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arXiv 2007.04114math.NT
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多项式映射的离散算法约束

Arithmetic constraints of polynomial maps through discrete logarithms

Lucas Reis

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摘要：

设$q$是素数幂，$\mathbb F_q$是具有$q$元素的有限域，$θ$是循环群$\mathbb F_q^*$的生成元.对于每个$a\in \mathbb F_q^*$，令$\log_θ a$为唯一整数$i\in \{1, \ldots, q-1\}$，使得$a=θ^i$。给定多项式$P_1, \ldots, P_k\in \mathbb F_q[x]$和$q-1$的约数$1<d_1, \ldots, d_k$，讨论了函数$$F_{i}:y\mapsto \log_θP_i(y)\pmod {d_i}, $$在集合$\mathbb F_q\setminus \cup_{i=1}^k\{y\in \mathbb F_q\,|\, P_i(y)=0\}$上的分布.我们的主要结果是，在自然乘法条件下对$(d_i, P_i)$，$F_i$的功能是渐近独立的。我们还提供了一些应用程序，特别是涉及到过去的工作。

英文摘要：

Let $q$ be a prime power, let $\mathbb F_q$ be the finite field with $q$ elements and let $θ$ be a generator of the cyclic group $\mathbb F_q^*$. For each $a\in \mathbb F_q^*$, let $\log_θ a$ be the unique integer $i\in \{1, \ldots, q-1\}$ such that $a=θ^i$. Given polynomials $P_1, \ldots, P_k\in \mathbb F_q[x]$ and divisors $1<d_1, \ldots, d_k$ of $q-1$, we discuss the distribution of the functions $$F_{i}:y\mapsto \log_θP_i(y)\pmod {d_i}, $$ over the set $\mathbb F_q\setminus \cup_{i=1}^k\{y\in \mathbb F_q\,|\, P_i(y)=0\}$. Our main result entails that, under a natural multiplicative condition on the pairs $(d_i, P_i)$, the functions $F_i$ are asymptotically independent. We also provide some applications that, in particular, relates to past work.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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