Computing exact minimum cuts without knowing the graph
我们给查询有效的算法的全球最小割和s-t割问题的无权，无向图。我们的预言机模型的灵感来自于次模函数最小化问题：在查询$S \subset V$上，预言机返回$S$和$V \setminus S$之间的切割的大小。我们提供的算法计算一个确切的最小$s$ - $t$削减$G$与$\tilde{O}(n^{5/3})$查询，并计算一个确切的全球最小削减$G$只有$\tilde{O}(n)$查询（而学习的图形需要$\tildeΘ(n^2)$查询）。
2019-08-05 cs.DS
Minimum Cuts in Near-Linear Time
我们显着改善已知的时间界限解决无向图的最小割问题。我们使用的“半对偶”之间的最小切割和最大生成树包装与我们以前开发的随机抽样技术相结合。我们给出了一个随机算法，它以高概率在O（mlog^3 n）时间内找到一个m-边，n-顶点图的最小割。我们还给出了一个更简单的随机算法，找到所有的最小切割高概率在O（n^2 log n）的时间。该变体具有最佳RNC并行化。时间复杂度为O（n^2 log^3 n）。树包装方法的其他应用是新的，几乎紧边界上的近最小割图可能有一个新的数据结构，用于表示它们在一个空间有效的方式。
1998-12-08 cs.DS
Minimum Cut of Directed Planar Graphs in O(nloglogn) Time
本文给出了一个计算加权有向平面图的最小割（或等价地，最短圈）的$O(n \log \log n)$时间算法。这改进了以前最快的$O(n\log^3 n)$解决方案。有趣的是，虽然在无向平面图中，最小割和最小$st$ -割都有$O(n \log \log n)$解，但在有向平面图中，我们的结果使最小割比最小$st$ -割更快，目前需要$O(n \log n)$。
2016-11-12 cs.DS
Minimum Cut in $O(m\log^2 n)$ Time
我们给出了一个随机算法，在$O(m \log^2 n)$时间内以高概率找到无向加权$m$ -边$n$ -顶点图$G$的最小割。这是Karger自1996年以来对著名的$O(m \log^3 n)$时间算法的第一次改进。我们的主要技术贡献是一个确定性的$O(m \log n)$时间算法，给定一个生成树$T$的$G$，找到一个最小的切割$G$，2-尊重（削减两个边缘）$T$。
2020-08-03 cs.DS
The Number of Minimum $k$-Cuts: Improving the Karger-Stein Bound
给定一个边赋权图，它能有多少个最小$k$ -割？这是算法、极值组合学和图论交叉领域的一个基本问题。特别有趣的是，最著名的边界是算法的：它们源于计算最小$k$ -cut的算法。1994年，Karger和Stein得到了一个随机收缩算法，该算法可以在$O(n^{(2-o(1))k})$时间内找到最小$k$ -cut。它还可以在同一运行时间内枚举所有这样的$k$ -割，建立$O(n^{(2-o(1))k})$的相应极值界。从那时起，算法方面的最小$k$ -削减问题已经看到了很大的进展，导致一个确定性的算法的基础上的树包装结果的Thorup，它列举了所有最小$k$ -削减在相同的渐近运行时间，并给出了另一种证明的$O(n^{(2-o(1))k})$界。然而，即使是为了计算一个最小的$k$ -cut，也仍然无法超越Karger-Stein界。本文给出了一个在$O(n^{(1.981+o(1))k})$时间内枚举所有最小$k$ -割的算法，打破了枚举最小$k$ -割的算法障碍和极值障碍.为了得到我们的结果，我们结合了Karger-Stein和Thorup结果的思想，并在最小$k$ -割和极值集理论之间建立了一个新的联系。特别是，我们给出并使用更严格的界限上的大小与有界的双VC维，这可能是独立的兴趣集系统。
2019-06-02 cs.DS
Fast and Deterministic Approximations for $k$-Cut
在无向图中，$k$ -割是一组边，其移除将图至少分解为$k$连通分量。最小权重$k$ -cut可以在$O(n^{O(k)})$时间内计算，但当$k$被视为输入的一部分时，计算最小权重$k$ -cut是NP困难的[Holdschmidt and Hochbaum 1994]。对于$\operatorname{poly}(m,n,k)$时间算法，在小集合扩展假设下，最佳可能近似因子基本上为2 [Manurangsi 2017]。Saran和Vazirani [1995]表明，$(2 - 2/k)$ -近似最小权重$k$ -割可以通过$O(k)$最小割来计算，这意味着通过Karger [2000]的近似线性时间随机最小割算法的$\tilde{O}(mk)$随机运行时间。Nagamochi和Kamidoi [2007]表明，可以在$O(mn + n^2 \log n)$时间内确定性地计算最小权重$k$ -cut。这些结果引发了两个基本问题。第一个是关于随机化的作用。是否有一个确定性算法的2近似$k$切割匹配随机运行时间的$\tilde{O}(mk)$？第二个问题定性地比较了最小切割与2-近似最小$k$ -切割。2-近似$k$ -切割的计算速度能否与随机时间内的（精确）最小切割$\tilde{O}(m)$一样快？我们在这些问题上取得了进展，与一个确定性的近似算法，计算$(2 + ε)$ -最…
2018-11-18 cs.DS
Near-Optimal Minimum Cuts in Hypergraphs at Scale
针对超图最小割问题，提出可扩展算法HeiCut，通过精确归约与启发式收缩缩减规模并求解松弛BIP，在500多个真实超图上实现近优解，速度最高快五个数量级。
2025-04-30 cs.DS
Practical Fully Dynamic Minimum Cut Algorithms
我们提出了一个实用有效的算法，以保持在大型动态图的全局最小割下的边插入和删除。虽然这个问题已经有了理论上的工作，我们的算法是第一个实现的全动态算法。该算法使用的理论基础，并将其与高效和微调的实现相结合，给出了一个算法，可以保持快速更新时间的图的全局最小割。我们表明，我们的算法给出了多个数量级的加速比静态方法的边缘插入和删除。
2021-01-13 cs.DS
On the Connectivity Preserving Minimum Cut Problem
本文研究了经典最小割问题的一个推广，称为连通性保持最小割（Connectivity Preserving Minimum Cut，CPMC）问题，它寻求一个最小割来分离一对（或多对）源节点和目的节点，同时保证源节点和它的伙伴节点之间的连通性。CPMC问题是一组问题的相当强大的公式化，并且在许多其他领域中找到应用，例如网络安全、图像处理、数据采掘、模式识别和机器学习。对于这一重要问题，我们考虑了两个变体：保持连通性的最小结点割（CPMNC）和保持连通性的最小边割（CPMEC）。对于CPMNC，除非P=NP，否则它不能在αlogn内逼近，除非NP有拟多项式时间算法，否则它不能在任何poly（logn）内逼近.硬度的结果，甚至持有单位重量的图和二部图。特别地，我们证明了平面图中的CPMEC和某些特殊平面图中的CPMNC存在多项式时间解。CPMEC算法在一般图中的困难性尚待解决，但平面图中的多项式时间算法仍有重要的实际应用。
2013-09-25 cs.DS
Query Complexity of Global Minimum Cut
在这项工作中，我们解决了查询复杂性的全局最小割问题的一个图，通过设计一个随机算法来近似的最小割的大小在一个图中，该图可以通过本地查询访问，如{ \sc度}，{ \sc邻居}，和{ \sc邻接}查询。给定$ε\in (0,1)$，该算法以高概率输出满足以下$(1-ε) t \leq \hat{t} \leq (1+ε) t$的估计$\hat{t}$，其中$m$是图中的边的数目，$t$是图中的最小割的大小。我们的算法所使用的本地查询的预期数量是$\min\left\{m+n,\frac{m}{t}\right\}\mbox{poly}\left(\log n,\frac{1}ε\right)$，其中$n$是图中的顶点数。Eden和Rosenbaum证明了$Ω(m/t)$需要许多局部查询来近似图的最小割的大小。这两个结果共同解决了利用局部查询估计图的最小割的问题的查询复杂性。伊甸园和Rosenbaum的下界的基础上，我们表明，对于所有的$t \in \mathbb{N}$，$Ω(m)$本地查询需要决定是否在图中的最小切割的大小是$t$或$t-2$。此外，我们表明，对于任何$t \in \mathbb{N}$，$Ω(m)$本地查询需要找到所有的最小切割边缘，即使它是承诺的输入图有一个最小切割的大小$t$。我们的两个下界结果都是随机的，并且即使我们可以使{ \sc Random Edge}查…
2020-08-11 cs.DS
Deterministic and Exact Fully-dynamic Minimum Cut of Superpolylogarithmic Size in Subpolynomial Time
该研究提出了一种在亚多项式时间内运行的确定性全动态最小割算法，实现了超对数级大小的精确最小割，结合图稀疏化技术，提供了高效的近似最小割算法。
2025-12-15 cs.DS
Deterministic Min-cut in Poly-logarithmic Max-flows
我们给出了一个确定性的算法，找到最小（重量）削减的$n$顶点和$m$边缘使用$\text{polylog}(n)$调用任何最大流子程序的无向图。使用目前最好的确定性最大流算法，这产生的总运行时间为$\tilde O(m \cdot \min(\sqrt{m}, n^{2/3}))$的加权图，和$m^{4/3+o(1)}$的非加权（多）图。这标志着第一次改善这个问题，因为运行时间界的$\tilde O(mn)$是由几篇论文在20世纪90年代初建立。我们的全球最小切割算法得到的最小施泰纳切割算法的推论，其中最小施泰纳切割是一个最小（重量）的边缘，其删除断开至少一对顶点之间的指定的一组终端顶点。我们的确定性最小Steiner切割算法的运行时间匹配的全局最小切割算法上述。使用随机化，运行时间提高到$m^{1+o(1)}$，因为一个更快的最大流子程序;这也提高了最小Steiner切割问题的最佳已知随机化算法。我们主要的技术贡献是一种新的工具，我们称之为“隔离切割”。给定一组顶点$R$，这需要找到将每个单独的顶点$v\in R$与其余顶点$R\setminus \{v\}$分开（或隔离）的最小权重的切割。简单地说，这可以使用$|R|$最大流调用，但我们表明，只要$O(\log |R|)$足以找到隔离切割的任何一组顶点$R$。我们称之为“孤立割引理”（isolating cut lemma）。
2022-05-28 cs.DS
Shared-memory Exact Minimum Cuts
无向边权图的最小割问题要求我们将其节点集分成两个块，同时最小化割边的权和。在本文中，我们工程师已知的最快的精确算法的问题。像Padberg和Rinaldi的算法或Nagamochi、Ono和Ibaraki的算法这样的最先进的算法识别可以收缩以减小图大小的边，使得在收缩的图中保持至少一个最小切割。我们的算法通过多种技术实现了对这些算法的运行时间的改进。首先，我们使用最近开发的快速和并行的\emph{inexact}最小割算法，以获得更好的界限的问题。然后，我们使用依赖于这个界限的约简，以比以前更快地减小图的大小。我们使用改进的数据结构，以进一步提高我们的算法的运行时间。此外，我们并行的收缩例程Nagamochi，小野和茨城。总的来说，我们到达一个系统，性能优于最快的国家的最先进的求解器的\emph{exact}最小切割问题显着。
2018-08-16 cs.DS
Faster Minimum k-cut of a Simple Graph
我们考虑（精确的，最小的）$k$ -割问题：给定一个图和一个整数$k$，删除一个最小权的边集，使得剩下的图至少有$k$连通分支.这个问题是全局最小割问题的自然推广，其目标是将图分解为$k=2$部分。我们的主要结果是一个简单图上的（组合）$k$ -割算法，对于任何常数$k$，该算法都在$n^{(1+o(1))k}$时间内运行，改进了Gupta等人以前的最佳$n^{(2ω/3+o(1))k}$时间算法。[FOCS'18]和Gupta等人的以前最好的$n^{(1.981+o(1))k}$时间组合算法~ [STOC'19]。对于组合算法，该算法是最佳的$o(1)$因素，假设最近的硬度atturtures：我们表明，一个简单的减少，$k$ -即使是一个简单的图上切割是硬$(k-1)$ -集团，建立一个下界的$n^{(1-o(1))k}$为$k$ -切割。这解决了，低阶的因素，复杂的$k$ -削减一个简单的图形组合算法。
2019-10-07 cs.DS
Polynomial-time Approximation Scheme for Minimum k-cut in Planar and Minor-free Graphs
$k$ -割问题要求，给定连通图$G$和正整数$k$，找到一个最小权重的边集，其移除将$G$分割成$k$连通分量。本文给出了平面无子图的$k$ -割问题的第一个带逼近因子$2-ε$（带常数$ε> 0$）的多项式时间算法.应用更复杂的技术，我们进一步改进了我们的方法，并给出了一个多项式时间的近似计划的$k$ -切割问题的平面和小的自由图。尽管坚持不懈的努力，据我们所知，这是第一次改进的$k$ -切问题的标准逼近因子的$2$在任何主要类别的图。
2018-11-09 cs.DS
Faster Global Minimum Cut with Predictions
本文研究如何利用先前实例的预测来热启动Karger和Karger-Stein等随机边收缩算法，以加速全局最小割问题的求解，在预测良好时实现近线性时间且对错误预测具有鲁棒性。
2025-03-06 cs.DS
Faster Pseudo-Deterministic Minimum Cut
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
本文提出了一种更高效的伪确定性最小割算法，适用于加权图和动态环境，提高了算法效率并匹配现有最佳随机算法。
2026-02-22 cs.DS
A note on small cuts for a terminal
给定图$G = (V,E)$和终端$s\in V$，$s$的割$X$是包含$s$的顶点集。我们寻找在两种意义上小的切口，即，在$X$中不超过$k$顶点，并且不超过离开$X$的$t$边。通过回答Fomin等人提出的一个问题（arXiv：1304.6189），我们证明了该问题是由$k$或$t$参数化的固定参数可处理的。
2014-03-04 cs.DS
Fully Dynamic Approximate Minimum Cut in Subpolynomial Time per Operation
本文提出首个每次操作亚多项式时间的全动态近似最小割算法，核心贡献是证明在适当收缩图中仅需考虑小体积割即可实现高效维护。
2025-01-06 cs.DS
Local algorithms for the maximum flow and minimum cut in bounded-degree networks
提出一种确定性常数时间局部算法，在有界度、有界容量的多源多汇网络中构造近似最大流与最小分数割，并推广至单模随机网络及最大流最小割定理。
2023-11-02 cs.DS
Incremental Directed Minimum Cut by Dynamizing Gabow's Algorithm
University of Michigan（密歇根大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
该研究提出首个有向全局最小割增量算法，为Gabow静态算法的严格增量扩展，在总更新时间O(km log n)内可维护全局最小割或证明其值至少为k，突破了现有研究对k≤2或图为无向的限制。
2026-08-18 cs.DS
Finding Diverse Minimum s-t Cuts
本研究首次开展k-多样化最小s-t割的算法研究，针对三种多样性度量分析问题复杂度，证明前两种度量下可通过子模函数最小化在强多项式时间求解，第三种在k=3时即为NP难，部分解答了长期开放问题。
2024-09-18 cs.DS
Almost-Optimal Approximation Algorithms for Global Minimum Cut in Directed Graphs
Toyota Technological Institute at Chicago（芝加哥丰田技术学院）
本文提出了一种接近最优的全局最小割近似算法，适用于有向图中的边和顶点割问题。
2026-07-22 cs.DS
Pseudodeterministic Algorithms for Minimum Cut Problems
Max-Planck-Institut für Informatik（马克斯·普朗克 informatics 研究所）；Saarland Informatics Campus（萨尔兰 informatics 校园）；University of Cologne（科隆大学）
本文提出了一种高效的伪确定性算法，用于解决全局最小割和最小s-t割问题，并在多种计算模型中实现了该算法。
2025-12-29 cs.CC cs.DS
Computing minimum cuts in hypergraphs
我们研究超图连通性的算法和结构方面。给定一个超图$H=(V,E)$，其中有$n = |V|$，$m = |E|$和$p = \sum_{e \in E} |e|$，计算$H$中全局最小割的最佳算法对于无能力约束的情况在时间$O(np)$中运行，对于有能力约束的情况在$O(np + n^2 \log n)$时间中运行.我们展示了以下新结果。1.给定一个无容量限制的超图$H$和一个整数$k$，我们描述了一个算法，在$O(p)$时间运行，找到一个子超图$H'$的程度之和$O(kn)$，保持所有的边连通性$k$（$k$ -稀疏）。这将Nagamochi和Ibaraki的相应结果从图推广到超图。使用这种稀疏化，我们得到一个$O(p + λn^2)$时间算法计算的$H$的全球最小切割$λ$是最小的切割值。2.我们将Matula关于图的论证推广到超图，并得到了在$O(\frac{1}ε (p \log n + n \log^2 n))$时间内有容量限制的超图的全局最小割的$(2+ε)$ -逼近. 3.证明了在$O(np + n^2 \log n)$时间和$O(p)$空间中可以计算出一个有能力超图的所有全局最小割的超仙人掌表示。我们利用顶点排序的想法，以获得我们的结果。与图不同，我们观察到超图有几种不同的排序，它们产生不同的见解。
2017-05-14 cs.DS
Directed Global Minimum Cut in Almost-Linear Time
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；University of Michigan（密歇根大学）
该研究提出一种随机归约方法，通过新颖的迭代树形图采样过程，得到首个近线性时间的有向全局最小割算法，改进了此前的时间复杂度界。
2026-10-12 cs.DS
Work-Optimal Parallel Minimum Cuts for Non-Sparse Graphs
我们提出了第一个工作最优的多线程深度并行算法的最小割问题的非稀疏图。对于$m\geq n^{1+ε}$，对于任何恒定的$ε>0$，我们的算法需要$O(m \log n)$工作和$O(\log^3 n)$深度，并以高概率成功。其工作与顺序算法的最佳$O(m \log n)$运行时匹配[MN STOC 2020，GMW SOSA 2021]。这通过$O(\log^3 n)$因子改进了Geissmann和Gianinazzi [SPAA 2018]之前的最佳工作，同时匹配其算法的深度。为此，我们设计了一种高效的近似算法，并将最近的顺序算法[MN STOC 2020; GMW SOSA 2021]并行化，这些算法利用了2-尊重最小割和2维正交范围搜索之间的联系。
2021-02-18 cs.DS
Faster All-Pairs Minimum Cut: Bypassing Exact Max-Flow
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
本文提出一种新的无向图最小s,t-割算法，通过构造保最小s,t-割的稀疏化方法，在多种计算模型下实现了更高效的全部对最小割算法。
2026-04-06 cs.DS
Minimum Cuts in Directed Graphs via Partial Sparsification
本文给出了一个在$\tilde O(n\cdot \max(m^{2/3}, n))$时间内求具有$n$顶点和$m$边的边加权有向图的最小割的算法。这提高了30岁的界限$\tilde O(nm)$郝和Orlin获得这个问题。我们的主要技术是减少定向mincut问题的$\tilde O(\min(n/m^{1/3}, \sqrt{n}))$调用{ \em任何} maxflow子程序。使用最先进的maxflow算法，这将产生上述运行时间。我们的技术也产生快速{ \em近似}算法寻找最小切割有向图。对于边和顶点加权图，我们给出了$(1+ε)$ -近似算法，运行在$\tilde O(n^2 / ε^2)$时间。
2021-11-17 cs.DS
An FPT Algorithm for Diverse Minimum s-t Cuts
University of Bergen（卑尔根大学）
研究在有向加权图中寻找多样最小边s-t割的问题，给定整数k和d，判断图中是否存在k个最小s-t割满足特定条件。证明该问题以k + d为参数时是固定参数可解的，基于多样最小s-t割的新结构特性和流增强技术。
2026-07-07 cs.DS
Approximating Directed Minimum Cut and Arborescence Packing via Directed Expander Hierarchies
通过有向展开层次结构，提出近线性时间算法近似有向图中的根最小割和arborescence打包问题，实现高效的近似解。
2025-12-17 cs.DS
Faster Minimum k-Cut II: Improved Randomized and Deterministic Algorithms for Weighted Graphs
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
本文提出加权图 Minimum k-Cut 的随机化和确定性算法，时间复杂度为 k^{O(k^2)} n^{k-1}，匹配条件下界，其中 k=3 时达到 O(n^2 log^2 n) 随机时间和 O~(n^2) 确定时间。
2026-09-24 cs.DS
Minimum Cuts in Directed Graphs via $\sqrt{n}$ Max-Flows
我们给出了一个在$n$ -顶点，$m$ -边加权有向图中使用$\tilde O(\sqrt{n})$调用任何maxflow子程序来寻找mincut的算法。使用最先进的maxflow算法，这产生了在$\tilde O(m\sqrt{n} + n^2)$时间内运行的定向mincut算法。这改善了30岁的界限$\tilde O(mn)$郝和Orlin获得这个问题。
2021-04-16 cs.DS
Approximating the Weighted Minimum Label $s$-$t$ Cut Problem
在加权（最小）{ \sf Label $s$ - $t$ Cut}问题中，我们给出一个（有向或无向）图$G=(V,E)$，一个具有正标签权重$\{w_\ell\}$的标签集$L = \{\ell_1, \ell_2, \dots, \ell_q \}$，一个源$s \in V$和一个汇$t \in V$。$G$的每个边缘$e$具有来自$L$的标签$\ell(e)$。不同的边可以具有相同的标签。该问题要求找到最小权重标签子集$L'$，使得移除$L'$中具有标签的所有边缘断开$s$和$t$。未加权的{ \sf标签$s$ - $t$切割}问题（即，每个标签具有单位权重）可以在$O(n^{2/3})$内近似，其中$n$是图$G$的顶点数。然而，如何在$o(n)$内近似加权的{ \sf标签$s$ - $t$切割}问题长期以来是未知的。本文给出了带比率$O(n^{2/3})$的加权{ \sf Label $s$ - $t$ Cut}问题的一个近似算法.该算法的关键点是一个机制，解释标签的重量在边缘的长度和容量。
2020-11-12 cs.DS
Fast Approximations for Rooted Connectivity in Weighted Directed Graphs
我们考虑计算有向图中最小加权割的近似。我们考虑有根和全局最小割，边割和顶点割。对于这些问题，我们给随机蒙特卡罗算法计算$(1+ε)$ -近似最小割$\tilde{O}(n^2 / ε^2)$时间。这些结果扩展并建立在最近的工作[4]上，该工作在具有小整数容量的有向图中获得了具有相似运行时间的精确算法。
2021-04-14 cs.DS
Space Complexity of Minimum Cut Problems in Single-Pass Streams
本文研究单遍插入流中的最小割空间复杂度，提出近优空间的谱割、最小割与有效电阻流式算法，并给出随机顺序精确算法及确定性下界。
2024-12-06 cs.DS
Improved Minimum Cuts and Maximum Flows in Undirected Planar Graphs
本文研究平面图的最小割和最大流问题，包括静态和动态两种情况。首先，我们提出了一个算法，给定一个无向平面图计算任何两个给定的顶点之间的最小割在O（n log log n）的时间。其次，我们展示了如何实现相同的O（n log log n）界的问题，计算最大流在无向平面图。据我们所知，这是这两个问题的第一个算法，它打破了O（n log n）的障碍，这个障碍已经存在了超过25年。第三，我们提出了一个完全动态的算法，它能够维护平面图中最小割和最大流的信息（即，我们的算法能够在O（n^（2/3）log^3 n）时间内插入边，删除边，并回答任何一对顶点之间的最小割和最大流查询。这个结果是基于一个新的动态最短路径算法的平面图，这可能是独立的利益。我们注意到，这是第一个已知的非平凡算法的最小切割和最大流问题的动态设置。
2010-11-22 cs.DS
A Simpler Approach for Monotone Parametric Minimum Cut: Finding the Breakpoints in Order
本文提出参数广度优先搜索（PBFS）算法，通过按升序发现断点，以更简单的方式求解源-汇单调容量网络中的参数最小割问题，在多边形聚合和计算机视觉基准上比现有方法快2-3倍，并能扩展到百万顶点规模。
2024-10-21 cs.DS
Deterministic enumeration of all minimum cut-sets and $k$-cut-sets in hypergraphs for fixed $k$
考虑了给定超图中任意固定$k$的最小$k$-割集的确定性计数问题。这里的输入是具有非负超边成本的超图$G = (V, E)$。超边的子集$F$是$k$-割集，如果$G - F$中连通分支的个数至少为$k$，如果它在所有$k$-割集中具有最小代价，则它是最小$k$-割集.对于固定的$k$，我们把寻找最小$k$-割集的问题称为Hypergraph-$k$-Cut，把枚举所有最小$k$-割集的问题称为Enum-Hypergraph-$k$-Cut。Hypergraph-$k$-Cut和Enum-Hypergraph-$k$-Cut限制于图输入的特殊情况是众所周知的，可以在（随机的和确定的）多项式时间内求解。相比之下，Hypergraph-$k$-Cut的多项式时间算法只是最近才被开发出来。Hypergraph-$k$-Cut的随机多项式时间算法于2018年设计（Xu和Yu，SODA 2018）表明超图中最小$k$-割集的数量是$O(n^{2k-2})$，其中$n$是输入超图中的顶点数量，并且它们都可以在随机多项式时间内枚举，从而在随机多项式时间内求解Enum-Hypergraph-$k$-Cut。Hypergraph-$k$-Cut的确定性多项式时间算法随后在2020年被设计出来（Anatrasekaran和Chekuri，FOCS 2020），但不能保证枚举所有最小$k$-割集。在这项…
2021-10-29 cs.DM cs.DS
Fixed-parameter tractability of counting small minimum $(S,T)$-cuts
计数最小割的参数化复杂性是一个自然的问题，因为Ball和Provan证明了它的#P-完备性。对于任意无向图$G=(V,E)$及其两个不相交的顶点集$S,T$，我们设计了一个计算最小边$(S,T)$ -割的固定参数的易处理算法，该算法以最小边的大小$p$为参数.我们的算法在变换后的图实例上操作。这种变换称为引流，它揭示了至多$n=\left| V \right|$连续最小$(S,T)$ -割集$Z_i$的集合。证明了任意最小$(S,T)$ -截$X$至少包含一个截$Z_i$的边.这一观察，与门格尔定理，使我们能够建立算法计数所有最小$(S,T)$ -切割与运行时间$2^{O(p^2)}n^{O(1)}$。最初专用于计数最小切割，它可以被修改以获得最小边缘$(S,T)$ -切割的FPT采样。
2019-07-05 cs.CC cs.DS
LP Relaxation and Tree Packing for Minimum $k$-cuts
Karger使用生成树填充来推导出全局最小割问题的近线性时间随机算法以及近似最小割数的界。这是一种不同于他著名的随机收缩算法的方法。Thorup通过贪婪递归树填充为最小$k$-割问题提出了一种快速确定性算法。在本文中，我们重新讨论的性质的LP松弛$k$-削减提出的Naor和Rabani，并分析了Chekuri，Guha和Naor。我们发现，双LP产生一个树包装，当结合上界的完整性差距的LP，容易和透明的扩展Karger的分析mincut的$k$切割问题。除了简单的算法及其分析，这使我们能够提高运行时间的Thorup的算法的一个因素的$n$。我们还改进了$α$-近似$k$-割的个数的界.其次，给出了线性规划的完整性缺口为$2(1-1/n)$的简单证明。第三，我们表明，LP松弛的最佳解决方案，对于所有值的$k$，是完全由主序列的输入图的分区。这使我们能够与LP松弛的拉格朗日松弛的方法Barahona和拉维和辛哈，它也表明，理想化的递归树包装考虑Thorup给出了一个最佳的对偶解决方案的LP。这项工作产生于努力理解和简化的结果Thorup。
2018-08-17 cs.DS
On the Complexity of Forcing and Anti-Forcing Minimum Cuts
Hokkaido University（北海道大学）；Nagoya University（名古屋大学）
本文研究全局最小割和最小s–t割的强制集与反强制集计算问题，对每个变体给出多项式算法或NP完全性证明。
2026-09-29 cs.DS
Thin Trees for Near Minimum Cuts
Boston University（波士顿大学）；London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院）
本文证明了在考虑近最小割集合时，存在O(1/k)薄的生成树，解决了强细树猜想的特定情况。
2026-05-12 cs.DS
The Structure of Minimum Vertex Cuts
在本文中，我们将继续一长串的工作，表示图的切割结构。对最小割的类型进行了分类，并讨论了多个最小割之间可能存在的关系.作为这些调查的结果，我们表现出一个简单的$O(κn)$空间的数据结构，可以快速回答成对的$(κ+1)$连接查询的$κ$连接图。我们还展示了如何计算“最近的”$κ$ -切到每个顶点在近线性$\tilde{O}(m+poly(κ)n)$时间。
2021-02-12 cs.DS math.CO
Brief Announcement: Almost-Tight Approximation Distributed Algorithm for Minimum Cut
在这篇简短的论文中，我们提出了一种改进的分布式（CONGEST）网络最小割近似算法。设$λ$为最小割集。我们的算法可以在$\tilde{O}((\sqrt{n}+D)\poly(λ))$时间内精确地计算$λ$，其中$n$是网络中的节点（处理器）数量，$D$是网络直径，$\tilde{O}$隐藏了$\poly\log n$。通过标准约简，我们可以将该算法转化为一个$(1+ε)$ -近似$\tilde{O}((\sqrt{n}+D)/\poly(ε))$ -时间算法.后一结果优于Ghaffari和Kuhn的先前$(2+ε)$近似$\tilde{O}((\sqrt{n}+D)/\poly(ε))$时间算法[DISC 2013]。由于Das Sarma等人[SICOMP 2013]给出了$\tildeΩ(\sqrt{n}+D)$的下限，因此该运行时间{ \em tight}高达$\poly\log n$因子。我们的算法是Thorup的树填充定理[Combinatorica 2007]、Kutten和Peleg的树划分算法[J. Algorithms 1998]和Karger的动态规划[JACM 2000]的极其简单的组合。
2014-05-15 cs.DS
Breaking the O(mn)-Time Barrier for Vertex-Weighted Global Minimum Cut
本文针对一般加权全局最小顶点割问题，提出一种运行时间为$O(\min\{mn^{0.99+o(1)},m^{1.5+o(1)}\})$的随机算法，打破了该问题存续28年的$\tilde{O}(mn)$时间界。
2025-06-18 cs.DS
Deterministic Near-Linear Time Minimum Cut in Weighted Graphs
本文提出了首个针对加权图的确定性近线性时间最小割算法，通过构建具有 $o(1)$ 误差的稀疏聚类结构并解决多对数近似降至 $1+o(1/\log n)$ 近似的挑战，实现了对 Karger 随机算法的去随机化。
2024-01-11 cs.DS
Incremental Exact Min-Cut in Poly-logarithmic Amortized Update Time
我们提出了一个确定性的增量算法\textit{exactly}保持最小切割的大小与$\widetilde{O}(1)$摊销时间每边插入和$O(1)$查询时间。这一结果部分回答了Thorup提出的一个悬而未决的问题[Combinatorica 2007]。它也与全动态加权最小割问题的多项式条件下界形成鲜明对比。我们的算法是通过结合Kawarabayashi和Thorup [STOC 2015]的最新稀疏化技术和Henzinger [J. of Algorithm 1997]的精确增量算法获得的。我们还研究了空间有效的增量算法的最小割问题。具体地说，我们表明，存在一个${O}(n\log n/\varepsilon^2)$空间蒙特卡洛算法，可以处理流的边缘插入从一个空图，并以高概率，该算法保持$(1+\varepsilon)$ -近似的最小割。该算法具有$\widetilde{O}(1)$分摊的更新时间和恒定的查询时间。
2016-11-20 cs.DS
Finding Most Shattering Minimum Vertex Cuts of Polylogarithmic Size in Near-Linear Time
本研究提出首个近线性时间随机算法，用于列出多对数规模的碎纸机割集并找到最具破碎性的最小顶点割集，打破了保持二十余年的二次时间界，消除了顶点连通性增强问题的算法瓶颈。
2024-07-11 cs.DS
Bilu-Linial Stable Instances of Max Cut and Minimum Multiway Cut
我们研究了Bilu和Linial提出的稳定性概念。我们得到了一个精确的多项式时间算法的$γ$稳定的最大割实例与$γ\geq c\sqrt{\log n}\log\log n$的一些绝对常数$c > 0$。我们的算法是鲁棒的：它永远不会返回错误的答案;如果实例是$γ$ -稳定的，它会找到最大切割，否则，它要么找到最大切割，要么证明实例不是$γ$ -稳定的。我们证明了，没有强大的多项式时间算法的$γ$稳定的情况下，最大切割时，$γ< α_{SC}(n/2)$，其中$α_{SC}$是最佳逼近因子的非均匀需求的稀疏切割。我们的算法是基于半定规划。我们证明了最大割的标准SDP松弛（具有$\ell_2^2$三角不等式）是积分的，如果$γ\geq D_{\ell_2^2\to \ell_1}(n)$，其中$D_{\ell_2^2\to \ell_1}(n)$是每个负型$n$点度量空间嵌入到$\ell_1$中的最小失真.在消极的一面，我们表明，SDP弛豫是不完整的，当$γ< D_{\ell_2^2\to \ell_1}(n/2)$。此外，当$γ< α_{SC}(n/2)$时，对于最大割的$γ$稳定实例，不存在易处理的凸松弛。这表明用$γ=o(\sqrt{\log n})$解决$γ$稳定实例可能很困难或不可能。我们的结果显着改善以前已知的结果。最大切割的$γ$稳定实例的最佳已知算法要求$γ\geq …
2013-11-11 cs.DS
Recursive Random Contraction Revisited
在这篇文章中，我们重新回顾了Karger和Stein的递归随机收缩算法，用于寻找图中的最小割。我们的重访是由福克斯，Panigrahi，张，其中给出了一个扩展的Karger-Stein算法的超图中的最小割和最小$k$ -割。当专门用于图的情况下，该算法与原始的Karger-Stein算法有些不同。我们表明，在这种情况下，分析变得特别干净：我们可以证明，概率，一个固定的最小切割的$n$节点图中返回的算法是有界以下的$1/(2H_n-2)$，其中$H_n$是$n$次谐波数。我们还考虑其他类似的算法的变种，并表明，没有这样的算法可以实现一个渐近更好的概率找到一个固定的最小切割。
2020-10-29 cs.DS
An \(O(\log n)\)-Approximation for Three-Terminal Reachability-Preserving Minimum Edge Cut
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
针对三终端可达性保持最小边割问题，提出利用割主导分解树概率分布的多项式时间 \(O(\log n)\) 近似算法，通过扩展根树簇成辅助图并利用其结构特性及分解树割失真证明近似保证。
2026-07-23 cs.DS
A Distributed Minimum Cut Approximation Scheme
本文研究了分布式消息传递模型CONGEST模型中最小割的近似问题。最小割问题已经在集中式算法的上下文中得到了很好的研究。然而，在Ghaffari和Kuhn最近的工作之前，在分布式模型中没有已知的非平凡算法。他们给出了分别在$O(D)+\tilde{O}(n^{1/2+ε})$轮和$\tilde{O}(D+\sqrt{n})$轮中寻找大小为$O(ε^{-1}λ)$和$(2+ε)λ$的割的算法，其中$λ$是最小割的大小。这与他们提供的下限匹配，直到多对数因子。然而，还没有已知的实现$(1+ε)$近似比的方案。我们给出了一个分布式算法，发现切割的大小$(1+ε)λ$在$\tilde{O}(D+\sqrt{n})$时间，这是最佳的多对数因子。
2014-01-21 cs.DC cs.DS
Minimum Label s-t Cut has Large Integrality Gaps
给定图G=（V，E），其标号集L = {l_1，l_2，.，l_q}，其中每个边具有来自L的标签、V中的源s和V中的宿t，最小标签s-t切割问题要求挑选具有最小基数的标签的集合L'子集L，使得具有来自G的L'中的标签的所有边的移除断开s和t。这个问题来自于现实世界中的许多应用，例如信息安全和计算机网络。本文研究了最小标号s-t割的两个线性规划，证明了这两个线性规划都有大的积分间隙，即Omega（m）和Omega（m^{1/3-n}），其中m是图的边数，n> 0是任意小的常数.由于最小标号s-t割是NP-难问题，而线性规划技术是设计近似算法的主要途径，因此我们的结果对单纯依靠线性规划设计更好的最小标号s-t割近似算法的希望给出了否定的回答.
2019-08-30 cs.DS
