遍历动力学，数值重现了难度图，结果表明 UGC 很可能成立。
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