Local convergence of the FEM for the integral fractional Laplacian
本文研究了积分分数阶拉普拉斯算子一阶离散化的FEM局部收敛性，给出了局部$H^1$范数和局部化能量范数下的精确局部误差估计，其形式为局部最佳逼近误差与较弱范数下全局误差之和。
2022-05-30 cs.NA math.NA
Quadrature for Implicitly-defined Finite Element Functions on Curvilinear Polygons
多边形网格上的$H^1$一致Galerkin方法，如VEM、BEM-FEM和Trefftz-FEM，采用局部有限元函数，这些函数被隐式地定义为具有多项式源和边界数据的泊松问题的解。最近，这样的方法已经扩展到允许网格单元是曲线多边形。这样的扩展提出了新的挑战，以确定合适的求积。我们描述了一种方法，这些隐式定义的功能，以及产品的梯度，减少积分细胞积分沿其边界积分的产品。数值实验表明了所提出的方法的实际性能。
2021-06-01 cs.NA math.NA
On explicit form of the FEM stiffness matrix for the integral fractional Laplacian on non-uniform meshes
在Fourier变换空间中，推导了一维积分型分数阶Laplacian算子在一般非均匀网格上的分段线性有限元刚度矩阵的精确形式.有了这样一个精确的公式，我们就能够在一些常用的非均匀网格上数值研究分数刚度矩阵的一些内在性质（例如，梯度网格），特别是检查他们的无缝过渡到那些通常的拉普拉斯。
2020-09-10 cs.NA math.NA
Rate-optimal higher-order adaptive conforming FEM for biharmonic eigenvalue problems on polygonal domains
本文针对多边形域上的双调和特征值问题，提出了新的自适应高阶协调有限元格式，证明了向简单特征值的最优收敛速率，并通过数值实验表明高阶多项式与自适应网格细化的优势，基准结果精确至30位数字。
2024-03-19 cs.NA math.NA
Computing ultra-precise eigenvalues of the Laplacian within polygons
Independent Researcher
本文提出通过扩展Fox等人1967年方法，在多边形内计算拉普拉斯算子本征值，实现高精度计算，甚至达到千位精度，利用对称性简化几何并解决退化问题。
2016-02-27 cs.NA math.NA
An implementation of hp-FEM for the fractional Laplacian
本文提出基于Gauss-Jacobi和Gauss-Legendre求积的hp有限元方案，用于离散一维及高维分数阶拉普拉斯算子，以少量求积点保持指数收敛，运算量为O(N^{5/2})。
2024-07-16 cs.NA math.NA
FEM on nonuniform meshes for nonlocal Laplacian: Semi-analytic Implementation in One Dimension
该研究针对非均匀网格上的非局部拉普拉斯算子，提出傅里叶域分段线性有限元半解析计算方法，推导刚度矩阵元积分表达式，验证其极限兼容性并通过数值实验测试性质，填补了一维半解析非局部有限元的研究空白。
2024-07-12 cs.NA math.NA
Exponential Convergence of $hp$-FEM for the Integral Fractional Laplacian on cuboids
Technische Universität Wien（维也纳工业大学）
本文研究了积分分数拉普拉斯算子在立方体上的$hp$-FEM收敛性，证明了在特定条件下误差界与自由度的六次根呈指数关系，并通过数值实验验证了该结论。
2026-03-13 cs.NA math.NA
On diagonal dominance of FEM stiffness matrix of fractional Laplacian and maximum principle preserving schemes for fractional Allen-Cahn equation
本文研究了一维空间整体齐次Dirichlet边界条件下积分分数Laplacian的分段线性有限元离散所得到的刚度矩阵的对角优势。我们首先推导出这个矩阵在频率空间中的精确形式，它可以扩展到多维矩形元素。然后给出了当刚度矩阵严格对角占优时的完整答案。作为一个应用，我们将这一概念应用于分数维空间Allen-Cahn方程的最大值原理保持格式的构造，并提供了大量的数值结果来验证我们的发现.
2020-07-16 cs.NA math.NA
Exponential Convergence of $hp$ FEM for Spectral Fractional Diffusion in Polygons
本文在有界多边形域中解析数据且无边界相容性假设下，证明了基于余法向导数和 sinc 求积的两类 $hp$-FEM 在谱分数阶扩散问题上的指数收敛性，并给出了 Kolmogoroff $n$-宽度的指数小界。
2020-11-11 cs.NA math.NA
Towards an Efficient Finite Element Method for the Integral Fractional Laplacian on Polygonal Domains
Division of Applied Mathematics, Brown University（布朗大学应用数学系）；Computer Science and Mathematics Division, Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室计算机科学与数学部）
本文提出了一种高效的有限元方法，用于处理多维积分分数阶拉普拉斯算子，通过边界积分算子与分数阶偏微分方程的联系，开发了处理密集刚度矩阵的技术，包括矩阵元素的计算、稀疏近似高效组装与存储以及方程组高效求解，不依赖于任何特殊矩阵结构或快速变换。
2017-08-06 cs.NA math.NA
Mathematical and numerical analysis of time-dependent Ginzburg--Landau equations in nonconvex polygons based on Hodge decomposition
Nanjing University（南京大学）；Beijing Computational Science Research Center（北京计算科学研究中心）；Wayne State University（韦恩州立大学）
本文研究非凸多边形中时变吉恩斯-兰道方程的well-posed性，通过霍奇分解将解分解为正则与奇异部分，提出分离线性有限元方法并给出误差估计，通过数值实验验证方法的有效性。
2014-10-15 cs.NA math.NA
Exponential convergence of hp-FEM for the integral fractional Laplacian in 1D
本文证明了有界区间上积分分数阶泊松问题解的加权解析正则性，并基于该结果证明了几何边界细化网格上hp-FEM的指数收敛性。
2022-04-08 cs.NA math.AP math.NA
Verified eigenvalue evaluation for Laplacian over polygonal domain of arbitrary shape
提出一种基于有限元方法结合区间算术和Lehmann定理的算法，为任意形状多边形区域（包括非凸和裂纹区域）提供拉普拉斯算子特征值的严格上下界。
2012-04-20 cs.NA math.NA
Recovered finite element methods on polygonal and polyhedral meshes
University of Leicester（莱斯特大学）；National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）；University of Reading（雷丁大学）
本文提出在二维和三维多边形及多面体网格上扩展恢复有限元方法，展示其在求解一般线性二阶对流-扩散-反应问题中的误差界和数值性能。
2018-04-23 cs.NA math.NA
The harmonic virtual element method: stabilization and exponential convergence for the Laplace problem on polygonal domains
C. von Ossietzky Universität Oldenburg（奥尔登堡大学）；Universität Wien（维也纳大学）
本文提出谐波虚拟元方法，用于在多边形网格上求解二维拉普拉斯方程，通过仅使用边界自由度实现能量投影，并展示其指数收敛性优于传统hpFEM和hpVEM。
2018-05-18 cs.NA math.NA
FEM for 1D-problems involving the logarithmic Laplacian: error estimates and numerical implementation
针对含对数拉普拉斯算子的一维Dirichlet问题，开展有限元法数值分析，证明严格误差估计与对数阶收敛性，给出刚度矩阵求解方式并探究离散特征值问题收敛性。
2025-05-19 cs.NA math.AP math.NA
A novel method in solving seepage problems implementation in Abaqus based on the polygonal scaled boundary finite element method
本文将比例边界有限元法与多边形网格技术结合，提出PS-SBFEM方法，并在Abaqus中通过用户自定义单元实现，用于高精度求解稳态和瞬态渗流问题。
2021-08-19 cs.NA math.NA
Interior penalty discontinuous Galerkin FEM for the $p(x)$-Laplacian
Universidad de Buenos Aires（布宜诺斯艾利斯大学）；Universidad Nacional de General Sarmiento（圣达菲国立大学）；CONICET Argentina（阿根廷国家科学研究委员会）
针对 $p(x)$-Laplacian 变分问题，构造内罚间断伽辽金方法并证明离散泛函极小元收敛到解，通过一维数值实验与协调伽辽金方法比较，尤其关注 $p_1$ 接近1的情形。
2013-08-21 cs.NA math.AP math.NA
Two-dimensional seepage analysis using a polygonal cell-based smoothed finite element method
PowerChina Kunming Engineering Corporation Limited（中国电建集团昆明工程有限公司）；College of Water Conservancy and Hydropower Engineering, Hohai University（河海大学水利水电学院）；College of Harbour, Coastal and Offshore Engineering（海岸与海洋工程学院）；Yunnan Institute of Water Resources and Hydropower Research（云南省水利水电研究院）
本文提出了一种基于多边形单元的平滑有限元方法，用于高效求解二维渗流问题，通过自适应细化和固定网格迭代方案提升精度与效率。
2026-02-18 cs.NA math.NA
Robust exponential convergence of hp-FEM in balanced norms for singularly perturbed reaction-diffusion problems: corner domains
Technische Universität Wien（维也纳工业大学）
本文研究了hp-FEM在奇异扰动反应-扩散问题中的鲁棒指数收敛性，针对多边形域中的边界层和角落层，证明了在适当细化的网格下，平衡范数和最大范数下的鲁棒指数收敛性。
2017-05-15 cs.NA math.NA
Direct guaranteed lower eigenvalue bounds with optimal a priori convergence rates for the bi-Laplacian
超稳定Morley有限元方法（FEM）直接计算双Laplace Dirichlet特征值的具有最优先验收敛速度的保证特征值下界。$2$ D中的小性假设$\min\{λ_h,λ\}h_{\max}^{4}$ $\le 184.9570$（分别为$3$中的$\le 21.2912$ D）关于最大网格大小$h_{\max}$使计算出的第$k$个离散本征值$λ_h\le λ$成为第$k$个狄利克雷本征值$λ$的本征值下界。这适用于多个和集群的特征值，并服务于本地化的双拉普拉斯Dirichlet特征值，特别是粗网格。分析需要插值误差估计的Morley有限元显式常数在任何空间维度$n\ge 2$，这是独立的利益。$3$ D中的收敛性分析遵循Babuška-Osborn理论，并依赖于Morley有限元方法的伴随算子。这是基于Hsieh-Clough-Tocher宏单元的Worsey-Farin $3$ D版本，在将每个四面体进一步分解为$12$子四面体中仔细选择中心点。在$2$ D中的数值实验支持超稳定Morley有限元的最佳收敛速度，并提出了一种具有最佳经验收敛速度的自适应算法。
2022-03-07 cs.NA math.NA
Computation of Laplacian eigenvalues of two-dimensional shapes with dihedral symmetry
本文以任意精度数值计算了具有二面角对称性的几种二维形状的最低拉普拉斯特征值。我们的方法是基于区域分解的特解方法。我们特别感兴趣的是渐近展开的特征值$λ(n)$的形状与$n$边缘的形式$λ(n) \sim x\sum_{k=0}^{\infty} \frac{C_k(x)}{n^k}$，其中$x$是$n\rightarrow \infty$的极限特征值。这种形式的展开式以前只知道用于具有狄利克雷边界条件的正多边形，并且（相当令人惊讶地）涉及黎曼zeta值和单值多zeta值，这使得它们很有研究价值。我们提供了高阶$C_k(x)$的封闭形式表达式的数值证据，并给出了更多的例子，这种扩展是可能的形状（包括正多边形与Neumann边界条件，正星形多边形和星形正弦边界）。
2022-10-24 cs.NA math.AP math.NA
$hp$-FEM for reaction-diffusion equations II. Robust exponential convergence for multiple length scales in corner domains
本文在几何边界层网格上分析了角域中线性二阶奇扰动反应扩散方程的$hp$-FEM离散化，证明了在网格能分辨最小长度尺度时可实现鲁棒的指数收敛，并通过数值实验予以证实。
2020-09-28 cs.NA math.NA
A virtual element generalization on polygonal meshes of the Scott-Vogelius finite element method for the 2-D Stokes problem
虚元法是将有限元法推广到多面体网格的伽辽金近似方法。在本文中，我们提出了一个符合制定推广的Scott-Vogelius有限元方法的数值逼近的斯托克斯问题的多边形网格的框架中的虚元法。特别是，我们考虑一个简单的应用程序的标量椭圆问题的虚元近似空间的矢量情况下，通过不连续多项式近似的压力变量。我们评估的有效性的数值逼近通过调查的收敛性制造的解决方案的问题和一组有代表性的多边形网格。我们数值计算表明，除了最低阶的情况下，三角形网格，该方法符合$P_1-P_0$斯科特-Vogelius计划，并在方形网格，这是众所周知的是不稳定的情况下，该配方是收敛的最佳收敛速度。
2021-12-25 cs.NA math.NA
Steady-state and transient thermal stress analysis using a polygonal finite element method
本研究提出一种基于Wachspress基函数的多边形有限元方法，用于二维稳态与瞬态热应力分析，通过四叉树加速和ABAQUS UEL实现，在网格适应性、精度和效率上优于传统有限元，适用于复杂几何与多尺度模拟。
2025-04-22 cs.NA math.NA
$hp$-Version robust interior penalty discontinuous Galerkin methods for the $p$-Laplacian on simplicial and on essentially arbitrarily-shaped element meshes
The Maxwell Institute for Mathematical Sciences & Department of Mathematics, Heriot-Watt University（赫瑞-瓦特大学）；Department of Mathematics, School of Mathematical and Physical Sciences, National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）；IACM, FORTH（FORTH）；Institute of Analysis and Scientific Computing, Vienna University of Technology（维也纳工业大学）；Faculty of Mathematics, University of Vienna（维也纳大学）
本文研究了$ p $-拉普拉斯方程的$ hp $-版本不连续伽辽金方法，证明了新的迹型逆估计，确保了方法的无条件稳定性，并建立了先验范数误差估计。
2026-04-17 cs.NA math.NA
Nonlinear Geotechnical Analysis Using a Polygonal Cell-Based Smoothed Finite Element Framework
College of Water Conservancy and Hydropower Engineering, Hohai University（河海大学水利水电学院）；PowerChina Kunming Engineering Corporation Limited（中国电建昆明工程有限公司）；College of Harbour, Coastal and Offshore Engineering, Hohai University（河海大学港口海岸与近海工程学院）
提出多边形单元平滑有限元法(CS-FEM)用于非线性岩土分析，结合Wachspress插值和应变平滑，在ABAQUS中实现，通过算例验证了精度和网格灵活性。
2026-06-19 cs.NA math.NA
Hybrid Finite Element - Spectral Method for the Fractional Laplacian: Approximation Theory and Efficient Solver
Brown University（布朗大学）；Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）；Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）
本文提出了一种数值方法，用于近似二维和三维分数阶泊松问题，通过混合有限元-谱方法来解决，该方法基于Caffarelli和Silvestre（2007）的扩展域方法，并通过Weyl定律和有限元离散化选择近似特征值，最终通过多网格和共轭梯度等迭代求解器高效求解线性方程组，数值实验表明该方法在复杂度上近似最优。
2017-09-06 cs.NA math.NA
Error analysis of nonconforming and mixed FEMs for second-order linear non-selfadjoint and indefinite elliptic problems
Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）；IIT Bombay（印度理工学院孟买分校）
本文分析了非匹配有限元方法在非凸多边形域上的收敛性，并通过等价性结果证明了混合有限元方法的well-posedness，同时提出后验误差分析以改进计算基准的收敛率。
2014-01-20 cs.NA math.NA
Approximation of Integral Fractional Laplacian and Fractional PDEs via sinc-Basis
在随机过程、成像科学、电子物理学等领域的许多应用的推动下，分数拉普拉斯最近受到了极大的关注。该算子成功背后的关键驱动力是它能够捕获非局部效应，同时对函数施加较少的平滑度。在本文中，我们介绍了一个谱方法来近似该算子采用sinc基。使用我们的计划，评估的运营商和它的应用到一个向量的复杂性为$\mathcal O(N\log(N))$，其中$N$是未知数的数量。因此，使用迭代法，如CG，我们提供了一个有效的策略来解决分数阶偏微分方程的外部Dirichlet条件的任意Lipschitz域。我们的实现在$2d$和$3d$中都可以工作。我们还恢复了有限元基准问题的收敛速度。我们进一步说明了我们的方法的效率，通过将其应用到分数Allen-Cahn和图像去噪问题。
2021-07-13 cs.NA math.NA
An adaptive finite element method for the infinity Laplacian
University of Sussex（萨塞克斯大学）；University of Reading（雷丁大学）
本文提出一种用于无穷拉普拉斯方程的自适应有限元方法，通过后验分析和残差估计器驱动自适应算法，实现最优收敛性。
2013-11-15 cs.NA math.AP math.NA
Galerkin FEM for fractional order parabolic equations with initial data in $H^{-s},~0 < s \le 1$
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
针对非光滑初始数据的齐次分数阶扩散问题，研究基于标准 Galerkin 和集中质量 Galerkin 有限元法的半离散数值格式，理论上证明了 $L_2$ 和 $H^1$ 范数下的最优阶误差估计，并通过数值实验验证，包括初始数据为 Dirac $\delta$ 函数的情形。
2013-03-12 cs.NA math.NA
Veamy: an extensible object-oriented C++ library for the virtual element method
Universidad de Chile（智利大学）；Università di Milano-Bicocca（米兰比可卡大学）；Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche del CNR（意大利国家研究委员会应用数学与信息技术研究所）
本文介绍了Veamy库，该库基于虚拟元方法（VEM）开发，旨在提供可扩展的面向对象C++实现，重点展示了其在二维线弹性静力学和泊松问题中的应用及性能比较。
2018-12-24 cs.MS cs.NA math.NA
Error estimates for a semidiscrete finite element method for fractional order parabolic equations
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
针对时间分数阶扩散方程，采用分段线性函数的Galerkin FEM和集中质量Galerkin FEM两种半离散逼近格式，建立了关于解正则性的最优误差估计，包括非光滑初始数据情形。
2012-04-17 cs.NA math.NA
A cookbook for finite element methods for nonlocal problems, including quadrature rules and approximate Euclidean balls
实施有限元法（FEM）的非局部模型与有限范围的相互作用提出了挑战，没有面临的偏微分方程（PDE）设置。例如，必须处理涉及二重积分的弱形式，这导致离散系统具有更高的组装和求解成本，这是由于与偏微分方程的FEM相比可能低得多的稀疏性。此外，还可能遇到非光滑被积函数。在许多非局部模型中，非局部相互作用被限制在有界邻域中，这些邻域普遍被选择为欧几里得球，从而导致处理这些球与有限元的相交的挑战。我们专注于开发配方的有限元刚度矩阵的有效组装和选择的二重积分，有助于组装效率和足够的精度。我们的食谱的一个主要特点是使用近似球，例如，几个欧几里德球的折线逼近，除其他优点外，减轻了处理球元素相交的挑战。我们提供了我们开发的几种方法的相对精度和效率的数值说明。
2020-05-21 cs.NA math.NA
A Weak Galerkin Mixed Finite Element Method for second order elliptic equations on 2D Curved Domains
本文研究二维区域上二阶曲线边界椭圆型方程的弱Galerkin混合有限元法。考虑了Neumann边界条件，因为它在这种情况下成为本质边界条件。众所周知，弯曲物理域和折线逼近域之间的差异导致多项式阶数$α>1$离散化的精度损失。本文件有两个目的。首先，我们提出了一个详细的误差分析，原来的WG-MFEM解决问题的曲域，表现出$O(h^{1/2})$收敛的所有$α\ge 1$。令人惊讶的是，即使是最低阶的WG-MFEM（$α=1$）也会损失精度。这与有限元法（FEM）或混合FEM的已知结果不同，并且似乎是WG-MFEM设计和折线逼近域上的向外法向量不同于弯曲域上的向外法向量的事实的组合效应。其次，我们提出了一个补救措施，使近似率回到最佳采用两种技术。一种是专门设计的边界校正技术。二是充分利用弱Galerkin离散可以定义在多边形网格上的优点，使得曲线边界可以用多条短边更好地逼近，而不需要增加网格单元总数。严格的分析表明，上述两种技术的组合可以为所有$α$提供最佳收敛性。数值结果进一步证实了这一结论。
2022-04-03 cs.NA math.AP math.NA
An Efficient Finite Element Method for Multi-dimensional Nonlocal Laplacian on Uniform Grids
针对均匀网格上多维非局部 Laplacian 的有限元离散，本文利用 B 样条卷积性质将刚度矩阵积分降维并精确处理奇异性，结合块 Toeplitz 结构与 FFT 实现高效求解。
2025-09-29 cs.NA math.NA
A discontinuous Galerkin method with fractal elements
University of Milano-Bicocca（米兰比可卡大学）；IMATI-CNR “E. Magenes”（IMATI-CNR “E. 马盖尼斯”研究所},{）
本文提出了一种用于分形边界域的间断伽辽金有限元方法，通过分形网格精确计算局部多项式基函数，并展示了该方法在泊松方程和狄利克雷特征值问题中的有效性。
2026-04-29 cs.NA math.NA
An augmented mixed FEM for the convective Brinkman-Forchheimer problem: a priori and a posteriori error analysis
提出并分析了求解$\mathrm{R}^d$，$d\in \{2,3\}$中定常对流Brinkman-Forchheimer问题的拟应力-速度方程的增广混合有限元法.由于对流和Forchheimer项迫使速度生活在一个比平时更小的空间，我们增加了适当的Galerkin型条款的变分制剂。由此产生的增广计划等效地写为一个不动点方程，使著名的Schauder和Banach定理，结合Lax-Milgram定理，允许证明的唯一可解性的连续问题。有限元离散化涉及Raviart-Thomas空间的顺序$k\geq 0$的伪应力张量和连续分段多项式的次数$\le k + 1$的速度。稳定性，收敛性和先验误差估计相关联的Galerkin计划。此外，我们推导出两个可靠的和有效的残差为基础的后验误差估计这个问题的任意多边形和多面体区域。建议的估计的可靠性主要取决于所涉及的形式的一致椭圆性，对数据的适当假设，稳定的Helmholtz分解，以及Clément和Raviart-Thomas算子的局部逼近性质。反过来，逆不等式、基于气泡函数的局部化技术以及以前工作的已知结果是产生效率估计的主要工具。最后，一些数值例子说明的混合有限元法的性能，确认理论收敛速度和估计的属性，并显示相关的自适应算法的行为，报告。特别是，通过一个$2$ D多孔介质与裂缝网络的流动的情况下被认为是。
2023-03-02 cs.NA math.NA
Fast solvers for the high-order FEM simplicial de Rham complex: Extended edition
University of Oxford（牛津大学）；Baylor University（贝勒大学）；Ridgway Scott Foundation（里奇韦·斯科特基金会）
本文提出新的高阶有限元方法，通过积分矩和正交基函数实现高效求解德拉姆复形的Riesz映射，采用空间分解方法和预处理策略提升求解效率。
2026-03-16 cs.NA math.NA
Unique continuation principles for finite-element discretizations of the Laplacian
本文针对二维多边形区域上拉普拉斯特征值问题的分片线性与双线性有限元离散，在特定几何和拓扑条件下证明了唯一延拓原理，并通过反例说明拓扑假设不满足时存在非零内解，还将其应用于特征值交错问题。
2025-05-06 cs.NA math.AP math.NA
A Two-Stage Finite Element Approach for High-precision Guaranteed Lower Eigenvalue Bounds
Tokyo Woman’s Christian University（东京女子大学）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
本文提出一种两阶段有限元方法，通过高阶FEM在分级网格上生成与高阶上界同样精确的严格下特征值边界，解决了高精度保证下特征值边界的难题。
2025-12-29 cs.NA math.NA math.SP
Vem++, a c++ library to handle and play with the Virtual Element Method
本研究针对虚单元法（VEM）实现的挑战，开发了专门用于VEM离散化的C++库vem++，可处理多类二维、三维偏微分方程，且支持新功能的灵活集成。
2023-10-03 cs.NA math.NA
A polyhedral scaled boundary finite element method solving three-dimensional heat conduction problems
本文提出一种基于Wachspress形函数的多面体比例边界有限元方法（PSBFEM），结合多边形离散化与八叉树网格技术，在ABAQUS中实现稳态和瞬态热传导分析，较传统FEM具有更高精度和计算效率。
2025-03-31 cs.NA math.NA
Two-level additive Schwarz preconditioners with GDSW coarse spaces for high-order discretizations in 2D
University of Cologne（科隆大学）
本文针对二维高阶FEM和VEM的泊松问题，研究带GDSW与RGDSW粗空间的两级加性Schwarz预条件子，证明其条件数界，数值实验显示二者可扩展至k=9，RGDSW粗问题维度降约3倍且迭代次数相当。
2026-10-14 cs.NA math.NA
A finite element method for elliptic Dirichlet boundary control problems
Universidad Técnica Federico Santa María（弗雷德里克·萨玛利亚科技大学）
本文提出了一种混合有限元方法，用于求解椭圆Dirichlet边界控制问题，通过谐波扩展来避免计算H^{1/2}(Γ)范数，并在凸多边形域中证明了H^1和L^2范数下的最优误差估计。
2018-11-22 cs.NA math.NA
Evaluation of Inner Products of Implicitly-defined Finite Element Functions on Multiply Connected Planar Mesh Cells
有限元法的最新进展允许实现具有弯曲边缘的网格单元。在目前的工作中，我们开发了必要的工具，采用多重连接的网格单元，即细胞与孔，在平面域。我们的重点是有效的评估$H^1$半内积和$L^2$内积的隐式定义的有限元功能的类型中出现的基于边界元的有限元法（BEM-FEM）和虚拟单元方法（VEM）。这些函数可以通过指定多项式拉普拉斯算子和连续狄利克雷迹来定义。我们证明，这些体积积分可以减少到沿网格细胞的边界积分，从而避免了需要执行任何计算的细胞内部。这种简化的主要代价是求解一个相对较小的Nystrom系统以获得Dirichlet到Neumann映射，以及求解两个以上的Nystrom系统以获得调和函数的“反拉普拉斯”，该调和函数用于计算$L^2$内积。我们证明了高阶精度可以实现与几个数值例子。
2023-03-14 cs.NA math.NA
New analysis of Mixed finite element methods for incompressible Magnetohydrodynamics
本文研究了一类稳态不可压磁流体力学混合有限元方法的误差分析，该方法采用Navier-斯托克斯方程的标准inf-sup稳定速度-压力空间对和磁场的Nédélec棱边元。在过去的几十年中，该方法已被广泛应用于各种数值模拟中，但由于系统的强耦合性和低阶Nédélec边近似在分析中的污染，现有的分析方法并不是最优的。根据一个新的修改麦克斯韦投影，我们建立了新的和最佳的误差估计。特别地，我们证明了基于常用的Taylor-Hood/最低阶Nédélec边缘元的方法是有效的，并且该方法提供了二阶精度的数值速度。给出了凸多边形域和非凸多边形域中该问题的两个数值例子。数值结果证实了我们的理论分析。
2023-03-21 cs.NA math.NA
A sparse hierarchical $hp$-finite element method on disks and annuli
提出一种稀疏分层hp有限元方法，用于圆盘/圆环上Helmholtz方程，保持Fourier模态解耦与稀疏矩阵，支持径向不连续和各向异性系数，可高效求解高频及扩展问题。
2025-07-09 cs.NA math.NA
Plain convergence of adaptive algorithms without exploiting reliability and efficiency
我们认为h-自适应算法的上下文中的有限元法（FEM）和边界元方法（BEM）。在相当一般的假设下，这些算法的积木求解，估计，标记和细化，我们证明了普通的收敛性的意义上说，自适应算法驱动器的基本后验误差估计为零。与文献中的结果不同，我们的分析避免了使用任何可靠性和效率估计，但只依赖于估计的结构特性，即非细化元素的稳定性和细化元素的减少。特别是，新的框架，因此也涵盖了涉及非本地运营商的问题，如分数拉普拉斯算子或边界积分方程，其中（离散）效率（目前）是不可用的。
2020-09-02 cs.NA math.NA
Weighted Laplace Spaces for Spectral Measures and Rational Approximation
GE Aerospace（通用电气航空）；Skolförvaltningen, Mölndal stad（莫尔达尔市学校管理局）；Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）
本文引入加权Laplace空间$H_w$，证明有限元离散谱测度的双范数不等式，并分析移位符号的有理逼近，为有限谱和提供均匀界。
2026-10-23 cs.NA math.NA
A Least-Squares Weak Galerkin Finite Element Scheme for Cauchy Problems in Helmholtz
University of Florida（佛罗里达大学）；University of Delaware（特拉华大学）
本文提出并严格分析了一种用于处理严重病态Cauchy问题的最小二乘弱伽辽金有限元方法，该方法通过定义在不连续函数空间上的弱拉普拉斯算子，实现了复杂边界条件和内部界面的无缝处理，并证明了该方案在一般多边形和多面体划分上的几何灵活性，同时推导了针对特定离散能量范数的最优阶误差估计。
2026-05-20 cs.NA math.NA
Convergence rate of the finite element approximation for extremizers of Sobolev inequalities
Incheon National University（仁川国立大学）；Chung-Ang University（中央大学）；Kyonggi University（京畿大学）
本文研究了有限元数值方案逼近Sobolev不等式极值函数的收敛率，证明了在二维多边形凸域中，有限元解在$ L^2 $和$ H^1 $范数下分别以$ O(h^2) $和$ O(h) $的速率收敛，其中$ h $是域三角剖分的网格尺寸。
2018-09-26 cs.NA math.AP math.NA
