分数阶边值问题的随机伽辽金方法：收敛性分析与数值处理
Stochastic Galerkin Method for Fractional Boundary Value Problems: Convergence Analysis and Numerical Treatment
- Indian Institute of Technology (Banaras Hindu University)（印度理工大学（贝拿勒斯印度教大学））
- Birla Institute of Technology and Science, Pilani（比拉理工学院，皮拉尼校区）
- University of Greifswald（格赖夫斯瓦尔德大学）
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AI总结：
本文针对不确定输入的两点分数阶边值问题，采用广义多项式混沌框架建立随机伽辽金公式，在最小正则性假设下证明近似收敛性，并通过数值实验验证理论结果及随机性影响。
AI中文摘要：
我们研究具有不确定输入数据的两点分数阶边值问题，其中随机性可能通过系数和边界条件引入。为了量化解中由此产生的不确定性，我们采用广义多项式混沌（gPC）框架，并发展该问题的随机伽辽金公式。本工作的一个特别重点是所得近似的收敛性分析。我们不对gPC表示中出现的随机系数直接施加假设，而是对输入数据引入最小正则性假设，并利用这些假设建立收敛性分析所需的性质。基于这些结果，我们证明了随机伽辽金近似收敛到相应的gPC解。我们进行了数值实验，以说明理论发现并研究随机系数和边界条件对解的统计行为的影响。
英文摘要：
We study two-point fractional boundary value problems with uncertain input data, where randomness may enter through the coefficients and boundary conditions. To quantify the resulting uncertainty in the solution, we employ the generalized polynomial chaos (gPC) framework and develop a stochastic Galerkin formulation of the problem. A particular focus of this work is the convergence analysis of the resulting approximation. Rather than imposing assumptions directly on the stochastic coefficients appearing in the gPC representation, we introduce minimal regularity assumptions on the input data and use them to establish the properties required for the convergence analysis. Based on these results, we prove the convergence of the stochastic Galerkin approximation to the corresponding gPC solution. Numerical experiments are presented to illustrate the theoretical findings and to investigate the influence of random coefficients and boundary conditions on the statistical behavior of the solution.
