Convergence analysis of the time-stepping numerical methods for time-fractional nonlinear subdiffusion equations
1986年，Dixon和McKee发展了一个离散分数阶Grönwall不等式[Z. Angew.数学。机械，66（1986），pp. 535- 544]，它可以看作是经典离散Grönwall不等式的推广。然而，这种广义离散Grönwall不等式在时间分数阶发展方程的时间推进方法的数值分析中并没有得到广泛的应用.本文的主要目的是利用广义离散Grönwall不等式证明一类时间分数阶非线性亚扩散方程的时间步进数值方法的收敛性，包括流行的一阶和二阶分数阶向后差分型方法以及二阶分数阶Crank-Nicolson型方法.我们得到了空间离散下的最优$L^2$误差估计。本文还以简单的方式证明了快速时步数值方法的收敛性。
2021-04-07 cs.NA math.NA
Dirichlet-Neumann and Neumann-Neumann waveform relaxation algorithms for time fractional sub-diffusion and diffusion-wave equations
在本文中，我们研究了时间分数阶子扩散方程和扩散波方程的Dirichlet-Neumann和Neumann-Neumann波形松弛算法在规则区域上的收敛性，其中无量纲扩散系数在不同的子区域上取不同的常数值.我们首先观察到，不同的扩散系数导致不同的松弛因子的最佳收敛。使用这些最佳松弛因子，我们的分析估计缓慢的超线性收敛的时间导数的分数阶接近零时，几乎有限步收敛的阶数接近2时，和之间，超线性收敛变得更快的分数阶的增加。因此，我们成功地捕捉到了估计的收敛速度随时间导数分数阶数变化的过渡，并通过数值实验进行了验证。
2022-12-23 cs.NA math.NA
Analytical and numerical study of nonlinear Riesz-Caputo boundary value problems
Sapienza University of Rome（罗马第一大学）；University of L’Aquila（拉奎拉大学）
本文研究了涉及Riesz-Caputo算子的非线性分数边值问题，通过积分表示证明解的存在唯一性，并提出B-样条离散方法进行数值逼近，结合理论分析与实验验证其收敛性。
2026-10-27 cs.NA math.NA
Convergence analysis of a fractional time-stepping technique for incompressible fluids with microstructure
University of Tennessee（田纳西大学）
本文提出并分析了用于求解微极纳维-斯托克斯方程组的完全离散分数时间步技术，该方法解耦了线速度、角速度与压力的计算，具有无条件稳定性并提供最优收敛率。
2013-12-04 cs.NA math.NA
Local convergence of the FEM for the integral fractional Laplacian
本文研究了积分分数阶拉普拉斯算子一阶离散化的FEM局部收敛性，给出了局部$H^1$范数和局部化能量范数下的精确局部误差估计，其形式为局部最佳逼近误差与较弱范数下全局误差之和。
2022-05-30 cs.NA math.NA
Convergence analysis of the Chebyshev-Legendre spectral method for a class of Fredholm fractional integro-differential equations
Kharazmi University（卡扎维米大学）
本文提出并分析了一种用于Fredholm型分数阶积分微分方程的Chebyshev-Legendre谱近似方法，通过一些具有精确解的例子验证了该方法的正确性，并证明了近似解在L^2范数下的误差呈指数衰减。
2018-01-22 cs.NA math.NA
Convergence rates for the classical, thin and fractional elliptic obstacle problems
University of Maryland（马里兰大学）；George Mason University（乔治梅森大学）；University of Tennessee（田纳西大学）
本文研究了经典、薄壳和分数椭圆障碍问题的有限元近似，推导了解和自由边界误差估计，并基于最新正则性结果给出了最优误差分析，最后讨论了分数拉普拉斯算子的障碍问题局部化及近优收敛率证明。
2014-10-08 cs.NA math.NA
Local discontinuous Galerkin method for the fractional diffusion equation with integral fractional Laplacian
在本文中，我们提供了一个框架，设计的局部间断Galerkin格式的积分分数拉普拉斯$(-Δ)^{s}$与$s\in(0,1)$在二维。我们从理论上证明并数值验证了该格式的数值稳定性和收敛性，其收敛速度不劣于$\mathcal{O}(h^{k+\frac{1}{2}})$。
2021-01-20 cs.NA math.NA
Strong convergence rates of an exponential integrator and finite elements method for time-fractional SPDEs driven by Gaussian and non-Gaussian noises
在这篇工作中，我们提供了一般的二阶半线性随机分数阶发展方程的数值逼近的第一个强收敛结果，涉及时间上的$α\in(\frac 34, 1)$阶Caputo导数和高斯和非高斯噪声驱动的同时在具体的应用更有用。本文考虑的高斯噪声是一个希尔伯特空间值Q-Wiener过程，非高斯噪声是通过与Lévy过程相联系的补偿Poisson随机测度定义的。线性算子不一定是自伴的。分数阶随机偏微分方程在空间上用有限元法离散，在时间上用指数积分法离散。我们研究了全离散格式的均方误差估计，结果表明收敛阶如何依赖于初始数据的正则性和分数阶导数的幂。
2021-09-06 cs.NA math.NA
Exponential Convergence of hp FEM for the Integral Fractional Laplacian in Polygons
本文证明了在二维有界多边形域中，满足齐次Dirichlet边界条件的积分分数阶扩散算子的hp有限元离散化在能量范数下具有指数收敛性，其关键依赖于加权解析正则性与各向异性几何细化网格。
2022-09-23 cs.NA math.NA
Stability and Convergence analysis of a Crank-Nicolson Galerkin scheme for the fractional Korteweg-de Vries equation
针对分数阶KdV方程，提出并分析Crank-Nicolson Galerkin全离散格式，利用Kato型局部光滑效应证明其强收敛性并给出收敛速率，数值实验验证理论结果。
2023-11-11 cs.NA math.NA
Compatible $L^2$ norm convergence of variable-step L1 scheme for the time-fractional MBE mobel with slope selection
针对具有斜率选择的时间分数分子束外延（MBE）模型，研究了变步长L1格式的收敛性，在收敛-可解性-稳定性（CSS）一致的时间步长约束下，建立了变步长L1格式新的渐近相容$L^2$范数误差估计. CSS-相容条件意味着收敛所需的最大步长极限与小界面参数$ε\rightarrow 0^+$的可解性和稳定性（在某些范数下）的步长极限具有相同的阶数。据我们所知，这是第一次建立这样的误差估计的非线性子扩散问题。渐近相容收敛性意味着对于分数阶$α\rightarrow 1^-$的经典MBE模型，其误差估计与后向Euler格式的误差估计相容.正如向后Euler格式可以保持MBE方程的物理性质一样，变步长L1格式也可以保持时间分数MBE模型的相应性质，包括体积守恒、变分能量耗散律和$L^2$范数有界性。数值实验支持我们的理论结果。
2022-05-04 cs.NA math.NA
Local convergence analysis of a linearized Alikhanov scheme for the time fractional sine-Gordon equation
School of Mathematical Sciences, Ocean University of China（中国海洋大学数学科学学院）
本文提出线性化Alikhanov方案用于时间分数阶正弦-戈登方程的局部收敛性分析，证明了在H^1半范数下的收敛阶为min{2, r}，并验证了r=2时达到最优速率。
2026-01-28 cs.NA math.NA
Quasi-optimal convergence rate for an adaptive method for the integral fractional Laplacian
TU Wien（维也纳工业大学）
本文提出并分析了一种可靠的加权残差a posteriori误差估计器，用于积分分数拉普拉斯算子(-Δ)^s的离散化，针对3/4 < s < 1区域中残差缺乏L^2正则性的问题，通过引入距离网格骨架的幂作为额外权重，证明了由该误差估计器驱动的h自适应算法的最优收敛率。
2019-03-26 cs.NA math.NA
The convergence of operational Tau method for solving a class of nonlinear Fredholm fractional integro-differential equations on Legendre basis
Kharazmi University（卡扎维米大学）
本文提出基于Legendre基的运算Tau方法，利用Sobolev不等式和Banach代数性质证明该方法在L^2范数下收敛于精确解，用于求解一类非线性Fredholm分数积分微分方程。
2017-12-12 cs.NA math.NA
Optimal Strong Convergence Rate of a Backward Euler Type Scheme for the Cox--Ingersoll--Ross Model Driven by Fractional Brownian Motion
本文研究了分数阶布朗运动驱动的具有Hurst参数$H\in(1/2,1)$的Cox-Ingersoll-Ross模型的数值逼近的最优强收敛速度.为了解决扩散系数无界所带来的困难，我们研究了一个基于Lamperti变换的辅助方程。利用Malliavin微积分证明了应用于该辅助方程的后向Euler格式保证了数值解的正性，并且是强阶的。此外，得到了原模型的一个数值逼近，并以相同的阶收敛。
2019-07-09 cs.NA math.NA
Uniform convergence of multigrid finite element method for time-dependent Riesz tempered fractional problem
Lanzhou University（兰州大学）；Xiangtan University（湘潭大学）；South University of Science and Technology of China（南方科技大学）
本文提出了一种理论框架，用于时间依赖Riesz温分数问题的伽辽金有限元近似，无需分数正则性假设。通过分析分数τ-范数，严格证明了V-循环多重网格方法的均匀收敛性，其收敛率与网格尺寸h和时间步长τ无关。数值实验验证了仅需O(N log N)复杂度的收敛性。
2018-06-18 cs.NA math.NA
Convergence Analysis of PINNs for Fractional Diffusion Equations in Bounded Domains
American University of Beirut（贝鲁特美国大学）；Sun Yat-sen University（中山大学）；University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）
本文提出了一种谱定义的平滑策略，用于在有限域内解决分数扩散方程的PINNs收敛性问题，通过严谨的能量估计证明了PINN在非局部方程中的有效性。
2026-01-04 cs.NA math.NA
Exponential Convergence of $hp$-FEM for the Integral Fractional Laplacian on cuboids
Technische Universität Wien（维也纳工业大学）
本文研究了积分分数拉普拉斯算子在立方体上的$hp$-FEM收敛性，证明了在特定条件下误差界与自由度的六次根呈指数关系，并通过数值实验验证了该结论。
2026-03-13 cs.NA math.NA
Fractional-compact numerical algorithms for Riesz spatial fractional reaction-dispersion equations
School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University（天水师范学院数学与统计学院）；Department of Mathematics, Shanghai University（上海大学数学系）
本文提出高阶分数紧凑数值算法用于求解Riesz导数的分数反应-扩散方程，通过能量分析法研究算法稳定性与收敛性，并通过数值模拟验证算法效率与收敛阶。
2016-10-20 cs.NA math.NA
Stability and convergence analysis of a class of continuous piecewise polynomial approximations for time fractional differential equations
Utrecht University（乌得勒支大学）
本文提出并研究了一类用于近似时间分数微分方程的数值方法，基于连续分段多项式近似Caputo分数导数，分析了局部截断误差、全局误差及A(π/2)-稳定性，并通过数值实验验证理论结果。
2017-03-22 cs.NA math.NA
Numerical analysis of linear and nonlinear time-fractional subdiffusion equations
本文提出新型离散分数阶Grönwall不等式，分别用于分析线性及非线性时间分数阶次扩散方程的Galerkin谱方法的稳定性、收敛性与无条件收敛性。
2019-01-21 cs.NA math.NA
Two-level error estimation for the integral fractional Laplacian
对于分数阶拉普拉斯算子的奇异积分定义，我们考虑了一种由两级误差指标控制的自适应有限元法。对于该算法，我们证明了线性收敛在二维和三维空间，以及收敛的最佳代数率的算法在2D中，当最新的顶点二分法用于网格加密。
2022-09-27 cs.NA math.NA
Convergence analysis of variable steps BDF2 method for the space fractional Cahn-Hilliard model
本文针对空间分数阶Cahn-Hilliard方程提出隐式变步长BDF2格式，结合Fourier伪谱方法，在步长比限制下保持能量耗散，并严格证明收敛性、质量守恒与唯一可解性，数值实验验证精度及多时间尺度演化。
2023-06-23 cs.NA math.NA
Hölderian convergence of fractional extended nabla operator to fractional derivative
本文构造了分数扩展 nabla 运算符作为线性样条的后向差分算子的分数次幂，证明了该运算符在霍尔德空间设定下对分数导数的强收敛性，并给出了数值例子。
2019-04-15 cs.NA math.FA math.NA
On Generalisation of Isotropic Central Difference for Higher Order Approximation of Fractional Laplacian
本文讨论了将整数阶拉普拉斯算子的中心差分推广到分数阶的问题。分析表明，与以往研究的结论相反，通过快速傅里叶变换求出的差分展度阻止了分数阶拉普拉斯算子解的收敛。我们提出了一个复合求积规则，以有效地评估模板系数所需的收敛速度，以保证收敛的解决方案。此外，我们提出了使用广义高阶格子玻尔兹曼方法来生成可以近似分数拉普拉斯算子的高阶收敛速度和误差各向同性的张量。我们还回顾了制定的晶格玻尔兹曼方法，并讨论了显式稀疏的解决方案制定使用Schwarak的算法，以及方法的评价的Hermite多项式的有效生成的高阶stenosis。数值实验验证了误差分析和公式。
2022-02-13 cs.NA math.NA
Nonlinear fractional-periodic boundary value problems with Hilfer fractional derivative: existence and numerical approximations of solutions
Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）
本文研究了具有Hilfer分数导数的非线性分数-周期边值问题，通过解析方法和数值近似方法探讨了解的存在性和收敛性。
2026-01-20 cs.NA math.NA
Non-uniform $α$-Robust Alikhanov Mixed FEM with Optimal Convergence for the Time-Fractional Allen--Cahn Equation
Indian Institute of Technology Gandhinagar（印度理工学院甘地纳加尔分校）；Sultan Qaboos University（苏丹卡布斯大学）；TU Wien, Institut für Analysis und Scientific Computing（维也纳工业大学分析与科学计算研究所）
本文提出一种非均匀α-鲁棒Alikhanov混合有限元方法，用于时间分数阶Allen-Cahn方程的最优收敛性分析，并通过数值实验验证了理论结果。
2026-03-12 cs.NA math.NA
Optimal convergence for the regularized solution of the model describing the competition between super- and sub- diffusions driven by fractional Brownian sheet noise
超扩散和次扩散是自然界中两种典型的反常扩散现象.在这篇工作中，我们讨论了分数布朗片噪声驱动的超扩散和亚扩散竞争模型的数值格式。在利用Mittag-Leffler函数的性质和Wong-Zakai逼近的正则化噪声对解进行正则化的基础上，充分利用解算子的正则性，使正则化解达到最优收敛.空间算子和时间算子分别采用谱Galerkin方法和Mittag-Leffler Euler积分方法处理。特别地，通过围道积分，实现了Mittag-Leffler欧拉积分器的快速计算。我们提供了完整的误差分析，这是由数值实验验证。
2022-09-02 cs.NA math.NA
Strong convergence rate of Runge--Kutta methods and simplified step-$N$ Euler schemes for SDEs driven by fractional Brownian motions
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学数学科学学院）
本文研究了由多维分数布朗运动驱动的随机微分方程中Runge-Kutta方法和简化步-N欧拉方案的强收敛率，提出了一种通过引入'阶段值'来分析显式方案收敛率的方法，获得了简化步-N欧拉方案的最优强收敛率，并验证了理论收敛率。
2018-03-18 cs.NA math.NA
Fast method and convergence analysis of fractional magnetohydrodynamic coupled flow and heat transfer model for generalized second-grade fluid
本文首先建立了一个新的广义二阶流体分数磁流体耦合流动与传热模型。该耦合模型由分数阶动量方程和广义傅立叶定律的热传导方程组成。时间离散采用二阶分数向后差分公式，空间离散采用勒让德谱方法。证明了全离散格式的稳定性和收敛性，其精度为$O(τ^2+N^{-r})$，其中$τ$为时间步长，$N$为多项式次数.为了减少内存需求和计算成本，开发了一种快速方法，该方法基于实直线上积分的梯形法则的全局一致逼近。并证明了用这种快速方法得到的数值格式的严格收敛性。我们提出了几个数值实验的结果来验证所提出的方法的有效性。最后，模拟了广义第二类流体在多孔介质中的非定常分数磁流体流动与传热。详细分析了相关参数对速度和温度的影响。
2022-11-26 cs.NA math.NA
Arbitrary order of convergence for Riesz fractional derivative via central difference method
我们提出了一种新的方法来计算Riesz导数的有限差分模板，以提高收敛速度。该方法基于对Grünwald-Letnikov型中心差分模板应用预滤波器。该滤波器通过求解对称Vandemonde矩阵的逆矩阵并利用泰勒级数系数与快速傅里叶变换之间的关系而获得。该滤波器花费O个\left（N^{2} \right）操作来评估O个\left（h^{N} \right）收敛，其中h是采样距离。更高的收敛速度应该大于抵消开销，其中对于期望的误差容限的节点数量的要求显著降低。由于滤波的应用，Grünwald-Letnikov型差分格式的动态问题的自适应网格大小的模板系数的渐进生成的好处也被保留。通过数值实验验证了该方法具有较高的收敛速度。
2021-08-09 cs.NA math.NA
Isogeometric Collocation Method for the Fractional Laplacian in the 2D Bounded Domain
我们考虑二维分数Laplacian的分数偏微分方程的等几何分析。提出了一种等几何配置法来离散分数阶拉普拉斯算子，并将其应用于分数阶泊松问题和含时分数阶多孔介质方程。数值研究表现出单调收敛的速率为$\mathcal{O}(N^{-1})$，其中$N$是自由度。与有限元分析的比较表明，该方法具有较高的单位自由度精度和较好的收敛速度。我们证明，等几何分析提供了一个新的和有前途的计算工具，非局部问题。
2020-05-09 cs.NA math.NA
Correction of BDFk for fractional Feynman-Kac equation with Lévy flight
本文给出了分数阶Feynman-Kac方程Lévy飞行方程在起始$k-1$步的$k$ -步BDF卷积求积的修正公式。对于非光滑数据，可以达到所需的$k$阶收敛速度。基于[{ \sc Jin，Li，and Zhou}，SIAM J. Sci.计算：39（2017），A3129-A3152]，我们为校正BDF $k$方案提供了详细的收敛性分析。通过谱方法的数值实验，验证了该方法的有效性.据我们所知，这是收敛性分析的第一个证明，并数值验证了带修正BDF的空间分数发展方程$k$。
2020-07-03 cs.NA math.NA
Two families of novel second-order fractional numerical formulas and their applications to fractional differential equations
本文构造两类具有二阶精度的新型分数阶θ-方法，分别连接分数阶BDF2与梯形法则、Newton-Gregory公式，并通过修正项处理初始奇异性，验证了其A(ϑ)-稳定性与收敛性。
2019-06-05 cs.NA math.NA
Analysis of a time-stepping discontinuous Galerkin method for fractional diffusion-wave equation with nonsmooth data
分析了求解分数扩散波问题的时步间断伽辽金方法。该方法在时间离散上采用分段常数函数，在空间离散上采用连续分段线性函数。当源项为非光滑项时，建立了关于解的正则性的近最优收敛速度，并在适当的正则性假设下导出了近最优收敛速度$ \ln(1/τ)(\sqrt{\ln(1/h)} h^2+τ)$.收敛性也建立在没有光滑假设的初始值。最后，数值实验验证了理论结果。
2019-08-24 cs.NA math.NA
Stochastic Galerkin Method for Fractional Boundary Value Problems: Convergence Analysis and Numerical Treatment
Indian Institute of Technology (Banaras Hindu University)（印度理工大学（贝拿勒斯印度教大学））；Birla Institute of Technology and Science, Pilani（比拉理工学院，皮拉尼校区）；University of Greifswald（格赖夫斯瓦尔德大学）
本文针对不确定输入的两点分数阶边值问题，采用广义多项式混沌框架建立随机伽辽金公式，在最小正则性假设下证明近似收敛性，并通过数值实验验证理论结果及随机性影响。
2026-09-15 cs.NA math.NA
A numerical Bernstein splines approach for nonlinear initial value problems with Hilfer fractional derivative
Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）
本文提出了一种基于Bernstein样条的数值方法，用于高效求解含Hilfer分数导数的非线性初值问题，具有高精度和良好的收敛性。
2025-12-18 cs.NA math.NA
High-order approximation to generalized Caputo derivatives and generalized fractional advection-diffusion equations
本文考虑了一种基于三次插值公式的高阶时步格式来逼近广义Caputo分数阶导数（GCFD）。该方案的收敛阶是$(4-α)$，其中$α~(0<α<1)$是GCFD的阶。还提供了局部截断误差。然后，我们利用所发展的格式建立了求解广义分数阶对流-扩散方程Dirichlet边界条件的差分格式。进一步讨论了该差分格式的稳定性和收敛性。数值例子来检验理论索赔。数值分析了差分格式的收敛阶，时间上为$(4-α)$，空间上为二阶。
2022-10-11 cs.NA math.NA
Iterated fractional Tikhonov regularization
Università dell’Insubria（因苏布里亚大学）
本文研究了迭代分数Tikhonov正则化方法，通过改进传统Tikhonov正则化以减少过度平滑问题，提出新的迭代方法并证明其收敛性及最优阶数。
2014-12-19 cs.NA math.NA
A multigrid-reduction-in-time solver with a new two-level convergence for unsteady fractional Laplacian problems
多重网格减少时间（MGRIT）技术已被证明是成功的，在实现更高的运行时加速利用时间上的并行性。本文的目标是开发和分析一个MGRIT算法，使用FCF松弛与时间相关的时间网格传播，寻求非定常分数拉普拉斯问题的有限元近似。文[L.陈河，巴西-地H. Nochetto，E. Ot{á}rola，A. J. Salgado，Math.Comp.85（2016）2583- 2607]被选择为空间解算器。由[B]驱动。S. Southworth，SIAM J. Matrix Anal. 40（2019）564- 608]，我们提供了一个新的时间特征值近似性质，然后推导出一个广义的两级收敛理论，该理论消除了[X. Q. Yue，S. Shu，X. W. Xu，W. P. Bu，K. J. Pan，Comput.数学应用78（2019）3471- 3484]。通过数值计算证实了理论预测的正确性，并证明了收敛上界的精确性。
2021-02-09 cs.NA math.NA
Fully discrete finite difference schemes for the Fractional Korteweg-de Vries equation
本文提出并分析用于分数阶KdV方程的完全离散有限差分格式，通过离散分数阶拉普拉斯算子实现收敛性证明，并验证了Crank-Nicolson格式的守恒性与高阶收敛。
2024-03-13 cs.NA math.NA
Dirichlet-Neumann Waveform Relaxation Algorithm for Time Fractional Diffusion Equation in Heterogeneous Media
本文研究了时间分数阶子扩散和扩散波方程的Dirichlet-Neumann波形松弛算法在一维和二维正则区域上的收敛性，其中无量纲扩散系数在不同的子域上取不同的常数值.从数值实验中，我们首先捕获的最佳松弛因子。使用这些最佳的松弛因子，我们的分析估计的变化率的收敛行为对分数阶和时间。我们已经在1D \& 2D中的多个子域案例中进行了分析。
2023-01-30 cs.NA math.NA
Energy stability and convergence of variable-step L1 scheme for the time fractional Swift-Hohenberg model
建立了求解具有$α\in(0,1)$阶Caputo时间导数的时间分数阶Swift-Hohenberg（TFSH）方程的全隐式数值格式.时间离散采用变步长L1公式，空间离散采用有限差分法。利用Brouwer不动点定理证明了该数值格式的唯一可解性。借助于L1公式的离散卷积形式，证明了时间步格式保持了一个离散的能量耗散律，该耗散律与经典的能量律$α\to1^-$是渐近相容的.进一步得到了离散解的$L^\infty$范数有界性.结合全局一致性误差分析框架，严格证明了$L^2$范数收敛阶.数值算例验证了该方法的精度和能量耗散规律。特别地，自适应时间步进策略被用来有效地捕获TFSH模型的多尺度时间行为。
2023-03-07 cs.NA math.NA
Strong convergence of some Magnus-type schemes for the finite element discretization of non-autonomous parabolic SPDEs driven by additive fractional Brownian motion and Poisson random measure
针对 fBm 与 Poisson 随机测度共同驱动的非自治半线性抛物型 SPDE，提出有限元结合随机 Magnus 型或半隐式 Euler 的全离散格式，并证明其强收敛阶。
2024-09-09 cs.NA math.NA
DPG method with optimal test functions for a fractional advection diffusion equation
Clemson University（克莱姆森大学）；Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）
本文提出了一种分数对流扩散问题的超弱变分公式，并证明其适定性，基于该公式定义了具有最优测试函数的DPG近似，并展示了其近优收敛性，数值实验验证了均匀和自适应细化网格下的预期收敛特性。
2015-07-23 cs.NA math.NA
Optimal strong convergence rates of some Euler-type timestepping schemes for the finite element discretization SPDEs driven by additive fractional Brownian motion and Poisson random measure
本文研究了一类由可加分数阶布朗运动（fBm）驱动的具有Hurst参数$H>\frac 12$和Poisson随机测度的一般二阶半线性随机偏微分方程（SPDE）的数值逼近，使之更符合实际现象.据我们所知，这种SPDE的数值方案一直缺乏科学文献。在空间上采用标准有限元法，在时间上采用三种欧拉时间步长方法，即线性隐式法、指数积分法和指数Rosenbrock格式。与目前文献中仅由fBm驱动的SPDE相比，我们的线性算子不一定是自伴的，并且对于仅由fBm驱动的SPDE和由fBm和Poisson测度驱动的SPDE都达到了最优的强收敛速度.研究结果表明，对于指数积分和隐式格式（线性算子$A$自伴的隐式格式），完全离散的收敛阶数依赖于噪声和初始数据的规律性，并达到了$\mathcal{O}(h^2+Δt)$阶的最优收敛速度.数值实验来说明我们的理论结果的情况下，SPDE驱动的fBm噪声。
2019-12-29 cs.NA math.NA
Positivity and Boundedness Preserving Schemes for Space-Time Fractional Predator-Prey Reaction-Diffusion Model
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）
本文研究了非线性捕食-被捕食反应扩散模型的空间-时间分数阶导数的半隐式方案，证明了方案在L∞范数下的稳定性与收敛性，并展示了数值解保持正性和有界性。
2013-11-06 cs.NA math.NA
High-accuracy time discretization of stochastic fractional diffusion equation
讨论了在时空白噪声作用下非线性分数阶扩散方程的高精度时间离散方法。本文的主要目的是通过改进半隐式欧拉格式来提高时间收敛速度。该方程的解在时间上仅是Hölder连续的，不利于提高时间上的收敛速度。首先将系统转化为一个在时间上比原系统具有更好规律性的等价形式。但非线性项的规律性保持不变。然后，结合拉格朗日中值定理和布朗运动的独立增量，对非线性项进行了更高精度的离散，保证了所提出的时间离散格式在不损失收敛速度的前提下得以实现.我们的方案在均方$L^2$ -范数意义下可以提高从${\min\{\fracγ{2α},\frac{1}{2}\}}$到${\min\{\fracγα,1\}}$的收敛速度。理论误差估计证实了广泛的数值实验。
2021-05-01 cs.NA math.NA
Local discontinuous Galerkin method for distributed-order time and space-fractional convection-diffusion and Schrödinger type equations
Assiut University（阿斯尤特大学）
本文提出局部间断伽辽金方法用于求解分布式阶时间与空间分数阶对流扩散和薛定谔类型方程，证明了稳定性及最优收敛阶，通过数值实验验证了收敛阶。
2017-10-03 cs.NA math.NA
Double exponential quadrature for fractional diffusion
基于双指数求积公式和Riesz-Dunford谓词演算，我们提出了一种新的离散化方法来求解椭圆和抛物分数阶扩散问题.与相关方案相比，新方法提供了更快的收敛速度和更少的参数，需要调整的问题。该方案利用任何额外的光滑性的问题，而不需要先验知识来适当地调整参数。我们证明了有限正则性数据以及某些Gevrey类型类中的数据的严格收敛结果。我们证实了我们的研究结果与数值测试。
2020-12-10 cs.NA math.NA
On the rate of convergence of a numerical scheme for fractional conservation laws with noise
考虑了圆柱Wiener过程驱动的退化分数阶守恒律方程的半离散有限体积格式。利用有界变差（BV）估计、Young测度论和经典Kruzkov理论，给出了分数阶问题近似解的收敛速率估计.主要的困难来自于退化分数算子，并且需要显著偏离现有的策略来建立加藤型不等式。最后，作为这一理论的应用，我们证明了数值收敛速度。
2022-02-22 cs.NA math.AP math.NA
Super-convergence analysis on exponential integrator for stochastic heat equation driven by additive fractional Brownian motion
本文研究了一类含Hurst参数$H\in(\frac12,1)$的可加分数阶布朗运动驱动的随机热方程指数积分的强收敛阶.在适当的假设条件下，通过证明指数积分的强阶精度，给出了具有Hurst参数$H\in(\frac12,1)$的无穷维分数布朗运动驱动的随机偏微分方程全离散在时间方向上的第一个超收敛结果.证明是Malliavin演算，Skorohod积分的$L^p(Ω)$ -估计和拉普拉斯算子的平滑效应的组合。
2020-07-05 cs.NA math.NA math.PR
Exponential convergence of hp-FEM for the integral fractional Laplacian in 1D
本文证明了有界区间上积分分数阶泊松问题解的加权解析正则性，并基于该结果证明了几何边界细化网格上hp-FEM的指数收敛性。
2022-04-08 cs.NA math.AP math.NA
