Asymptotic Behaviour of the Empirical Distance Covariance for Dependent Data

空间符号协方差算子：渐近结果及其应用

The spatial sign covariance operator: Asymptotic results and applications

由于记录能力的增加，功能数据分析已成为一个重要的研究课题。对于功能数据，最近开始了异常值检测和/或稳健统计程序开发的研究。样本协方差运算符的一个可靠替代方案是样本空间符号协方差运算符。本文研究了位置未知时样本空间符号协方差算子的渐近性态。在其他可能的应用所获得的结果，我们得到的样本空间符号协方差算子获得的主方向的渐近分布，我们开发的测试，以检测两个人口的散布算子之间的差异。特别是，通过小样本量的Monte Carlo研究说明了测试性能。

局部错误符号率及先验协方差秩在多元经验贝叶斯多重检验中的作用

Local False Sign Rate and the Role of Prior Covariance Rank in Multivariate Empirical Bayes Multiple Testing

本文研究了多元经验贝叶斯多重检验中先验协方差矩阵秩对局部错误符号率的影响，提出使用满秩协方差矩阵的调整方法以缓解低秩导致的错误符号率膨胀，从而提升高维环境下的稳健性。

检验多个总体协方差算子之间的相等性

Testing equality between several populations covariance operators

在许多情况下，当处理多个总体时，假设协方差算子相等。一个重要的问题是在做出其他推论之前研究这个假设是否成立。在本文中，我们开发了一个测试比较几个功能数据样本的协方差算子。建议的测试是基于估计的协方差算子之间的差异的希尔伯特-施密特范数。特别地，当处理两个总体时，检验统计量只是两个协方差算子估计量之差的平方范数。得到了零值和局部替代下检验统计量的渐近性态。由于统计零渐近分布不允许容易地获得其分位数，考虑了一个bootstrap程序来计算临界值。小样本量的检验统计量的性能说明通过蒙特卡罗研究。

含零点的协方差阵的估计

Estimation of a Covariance Matrix with Zeros

本文考虑在某些协方差为零的约束下，多元随机向量的协方差阵的估计。本文首先提出了一种算法，我们称之为迭代条件拟合，用于计算约束协方差阵的最大似然估计，在多元正态性的假设下。与以前的方法相比，该算法具有保证收敛性。放弃多元正态性的假设，我们展示了如何在经验似然方法中估计协方差阵。这些方法，然后通过模拟和基因表达的例子进行比较。

函数时间序列长期协方差核估计的渐近正态性

On the asymptotic normality of kernel estimators of the long run covariance of functional time series

考虑平稳泛函时间序列长期协方差核估计的$L^2$中的渐近正态性。我们的结果是建立在弱相关的伯努利位移结构的基础上的观察，其中包含大多数平稳功能时间序列模型，在温和的条件下。作为推论，我们得到了联合渐近的功能主成分计算的经验长期协方差算子，表明他们有良好的性能是渐近独立的。

广义距离协方差度量和检验多元相互依赖性

Generalizing Distance Covariance to Measure and Test Multivariate Mutual Dependence

我们提出了三种多个随机向量之间相互依赖的度量。所有测度为零当且仅当随机向量相互独立。第一个度量将距离协方差从成对依赖推广到相互依赖，而另外两个度量是距离协方差的平方和。所有的措施共享类似的性质和渐近分布的距离协方差，并捕捉非线性和非单调的相互依赖的随机向量。受完全和不完全V-统计量的启发，我们定义了经验测度和简化的经验测度，作为检验相互独立性时复杂性和功效之间的权衡。仿真结果和实际数据的例子证明了测试的实施。

对称稳定分布的拟合优度检验--经验特征函数方法

Goodness-of-Fit Tests for Symmetric Stable Distributions -- Empirical Characteristic Function Approach

我们考虑基于标准化数据的经验特征函数与标准对称稳定分布的特征函数之间的平方距离的加权积分的对称稳定分布的拟合优度检验，其中特征指数$α$由数据估计。我们将$α$视为未知参数，但为了理论简单，我们也考虑$α$固定的情况。对于参数的估计和数据的标准化，我们使用最大似然估计（MLE）和最小化加权积分的等变综合平方误差估计（EISE）。我们导出了参数由MLE和EISE估计的特征函数过程的渐近协方差函数。对于极大似然估计的情形，数值计算了协方差函数的特征值，并利用复积分得到了检验统计量的渐近分布。模拟研究表明，检验统计量的渐近分布是非常精确的。对于一般分布，我们还给出了参数由有效估计量估计的特征函数过程的渐近协方差函数的公式。

椭圆分布及以上高维协方差阵的检验

Testing High-dimensional Covariance Matrices under the Elliptical Distribution and Beyond

我们在广义椭圆模型下发展了高维协方差阵的检验。我们的测试是基于一个中心极限定理（CLT）的线性谱统计的样本协方差阵的基础上自归一化的意见。对于测试球度，我们的测试既不假设特定的参数分布，也不涉及数据的峰度。更一般地说，我们可以测试任何非负定矩阵，甚至可以是不可逆的。作为一个有趣的应用，我们在实证研究中说明，我们的测试可以用来测试特质回报之间的不相关性。

An independence test for functional variables based on kernel normalized cross-covariance operator

We propose an independence test for random variables valued into metric spaces by using a test statistic obtained from appropriately centering and rescaling the squared Hilbert-Schmidt norm of the usual empirical estimator of normalized cross-covariance operator. We then get asymptotic normality of this statistic under independence hypothesis, so leading to a new test for independence of functional random variables. A simulation study that allows to compare the proposed test to existing ones is provided.

Asymptotic normality of wavelet covariances and of multivariate wavelet Whittle estimators

Multivariate processes with long-range dependence properties can be encountered in many fields of application. Two fundamental characteristics in such frameworks are long-range dependence parameters and correlations between component time series. We consider multivariate long-range dependent linear processes, not necessarily Gaussian. We show that the covariances between the wavelet coefficients in this setting are asymptotically Gaussian. We also study the asymptotic distributions of the estimators of the long-range dependence parameter and the long-run covariance by a wavelet-based Whittle p…

具有固定维数或发散维数的协方差阵的检验

Tests for covariance matrix with fixed or divergent dimension

协方差结构检验在统计分析的许多领域都有重要意义，如微阵列分析和信号处理。传统的有限维协方差检验一般不能应用于高维数据，文献中的高维协方差检验通常依赖于矩阵的某些特殊结构。本文提出了一些经验似然比检验方法，用于检验协方差阵是否等于给定的协方差矩阵或是否具有带状结构。新检验的渐近分布与维数无关。

椭圆分布下高维空间符号协方差阵的谱性质及其应用

On spectral properties of high-dimensional spatial-sign covariance matrices in elliptical distributions with applications

空间符号协方差矩阵（SSCM）是稳健统计中样本协方差阵（SCM）的重要替代。本文研究了高维椭圆总体下SSCM的渐近谱行为，其中观测维数$p$和样本量$n$均随它们的比值$p/n\to c\in (0, \infty)$趋于无穷大.该非参数散射矩阵的经验谱分布在分布上收敛于广义马琴科-帕斯托尔定律。此外，还建立了SSCM一般线性谱统计量的一个新的中心极限定理（CLT）。对于多项式谱统计量，给出了CLT中极限均值和协方差函数的显式表达式。导出的结果，然后应用于估计程序和检验程序的总体协方差阵的形状分量的频谱。

基于距离协方差的时间序列独立性的Bootstrap检验

A Bootstrap Test for Independence of Time Series Based on the Distance Covariance

本文提出一种基于距离协方差的Bootstrap检验，用于检测两个严格平稳时间序列在任意滞后内的任何依赖，模拟中表现优于其他方法，并推广了Wasserstein距离界限至α-混合过程。

On confidence intervals for precision matrices and the eigendecomposition of covariance matrices

The eigendecomposition of a matrix is the central procedure in probabilistic models based on matrix factorization, for instance principal component analysis and topic models. Quantifying the uncertainty of such a decomposition based on a finite sample estimate is essential to reasoning under uncertainty when employing such models. This paper tackles the challenge of computing confidence bounds on the individual entries of eigenvectors of a covariance matrix of fixed dimension. Moreover, we derive a method to bound the entries of the inverse covariance matrix, the so-called precision matrix. Th…

曲率对黎曼流形和仿射流形中经验平均值的影响：小样本区域的非渐近高浓度展开

Curvature effects on the empirical mean in Riemannian and affine Manifolds: a non-asymptotic high concentration expansion in the small-sample regime

Bhattacharya \& Patrangenaru（BP-CLT）[6]利用中心极限定理建立了黎曼流形上IID随机变量序列Fr{é}chet均值的渐近集中性.这一渐近结果表明，Fr{é}chet平均值的行为几乎与充分集中分布的通常欧几里德情况相同。然而，经验平均值的渐近协方差阵被平方距离的期望Hessian修正。这个黑塞矩阵在[5]中对常曲率空间进行了明确计算，以便将其与截面曲率联系起来。虽然公式是明确的，但仍然很难解释，曲率对渐近收敛的直观影响仍然不清楚。此外，在实践中，我们最感兴趣的是有限小样本的平均值。在这项工作中，我们的目标是了解在这个小样本制度的流形曲率的影响。最后但并非最不重要的一点是，人们希望可以从黎曼流形中的经验Fr{é}chet平均扩展到仿射联络流形中的经验指数重心的可计算和可解释的近似。对于高度集中在其平均值周围的分布，以及对于任何有限样本个数，我们建立了显式的经验平均值的第一和第二时刻的泰勒展开由于一个新的泰勒展开的黎曼对数映射在仿射联络空间。这表明经验平均值具有与用协方差阵收缩两次的曲率张量的梯度成比例的1/n的偏差，以及与协方差-曲率张量成比例的协方差阵的收敛速度的调制。我们证明了我们的非渐近高浓度展开与BP-CLT的渐近展开是一致的。常曲率空间上的实验表明，这两个扩展是非常准确的有效域。此外，调制的收敛速度的经验平均值的协方差阵的显式编码使用标量乘…

Testing Kronecker Product Covariance Matrices for High-dimensional Matrix-Variate Data

Kronecker product covariance structure provides an efficient way to modeling the inter-correlations of matrix-variate data. In this paper, we propose testing statistics for Kronecker product covariance matrix based on linear spectral statistics of renormalized sample covariance matrices. Central limit theorem is proved for the linear spectral statistics with explicit formulas for mean and covariance functions, which fills the gap in the literature. We then theoretically justify that the proposed testing statistics have well-controlled sizes and strong powers. To facilitate practical usefulness…

Kronecker 协方差的信息几何与渐近理论

Information Geometry and Asymptotics for Kronecker Covariances

本文研究了 Kronecker 结构协方差估计量的信息几何与渐近行为，发现 partial trace 估计量渐近无效，提出了渐近有效的重缩放估计量与正交参数化方法，并证明了高维一致性及维度红利。

降秩总体矩阵的样本协方差阵估计及其在fPCA中的应用

On the sample covariance matrix estimator of reduced effective rank population matrices, with applications to fPCA

本文对降秩$r_e(Σ)$的一类$p\times p$总体协方差矩阵$Σ$上的样本协方差阵$Σ_n$的性质进行了统一的分析。这一类包括比例因子模型和具有衰减谱的协方差阵。我们考虑$r_e(Σ)$作为矩阵复杂性的一个度量，得到了$Σ_n-Σ$的算子和Frobenius范数的极小极大率，作为$r_e(Σ)$和$\|Σ\|_2$的函数，$\|Σ\|_2$是$Σ$的算子范数.与最优利率提供的指导方针，我们定义类矩阵的有效秩减少，其中$Σ_n$是一个准确的估计。在这些类的框架内，我们进行了详细的有限样本理论分析的优点和局限性的经验scree图程序中经常使用的PCA。我们发现，识别跳跃的经验谱一致估计跳跃的$Σ$的频谱不一定是为其他目标提供信息，例如选择的样本特征值和特征向量是相合估计他们的人口同行。对于适当的阈值水平，碎石图方法仍然可以用于选择一致的特征值。我们提供了一个阈值结构，也给出了相应的样本特征向量的一致性检查规则。我们将这些结果和分析专门应用于具有多项式衰减谱的总体协方差阵，并将其推广到具有多项式衰减谱的协方差算子。fPCA的应用程序说明了我们的结果可以用于功能数据分析。

最近邻经验过程

Nearest neighbor empirical processes

本文研究回归中基于最近邻响应的经验测度，证明其经验过程的一致中心极限定理与非渐近界，并用于仅靠最近邻估计方差。

About limiting spectral distributions of block-rescaled empirical covariance matrices

We establish that the limiting spectral distribution of a block-rescaled empirical covariance matrix is an arcsine law when the ratio between the dimension and the underlying sample size converges to 1 and when the samples corresponding to each block are independent. We further propose a conjecture for the cases where the latter ratio converges to a constant in the unit interval.

超高维带状样本协方差阵经验谱分布的Weak convergence

Weak convergence of the empirical spectral distribution of ultra-high-dimensional banded sample covariance matrices

本文研究了高维带状样本协方差阵，在样本量$n$，维数$p$和带宽$d$同时趋于无穷大的情况下，使得$$n/p\to 0 \ \ \text{and} \ \ 2d/n\to y>0.$$.结果表明，这些矩阵的经验谱分布几乎必然弱收敛于某个确定性的概率测度，该测度由其矩表征.自然数的某些限制组合在经验谱分布的期望矩的估计中起着至关重要的作用。

高维协方差阵结构Wald's score检验的改进

Modifications of Wald's score tests on large dimensional covariance matrices structure

本文研究了在高维环境下基于Wald得分检验的协方差阵结构的检验问题。针对给定矩阵$Σ_0$的假设$H_0: Σ=Σ_0 $，其中涵盖了单位性假设检验和球性假设检验作为特殊情况，通过Jiang（2015）的高维样本协方差阵的线性谱统计量的广义CLT（中心极限定理）进行了审查。所提出的检验方法适用于更大范围的高维非高斯变量。此外，通过仿真研究，将所提出的检验方法与其他高维协方差阵检验方法进行了比较，以评价它们的性能。从模拟结果可以看出，我们提出的测试是可行的，大规模的数据不受总体分布的限制，并提供准确和稳定的经验大小，这是几乎在名义大小。

高维四元数样本协方差阵经验谱分布的收敛性

Convergence of Empirical Spectral Distributions of Large Dimensional Quaternion Sample Covariance Matrices

本文建立了四元数样本协方差阵经验谱分布的极限。假设$\mathbf X_n = ({x_{jk}^{(n)}})_{p\times n}$是一个四元数随机矩阵。对于每个$n$，条目$\{x_{ij}^{(n)}\}$是具有共同均值$μ$和方差$σ^2>0$的独立随机四元数变量。证明了四元数样本协方差矩阵$\mathbf S_n=n^{-1}\mathbf X_n\mathbf X_n^*$的经验谱分布如$p\to\infty$、$n\to\infty$和$p/n\to y\in(0,+\infty)$收敛于M-P律。

Relative perturbation bounds with applications to empirical covariance operators

The goal of this paper is to establish relative perturbation bounds, tailored for empirical covariance operators. Our main results are expansions for empirical eigenvalues and spectral projectors, leading to concentration inequalities and limit theorems. One of the key ingredients is a specific separation measure for population eigenvalues, which we call the relative rank, giving rise to a sharp invariance principle in terms of limit theorems, concentration inequalities and inconsistency results. Our framework is very general, requiring only $p > 4$ moments and allows for a huge variety of dep…

大型可分协方差阵经验特征值的渐近性

Asymptotics of empirical eigenvalues for large separable covariance matrices

研究了一类非独立高斯过程（可分离且时间平稳）的样本协方差阵在Kolmogorov渐近条件下特征值的渐近性.限制谱分布（LSD）被证明是明确地依赖于柯尔莫哥洛夫常数（一个固定的限制比的样本量的维数）和参数表示的空间和时间的相关性。由自由调和分析得到的柯西变换、M变换和N变换在LSD计算中起着关键作用。对于空间协方差阵为对角占优Wigner矩阵，时间协方差阵为指数非对角衰减（Toeplitz）矩阵，利用自由随机变量的自由乘法律给出了LSD的半封闭形式（只有最后一步是数值计算）.此外，我们还推导出一个非线性收缩估计的顶部特征值与低秩矩阵（厄米）从其噪声测量。数值研究的估计的有效性。

从用于机器学习和大数据的估计协方差阵和统计内核中恢复光谱

Recovery of spectrum from estimated covariance matrices and statistical kernels for machine learning and big data

本文提出了两种从经验协方差阵中恢复协方差阵谱的方案，其中矩阵的维数是观测数的次酉倍数。我们测试，比较和分析这些模拟数据和一些数据来自股票市场。

单位根经验协方差的中偏差原理

Moderate deviations principle for empirical covariance from a unit root

本文考虑$\rr$，$$ X_{k,n}=θ_n X_{k,n-1}+ξ_k, k=0,1,...,n, n\ge 1$$中的线性自回归模型，其中$θ_n\in [0,1)$未知，$(ξ_k)_{k\in\zz}$是中心独立同分布序列. r. v.值以$\rr$表示，代表噪声。当$θ_n\to 1$时，讨论了经验协方差的中偏差原理，并作为统计应用给出了参数$θ_n$的最小二乘中偏差估计和Yule-Walker估计.

协方差算子估计的自适应阈值化方法

Covariance Operator Estimation via Adaptive Thresholding

本文针对非平稳过程提出自适应阈值协方差算子估计方法，利用方差分量估计进行阈值化，并在理论上和数值上证明其优于通用阈值和样本协方差估计器。

关于因果高斯过程经验协方差最小特征值的一个注记

A note on the smallest eigenvalue of the empirical covariance of causal Gaussian processes

本文通过因果分解和基本高斯分布事实，给出了因果高斯过程经验协方差最小特征值的简单证明，并展示了其在向量自回归最小二乘辨识中的性能保证。

相依经验协方差阵极值特征值的收敛性

On the convergence of the extremal eigenvalues of empirical covariance matrices with dependence

考虑具有单位协方差阵的中心随机向量的样本。我们证明了在一定的正则性假设下，当维数和样本量都趋于无穷大时，经验协方差阵的最小和最大特征值收敛到Marchenko-Pastur分布的左右边缘.这些假设与正交投影范数的尾部有关。它们涵盖了各向同性对数凹随机向量以及独立同分布的随机向量。几乎是最优的力矩条件。该方法是一个完善的秩一更新方法使用的Srivastava和Vershynin产生非渐近定量估计。换句话说，我们提供了一个新的证明白和尹定理使用的基本工具，从概率论和线性代数，连同这个定理的一个新的扩展到随机矩阵的依赖项。

大型自反广义逆矩阵与Moore-Penrose逆矩阵的谱分析

Spectral analysis of large reflexive generalized inverse and Moore-Penrose inverse matrices

本文研究样本协方差矩阵的自反广义逆与Moore-Penrose逆的谱性质，揭示两者在总体协方差矩阵非单位倍数时特征值渐近行为的差异。

经验协方差阵特征向量误差的基于集合的估计

Ensemble-based estimates of eigenvector error for empirical covariance matrices

协方差阵是经济、物理和生物系统分析和预测的基础。虽然协方差矩阵的特征值$\{λ_i\}$和特征向量$\{{\bf u}_i\}$是这种努力的核心，但在实践中，必须不可避免地基于具有有限样本大小$n$的数据来近似协方差矩阵，以获得经验特征值$\{\tildeλ_i\}$和特征向量$\{\tilde{\bf u}_i\}$，因此理解如此引入的误差是至关重要的。我们分析特征向量误差$\|{\bf u}_i - \tilde{\bf u}_i \|^2$，同时利用的假设，即真正的协方差矩阵具有大小$p$是从一个矩阵合奏与已知的频谱特性-特别是，我们假设人口特征值的分布弱收敛为$p\to\infty$的频谱密度$ρ(λ)$和人口特征值之间的间距是类似的高斯正交合奏。我们的方法补充了以前的特征向量误差的分析，需要完整的特征值是已知的，这可能是计算上不可行的$p$是大的。为了提供一个可扩展的方法，特征向量误差的不确定性量化，我们考虑一个固定的特征值$λ$和近似的分布的预期平方误差$r= \mathbb{E}\left[\| {\bf u}_i - \tilde{\bf u}_i \|^2\right]$在整个矩阵合奏与$λ_i=λ$相关的所有${\bf u}_i$。例如，我们发现，对于足够大的矩阵大小$p$和样本大小$n>p$，$r$的概率密度缩放为$1/nr^2$。这种幂律缩放意味着特征向量误…

经验谱投影子的定量极限定理与自助法逼近

Quantitative limit theorems and bootstrap approximations for empirical spectral projectors

本文在无维度框架下，以相对秩刻画复杂度，针对经验协方差算子的谱投影子建立了仅需温和矩与谱衰减条件的定量极限定理和自助法逼近，并在多种情形下改进了高斯设定中的已有结果。

相依数据下样本协方差阵的高斯涨落

Gaussian Fluctuations for Sample Covariance Matrices with Dependent Data

已知（Hofmann-Cremannand Stolz（2008）），如果Y_n的行和列表现出某种依赖性，则样本协方差阵W_n = 1/n Y_n Y_n^t的平均经验谱分布收敛于马琴科-帕斯托尔定律不受影响，其中仅需要控制依赖项数量的增长，而不需要控制依赖项的联合分布。本文证明了著名的关于W_n的幂迹的CLT也推广到相关情形。

对数凹系综中经验协方差阵收敛性的定量估计

Quantitative estimates of the convergence of the empirical covariance matrix in Log-concave Ensembles

设$K$是$\R^n$中的各向同性凸体。给定$\eps>0$，经验协方差阵需要多少个均匀分布在$K$上的独立点$X_i$才能以压倒性的概率逼近直到$\eps$的恒等式？本文回答了Kannan、Lovasz和Simonovits提出的这个问题。更准确地说，让$X\in\R^n$是一个中心随机向量，具有对数凹分布，并具有协方差阵的身份。这种矢量$X$的一个例子是各向同性凸体中的随机点。我们证明了对于任何$\eps>0$，都存在$C(\eps)>0$，使得如果$N\sim C(\eps) n$和$(X_i)_{i\le N}$是i.i.d. $X$的拷贝，然后是概率大于$1-\exp(-c\sqrt n)$的$ \Big\|\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i\otimes X_i - \Id\Big\| \le ε, $。

样本协方差阵特征向量经验谱分布的收敛性

Convergence of eigenvector empirical spectral distribution of sample covariance matrices

特征向量经验谱分布（VESD）是研究协方差矩阵特征值和特征向量极限行为的有效工具。本文研究了样本协方差阵的VESD对变形的Marčenko-Pastur（MP）分布的收敛速度。考虑$Σ^{1/2} X X^* Σ^{1/2}$形式的样本协方差阵，其中$X=(x_{ij})$是$M\times N$随机矩阵，其元素是均值为零且方差为$N^{-1}$的独立随机变量，$Σ$是确定性正定矩阵。我们证明了期望的VESD和变形的MP分布之间的Kolmogorov距离是有界的$N^{-1+ε}$为任何固定的$ε>0$，只要条目$\sqrt{N}x_{ij}$有一致有界的6阶矩和$|N/M-1|\ge τ$为一些常数$τ>0$。这一结果改进了以前在\cite{XYZ2013}中得到的结果，该结果给出了假设$i.i.d.$ $X$项、有界10阶矩、$Σ=I$和$M<N$的收敛速度$O(N^{-1/2})$。此外，我们还证明了在有限$8$阶矩假设下，对于任何固定的$ε>0$，VESD的收敛速度几乎必然是$O(N^{-1/2+ε})$，这改进了以前在\cite{XYZ2013}中的$N^{-1/4+ε}$界.

关于相伴序列经验过程的不变原理

On the invariance principle for empirical processes of associated sequences

我们考虑经验过程产生的严格平稳序列的相关随机变量。S. Louhichi为这样的过程建立了一个不变原理，假设协方差函数衰减得足够快。我们表明，在一定的条件下施加的成对分布的随机变量的问题的衰减率的协方差函数的限制可以放宽。

样本协方差阵的极限分布是复合自由泊松分布

Limit distributions of sample covariance matrices are compound free Poisson

我们表明，经验分布的样本协方差阵的特征值的某些随机向量（不一定是独立的条目）与有界的边缘$L^{4}$规范弱收敛到一个复合自由泊松分布。

正则化样本协方差阵的一个CLT

A CLT for regularized sample covariance matrices

我们考虑一类正则化估计的谱性质（大）经验协方差阵对应于平稳（但不一定是高斯）序列，得到的带状。我们证明了一个大数定律（类似于Bickel和Levina在高斯情况下证明的），这意味着带状经验协方差阵的谱是一个有效的估计。我们的主要结果是一个中心极限定理在同一制度，据我们所知，这是新的，即使在高斯设置。

随机协方差阵的大偏差定理

Large deviation theorem for random covariance matrices

本文建立了随机协方差阵经验谱分布的大偏差定理，其中协方差阵的元素是均值为0，方差为1的独立随机变量，且具有受控四阶矩。给出了拉盖尔多项式的一些新性质。

基于经验协方差估计的常数阶椭球拟合

Ellipsoid fitting up to constant via empirical covariance estimation

本研究针对椭球拟合猜想中随机高斯点最大数量的下界问题，基于样本协方差矩阵集中性给出简单证明，将下界提升至$d^2/C$的常数阶，相关结果与同期两项独立工作结论一致。

具有长记忆和独立行的矩阵的经验谱分布

On the empirical spectral distribution for matrices with long memory and independent rows

在本文中，我们表明，经验特征值分布的任何样本协方差阵所产生的独立副本的平稳正则序列有一个限制的分布只依赖于该序列的谱密度。我们通过某个简单的方程用斯蒂尔切斯变换来描述这个极限。不施加协方差收敛到零的收敛速率。如果平稳序列的项是独立随机变量的函数，则结果在没有任何其他附加假设的情况下成立。作为一种证明方法，我们研究了一个对称矩阵的经验特征值分布与独立的行下的对角线，条目满足Lindeberg型条件以及混合型条件没有率。在这种非平稳设置中，我们指出了一个属性的普遍性，这意味着，对于大矩阵的大小，经验特征值分布仅取决于序列的协方差结构，并独立于导致它的分布。这些结果本身有兴趣，允许研究对称随机矩阵产生的随机过程与短期和长期的记忆。

经验协方差阵的收敛速率的精确界

Sharp bounds on the rate of convergence of the empirical covariance matrix

设$X_1,..., X_N\in\R^n$为对数凹分布的独立中心随机向量，单位为协方差阵。我们表明，以压倒性的概率至少$1 - 3 \exp(-c\sqrt{n}\r)$一个有$ \sup_{x\in S^{n-1}} \Big|\frac{1/N}\sum_{i=1}^N (|<X_i, x>|^2 - \E|<X_i, x>|^2\r)\Big| \leq C \sqrt{\frac{n/N}},$，其中$C$是一个绝对的正常数。当线性形式$(<X_i,x>)_{i\leq N, x\in S^{n-1}}$和欧氏范数$(|X_i|/\sqrt n)_{i\leq N}$表现出一致的次指数衰减时，该结果在更一般的框架中是有效的。因此，如果$A$表示列为$(X_i)$的随机矩阵，则以压倒性的概率，$AA^\top$的极值奇异值$λ_{\rm min}$和$λ_{\rm max}$满足不等式$ 1 - C\sqrt{n/N} \le {λ_{\rm min}/N} \le \frac{λ_{\rm max}/N} \le 1 + C\sqrt{n/N} $，该不等式是已知用于i.i.d.条目

矩形随机矩阵的渐近自由性和次高斯尾样本协方差阵的大偏差

Asymptotic Freeness for Rectangular Random Matrices and Large Deviations for Sample Covariance Matrices With Sub-Gaussian Tails

本文建立了具有亚高斯元素的样本协方差阵的经验谱测度的大偏差原理，推广了Bordenave和Caputo关于具有相同类型元素的Wigner矩阵的结果[7].为此，我们需要建立矩形自由卷积的渐进自由度结果，更准确地说，我们给出了信息加噪声矩阵从属公式的界。

On the empirical spectral distribution for certain models related to sample covariance matrices with different correlations

Given $n,m\in \mathbb{N}$, we study two classes of large random matrices of the form $$ \mathcal{L}_n =\sum_{α=1}^mξ_α\mathbf{y}_α\mathbf{y}_α^T\quad\text{and}\quad \mathcal{A}_n =\sum_{α=1}^mξ_α(\mathbf{y}_α\mathbf{x}_α^T+\mathbf{x}_α\mathbf{y}_α^T), $$ where for every $n$, $(ξ_α)_α\subset \mathbb{R}$ are iid random variables independent of $(\mathbf{x}_α,\mathbf{y}_α)_α$, and $(\mathbf{x}_α)_α$, $(\mathbf{y}_α)_α\subset \mathbb{R}^n$ are two (not necessarily independent) sets of independent random vectors having different covariance matrices and generating well concentrated bilinear forms. W…

关于过去和未来之间的大的经验自协方差矩阵的行为

On the behaviour of large empirical autocovariance matrices between the past and the future

研究了高维复高斯不相关序列的样本自协方差矩阵的平方奇异值在过去和未来之间的分布的渐近性态。使用高斯工具，它被建立的分布行为作为一个确定性的概率测度，其支持S的特点。还建立了平方的奇异值几乎必然位于S的邻域内。

WeSpeR: 计算加权样本协方差的非线性收缩公式

WeSpeR: Computing non-linear shrinkage formulas for the weighted sample covariance

针对高维加权样本协方差的非线性收缩公式计算难题，研究提出WeSpeR算法，利用渐近样本谱理论性质将千维以上场景的计算显著提速，经实证验证性能优良，并提供了PyTorch实现。

样本协方差阵谱分布的普适性原理

The universality principle for spectral distributions of sample covariance matrices

本文导出了样本协方差阵的经验谱分布及其斯蒂尔切斯变换的普适性原理。这一原则规定如下。假设$R^p$中随机向量的二次型$y_p$满足弱大数定律，并且样本量以与$p$相同的速率增长。然后，相应的样本协方差阵的极限谱分布与条件高斯$y_p$的情况相同。这个结果推广到了$m$依赖的鞅差序列和$m$依赖的线性过程.

Quantitative deterministic equivalent of sample covariance matrices with a general dependence structure

We study sample covariance matrices arising from rectangular random matrices with i.i.d. columns. It was previously known that the resolvent of these matrices admits a deterministic equivalent when the spectral parameter stays bounded away from the real axis. We extend this work by proving quantitative bounds involving both the dimensions and the spectral parameter, in particular allowing it to get closer to the real positive semi-line. As applications, we obtain a new bound for the convergence in Kolmogorov distance of the empirical spectral distributions of these general models. We also appl…

独立随机样本协方差矩阵的Hadamard积

Hadamard product of independent random sample covariance matrices with correlation structure

本文研究了在特定维度缩放条件下，独立随机样本协方差矩阵的Hadamard积的渐近特征值分布特性。

样本协方差矩阵硬边的局部Marchenko-Pastur律

Local Marchenko-Pastur Law at the Hard Edge of Sample Covariance Matrices

令$X_N$是其条目是i.i.d.的$N\times N$矩阵。均值为零且方差为$\frac{1}{N}$的复随机变量。我们研究了$N\to\infty$协方差矩阵$X_N^*X_N$特征值的渐近谱分布。我们证明了在一个区间$[E,E+η]$的本征值的经验密度收敛到局部的最佳规模，$N η/\sqrt{E} \gg (\log N)^b$，并在任何区间的硬边，$\frac{(\log N)^b}{N^2}\lesssim E \leq 4-κ$，任何$κ>0$的Marchenko-Pastur法律。作为一个结果，我们显示的特征向量的完全离域。