On the finite element approximation of fourth order singularly perturbed eigenvalue problems
本文研究一维四阶奇摄动本征值问题及其解的有限元法的$h$逼近。特别是，我们使用分段厄米多项式的程度$p\geq 3$上定义的{ \emph{exponentially graded} }网格。我们表明，该方法一致收敛，相对于奇异扰动参数，在最佳的速度时，在特征值的误差是测量在绝对值和在能量范数的特征向量的误差测量。我们还说明了我们的理论研究结果，通过数值计算的情况下$p=3$。
2021-07-14 cs.NA math.NA
Superconvergence analysis of FEM and SDFEM on graded meshes for a problem with characteristic layers
本文考虑具有指数边界层和特征边界层的对流扩散奇摄动问题。在梯度网格上，采用双线性有限元法和SDFEM法对该问题进行了数值求解。对于有限单元法，我们证明了几乎一致收敛和超收敛。分级网格的使用允许SDFEM在SD范数中证明几乎一致的估计，这对于Shishkin型网格是不可能的。
2020-11-11 cs.NA math.NA
Analytic regularity for a singularly perturbed fourth order reaction-diffusion boundary value problem
针对奇异摄动四阶反应扩散边值问题，给出了任意阶导数关于摄动参数和微分阶数的显式估计，为hp有限元等高阶数值方法提供理论支撑。
2023-11-14 cs.NA math.CA math.NA
Superconvergence of a Galerkin FEM for Higher-Order Elements in Convection-Diffusion Problems
Technische Universität Dresden（德累斯顿工业大学）
本文研究高阶Galerkin有限元法在奇异摄动对流-扩散问题中的超收敛性，通过解分解和特殊有限元空间表示，证明了能量范数下p+1/4阶的超收敛性质。
2013-07-29 cs.NA math.NA
$hp$-FEM for reaction-diffusion equations II. Robust exponential convergence for multiple length scales in corner domains
本文在几何边界层网格上分析了角域中线性二阶奇扰动反应扩散方程的$hp$-FEM离散化，证明了在网格能分辨最小长度尺度时可实现鲁棒的指数收敛，并通过数值实验予以证实。
2020-09-28 cs.NA math.NA
FEM-analysis on graded meshes for turning point problems exhibiting an interior layer
Institute of Numerical Mathematics, Technical University of Dresden（德累斯顿工业大学数值数学研究所）
本文研究了具有简单内部转折点的奇异扰动边值问题，采用Liseikin提出的分层网格上的高阶有限元进行离散化，证明了在能量范数下的ε-均匀误差估计，并在这些分层网格上对线性元证明了在L²范数下的最优阶ε-均匀收敛性。
2016-03-15 cs.NA math.NA
Analysis of Galerkin and streamline-diffusion FEMs on piecewise equidistant meshes for turning point problems exhibiting an interior layer
Institute of Numerical Mathematics, Technical University of Dresden（德累斯顿工业大学数值数学研究所）
研究了具有简单内部转折点的退化扰动边值问题，采用高阶有限元在适应层的分段等距网格上进行离散化，并分析了流体扩散有限元方法的误差估计。
2017-09-28 cs.NA math.NA
Optimal multilevel adaptive FEM for the Argyris element
协调Argyris有限元法应用的主要缺点是一方面实现费力，另一方面收敛速度低。如果没有使用适当的自适应网格，则只能实现由角点奇异性引起的收敛速度[Blum和Rannacher，1980]，远低于光滑函数的逼近阶。Argyris有限元法的精细近似产生了高维线性系，并且很长一段时间内没有一个最佳的预处理方案可用于非结构网格。本文提出了数值基准，以确认[Carstensen和Hu，2021]的分层Argyris FEM的自适应多级求解器实际上是高效的，具有线性时间复杂度。此外，第一次显示的最佳收敛速度在实际相关的基准与角奇异性和一般边界条件导致的Argyris有限元从计算角度的康复。
2022-07-04 cs.NA math.NA
Energy-corrected FEM and explicit time-stepping for parabolic problems
Institute for Numerical Mathematics, Technische Universität München（慕尼黑工业大学数值数学研究所）
本文提出了一种能量校正的有限元方法，用于解决抛物问题，该方法在近似网格上工作，并基于此创建了快速显式时间离散化方法，通过数值实验验证了该方法的理论结果和灵活性，适用于多重奇点角和三维设置。
2019-03-15 cs.NA math.NA
Superconvergence Using Pointwise Interpolation in Convection-Diffusion Problems
考虑奇摄动对流-扩散问题，对高阶流线扩散有限元法的Gaussian-Lobatto型逐点插值的超收敛结果进行了分析.我们显示了两种不同类型的插值，即顶点边缘细胞插值和逐点插值之间的一个有用的连接。此外，不同的后处理算子进行了分析，并应用于模型问题。
2023-03-03 cs.NA math.NA
On the Discontinuous Galerkin Finite Element Method for Reaction-Diffusion Problems: Error Estimates in Energy and Balanced Norms
University of Novi Sad（诺维萨德大学）；Technische Universität Dresden（德累斯顿工业大学）
本文研究了一种非对称不连续伽辽金有限元方法用于一维奇异摄动反应扩散问题，通过高阶样条在Shishkin型分层自适应网格上证明了在能量范数和平衡范数中的鲁棒收敛性。
2017-05-11 cs.NA math.NA
Towards modular Hierarchical Poincaré-Steklov solvers
本文重新审视了 Poisson 方程的分层 Poincaré-Steklov（HPS）方法，展示了在 Q1 有限元中 HPS 合并过程如何自然处理角点耦合，弥合了代数 Schur 补方法与算子公式的概念差距，为有限元界采用 HPS 提供了统一路径。
2025-10-30 cs.NA math.NA
Tensor FEM for spectral fractional diffusion
Heriot-Watt University（赫瑞-瓦特大学）；Technische Universität Wien（维也纳工业大学）；University of Maryland（马里兰大学）；Universidad Técnica Federico Santa María（费德里科·圣塔玛利亚技术大学）；University of Tennessee（田纳西大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文设计并分析了若干有限元方法，用于Caffarelli-Silvestre扩展，以在有界域中局部化对称、可解、线性椭圆算子的分数次幂。通过在扩展变量y∈(0,∞)上建立分析正则性，证明了解属于具有分析函数的计数范数、幂指数加权Bochner空间，其值域为角加权Kondat'ev型Sobolev空间。在Ω⊂R^d中，使用连续、分段线性Lagrangian有限元（P1-有限元）进行离散化，并证明对于兼容数据f∈H^{1-s}(Ω)，可以获得一阶收敛率。此外，证明了在Ω中使用P1-有限元与扩展变量中合适的hp-有限元进行张量化可实现与Ω中自由度数N_Ω的对数线性复杂度。还提出了一种新的稀疏张量乘积有限元法，基于Ω中的多级P1-有限元和扩展变量中的P1-有限元在radical-geometric网格上。证明该方法也实现了与N_Ω的对数线性复杂度。最后，在更强的假设下，即数据在Ω上解析且不需在∂Ω处兼容，证明了hp-有限元对于谱分数扩散算子具有指数收敛率。还报告了模型问题的数值实验，确认了理论结果，并指出了所提方法的几种扩展和泛化。
2017-07-24 cs.NA math.NA
Exponential Convergence of $hp$ FEM for Spectral Fractional Diffusion in Polygons
本文在有界多边形域中解析数据且无边界相容性假设下，证明了基于余法向导数和 sinc 求积的两类 $hp$-FEM 在谱分数阶扩散问题上的指数收敛性，并给出了 Kolmogoroff $n$-宽度的指数小界。
2020-11-11 cs.NA math.NA
Exponential Convergence of $hp$-Time-Stepping in Space-Time Discretizations of Parabolic PDEs
对于具有Lipschitz连续系数的散度型自伴时间齐次椭圆算子的线性抛物型初边值问题，以及对于多边形/多面体区域$D$中的非协调时间解析强迫项，我们证明了解的时间解析性.时间分析量化的加权，解析函数类，数据有限，低空间规律性，没有边界的兼容性。利用这一结果，我们证明指数收敛的一个符合，半离散$hp$时间步进的方法。我们结合这种半离散化的时间与一阶，所谓的“$h$版本”拉格朗日有限元与角落的空间细化成一个张量产品，符合离散化的时空配方。我们证明，在适当的角和角边网格细化的$D$，误差与自由度的时空行为的数量基本上（对数项），标准有限元提供一个椭圆边值问题解决$D$。我们专注于二维空间域和评论的一维和三维的情况下。
2022-03-22 cs.NA math.NA
Comparative Performance of Novel Nodal-to-Edge finite elements over Conventional Nodal element for Electromagnetic Analysis
在基于节点的有限元法（FEM）中，自由度与单元的节点相关联，而对于边缘FEM，自由度被分配给单元的边缘。基于Whitney空间构造了边元。节点元素在界面边界上施加矢量或标量场的切向和法向连续性。但在棱边单元中，只有切向连续性被施加在界面边界上，这与电磁场问题是一致的。因此，在电磁分析中所需的连续性是直接获得与边缘元素，而在节点元素，他们通过潜在的配方。因此，当使用边缘单元时，场变量被直接计算，但是使用节点单元，需要后处理以从电势获得场变量。这里，我们提出了有限元列式，包括棱边元和节点元。此后，我们已经证明了不同的节点和边缘元素的相对性能，通过一系列的例子。所有可能的复杂性，如曲线边界，非凸区域，尖角，非均匀域已在这些例子中解决。在分析中，边缘元素在预测具有尖锐棱角的域的奇异特征值方面的鲁棒性是显而易见的。一个更好的粗网格精度已被观察到的所有边缘元素相比，各自的节点元素。边元素也不易受网格变形的影响。
2022-03-28 cs.NA math.NA
Convergence analysis of energy conserving explicit local time-stepping methods for the wave equation
University of Basel（巴塞尔大学）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）；University of Zurich（苏黎世大学）
本文提出一种结合标准符合有限元法的显式局部时间步进方法，用于高效模拟异质介质或复杂几何中的波现象，克服了局部细化网格导致的时间步长限制问题。
2017-03-23 cs.NA math.NA
Verified eigenvalue evaluation for Laplacian over polygonal domain of arbitrary shape
提出一种基于有限元方法结合区间算术和Lehmann定理的算法，为任意形状多边形区域（包括非凸和裂纹区域）提供拉普拉斯算子特征值的严格上下界。
2012-04-20 cs.NA math.NA
Uniform Error Estimation for Convection-Diffusion Problems
本文研究对流-扩散问题的均匀误差估计，分析高阶有限元方法在标准能量范数下的收敛性，并探讨平衡范数在层状解中的适用性，最后提出后验误差分析方法用于构造自适应网格。
2014-03-03 cs.NA math.NA
Adaptive Finite Element Method for a Nonlinear Helmholtz Equation with High Wave Number
针对高波数非线性亥姆霍兹方程，提出自适应有限元方法，利用新后验误差估计器证明收敛性和拟最优性，并模拟光学双稳态现象。
2024-05-27 cs.NA math.NA
Wavenumber-explicit stability and preasymptotic error analysis of UPML finite element method for obstacle scattering problems
School of Mathematical Science, University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学数学科学学院）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所数学科学国家重点实验室）
研究二维亥姆霍兹散射问题有限元逼近，基于拉伸格林核估计，建立UPML问题显式稳定性及误差指数衰减估计，据此制定CIP-FEM方法，经数值实验验证其在高频区有效性，获波数显式预渐近误差估计。
2026-07-23 cs.NA math.NA
A Quantum Algorithm for the Finite Element Method
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Berkeley Center for Quantum Information and Computation, University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校伯克利量子信息与计算中心）；Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）
本文提出容错时代的 Qu-FEM 量子有限元算法，通过相互作用单元和局部到全局指示矩阵保留 FEM 几何灵活性，并给出线路、门复杂度、变系数积分与边界条件处理框架。
2025-10-20 cs.NA math.NA physics.comp-ph
The Heterogeneous Multiscale Finite Element Method for the Homogenization of Linear Elastic Solids and a Comparison with the FE$^2$ Method
University Siegen（锡根大学）
本文提出基于渐近均质化的FE-HMM方法用于线弹性固体均质化，首次解决向量场问题，并与FE$^2$方法进行比较，分析收敛性、超收敛性和数值结果。
2017-09-05 cs.NA math.NA
