A Note on Threshold Dimension of Permutation Graphs
一个图$G(V,E)$是一个阈值图，如果存在非负实$w_v, v \in V$和$t$使得对于每个$U \subseteq V$，$\sum_{v \in U} w_v\leq t$当且仅当$U$是一个稳定集.图$G(V,E)$的{ \it阈值维数}，记为$t(G)$，是最小整数$k$，使得$E$可以被$G$的$k$阈值生成子图覆盖。置换图是可以表示为在欧几里得平面中连接两条平行线的线段族的交图的图。本文证明了若$G$是置换图，则$t(G) \leq α(G)$（其中$α(G)$是$G$中最大独立集的基数）是紧的.作为推论，我们将证明$t(G) \leq \frac{n}{2}$，其中$n$是置换图$G$中的顶点数。这个界限也很紧。
2009-06-05 math.CO
Permutations containing a pattern exactly once and avoiding at least two patterns of three letters
在本文中，我们找到了一个显式的公式，或递归，在$S_n$中的所有置换的集合$S_n(T;τ)$的基数的生成函数，包含$τ\in S_k$正好一次，避免了一个子集$T\subseteq S_3$，$|T|\geq2$。本文的主体部分分为三个部分，分别对应于$|T|=2,3$和$|T|\geq4$两个案例。
2002-02-01 math.CO
Some combinatorial results on smooth permutations
我们证明了任何光滑置换$σ\in S_n$的特征在于在Bruhat区间$(S_n)_{\leqσ}$中的换位和$3$-圈的集合${\mathbf{C}}(σ)$，并且$σ$是${\mathbf{C}}(σ)$中换位的乘积（以一定的顺序）。我们还描述了地图$σ\mapsto{\mathbf{C}}(σ)$的图像。作为应用，我们证明了$σ$是光滑的当且仅当$(S_n)_{\leqσ}$与$S_n$的抛物子群的每个共轭的交都有极大值.这也给出了枚举光滑置换及其子类的另一种方法。最后，我们涉及covexillary排列顺利的和改写的结果（共）的基本设置的富尔顿的意义。
2020-07-11 math.CO
The number of permutations with k inversions
令$n\geq 1$、$0\leq t\leq {n \choose 2}$为任意整数。将数字$I_n(t)$定义为具有$t$反转的$[n]$的排列数。令$n,d\geq 1$和$0\leq t\leq (d-1)n$为任意整数。将{ \em多项式系数} $H(n,d,t)$定义为具有至多$n$部分的$t$的组合物的数目，其中没有一个大于$d-1$。本文利用Gröbner基和自由分解的理论给出了数$I_n(t)$和$H(n,d,t)$的显式公式。
2010-02-10 math.AC math.CO
Permutations with orders coprime to a given integer
令$m$为正整数，$ρ(m,n)$为对称群${\rm Sym}(n)$的置换的比例，其阶与$m$互质。2002年，Pouyanne证明了$ρ(n,m)n^{1-\frac{ϕ(m)}{m}}\sim κ_m$，其中$κ_m$是$m$的复杂（无界）函数。本文证明了存在一个正的常数$C(m)$，使得对所有的$n \geqslant m$，有\[C(m) \left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{ϕ(m)}{m}-1} \leqslant ρ(n,m) \leqslant \left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{ϕ(m)}{m}-1}\]，其中$ϕ$是欧拉函数.
2019-04-18 math.CO
Ballot Permutations and Odd Order Permutations
一个排列$π$是无记名的，如果对于所有的$k$，单词$π_1\cdots π_k$的上升和下降至少一样多。令$b(n)$表示$n$阶的投票置换的数目，令$p(n)$表示对称群$S_n$中具有奇数阶的置换的数目。Callan证明了$b(n)=p(n)$对所有的$n$都成立，这一点已被Bernardi、Duplantier和Nadeau证明。我们提出了一个改进的Callan的原始猜想。令$b(n,d)$表示具有$d$下降的选票排列的数目。令$p(n,d)$表示具有$M(π)=d$的奇数阶置换的数目，其中$M(π)$是与$π$的循环下降有关的某个统计量。我们猜想，对于所有的$n$和$d$，都有$b(n,d)=p(n,d)$。我们证明了这种更强的猜想的情况下$d=1,\ 2,\ 3$，和$d=\lfloor(n-1)/2\rfloor$，并在这些情况下，我们建立$b(n,d)$涉及欧拉数和欧拉-加泰罗尼亚数的公式。
2019-03-13 math.CO
Linked Partitions and Permutation Tableaux
链接分区是由Dykema在自由概率论的变换研究中引入的，而置换表是由Steingrímsson和Williams在完全正格拉斯曼细胞的研究中引入的。令$[n]=\{1,2,\ldots,n\}$。令$L(n,k)$表示具有$k$块的$[n]$的链接分区的集合，令$P(n,k)$表示具有$k$下降的$[n]$的置换的集合，并且令$T(n,k)$表示具有$k$行的长度为$n$的置换表的集合。Steingrímsson和Williams发现了一个双射集之间的排列tableaux长度$n$与$k$行和一组排列的$[n]$与$k$弱超越。Corteel和Nadeau给出了从具有$k$列的长度为$n$的置换表集到具有$k$下降的$[n]$的置换集的双射。本文建立了$L(n,k)$和$P(n,k-1)$之间的双射以及$L(n,k)$和$T(n,k)$之间的双射.限制后者的双射非交叉链接分区，我们发现，相应的置换tableaux的特点是模式避免。
2013-05-23 math.CO
Five subsets of permutations enumerated as weak sorting permutations
我们证明了在OEIS中，S_n中避开五个特定的四字母模式三元组中的任何一个的成员数由序列A111279给出，已知OEIS可以计数弱排序排列.通过数值证据，没有其他（非平凡的）四字母模式的三元组产生这个序列。我们利用各种方法证明我们的结果，包括递归，核方法，直接计数，和双射。
2016-02-16 math.CO
Distributions of mesh patterns of short lengths on king permutations
本文针对国王置换上网格模式分布问题，通过推导22个短长度网格模式的分布，开启了该领域的系统性研究，填补了网格模式分布研究在国王置换这一特殊置换类上的空白。
2024-11-27 math.CO
The minimum Manhattan distance and minimum jump of permutations
令$π$是$\{1,2,\ldots,n\}$的置换。如果我们用它的图来识别一个排列，即在位置$(i,π(i))$上的$n$点的集合，那么自然要考虑任何一对点之间的最小$L^1$（曼哈顿）距离$d(π)$。本文计算了当$n\rightarrow\infty$和$π$一致选择时$d(π)$的期望值（和高阶矩），解决了Bevan，Homberger和Tenner的一个猜想（由排列模式引起），证明了当$d$固定且$n\rightarrow\infty$，$d(π)\geq d+2$趋于$e^{-d^2 - d}$的概率.由$mj(π)=\min_{1\leq i\leq n-1} |π(i+1)-π(i)|$定义的$π$的最小跳跃$mj(π)$是在此上下文中的另一个自然度量。本文计算了$mj(π)$的渐近矩，以及对任意常数$d$，$mj(π)\geq d+1$的渐近概率.
2018-08-02 math.CO
Permutations in two dimensions that maximally separate neighbors
我们的特点是所有的排列，甚至由甚至最大限度地分离相邻顶点的网格。更准确地说，令$n_1$、$n_2$为正偶数，令$I(n_1,n_2)=\{1,\dots,n_1\}\times\{1,\dots,n_2\}$为$n_1\times n_2$网格，令$d$为$I(n_1,n_2)$上的$L_1$度量，令$N=\{\{x,y\}\in I(n_1,n_2)\times I(n_1,n_2):d(x,y)=1\}$为$I(n_1,n_2)$中的邻居集合。我们描述了$I(n_1,n_2)$的所有排列$π$，使$\sum_{\{x,y\}\in N} d(π(x),π(y))$最大化。
2019-11-12 math.CO
Combinatorial minors for matrix functions and their applications
众所周知，永久的一个正方形（0，1）-矩阵$A$的顺序$n$枚举排列$β$的$1,2,...,n$与发病率矩阵$B\leq A.$为了获得枚举信息的偶数和奇数排列的条件$B\leq A,$我们应该计算双重向量$(a_1,a_2)$与$a_1+a_2 =per A.$更一般地，介绍了$ω$ -永久，其中$ω=e^{2πi/m},$我们计算为$m$倍向量。对于这些和其他矩阵函数，我们推广了拉普拉斯定理的第一行元素的扩展，使用定义的所谓的“组合未成年人”。特别地，我们用这种方法计算了具有条件$B\leq A.$的置换的循环指数
2014-06-04 math.CO
On shortening universal words for multi-dimensional permutations
University of Strathclyde（斯特拉斯克莱德大学）；Nankai University（南开大学）
本文通过引入不可比元素的概念，证明了多维排列的通用词存在性，并扩展了Kitaev等人关于常规排列的研究结果。
2026-03-01 math.CO
On weak twins and up-and-down sub-permutations
两个排列$(x_1,\dots,x_w)$和$(y_1,\dots,y_w)$弱相似，如果$x_i<x_{i+1}$当且仅当$y_i<y_{i+1}$对所有$1\leqslant i \leqslant w$。令$π$是集合$[n]=\{1,2,\dots, n\}$的置换，并且令$wt(π)$表示最大整数$w$，使得$π$包含一对长度为$w$的不相交弱相似子置换（称为弱孪生）。最后，令$wt(n)$表示$wt(π)$在$[n]$的所有排列$π$上的最小值。显然，$wt(n)\le n/2$。在本文中，我们展示了$\tfrac n{12}\le wt(n)\le\tfrac n2-Ω(n^{1/3})$。我们还研究了这个问题的一个变种。假设$π'=(π(i_1),...,π(i_j))$，$i_1<\cdots<i_j$，是$π$的交替（或上下）子置换，如果是$π(i_1)>π(i_2)<π(i_3)>...$或$π(i_1)<π(i_2)>π(i_3)<...$。令$Π_n$是从$[n]$的所有$n!$排列中均匀选择的随机排列。已知$Π_n$中最长交替置换的长度是渐近几乎必然（a.a.s.）接近$2n/3$。本文研究了$Π_n$中一对不相交的交替子置换的最大长度$α(n)$，证明了存在两个常数$1/3<c_1<c_2<1/2$使得a.a.s. $c_1n\le α(n)\le c…
2020-12-21 math.CO
The poset of king permutations on a cylinder
如果对于每个$1\leq i \leq n-1$和$|σ_1-σ_n|>1$都有$ |σ_{i+1}-σ_{i}|>1$，则置换$σ=[σ_1,\dots,σ_n] \in S_n$被称为{ \em柱面王置换}。这个名字来自于人们可以看到这些排列描述了$n$国王在$n\times n$顺序的棋盘上的位置，以这种方式（每行和每列都只包含一个国王）没有两个国王相互攻击，附加条件是国王可以离开某行并重新出现在该行的开始。在最近的一篇论文中，我们讨论了更一般的“国王排列”，即只满足上述两个条件中的第一个的排列。这个集合构成了一个在著名的置换包含关系下的Poest。本文研究了柱面国王置换的子偏序集及其结构。我们研究那些圆柱形国王排列，其下集是尽可能大的，在上的行列。我们使用修改后的曼哈顿距离的阴谋置换和它的一些应用程序的圆柱形的情况下，找到一个标准，这样的置换是$k-$多产。我们的主要结果之一是在圆柱排列的偏序集中两个排列之间的最大间隙是$4$。
2020-06-07 math.CO
Pattern avoidance in circular permutations
循环排列{1，2，.，n}对应于以n结束的普通（线性）排列，并且避免了该模式的所有循环旋转。在循环排列中，三个字母的模式几乎是不可避免的，在这里我们给出了避免一个四个字母的模式的循环排列的数量的显式公式。在三种基本上不同的情况下，计数如下：斐波那契数F_{2n-3}用于模式1324，2^{n-1}-（n-1）用于1342，2^{n}+1-2n-{n}选择{3}用于1234。
2002-10-01 math.CO
On the Basis Polynomials in the Theory of Permutations with Prescribed Up-Down Structure
设$π=(π_1,π_2,\hdots,π_n)$是元素$1,2,\hdots,n. $的排列正整数$k\leq2^{n-1}$我们称之为$π,$的索引如果在其二进制记法中为$n$ -数字二进制数，1对应于上升点。本文研究了具有指数$k.$的$n$元素的排列数的行为和性质
2010-09-22 math.CO
Proof of a conjecture of Kløve on permutation codes under the Chebychev distance
设$d$为正整数，$x$为实数。设$A_{d, x}$是一个$d\times 2d$矩阵，其元素为$$ a_{i,j}=\left\{ \begin{array}{ll} x\ \ & \mbox{for} \ 1\leqslant j\leqslant d+1-i, 1\ \ & \mbox{for} \ d+2-i\leqslant j\leqslant d+i, 0\ \ & \mbox{for} \ d+1+i\leqslant j\leqslant 2d. \end{array} \right. $$进一步地，设$R_d$是一组整数序列，如下：$$R_d=\{(ρ_1, ρ_2,\ldots, ρ_d)|1\leqslant ρ_i\leqslant d+i, 1\leqslant i \leqslant d,\ \mbox{and}\ ρ_r\neq ρ_s\ \mbox{for}\ r\neq s\}.$$并定义了$$Ω_d(x)=\sum_{ρ\in R_d}a_{1,ρ_1}a_{2, ρ_2}\ldots a_{d,ρ_d}.$$为了给出Chebychev距离下置换码的球大小的一个较好的界，Kløve引入了上述函数，并证明了$$Ω_d(x)=\sum_{m=0}^d{d\choose m}(m+1)^d(x-1)^{d-m}.$$在本文中，我们肯定地解决了这个猜…
2017-04-05 cs.IT math.CO math.IT
The classification of 231-avoiding permutations by descents and maximum drop
研究了$j$ -下降且最大下降小于等于$k$的231-避免置换的个数，记为$a_{n,231,j}^{(k)}$ .我们发现，$a_{n,231,j}^{(k)}$也计数的Dyck路径的长度$2n$与$n-j$峰和高度$\leq k+1$，和有序树的数目与$n$边缘，$j+1$内部节点，和高度$\leq k+1$。我们证明了当$k$固定时，$a_{n,231,j}^{(k)}$的生成函数满足一个简单的递归.我们还利用有序树的组合学证明了新的显式公式，$a_{n,231,j}^{(k)}$作为$n$的函数，在一些特殊值的$j$和$k$，并证明了一个简单的递归$a_{n,231,j}^{(k)}$的。
2012-08-05 math.CO
Counting Permutations Modulo Pattern-Replacement Equivalences for Three-Letter Patterns
我们研究了$S_n$上的一个等价关系族，这个等价关系族是$n$字母上的一组排列，它是以类似于Knuth关系和遗忘关系的方式建立的。为了我们的目的，如果一个排列可以通过一系列模式替换从另一个排列到达，则两个排列在相同的等价类中，所述模式替换使用其顺序排列在$S_c$的预定分区的相同部分中的模式。当划分是$S_3$，并有一个非平凡的部分，该部分的大小是大于2，我们提供的公式中创建的类的数量在每个以前未解决的情况。当划分是$S_3$的，并且有两个非平凡部分，每个部分的大小为2（Knuth和遗忘关系也是如此）时，我们枚举$14$未解决情况的$13$的类。在其中两种情况下，出现了与克努特和被遗忘的关系所产生的枚举相同的枚举。这种现象的原因在很大程度上仍然是一个谜。
2014-03-03 math.CO
Avoiding patterns with three distinct letters in Canon permutations
Indian Institute of Science（印度科学学院）
该研究从两方面研究Canon排列的模式避免，解决Laudone的三个猜想，确定字母表大小为3时的相关计数，分类禁集并推导生成函数相关结果，提出问题与猜想。
2026-09-02 math.CO
Restricted permutations, continued fractions, and Chebyshev polynomials
设f_n^r（k）是n个字母上的避免132的排列的个数，这些排列恰好包含r个12.设F_r（x;k）和F（x，y;k）是由$F_r(x;k)=\sum_{n\gs0} f_n^r(k)x^n$和$F(x,y;k)=\sum_{r\gs0}F_r(x;k)y^r$定义的生成函数。我们找到了F（x，y;k）的一个连分数形式的显式表达式。这使得我们可以通过第二类切比雪夫多项式来表示$1\ls r\ls k$的F_r（x;k）。
2000-03-14 math.CO
Permutations and the divisor graph of $[1,n]$
令$S_{\rm div}(n)$表示$n$的排列集合$π$，使得对于每个$1\leq j \leq n$，$j \mid π(j)$或$π(j) \mid j$。这些置换也可以看作是除数图$\mathcal{D}_{[1,n]}$在顶点$v_1, \ldots, v_n$上的顶点不相交有向循环覆盖，如果$i\mid j$或$j \mid i$，则其边在$v_i$和$v_j$之间。我们通过证明$c_d = \lim_{n \to \infty }\left(\# S_{\rm div}(n)\right)^{1/n}$的存在和$2.069<c_d<2.694$改进了Pomerance最近的结果。我们也得到了类似的结果的集合$S_{\rm lcm}(n)$的排列，其中${\rm lcm}(j,π(j))\leq n$的所有$j$。结果依赖于一个图论的结果边界的顶点不相交的有向循环覆盖，这可能是独立的利益。
2022-09-28 math.CO math.NT
Quantum Complexity of Permutations
令$S_n$是具有两个生成器的$\{1, \cdots, n\}$的所有置换的对称群：换位将$1$与$2$交换，以及循环置换将$k$发送到$k+1$以用于$1\leq k\leq n-1$，以及将$n$发送到$1$（由$σ$和$τ$表示）。本文以$\{σ, τ, τ^{-1}\}$为逻辑门，研究了$S_n$中置换的量子复杂性。给出了具有二次量子复杂度下界$\frac{n^2-2n-7}{4}$的$S_n$中置换的显式构造.我们还证明了$S_n$中的所有置换都有二次量子复杂度上界$3(n-1)^2$ .最后，我们证明了当$S_n$.
2022-08-12 math.CO quant-ph
How permutations displace points and stretch intervals
令$S_n$为$\{1,\,\dots,\,n\}$和$π\in S_n$上的置换集。令$\mathrm{d}(π)$为$\{|i-π(i)|;\;1\le i\le n\}$的算术平均值。则$\mathrm{d}(π)/n\in[0,\,1/2]$，当$n$接近无穷大时，$\mathrm{d}(π)/n$的期望值接近$1/3$，并且对于大多数排列，$\mathrm{d}(π)/n$接近$1/3$。我们描述所有的排列$π$最大$\mathrm{d}(π)$。令$\mathrm{s}^+(π)$和$\mathrm{s}^*(π)$为$\{|π(i)-π(i+1)|;\;1\le i<n\}$的算术和几何平均值，令$M^+$、$M^*$分别为$\mathrm{s}^+$和$\mathrm{s}^*$在$S_n$上的最大值。然后是$n=2m$时的$M^+=(2m^2-1)/(2m-1)$，$n=2m+1$时的$M^+ = (2m^2+2m-1)/(2m)$，$n=2m$时的$M^* = (m^m(m+1)^{m-1})^{1/(n-1)}$，有趣的是，$n=2m+1>1$时的$M^* = (m^m(m+1)(m+2)^{m-1})^{1/(n-1)}$。我们描述了具有最大$\mathrm{s}^+(π)$和$\mathrm{s}^*(σ)$的所有排列$π$、$σ$。
2015-09-18 math.CO
Fragmenting random permutations
Pitman's Saint-Flour讲义中的问题1.5.7：对于每个n，是否存在一个碎片化过程（Π_{n，k}，1 \leq k \leq n），在{1，2，.，，}的分区空间中取值n}，使得k_{n，k}的分布类似于由{1，2，.，n}有条件有k个循环？我们证明答案是肯定的。我们也给出了一般交换Gibbs分拆的部分推广。
2007-12-04 math.CO math.PR
Connections between certain numbers related to derangements and $r$-permutations
本文针对非负整数参数定义两类特殊排列集合，采用计数论证方法探究其与r-错位排列集合之间的关联。
2025-11-17 math.CO math.NT
Even-Intersecting Families of Permutations
Department of Mathematics and Statistics, IISER Kolkata, India（印度加尔各答印度科学教育与研究所数学与统计系）
本文研究偶交置换族的最大大小，对偶数 n 改进指数因子，对奇数 n 给出构造，并渐近匹配已知上界。
2026-09-21 math.CO
On consecutive sums in permutations
我们研究的总和$\sum_{i=u}^{v-1} a_i$，其中$a_1,a_2,\dots,a_n$是一个置换的$1,2,\dots,n$和$1 \leq u < v \leq n+1$的值的数量。特别是，我们表明，对于一个随机选择的置换，具有很高的概率有$(\frac{1+e^{-2}}{4} +o(1)) n^2$这样的总和。这回答了Erdés和Harzheim的一个老问题。我们还获得了非平凡的界限上的最大可能数目的不同的总和，范围超过所有排列的$1,2,\dots,n$。最后，我们讨论一些关于不同和的最小可能个数的问题。
2021-08-27 math.CO math.NT
Blocks in cycles and k-commuting permutations
令$k$非负整数，并且令$α$和$β$是$n$符号的两个排列。如果$H(αβ, βα)=k$，我们说$α$和$β$ $k$ -可交换，其中$H$表示排列之间的汉明度量。本文考虑了寻找$k$ -可换的置换与给定置换的问题。我们的主要结果是$k$ -交换的置换与给定的置换$β$在循环中的块在分解的$β$作为一个产品的不相交的循环的一个特征。利用这一特征，我们提供了一些公式的置换，$k$ -交换换位，不动点自由对合和$n$ -循环，任何$k$。此外，我们确定的数目的排列，$k$ -交换与任何给定的置换，$k \leq 4$。
2014-08-18 math.CO
On counting permutations by pairs of congruence classes of major index
对于一个固定的正整数n，设S_n表示n的对称群！在一个实施例中，将n个符号上的置换设为0，并且令maj（sigma）表示置换sigma的主索引。对于不大于n的正整数k<m和非负整数i和j，给出了Sn中maj（sigma）同余于i mod k和maj（sigma^（-1））同余于j mod m的置换集sigma的基数的计数公式.当m整除n-1，k整除n时，我们证明对于所有i，j，这个基数等于（n！）/（公里）。
2001-09-26 math.CO
Covering radius in the Hamming permutation space
令$\mathcal{S}_n$表示$\{1,2,\dots,n\}$的置换集。函数$f(n,s)$被定义为子集$S\subseteq \mathcal{S}_n$的最小大小，其性质是对于任何$ρ\in \mathcal{S}_n$，存在一些$σ\in S$，使得$ρ$和$σ$之间的汉明距离至多为$n-s$。$f(n,2)$的值是Kézdy和Snevily的一个猜想的主题，它包含了几个关于拉丁方的著名猜想。证明了Kézdy-Snevily猜想的奇$n$情形蕴涵整个猜想。我们还表明，$f(n,2)>3n/4$为所有$n$，$s!< f(n,s)< 3s!(n-s)\log n$为$1\leq s\leq n-2$和\[f(n,s)>\left\lfloor \frac{2+\sqrt{2s-2}}{2}\right\rfloor \frac{n}{2}\]，如果$s\geq 3$。
2019-09-20 math.CO
Intersecting generalised permutations
对于任何具有$r \leq \min\{k,n\}$的正整数$k,r,n$，令$\mathcal{P}_{k,r,n}$是所有集合$\{(x_1,y_1), \dots, (x_r,y_r)\}$的族，使得$x_1, \dots, x_r$是$[k] = \{1, \dots, k\}$的不同元素，并且$y_1, \dots, y_r$是$[n]$的不同元素。家族$\mathcal{P}_{n,n,n}$和$\mathcal{P}_{n,r,n}$分别描述了$[n]$的排列和$r$-$[n]$的部分排列。如果$k \leq n$，则$\mathcal{P}_{k,k,n}$描述$[n]$的$k$元素子集的排列。一个集合族$\mathcal{A}$称为相交的，如果$\mathcal{A}$的每两个成员相交。本文用Katona的优美循环方法证明了许多作者的Erdens-Ko-Rado型结果的推广：$\mathcal{P}_{k,r,n}$的任何相交子族$\mathcal{A}$的大小至多为${k-1 \choose r-1}\frac{(n-1)!}{(n-r)!}$，且达到上界的充要条件是对某些$a \in [k]$和$b \in [n]$有$\mathcal{A} = \{A \in \mathcal{P}_{k,r,n} \colon (a,b) \in A\}$.
2014-03-10 math.CO
Normal approximations for descents and inversions of permutations of multisets
集合$\{1,2,...,n\}$的排列的下降和反转的正规近似是众所周知的。在实践中出现的许多序列，如人类基因组和其他基因组，包含许多重复的元素。受这些例子的启发，我们考虑了具有$n$元素的多重集的置换$π(1), π(2),...,π(n)$的反转数，其是$(i,j)$与$1\leq i < j \leq n$和$π(i)>π(j)$的对的数目。下降数是$1\leq i < n$范围内的$i$的数量，使得$π(i) > π(i+1)$。我们证明，适当规范化，分布的反转和下降的随机排列的多重集接近正态分布的$n\to\infty$，提供的排列是同样可能的任何可能的排列的多重集和没有元素发生超过$αn$倍的多重集为固定的$α$与$0<α< 1$。这两个正常的逼近定理证明使用的大小偏置版本的斯坦的辅助随机化方法，并伴随着误差界。
2006-09-29 math.CO math.PR
On the Möbius Function of Permutations With One Descent
所有排列的集合，按模式包含排序，是一个偏序集。对于至多有一个下降的任意置换$π$，给出了该偏序集中区间$[1,π]$的默比乌斯函数的一个公式.我们计算的默比乌斯函数作为一个功能的数量和位置的连续字母对在$π$是连续的价值。结果证明了默比乌斯函数在所有置换的偏序集上是无界的。证明了默比乌斯函数在任意区间$[1,π]$上为零，其中$π$有三个连续的字母，其值是连续的和单调的.我们还推测了默比乌斯函数在其它至多下降一次的排列区间上的值。
2014-04-02 math.CO
How often is a permutation an n'th power?
我们给出一个简短的论证，对于任何固定的n，m个字母上的排列是n次幂的概率渐近地为Cm ^{phi（n）/n - 1}。
1997-12-03 math.CO
On Pattern Avoiding Alternating Permutations
长度为$n$的交替置换是置换$π=π_1 π_2 ... π_n$，使得$π_1 < π_2 > π_3 < π_4 > ...$。令$A_n$表示${1,2,..., n}$的交替排列的集合，并且令$A_n(σ)$是$A_n$中避免模式$σ$的交替排列的集合。最近，Lewis利用生成树列举了$A_{2n}(1234)$、$A_{2n}(2143)$和$A_{2n+1}(2143)$，并对避免某些模式的交替排列的Wilf等价性提出了几点证明。其中一些命题已被证明博纳，徐和严。本文证明了Lewis提出的两个关系式$|A_{2n+1}(1243)|=|A_{2n+1}(2143)|$和$|A_{2n}(4312)|=|A_{2n}(1234)|$。
2012-12-12 math.CO
Fertility Monotonicity and Average Complexity of the Stack-Sorting Map
令$\mathcal D_n$表示将$S_n$中的置换排序为恒等置换$123\cdots n$所需的West堆栈排序映射$s$的平均迭代次数。我们证明了\[0.62433\approxλ\leq\liminf_{n\to\infty}\frac{\mathcal D_n}{n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{\mathcal D_n}{n}\leq \frac{3}{5}(7-8\log 2)\approx 0.87289,\]，其中$λ$是Golomb-Dickman常数。我们的下界改进了West的$0.23$的下界，我们的上界是$1$的平凡上界的第一个改进。然后，我们表明，受精率的排列单调增加后，迭代的$s$。更准确地说，我们证明了，$|s^{-1}(σ)|\leq|s^{-1}(s(σ))|$的所有$σ\in S_n$，其中平等保持当且仅当$σ=123\cdots n$。这是第一个定理，体现了博纳提出的堆栈排序映射的收益递减律哲学。在此过程中，我们注意到堆栈排序映射与$S_n$上的左右弱序之间的一些联系。
2020-09-27 math.CO
Generating functions for permutations which avoid consecutive patterns with multiple descents
令$S_n$表示$n$的所有排列的群。对于每一个排列$σ$，我们让$\mathrm{des}(σ)$表示$σ$中下降的数目，$\mathrm{LRMin}(σ)$表示$σ$的从左到右的最小值的数目。给定不同正整数的序列$τ= τ_1 \cdots τ_n$，我们定义$τ$的约简$\mathrm{red}(τ)$为$S_n$的置换，其结果是将$τ$的第$i$个最小元素替换为$i$。如果$Γ$是一组排列，我们说一个排列$σ= σ_1 \ldots σ_n \in S_n$有一个$Γ$ -匹配，从位置$i$开始，如果有一个$i < j$使得$\mathrm{red}(σ_i σ_{i+1} \ldots σ_j) \in Γ$。我们让$Γ$ - $\mathrm{mch}(σ)$表示$σ$中$Γ$ -匹配的数量。我们设$\mathcal{NM}_n(Γ)$是$σ\in S_n$的集合，使得$Γ$ - $\mathrm{mch}(σ) = 0$。本文改进了Jones和Remmel的互易方法，研究了\begin{equation} \mbox{NM}_Γ(t,x,y)=\sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} \mbox{NM}_{Γ,n}(x,y) \end{equation}形式的生成函数，其中在不再坚持所有排列$τ\in Γ$至多有一个下降的情况下，$\displa…
2017-02-27 math.CO
Avoiding 2-letter signed patterns
设B_n是超八面体群，即n个字母上所有符号置换的集合，B_n（T）是B_n中避开符号模式集合T的所有符号置换的集合。本文给出了集合B_n（T）的所有基数，其中$T \subseteq B_2$ .这允许我们通过二项式系数、二项式系数、卡塔兰数和斐波那契数的逆来表示这些基数。
2002-07-23 math.CO
Extremal $t$-intersecting Families of Permutations for Large $t$
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
研究大 $t$ 下最大 $t$-相交置换族的分类，通过改进 Kupavskii 的 spread 近似技术，将结论适用范围扩展到 $t\leq n-n^{5/7+\varepsilon}$。
2026-05-25 math.CO
On the number of mth roots of permutations
设m为固定的正整数。众所周知，置换$σ$可以有一个、多个或没有m个根。本文给出了σ的m次根个数的显式表达式和生成函数。设p_m（n）是随机n-置换有m次根的概率。本文还证明了p_m（jq）=p_m（jq+1）=. =p_m（jq+（q-1）），其中j= 0，1，. m是素数q的幂。
2011-09-12 math.CO
An explicit formula for the number of permutations with a given number of alternating runs
令$R(n,k)$表示具有$k$交替运行的${1,2,...,n}$的排列数。本文给出了数$R(n,k)$的一个显式公式。
2011-11-20 math.CO
Decomposing Inversion Sets of Permutations and Applications to Faces of the Littlewood-Richardson Cone
如果$α\in S_n$是$\{1, 2, \ldots, n\}$的置换，则$α$的逆集是$Φ(α) = \{(i, j) \, | \, 1 \leq i < j \leq n, α(i) > α(j)\}$。我们描述了所有的$r$ -元组$α_1, α_2, \ldots, α_r \in S_n$，使得$Δ_n^+ = \{(i, j) \, | \, 1 \leq i < j \leq n\}$是$Φ(α_1), Φ(α_2), \ldots, Φ(α_r)$的不相交并集。使用这种描述，我们证明了某些面的Littlewood-Richardson锥是单纯的，并提供了一个算法，写下他们的生成射线集。我们还讨论了类似的问题的Weyl群的类型$B$，$C$和$D$根系提供解决方案的类型$B$和$C$。最后，我们提供了一些枚举结果，并介绍了一个有用的工具，可视化反演集。
2014-09-03 math.AG math.CO math.RT
$3$-setwise intersecting families of the symmetric group
给定两个正整数$n\geq 3$和$t\leq n$，如果排列$σ,π\in \operatorname{Sym}(n)$在$\{1,2,\ldots,n\}$的$t$-子集上一致（按集），则它们是$t$-集相交的。如果$\mathcal{F}$的任意两个排列是$t$ -集相交的，则族$\mathcal{F} \subset \operatorname{Sym}(n)$是$t$ -集相交的. Ellis [Journal of Combinatorial Theory，Series A，119（4），825--849，2012]阐明，如果$t\leq n$和$\mathcal{F} \subset \operatorname{Sym}(n)$是$t$ -按集相交族，则仅当$\mathcal{F}$是$\{1,2,\ldots,n\}$的$t$ -子集的按集稳定子的陪集时，$|\mathcal{F}|\leq t!(n-t)!$和等式才成立。本文证明了若$n\geq 11$和$\mathcal{F}$是$3$ -集交的，则有$|\mathcal{F}|\leq 6(n-3)!$ .证明了$3$ -集相交族的特征向量存在于$\operatorname{Sym}(n)$的置换模作用于$\{1,2,\ldots,n\}$的$3$ -子集的特征空间之和中.
2021-09-03 math.CO
Coloured permutations containing and avoiding certain patterns
按照曼苏尔的说法，让$S_n^{(r)}$是符号$1,2,...,n$上所有颜色排列的集合，颜色为$1,2,...,r$，当r=1时，它类似于对称群，当r=2时，它类似于超八面体群。设$I\subseteq\{1,2,...,r\}$是d种颜色的子集，我们定义$T_{k,r}^m(I)$是所有着色排列的集合，$ϕ\in S_k^{(r)}$使得$ϕ_1=m^{(c)}$，其中$c\in I$。证明了$S_n^{(r)}$中$T_{k,r}^m(I)$ -避免色置换的个数等于$(k-1)!r^{k-1}\prod_{j=k}^n h_j$，其中$h_j=(r-d)j+(k-1)d$为$n\geq k$.然后，我们证明，对于任何$ϕ\in T_{k,r}^1(I)$（或任何$ϕ\in T_{k,r}^k(I)$），在$S_n^{(r)}$中的彩色排列的数量，避免所有的模式在$T_{k,r}^1(I)$（或在$T_{k,r}^k(I)$）除了$ϕ$和包含$ϕ$正好一次等于$\prod_{j=k}^n h_j\cdot \sum_{j=k}^n \frac{1}{h_j}$的$n\geq k$。最后，对于任何$ϕ\in T_{k,r}^m(I)$，$2\leq m\leq k-1$，该数字等于$n\geq k+1$的$\prod_{j=k+1}^n h_j$。这些结果推广了Mansour和…
2001-12-03 math.CO
Quasi-strongly regular digraphs constructed from transitive groups of degree $n\leq 110$
Faculty of Mathematics, University of Rijeka（里耶卡大学数学学院）
本文提出一种从传递置换群构造有向正则图的推广方法，证明多组参数的有向强正则图存在，并分类了低次数传递群和本原群产生的拟强正则有向图。
2026-09-10 math.CO
Extremal Families for Matchings in Permutations
Institute for Mathematical Sciences, Renmin University of China（中国人民大学数学科学研究所）；Department of Mathematical Sciences, Tsinghua University（清华大学数学科学系）
本文在2≤s≤n的全范围刻画了排列族不含s个两两不相交排列时的极值等号情形，证明该情形等价于族为(s-1)个两两不相交1-陪集的并集，并给出相关线性命题的组合证明。
2026-09-04 math.CO
A Class of Kazhdan-Lusztig R-Polynomials and q-Fibonacci Numbers
令$S_n$表示$\{1,2,\ldots,n\}$上的对称群。对于两个排列$u, v\in S_n$使得$u\leq v$为Bruhat阶，令$R_{u,v}(q)$和$\R_{u,v}(q)$分别表示Kazhdan-Lusztig $R$ -多项式和$\R$ -多项式。令$v_n=34\cdots n\, 12$，并令$σ$为置换，使得$σ\leq v_n$。我们得到一个公式的$\R$ -多项式$\R_{σ,v_n}(q)$的$q$ -斐波那契数取决于一个参数所确定的约化表达式的$σ$。当$σ$是恒等式$e$时，这简化为Pagliacci获得的公式。在另一个方向上，我们得到了一个公式的$\R$ -多项式$\R_{e,\,v_{n,i}}(q)$，其中$v_{n,i} = 3 4\cdots i\,n\, (i+1)\cdots (n-1)\, 12$。在更一般的情况下，我们推测，对于任何两个排列$σ,τ\in S_n$，$σ\leq τ\leq v_n$，$\R$ -多项式$\R_{σ,τ}(q)$可以表示为$q$ -斐波那契数乘以$q$的幂的乘积。
2013-12-08 math.CO
On comparability of bigrassmannian permutations
令$\mathfrak{S}_n$和$\mathfrak{B}_n$分别表示$n$阶的普通和bigrassmannian（BG）置换的集合，并且令$(\mathfrak{S}_n,\leq)$表示Bruhat序置换偏序集。我们研究的限制偏序集$(\mathfrak{B}_n,\leq)$，首先提供了一个简单的标准的可比性。该准则用于证明偏序集是连通的，计算元素之间的饱和链，以及计算$r$固定元素之下的极大元素的个数。它还可以快速生成$β(ω)$（分别为$α(ω)$）的公式，即BG排列的数量弱低于（分别弱高于）固定的$ω\in\mathfrak{B}_n$，并用于计算$\mathfrak{B}_n$中任何区间上的莫比乌斯函数。然后，我们转向概率研究$β=β(ω)$（$α=α(ω)$分别）的均匀随机$ω\in\mathfrak{B}_n$。我们发现，$α$和$β$是等分布的，$β$是相同的顺序，其期望与高概率，但未能集中其平均值。后一个事实源于$β/n^3$的极限分布。我们还计算了随机选择的BG排列形成2元或3元多链的概率。
2018-03-01 math.CO
Order-isomorphic twins in permutations
令$a_1,\dotsc,a_n$是$[n]$的置换。两个不相交的序同构连续称为\emph{twins}。我们证明了$[n]$的每一个置换都包含长度为$Ω(n^{3/5})$的孪生子，从而提高了$Ω(n^{1/2})$的平凡界.我们还表明，随机排列包含长度为$Ω(n^{2/3})$的孪生子，这是尖锐的。
2020-06-20 math.CO
Integer sequences and k-commuting permutations
令$β$是$n$符号上的任何置换，并且令$c(k, β)$是$k$ -与$β$交换的置换的数目。置换$β$的循环类型是向量$(c_1, \dots, c_n)$，使得$β$在其不相交循环因式分解中恰好具有长度为$i$的$c_i$循环。在这篇文章中，我们得到了$c(k, β)$的公式，对一些循环类型。我们还表示这些公式的整数序列中给出的“在线百科全书序列”（OEIS）。对于这些序列中的一些，我们获得新的解释或与OEIS数据库中的序列的关系。
2015-11-30 math.CO
Enumeration of permutations by number of alternating runs
设R（n，k）表示{1，2，.，n}，其中k个交替运行。我们找到了数R（n，k）的一个语法描述，然后给出了数R（n，k）的几个包含生成函数的卷积公式。此外，我们建立了交替运行和安德烈排列之间的联系。
2012-11-28 math.CO
3AP-free permutations have no exponential growth rate
National University of Singapore（新加坡国立大学）
该研究证明了不含3项等差数列的排列数目在n趋向于无穷大时，其n次根的极限不存在。
2026-02-14 math.CO
