算子遍历定理与莫比乌斯权重
Operator ergodic theorems with Möbius "weights"
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本文研究了基于莫比乌斯函数的算子遍历定理，引入了算子动力学熵概念，并证明了在Sarnak猜想成立的情况下，该熵为零时收敛性成立。
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受拓扑动力学中莫比乌斯函数μ的猜想启发，我们研究了在Banach空间E上幂有界的算子T，考虑弱收敛$$ (*) \qquad \qquad \frac1N\sum_{n=1}^N μ(n)T^nv \to 0 \text{ weakly } \forall v\in E. $$ 为此，我们引入了一个算子的动力学熵概念，记为$h^*_{top}(T)$，并证明如果Sarnak猜想成立，则$h^*_{top}(T)=0$意味着所需的收敛(*)成立。我们得出Sarnak猜想的一个等价算子形式。对于若干类算子，我们证明(*)成立，并且$h^*_{top}(T)=0$。
英文摘要
Motivated by Sarnak's conjecture in topological dynamics for the Möbius function $μ$, we study, for a power-bounded $T$ on a Banach space $E$, the weak convergence $$ (*) \qquad \qquad \frac1N\sum_{n=1}^N μ(n)T^nv \to 0 \text{ weakly } \forall v\in E. $$ For that, we introduce a notion of dynamical entropy for operators, which we denote $h^*_{top}(T)$, and show that if Sarnak's conjecture is true, then $h^*_{top}(T)=0$ implies the desired convergence (*). We conclude an equivalent operator formulation of Sarnak's conjecture. For several classes of operators we prove that (*) holds, and that $h^*_{top}(T)=0$.
