General matrix transform method for the Riesz space fractional advection-dispersion equations
本文采用混合高阶差分格式-Padé逼近方法，获得Riesz分数阶对流-弥散方程的数值解.该方法分别基于分数阶中心差分和Padé近似的高阶有限差分格式进行空间和时间积分。通过理论矩阵分析讨论了该方法的稳定性分析。数值实验验证了所提方法的理论结果。
2021-05-25 cs.NA math.NA
Analytical and numerical study of nonlinear Riesz-Caputo boundary value problems
Sapienza University of Rome（罗马第一大学）；University of L’Aquila（拉奎拉大学）
本文研究了涉及Riesz-Caputo算子的非线性分数边值问题，通过积分表示证明解的存在唯一性，并提出B-样条离散方法进行数值逼近，结合理论分析与实验验证其收敛性。
2026-10-27 cs.NA math.NA
A Second-order method on graded meshes for fractional Laplacian via Riesz fractional derivative with a singular source term
针对低正则解及奇异或超奇异源项，本文在分级网格上结合网格映射与右预条件子，提出通过 Riesz 分数阶导数求解分数阶 Laplacian 的二阶数值方法并验证其理论收敛性。
2025-02-16 cs.NA math.NA
Numerical Solutions of a Boundary Value Problem for the Anomalous Diffusion Equation with the Riesz Fractional Derivative
本文针对具有Riesz-Feller分数阶导数的反常扩散方程，提出基于有限差分法的数值解法，并通过模拟示例验证了方法的有效性。
2005-06-27 cs.NA math.NA
High-order numerical methods for the Riesz space fractional advection-dispersion equations
本文提出了有限域上Riesz空间分数阶对流-弥散方程的高阶数值方法。通过分别用$α\in(0,1)$和$β\in(1,2]$阶的Riesz分数阶导数替换一阶和二阶空间导数，从标准对流弥散方程获得RSFADE。首先，利用加权移位Grünwald差分算子逼近Riesz分数阶导数，给出了求解RSFADE的{f}有限差分法.具体地，我们讨论了Crank-Nicolson计划，并解决它的矩阵形式。其次，我们证明了该格式是无条件稳定的，并以$\mathcal {O}(τ^2+h^2)$的精度收敛。第三，我们使用Richardson外推法（REM）来提高收敛阶，使其可以达到$\mathcal {O}(τ^4+h^4)$。最后通过数值算例验证了该数值方法的有效性，并与理论分析结果进行了比较。
2020-04-02 cs.NA math.NA
Spectral analysis for preconditioning of multi-dimensional Riesz fractional diffusion equations
本文分析了离散化的多维Riesz空间分数阶扩散方程的预处理矩阵的谱。利用有限差分法逼近多维Riesz分数阶导数，得到对称正定病态的多层Toeplitz矩阵.采用基于正弦变换的预条件共轭梯度法求解得到的线性系。理论上证明了预条件矩阵的谱在开区间（1/2，3/2）上一致有界，从而预条件共轭梯度法线性收敛.该方法可以推广到由分数阶零点函数生成的多级Toeplitz矩阵。我们的理论结果填补了文献中的一个空缺。数值例子来证明我们在文献中的新的理论结果，并显示所提出的预条件的收敛性能优于其他现有的预条件。
2021-02-02 cs.NA math.NA
On Comparison of Two Reliable Techniques for the Riesz Fractional Complex Ginzburg- Landau-Schrödinger Equation in Modelling Superconductivity
National Institute of Technology（国家技术学院）
本文比较了两种可靠方法用于Riesz分数阶复Ginzburg-Landau-Schrödinger方程的求解，分析了其稳定性及精度，展示了不同分数阶次下的绝对误差和L^2、L^infinity范数结果。
2018-07-21 cs.NA math.NA
Explicit fractional Laplacians and Riesz potentials of classical functions
School of Computer Science, University of Leeds（利兹大学计算机学院）；Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
本文证明并收集了分数阶拉普拉斯算子及其逆（里斯势）的显式可计算结果，\(f(x)\)有多种选择，还讨论了一些高维情况，旨在为涉及分数阶拉普拉斯算子或里斯势问题的数值方法发展提供帮助。
2026-07-16 cs.NA math.NA
High-order numerical method for two-dimensional Riesz space fractional advection-dispersion equation
将分数阶中心差分法与交替方向隐式方法相结合，提出了求解二维Riesz空间分数阶对流-弥散方程的混合差分法.该方法在空间方向采用四阶中心差分算子，在时间方向采用二阶Crank-Nicolson方法。通过对该方法的一致性和稳定性的考察，证明了该方法的收敛性。几个数值例子被认为是旨在证明所提出的技术的有效性和适用性。
2020-06-07 cs.NA math.AP math.NA
Second order finite difference approximations for the two-dimensional time-space Caputo-Riesz fractional diffusion equation
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）
本文针对二维时间-空间Caputo-Riesz分数阶扩散方程，提出隐式和显式有限差分格式，理论证明隐式格式无条件稳定，显式格式条件稳定，且空间方向二阶收敛、时间方向(2-γ)阶收敛。
2012-07-09 cs.NA math.NA
Sine-transform-based fast solvers for Riesz fractional nonlinear Schrödinger equations with attractive nonlinearities
针对带 Riesz 导数和吸引非线性的分数阶 Schrödinger 离散系统，提出结合反对称正规分裂与正弦变换预条件的快速求解器，实现无条件、无参数且与网格和分数阶无关的收敛。
2024-10-04 cs.NA math.NA
An optimal preconditioner for high-order scheme arising from multi-dimensional Riesz space fractional diffusion equations with variable coefficients
针对变系数多维Riesz空间分数阶扩散方程，提出采用CN时间离散和四阶分数阶中心差分空间离散的无条件稳定收敛格式，并结合对称多层Toeplitz类矩阵结构设计基于正弦变换的预条件子，实现共轭梯度法与网格尺寸无关的收敛速率，数值实验验证了其有效性和优越性。
2025-07-31 cs.NA math.NA
On $τ$-preconditioners for a quasi-compact difference scheme to Riesz fractional diffusion equations with variable coefficients
Hanshan Normal University（韩山师范学院）；Southwestern University of Finance and Economics（西南财经大学）；University of Insubria（因苏布里亚大学）；University of Uppsala（乌普萨拉大学）
针对变系数Riesz分数阶扩散方程离散的非对称线性系统，提出τ预条件子加速GMRES收敛，理论与数值结果验证其有效性。
2026-08-05 cs.NA math.NA
Superconvergence Points For The Spectral Interpolation Of Riesz Fractional Derivatives
Wayne State University（韦恩州立大学）；Beijing Computational Science Research Center（北京计算科学研究中心）；Department of Mathematics, Wayne State University（韦恩州立大学数学系）；School of Mathematics, Southeast University（东南大学数学学院）
本文研究了使用经典Lobatto型多项式和广义Jacobi函数对Riesz导数进行逼近时的超收敛点，分析了不同α值下的收敛率提升及超收敛性质。
2017-09-29 cs.NA math.NA
A fast second-order accurate difference schemes for time distributed-order and Riesz space fractional diffusion equations
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）
本文提出了一种快速二阶精确差分格式，用于求解一维和二维的时间分布阶和Riesz空间分数扩散方程，通过将时间分布阶分数扩散问题转化为多项式时间-空间分数扩散问题，并利用插值近似在特殊点上提出二阶精确差分格式，证明了该差分格式在$ L_2 $-范数下的无条件稳定性和收敛性，并展示了所提方法的有效性。
2018-06-27 cs.NA math.NA
Fast second-order implicit difference schemes for time distributed-order and Riesz space fractional diffusion-wave equations
本文建立了求解一类时间分布阶Riesz空间分数阶扩散波方程的快速数值方法。利用时间上的加权移位Gr $\ddot{\rm{u}}$ nwald公式和空间上的分数中心差分公式，导出了新的差分格式.分析了该差分格式的无条件稳定性和二阶收敛性。在一维情形下，利用预条件Krylov子空间方法，得到了求解对称正定Toeplitz线性系组的Gohberg-Semencul公式，该方程组由所提出的差分格式导出.在二维情形下，我们还设计了一个全局预条件共轭梯度法来求解离散化的Sylvester矩阵方程。我们证明了在这两种情况下的预处理矩阵的频谱是围绕一个集群，这样，所提出的数值方法与预条件收敛非常快。数值实验表明，所提出的差分格式的有效性和快速求解算法的性能优于其他数值方法。
2020-05-18 cs.NA math.NA
Arbitrary order of convergence for Riesz fractional derivative via central difference method
我们提出了一种新的方法来计算Riesz导数的有限差分模板，以提高收敛速度。该方法基于对Grünwald-Letnikov型中心差分模板应用预滤波器。该滤波器通过求解对称Vandemonde矩阵的逆矩阵并利用泰勒级数系数与快速傅里叶变换之间的关系而获得。该滤波器花费O个\left（N^{2} \right）操作来评估O个\left（h^{N} \right）收敛，其中h是采样距离。更高的收敛速度应该大于抵消开销，其中对于期望的误差容限的节点数量的要求显著降低。由于滤波的应用，Grünwald-Letnikov型差分格式的动态问题的自适应网格大小的模板系数的渐进生成的好处也被保留。通过数值实验验证了该方法具有较高的收敛速度。
2021-08-09 cs.NA math.NA
On the matrices in B-spline collocation methods for Riesz fractional equations and their spectral properties
在这项工作中，我们专注于分数阶微分方程的Riesz形式的多项式B样条配置方法离散。对于任意多项式次数的$p$，我们证明了所得到的系数矩阵具有Toeplitz结构。我们调查他们的频谱特性，通过他们的符号，我们证明，像二阶微分问题，也在这种情况下，给定的矩阵是病态的，在低和高频率的大$p$。更确切地说，在分数场景中，符号在$α$阶的$0$处具有单个零，其中$α$是范围从$1$到$2$的分数导数阶，并且它在$π$处呈现指数衰减到零，以增加随着$α$接近$1$而变得更快的$p$。与二阶问题相比，这转化为低频中的缓和调节和高频中的劣化。此外，符号的推导揭示了我们的问题与经典扩散问题的另一个相似之处。由于系数矩阵的元素被定义为B样条基的分数阶导数在配置点处的求值，因此我们可以将系数矩阵的中心元素表示为基数B样条的两个分数阶导数的内积。最后，我们对多项式B样条配置的逼近行为进行了数值研究。这项研究表明，在非分数扩散问题，在分数的情况下，光滑的解决方案的逼近阶为$p+2-α$为偶数$p$，和$p+1-α$为奇数$p$。
2021-06-28 cs.NA math.NA
Numerical solutions to boundary value problem for anomalous diffusion equation with Riesz-Feller fractional operator
本文提出基于有限差分法的数值方法，求解具有Riesz-Feller分数阶导数的常微分方程边值问题，并模拟了纳米管中的非线性温度分布。
2006-07-05 cs.NA math.AP math.NA
Uniform convergence of multigrid finite element method for time-dependent Riesz tempered fractional problem
Lanzhou University（兰州大学）；Xiangtan University（湘潭大学）；South University of Science and Technology of China（南方科技大学）
本文提出了一种理论框架，用于时间依赖Riesz温分数问题的伽辽金有限元近似，无需分数正则性假设。通过分析分数τ-范数，严格证明了V-循环多重网格方法的均匀收敛性，其收敛率与网格尺寸h和时间步长τ无关。数值实验验证了仅需O(N log N)复杂度的收敛性。
2018-06-18 cs.NA math.NA
Jacobi-Galerkin spectral method for eigenvalue problems of Riesz fractional differential equations
Beijing Computational Sciences and Research Center（北京计算科学研究中心）；Division of Applied Mathematics, Brown University（布朗大学应用数学系）；State Key Laboratory of Computer Science/Laboratory of Parallel Computing, Institute of Software, Chinese Academy of Sciences（中国科学院软件研究所）
本文提出高效Jacobi-Galerkin谱方法计算Riesz分数偏微分方程的本征值，通过Sobolev空间保持对称性和正定性，证明Poincaré不等式并建立条件数估计，结合近似理论获得误差估计，数值结果验证了精度与收敛阶。
2018-03-09 cs.NA math.NA
A novel fourth-order scheme for two-dimensional Riesz space fractional nonlinear reaction-diffusion equations and its optimal preconditioned solver
本文针对二维Riesz空间分数阶非线性反应扩散方程，提出一种四阶有限差分格式，并构造基于τ矩阵的预条件子，使共轭梯度法获得与网格尺寸无关的最优收敛速率。
2024-05-06 cs.NA math.NA
A Robust Numerical Scheme for Solving Riesz-Tempered Fractional Reaction-Diffusion Equations
提出一种二阶指数时间差分有限元方法（ETD-RDP-FEM），通过有理函数离散矩阵指数实现L-稳定，高效求解不规则域上的非线性分数阶扩散方程，精度和速度优于现有二阶方法。
2023-11-12 cs.NA math.NA
Splitting ADI scheme for fractional Laplacian wave equations
针对二维分数阶拉普拉斯波动方程，提出结合 Gohberg-Semencul 公式与 FFT 快速求解 Toeplitz 系统的 S-ADI 格式，并证明其无条件稳定且二阶精确。
2023-12-11 cs.NA math.NA
A note on parallel preconditioning for the all-at-once solution of Riesz fractional diffusion equations
用于求解常微分方程组的$p$ -后退差分公式（BDF）可以产生一种一次性的线性系，其通过并行时间预处理的Krylov子空间求解器来求解（参见McDonald，Pestana和Wathen [SIAM J. Sci.计算：40（2）（2018）：A1012-A1033]和Lin和Ng [arXiv：2002.01108，17页]。然而，这些研究忽略了$p$ -步BDF（$p\geq 2$）不是自启动的，当他们被用来解决时间依赖的偏微分方程。在本文中，我们着重研究了求解Riesz分数阶扩散方程的两步BDF方法，它通常优于梯形法则，但其一次性离散系统是一个带低秩扰动的块三角Toeplitz系统.同时，我们首先给出了一次性全系统的条件数的估计，然后利用已有的工作构造了两个块循环（BC）预条件子。详细讨论了这两种BC预条件子的可逆性和预条件矩阵的特征值分布。这些BC预条件子的有效实现也被提出，特别是处理密集结构的雅可比矩阵的计算。最后，数值实验涉及一维和二维Riesz分数阶扩散方程的报告，以支持我们的理论研究结果。
2021-03-15 cs.NA math.NA
Fully Finite Element Adaptive Algebraic Multigrid Method for Time-Space Caputo-Riesz Fractional Diffusion Equations
School of Mathematics and Computational Science, Xiangtan University（湘潭大学数学与计算科学学院）；Hunan Key Laboratory for Computation and Simulation in Science and Engineering, Xiangtan University（湘潭大学湖南省科学与工程计算重点实验室）
本文提出全离散有限元方案，解决一维时间-空间Caputo-Riesz分数扩散方程，证明系数矩阵条件数估计并开发自适应代数多网格方法，展示其鲁棒性和高效性。
2017-07-26 cs.NA math.NA
A preconditioner based on sine transform for two-dimensional Riesz space factional diffusion equations in convex domains
本文发展了求解凸区域中含非线性源项的Riesz空间分数阶扩散方程的快速数值方法。采用体积罚方法，在矩形区域内用隐式有限差分法离散了带罚项的Riesz空间分数阶扩散方程.研究了该方法的稳定性和收敛性。由于系数矩阵具有类Toeplitz结构，基于正弦变换的预条件，利用两个近似逆$τ$矩阵的组合构造了预条件，并将其对角化，利用广义最小残差法求解离散线性系组.预处理矩阵的频谱也进行了研究。数值实验证明了该方法的有效性。
2021-02-23 cs.NA math.NA
Local discontinuous Galerkin method for the integral fractional Laplacian
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
本文提出了一种局部间断Galerkin方法用于求解积分分数拉普拉斯算子问题，通过混合公式和正则性分析，建立了最优误差估计并验证了数值结果。
2025-12-13 cs.NA math.NA
A high-order nodal discontinuous Galerkin method for nonlinear fractional Schrödinger type equations
Assiut University（阿斯尤特大学）
本文提出了一种节点不连续伽辽金方法，用于求解非线性Riesz空间分数薛定谔方程和强耦合非线性Riesz空间分数薛定谔方程，证明了$L^{2}$稳定性及最优收敛阶$O(h^{N+1})$，并通过数值实验验证了收敛阶。
2017-05-13 cs.NA math.NA
Energy estimates for two-dimensional space-Riesz fractional wave equation
School of Mathematics and Statistics, Gansu Key Laboratory of Applied Mathematics and Complex Systems, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院、甘肃省应用数学与复杂系统重点实验室）
本文研究了二维空间Riesz分数波方程的能量估计问题，采用能量方法对一维情况进行了估计，并证明了变系数情况下离散矩阵的可交换性，从而保证了先验误差估计的有效性。理论和数值验证了无条件稳定性与收敛性，全局截断误差为$\mathcal{O}(τ^2+h^2)$。
2017-04-16 cs.NA math.NA
Second-order LOD multigrid method for multidimensional Riesz fractional diffusion equation
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）
针对多维变系数Riesz分数阶扩散方程，提出一种空间和时间均为二阶收敛的局部一维有限差分方法，并采用LOD多重网格法高效求解，计算复杂度为O(N log N)，存储需求为O(N)。
2013-01-12 cs.NA math.NA
A Riesz basis Galerkin method for the tempered fractional Laplacian
Lanzhou University（兰州大学）；Brown University（布朗大学）
本文提出了一种用于 tempered 分数阶拉普拉斯算子的新计算方法，包括带有齐次和非齐次广义狄利克雷边界条件的情况。通过证明格雷厄姆弱形式的适定性，并提供单尺度 B-样条和多尺度 Riesz 基有限元方法的收敛性分析，同时提出了一种高效生成稠密刚度矩阵并求解所得到的代数方程的预处理技术，并通过若干数值实验验证了理论结果。
2017-09-29 cs.NA math.NA
Efficient numerical algorithms for three-dimensional fractional partial differential equations
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）
本文提出局部一维数值方法求解三维分数阶偏微分方程，采用二阶有限差分和Crank-Nicolson格式，证明无条件稳定且时空二阶收敛，并针对Riesz分数阶扩散方程通过降低分裂误差改进算法。
2013-03-19 cs.NA math.NA
Local discontinuous Galerkin method for distributed-order time and space-fractional convection-diffusion and Schrödinger type equations
Assiut University（阿斯尤特大学）
本文提出局部间断伽辽金方法用于求解分布式阶时间与空间分数阶对流扩散和薛定谔类型方程，证明了稳定性及最优收敛阶，通过数值实验验证了收敛阶。
2017-10-03 cs.NA math.NA
High-order numerical algorithms for Riesz derivatives via constructing new generating functions
School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University（天水师范学院数学与统计学院）；Department of Mathematics, Shanghai University（上海大学数学系）
本文通过构造新生成函数建立高阶数值算法，改进了经典Lubich差分公式在时间依赖问题中的收敛阶和稳定性，并通过数值实验验证了算法的有效性。
2016-04-30 cs.NA math.NA
Fractional weak adversarial networks for the stationary fractional advection dispersion equations
针对稳态分数阶对流扩散方程中低正则性解及分数阶导数的非局部性问题，提出基于弱形式并结合卷积层与特殊损失函数的 f-WANs，数值实验验证了其有效性。
2023-06-08 cs.NA math.NA
Adaptive Finite Element Method for fractional differential equations using Hierarchical Matrices
Beijing Computational Science Research Center（北京计算科学研究中心）；Southeast University（东南大学）；Tufts University（塔夫茨大学）；University of North Carolina at Charlotte（北卡罗来纳大学夏洛特分校）；Brown University（布朗大学）
本文提出一种基于分层矩阵的自适应有限元方法，用于高效求解包含Riesz分数导数的分数微分方程，结合几何多网格方法和后验误差估计，实现高精度解并有效处理奇异性和低阶项。
2017-04-03 cs.NA math.NA
Double exponential quadrature for fractional diffusion
基于双指数求积公式和Riesz-Dunford谓词演算，我们提出了一种新的离散化方法来求解椭圆和抛物分数阶扩散问题.与相关方案相比，新方法提供了更快的收敛速度和更少的参数，需要调整的问题。该方案利用任何额外的光滑性的问题，而不需要先验知识来适当地调整参数。我们证明了有限正则性数据以及某些Gevrey类型类中的数据的严格收敛结果。我们证实了我们的研究结果与数值测试。
2020-12-10 cs.NA math.NA
Analysis and numerics of traveling waves for asymmetric fractional reaction-diffusion equations
Vienna University of Technology（维也纳工业大学）
本文研究非对称分数反应扩散方程中行波的存在性、唯一性及稳定性，提出数值方法并探讨其扩展应用。
2014-05-22 cs.NA math.AP math.DS
