Transport equations with nonlocal diffusion and applications to Hamilton-Jacobi equations
研究了由$s\in(1/2,1)$阶分数拉普拉斯算子驱动的具有无界成分的Fokker-Planck方程和Hamilton-Jacobi方程的正则性和先验估计.对于Fokker-Planck方程，当漂移相对于解本身具有低Lebesgue可积性时，我们建立了分数阶Aronson-Serrin插值条件下速度场和Bessel正则性的可积性估计.利用这些估计，通过Evans的非线性伴随方法，我们证明了具有无界右端和多项式梯度增长的分数阶Hamilton-Jacobi方程的弱解和强解的新的积分、超范数和Hölder估计.最后，利用这些结果，利用线性非局部偏微分方程的Calderón-Zygmund-型正则性和分数阶Gagliardo-Nirenberg不等式，我们得到了分数阶Hamilton-Jacobi方程的最优$L^q$ -正则性.
2021-01-24 math.AP
A priori estimates for general elliptic and parabolic boundary value problems over irregular domains
University of Puerto Rico at Río Piedras（波多黎各大学里奥彼德拉斯分校）
本文提出了一种统一方法，用于处理一般椭圆和抛物边值问题在不规则区域上的先验估计，涵盖多种边界条件和应用领域。
2026-02-07 math.AP
Integrability of local and nonlocal non-commutative fourth order quintic nonlinear Schrodinger equations
证明了一类广义非对易四阶五次非线性薛定谔方程的可积性。这个证明相对简洁，并且植根于波佩开创的线性化方法。它是基于解决相应的线性化偏微分系统，以产生一个进化的汉克尔运营商的“散射数据”。然后通过求解与Marchenko方程相对应的线性Fredholm方程来生成非交换非线性偏微分系统的时间演化解。用这种方法连续地证明了四阶五次非线性Schrodinger方程在Ablowitz和Musslimani意义下的逆时空和逆时间非定域形式的可积性.此外，我们实现了一个数值积分计划的基础上的分析方法，其中涉及解决线性偏微分系统，然后通过数值求解线性Fredholm方程，以产生在任何给定的时间的解决方案。
2021-07-13 math-ph math.AP math.MP
Regularity theory for nonlocal equations with VMO coefficients
证明了分数阶索伯列夫空间中具有可能间断系数的VMO型非线性非局部方程的高正则性。而对于相应的局部椭圆型方程与VMO系数，它是唯一可能获得更高的可积性，在我们的非局部设置，我们也能够证明大量的更高的可微性，使我们的结果是在某种意义上的纯粹的非局部类型。通过嵌入，我们也获得了更高的Hölder正则性的非局部方程。
2021-10-25 math.AP
Singularities of solutions of nonlocal nonlinear equations
本文研究非局部非线性方程弱解的局部奇异性，证明零容量集合在可积性条件下可去，并用基本解刻画孤立奇点附近的渐近行为。
2025-07-08 math.AP
Periodic homogenization of convolution type operators with irregular Lévy type tails
School of Mathematical Sciences, Nankai University（南开大学数学科学学院）；School of Mathematical Sciences and LPMC, Nankai University（南开大学数学科学学院与LPMC）
本文研究了具有积分可积跳跃核p的非局部卷积型算子的均质化问题，证明了非局部算子的残差收敛，并确定了对应的均质非局部算子，其与分数拉普拉斯算子具有可比性。
2026-04-22 math.AP
On the kinetic $p$-Laplace equation with nonlocal diffusion
Institut für Analysis und Numerik, Universität Münster（明斯特大学分析数值研究所）
本文研究了动能 $p$-拉普拉斯方程的两种非局部版本：一种通过差分定义的加利多型模型，另一种通过傅里叶乘法定义的贝塞尔型模型。利用临界动能轨迹，推导出适应于动能输运-扩散几何的表示公式，并建立非局部扩散的齐次和标度不变的动能加利多-尼伦伯格不等式，从而为非局部扩散的动能 $p$-拉普拉斯方程的弱解获得积分性提升估计。
2026-05-20 math.AP
Cordes-Nirenberg type results for nonlocal equations with deforming kernels
本文研究具有变形核的非局部椭圆积分微分方程，在Monge-Ampère方程凸解截面的可比条件下，通过稳定性引理和紧性方法证明了Cordes-Nirenberg型结果及解梯度的Hölder正则性估计。
2022-12-14 math.AP
Quantization for sequences of blow-up solutions to an elliptic equation having nonlocal exponential nonlinearity
本文研究了具有非局部指数非线性的椭圆方程解序列的渐进行为，通过集中-紧致性替代方案和能量量化结果揭示了解的爆破现象。
2025-12-22 math.AP
Self-improving Inequalities for bounded weak solutions to nonlocal double phase equations
证明了一类非线性非局部积分微分方程有界弱解的高Sobolev正则性。主导算子表现出非均匀增长，在两个不同的分数椭圆"相位”之间切换，这是由调制系数的零集决定的。解决方案，以提高可积性和可微性。这些结果适用于具有粗糙核和调制系数的算子。为了获得这些结果，我们采用了Kuusi，Mingione和Sire在他们的工作“Nonlocal self-improving properties”中开发的Gehring引理的特定分数版本。偏微分方程，8（1）：57- 114为特定的非线性设置在本手稿的调查。
2020-11-23 math.AP
Optimal Regularity for Fully Nonlinear Nonlocal Equations with Unbounded Source Terms
本文研究带无界源项的完全非线性非局部方程，利用逼近技术与 Liouville 型论证，依据源项的 $L^p$ 可积性建立粘性解在临界阈值下的最优正则性估计。
2024-09-05 math.AP
Sharp gradient integrability for $(s,p)$-Poisson type equations
Universität Salzburg（萨尔茨堡大学）
本文研究了(s,p)-泊松型方程的弱解局部梯度正则性，得出了最优指数q的局部W^{1,q}正则性及非局部尾项的定量估计。
2026-02-09 math.AP
A Potential Space Estimate for Solutions of Systems of Nonlocal Equations in Peridynamics
证明了线性化周期方程的非局部强耦合系统的弱解属于一个具有较高可积性的势空间。具体地说，我们显示了一个功能，测量局部分数阶导数的弱解的线性系属于$L^p$的一些$p > 2$，没有额外的假设以外的可测性和椭圆系数。这是一个非局部模拟的不等式Meyers弱解的椭圆方程组。我们还表明，在$L^p$的Marcinkiewicz型积分是在$L^p$的功能，其实属于贝塞尔潜力空间$\mathcal{L}^{p}_s$。因此，分数模拟更高的可积性的解决方案的梯度显示明确。这里的区别是，Marcinkiewicz型积分表现出从非局部模型的耦合，并不像文献中发现的其他类别的潜在的类型的积分。
2019-06-19 math.AP math.CA
The existence and nonexistence for time nonlocal evolution equations with superlinear sources
Faculty of Mathematics and Computational Science, Xiangtan University（湘潭大学数学与计算科学学院）
研究具有超线性源的时间非局部发展方程初值问题，通过从属和单调迭代方法，分析其可解行为，建立存在性与不存在性充分条件，结果与初值指标相关且有临界维数现象，还通过例子展示适用性。
2026-07-16 math.AP
Classification of solutions to an $n^{\text{th}}$ order conformally invariant elliptic equation on $\mathbb R^n$ with nonlocal nonlinearity
Southern Illinois University（南伊利诺伊大学）
研究实数域\(\mathbb{R}^n\)上由\((-\Delta)^{n/2}\)驱动、具非局部指数型Choquard非线性的共形不变椭圆问题，通过合适可积性假设对解在无穷处渐近行为分类，在能量下界等条件下给出解的明确分类。
2026-07-07 math.AP
Well-posedness of aggregation-diffusion systems with irregular kernels
本文研究了具有仅有的有界非局部相互作用势的聚集-扩散方程的适定性，在初始质量足够小或相互作用势对称且有界变差两种条件下证明了弱解的存在性，并在附加条件下证明了解的光滑性与唯一性。
2025-10-13 math.AP
Gradient self-improvement for mixed local and nonlocal parabolic equations
Institute of Natural Sciences, Nihon University（日本大学自然科学院）
针对混合局部与非局部抛物方程，提出新方法证明在非齐次项满足适当可积性条件下，弱解的梯度具有更高可积性，并给出定量估计。
2026-09-15 math.AP
Nonlinear fractional Laplacian problems with nonlocal "gradient terms"
设$Ω\subset \mathbb{R}^N$，$N \geq 2$是光滑有界区域.对于$s \in (1/2,1)$，我们考虑一个问题的形式\[ \left\{\begin{aligned} (-Δ)^s u & = μ(x)\, \mathbb{D}_s^{2}(u) + λf(x)\,, & \quad \mbox{in} Ω,\\ u & = 0\,, & \quad \mbox{in} \mathbb{R}^N \setminus Ω, \end{aligned} \right. \]其中$λ> 0$是一个真正的参数，$f$属于一个合适的Lebesgue空间，$μ\in L^{\infty}(Ω)$和$\mathbb{D}_s^2$是一个非局部的“梯度平方”项由\[ \mathbb{D}_s^2 (u) = \frac{a_{N,s}}{2}\mbox{p.v.} \int_{\mathbb{R}^N} \frac{|u(x)-u(y)|^2}{|x-y|^{N+2s}} dy \,. \]取决于真正的参数$λ> 0$，我们得到的存在性和不存在性的结果。对于分数阶泊松方程，我们的存在性结果的证明依赖于尖锐的Calderón-Zygmund型正则性结果，其可积性数据较低.我们也得到了涉及不同的非局部扩散项的相关问题的存在性结果。
2018-12-02 math.AP
Obstacle problem for evolution equations involving measure data and operator corresponding to semi-Dirichlet form
本文考虑了含有测度和算子的半线性发展方程的障碍问题，其中障碍问题具有一个和两个非规则障碍，对应于半Dirichlet型.在方程右端单调且满足弱可积性条件的假设下，证明了解的存在唯一性。为了处理不规则障碍的情况，我们推广了M。皮埃尔我们也给出了一些应用程序的所谓切换问题。
2018-08-30 math.AP
Doubly nonlocal Fisher-KPP equation: Existence and properties of traveling waves
考虑$\mathbb{R}^d$上有界函数空间中具有非局部各向异性扩散和局部与非局部单稳态反应的线性组合的反应扩散方程.利用相应的半流的性质，我们证明了在扩散核指数可积的方向上存在单调行波。除其他性质外，我们证明了连续性，严格单调性和指数可积的行波轮廓。
2018-04-26 math-ph math.AP math.DS
Existence of Weak Solutions for a Nonlocal Klausmeier Model
本文在小时间区间内采用 Galerkin 方法证明了非局部 Klausmeier 模型弱解的存在性，通过引入空间导数新方程克服非局部算子导致的紧性证明难题。
2024-12-18 math.AP
Renormalized solutions of semilinear equations involving measure data and operator corresponding to Dirichlet form
本文将重整化解的概念推广到含有一般（可能是非局部）正则Dirichlet型算子和右侧光滑测度的半线性椭圆型和抛物型方程.证明了在数据的弱可积性假设下，拟连续函数$u$是椭圆（或抛物）方程在我们定义意义下的重整化解当且仅当$u$是它的概率解，即$u$可以用适当的非线性Feynman-Kac公式表示.这特别意味着，对于广泛的本地和非本地半线性方程存在唯一的重整化解。
2015-07-23 math.AP
Fractional semilinear heat equations with singular and nondecaying initial data
在一致局部$L^p$空间中，研究了具有较一般增长非线性项的分数阶半线性热方程的局部时间积分解的存在性和不存在性的可积性条件.我们关于这一问题的主要结果包括定理1.4，1.6，5.1和5.3。我们引入了一个新的超解，它起着至关重要的作用。我们的方法不依赖于变量的变量变换，因此它可以应用于广泛的一类非局部抛物型方程。特别地，当非线性项是$u^p$或$e^u$时，可以在临界情况下构造局部时间解，并且对存在性和不存在性的可积性条件进行完全分类。我们的分析是基于比较原理，Jensen不等式和$L^p$ - $L^q$型估计.
2020-01-22 math.AP
A fractional Korn-type inequality
我们证明了一类向量场空间的半范数包含“方向”差分量的大小，这类空间实际上等价于分数索伯列夫空间。这个等价性可以看作是分式索伯列夫空间的Korn型刻画。我们使用的结果，以更好地理解的能量空间的强耦合系统的非局部方程相关的非局部连续模型通过周波。此外，等价性允许我们应用经典的空间嵌入来证明非局部系统的弱解具有改进的可微性和改进的可积性。
2018-08-06 math.AP math.CA math.FA
Parabolic equations with unbounded lower-order coefficients in Sobolev spaces with mixed norms
证明了具有全低阶项的散度型抛物型方程的Lp，q-可解性.系数和非齐次项属于具有最低可积性条件的混合Lebesgue空间。特别地，低阶项的系数不一定有界。本文研究了非正则区域上的Dirichlet和余法向导数边值问题。我们还证明了嵌入结果的抛物索伯列夫空间，证明是独立的利益。
2022-03-01 math.AP
Fujita Phenomenon for a Mixed Local-Nonlocal Hardy-Hénon Equation with Regularly Varying Time Weights
Université de Tunis El Manar, Faculté des Sciences de Tunis（突尼斯艾曼大学，突尼斯科学学院）；Imam Abdulrahman Bin Faisal University（伊玛目阿卜杜勒拉赫曼·本·费萨尔大学）
研究了一类混合局部-非局部扩散算子驱动的半线性抛物型方程的Cauchy问题，探讨了临界Fujita指数下的有限时间爆破和全局存在性条件，并首次分析了非线性扩散方程在具有此类时间依赖系数下的爆破现象。
2026-05-12 math.AP
Isothermalization for a Non-local Heat Equation
本文研究了非均匀介质中非局部热方程$$ρ(x)u_t=J\ast u-u \text{in}\mathbb{R}^N\times (0,\infty)\,,$$的渐近性态，其中$ρ$是连续正函数，$u$是非负的，$J$是具有有限二阶动量的概率测度。根据初始数据$u_0$和$ρ$的可积性条件，我们证明了各种等温结果，即$u(t)$收敛到一个恒定的状态在整个空间。
2011-12-05 math.AP
Fattening and nonfattening phenomena for planar nonlocal curvature flows
根据平面曲线的非局部曲率，讨论了曲线演化过程中的胖化现象。更确切地说，我们考虑一类广义曲率对应于一阶变分的适当的非局部周边泛函，定义在相互作用内核$K$，这是对称的，非负的，可能奇异的原点，并满足适当的可积性条件。证明了从具有正$K$ -曲率的正则集出发的几何演化的唯一性的一般结果，并讨论了从十字形出发的演化的增肥现象，表明这种现象对相互作用的强度非常敏感.事实上，我们表明，增肥的交叉发生的内核具有足够大的质量附近的原点，而对于内核是足够弱的原点附近，这样的增肥现象不会发生。在分数中曲率流的情况下，我们还提供了一些进一步的结果，表明严格星形集有一个独特的几何演化。此外，我们展示了两个说明性的例子，封闭的非正则曲线，第一个与Lipschitz型奇异性和第二个尖点型奇异性，由两个相切的圆半径相等，其演变发展肥壮在第一种情况下，并在第二个唯一定义，从而remarking高灵敏度的肥壮现象的规律性的初始数据。后一个例子与（局部）曲率流的经典情况形成了鲜明的对比，在经典情况下，两个相切的圆总是会变胖。作为一个副产品，我们的分析，我们也提供了一个简单的事实证明，交叉不是一个$K$ -最小集的非局部周边功能相关的$K$。
2018-07-04 math.AP
Global stability of Minkowski spacetime for a causal nonlocal gravity model
Universidad de Buenos Aires（布宜诺斯艾利斯大学）
该研究在3+1维中建立因果信息非局部引力模型CETOmega的小数据全局存在性和衰减性，通过谐波坐标下得到准线性双曲方程组，并证明了非局部算子的衰减性、能量界及衰减率，同时讨论了非局部记忆效应带来的修正散射现象。
2026-03-15 math.AP
Inverse scattering transform for the integrable nonlocal Lakshmanan-Porsezian-Daniel equation
本文引入了一个广义非局部Lakshmanan-Porsezian-Daniel（LPD）方程，并建立了它作为一个无穷维Hamilton动力系统的可积性.受Ablowitz和Musslimani（2016 Nonlinearity 29 915）思想的启发，我们成功地推导出了非局域LPD方程的逆散射变换（IST）。首先构造了该方程的直接散射问题，讨论了本征函数和散射数据的一些重要对称性。利用一种新的左右Riemann-Hilbert（RH）问题，分析了逆散射问题，并恢复了势函数。通过引入无反射情形的特殊条件，成功地导出了该方程的时间周期孤子解公式。以$J=\overline{J}=1,2,3$和$4$为例，我们得到了一些有趣的现象，如呼吸子型孤子、弧型孤子、三孤子和四孤子。通过图解分析，进一步考虑了参数$δ$对这些解的影响.最后，在几种特殊的初始条件下，研究了本征值和守恒量。
2020-05-08 math-ph math.AP math.MP
Long-term behavior of reaction-diffusion equations with nonlocal boundary conditions on rough domains
研究了非光滑区域上半线性反应扩散方程解的有限维整体吸引子和指数吸引子的长期行为，该方程具有非局部Robin边界条件，其特征在于边界上存在分数阶扩散.我们的结果是一般的字符，并适用于一大类不规则域，包括域的边界是持有人连续和域具有分形几何。除了恢复大多数现有的结果存在性，正则性，唯一性，稳定性，吸引子存在性，和尺寸，为著名的反应扩散方程在光滑区域，我们开发的框架也使得可能的一些新的结果，所有的扩散模型在其他非光滑设置。
2015-03-19 math-ph math.AP math.DS
Irregular double-phase evolution problem: existence and global regularity
本文研究非正则双相演化方程齐次 Dirichlet 问题，在系数不可微且满足特定可积性条件下，通过正则化问题经典解的极限证明了解的存在性，并得到初始时间可积性保持、全局更高可积性及二阶正则性。
2025-07-07 math.AP
Well-posedness of stochastic time-nonlocal telegraph equations with Hölder diffusion coefficient: hereditary phase-space lifting and novel generalized coupling method
Faculty of Mathematics and Computational Science, Xiangtan University（湘潭大学数学与计算科学学院）；Académico Instituto de Ciencias de la Ingeniería, Universidad de O’Higgins（奥希金斯大学工程科学研究所）；Faculty of Information Technology, Macau University of Science and Technology（澳门科技大学信息科技学院）
本文针对具有Hölder扩散系数的随机时间非局部电报方程，通过遗传相空间提升框架与新型广义耦合方法，首次证明其弱解的存在性与律唯一性，还将该框架拓展至低正则性非线性项的处理。
2026-08-12 math.AP
Large mass minimizers for isoperimetric problems with integrable nonlocal potentials
本文研究了由伽莫夫液滴模型导出的体积约束极小化问题，其中包含了周长项和排斥非定域势的竞争.我们考虑了一大类势，由在$\mathbb{R}^n$上可积的一般径向非负核给出，如Bessel势，并研究了大质量问题的行为（即，卷）。与小质量的情况相反，非局部项与周长相比变得可以忽略不计，而这里的非局部项与周长相比爆炸了。然而，利用这些核的可积性，我们将问题重写为经典周长和非局部周长之间的差的最小化，随着质量趋于无穷大，它收敛于经典周长的倍数。重整到一个固定的体积，我们表明，如果内核的第一时刻小于一个明确的阈值，这个问题承认极小的任意大的质量，这与通常情况下的里斯位势。此外，我们证明了，任何序列的极小收敛到球的质量趋于无穷大。最后，我们研究了球的稳定性，并表明我们的阈值上的核的第一时刻是尖锐的，在这个意义上，大球从稳定到不稳定。一个直接后果的不稳定性大球以上的这个阈值是，存在非平凡的紧支撑的内核的问题承认极小不是球，也就是说，对称性破缺发生。
2021-05-03 math-ph math.AP math.MP
Robust numerical methods for nonlocal (and local) equations of porous medium type. Part I: Theory
我们发展了一个统一的和易于使用的框架来研究非线性退化扩散方程$$ \partial_t u-\mathfrak{L}^{σ,μ}[φ(u)]=f \quad\quad\text{in}\quad\quad \mathbb{R}^N\times(0,T), $$的鲁棒全离散数值方法，其中$\mathfrak{L}^{σ,μ}$是一般的Lévy型对称扩散算子，而$φ$仅仅是连续的和非减的.然后，我们用这个理论来证明收敛许多不同的数值方案。在非局部情形下，大多数结果都是全新的。我们的理论涵盖了强退化Stefan问题，全范围的多孔介质方程，并首次为非局部问题，也快速扩散方程。扩散算子$\mathfrak{L}^{σ,μ}$的示例是用于$α\in(0,2)$的（分数）拉普拉斯算子$Δ$和$-(-Δ)^{\frac\alpha2}$、离散算子和组合。利用单调有限差分算子是非局部Lévy算子这一事实，对局部和非局部，线性和非线性扩散方程给出了一个统一的紧致的{ \em nonlocal}理论.该理论包括稳定性，紧凑性和收敛性的方法在最小的假设-包括假设，导致非常不规则的解决方案。作为副产品，我们证明了新的和一般的存在性结果宣布在\cite{DTEnJa17b}。我们还提出了一些数值测试，但广泛的测试被推迟到配套文件\cite{DTEnJa18b}随着更详细的讨论，包括在我们的理论中的数值方法。
2019-06-18 cs.NA math.AP math.NA
Variable Exponent Regularity via Muckenhoupt Condition
Universität Bielefeld（比勒费尔德大学）
该研究针对p(x)-拉普拉斯方程，在不假设p的对数-Hölder连续性的情况下，利用广义Muckenhoupt条件建立弱解的正则性，为高度不规则非标准增长的微分方程分析提供了新基础。
2026-08-13 math.AP math.FA
A regularity result for the Fokker-Planck equation with non-smooth drift and diffusion
本文研究Fokker-Planck方程弱解的存在唯一性，并在非光滑漂移和扩散条件下，通过新的交换子估计证明了分布解的正则性，从而得到唯一性。
2025-01-22 math.AP
Asymptotic stability of solitary waves for the b-family of equations
本文研究了$b < -1$范围内$b$族方程中左孤立解的渐近稳定性，通过非线性Liouville性质和谱分析，首次建立了该类非可积方程中孤立波的稳定性理论。
2025-12-01 math.AP
Fractional Sobolev spaces with kernel function on compact Riemannian manifolds
本文提出了一类紧致黎曼流形上带核函数的分数阶 Sobolev 空间，证明了其可分性、自反性、完备性及嵌入结果，并利用拓扑度理论证明了涉及分数阶 $p(\cdot, \cdot)$-Laplacian 算子的非局部椭圆问题解的存在性。
2023-11-26 math.AP math.FA
Asymptotic Profiles of Nonlinear Homogeneous Evolution Equations of Gradient Flow Type
本文研究了Hilbert空间上的绝对$p$ -齐次凸泛函的梯度流，证明了它具有有限（$p<2$）或无限消亡时（$p \geq 2$）.我们给出了有限消亡时的上界，并建立了流的收敛速度。此外，我们还研究了解的次阶渐近性，证明了解的渐近轮廓是泛函的次微分算子的本征函数。为此，我们比较了一个常微分方程的解决方案，它描述了本征函数的流动下的演变。例如，我们的工作适用于局部和非局部版本的偏微分方程，如$p$ -拉普拉斯发展方程，多孔介质方程，快速扩散方程，从而推广了许多结果从文献到一个抽象的设置。我们还展示了我们的理论如何扩展到一般的齐次发展方程，这不一定是一个梯度流。在这里，我们发现了一个有趣的可积性条件的特点是否渐近配置文件是本征函数。
2020-06-10 math.AP
Hölder Regularity for Domains of Fractional Powers of Elliptic Operators with Mixed Boundary Conditions
本文研究非规则区域上椭圆型偏微分方程解在混合边界条件下的整体Hölder正则性。有两个主要结果。在第一章中，我们证明了如果一个椭圆型微分算子在负索伯列夫空间中的可积性$q > d$的实现域嵌入到一个Hölder连续函数空间中，那么这个算子的合适的分数幂的域也嵌入到这个空间中。然后，第二个主要结果确定了第一个前提确实得到了满足。证明沿着经典的技术的本地化，转换和反射，允许回落到经典的Ladyzhenskaya或Kinderlehrer的结果。我们的方法的主要特点之一是，我们不需要Lipschitz图的狄利克雷边界部分，但只有一个有趣的度量/测量理论条件的接口上的狄利克雷和诺依曼边界部分。2015年，特尔·埃尔斯特（英语：ter Elst）和艾斯伯格（英语：Elderberg）在相关的工作中提出了一个类似的条件，但现在的证明要简单得多，如果只限于空间维度4。
2022-10-07 math.AP
