Derivative polynomials and enumeration of permutations by their alternating descents
在本文中，我们提出了一个明确的公式，排列的数目与给定的交替下降。此外，我们还研究了这些数的生成多项式的零点的实部的交错性质。
2015-04-09 math.CO
Descent polynomials for permutations with bounded drop size
受杂耍序列和冒泡排序的启发，我们研究了集合{1，2，. n}，具有d个下降和最大液滴尺寸k。对于给定的整数k和d，我们给出了枚举这种排列的显式公式。我们还导出了相关的生成函数，并证明了单峰性和对称性的系数。
2010-01-18 math.CO
Exact and asymptotic enumeration of cyclic permutations according to descent set
利用Gessel和Lettenauer的一个结果，我们找到了一个关于给定下降集的轮换数的简单公式，将其表示为普通下降数（即，那些计数具有给定下降集合的所有排列的排列）。然后，我们使用这个公式表明，对于几乎所有的集合$I \subseteq [n-1]$，具有下降集合$I$的大小- $n$置换是$n$ -循环的部分是渐近的$1/n$。作为一个特例，我们恢复了交替循环的Stanley结果。我们还使用我们的公式来计算没有两个连续下降的周期。
2019-07-15 math.CO
Schubert Products for Permutations with Separated Descents
如果$π$在位置$k$之前没有下降，而$ρ$在位置$k$之后没有下降，我们说两个排列$π$和$ρ$在位置$k$处有分离的下降。本文给出了一个计算Schubert多项式的乘积的结构常数的约化表公式，并指出这些结构常数是某些Edelman-Greene系数。我们的方法使用Schützenberger的jeu de taquin算法和Edelman-Greene对应通过颠簸的白日梦的概括。
2023-01-12 math.CO
Descents on quasi-Stirling permutations
斯特灵置换是由Gessel和Stanley引入的，他们使用下降数的计数来给出与斯特灵数相关的某些多项式的组合解释。拟Stirling置换是由Archer等人提出的Stirling置换的自然扩张，它可以被看作是标记非交叉匹配。将Stirling置换与标号增平面树之间的Janson对应关系推广到拟Stirling置换与相同树集合之间的双射，而不需要增限制。Archer等人提出了用下降数来枚举拟Stirling置换的问题，并证明存在$(n+1)^{n-1}$这样的置换，其大小为$n$，具有最大下降数。本文证明了他们的猜想，并给出了拟Stirling置换的下降数母函数，表示为欧拉多项式母函数的合成逆。我们还找到了Gessel和Stanley论文中主要结果的拟Stirling置换的类似物。我们证明了这些置换的下降分布是渐近正态的，并且相应的拟斯特林多项式的根都是实的，类似于博纳关于斯特林置换的结果。最后，我们将我们的结果推广到一个单参数的家庭的排列，扩展了$k$ -斯特林排列，我们完善他们也保持跟踪的上升和高原的数量。
2020-02-03 math.CO
Descents in $t$-Sorted Permutations
让$s$表示West的堆栈排序映射。一个置换称为$t-\textit{sorted}$，如果它的形式为$s^t(μ)$，对于某些置换$μ$。证明了长度为$n$的$t$排序置换的最大下降数为$\left\lfloor\frac{n-t}{2}\right\rfloor$ .当$n$和$t$具有相同的奇偶性和$t\geq 2$时，我们给出了$S_n$中达到这个最大值的$t$排序置换的一个简单刻画.特别地，这种排列的数目是$(n-t-1)!!$。
2019-06-30 math.CO
The descent statistic over 123-avoiding permutations
我们利用Krattenthaler的双射之间的123-避免排列和Dyck路径，以确定在$S_n$的123-避免排列的集合$S_n(123)$的欧拉分布。特别地，我们证明了置换的下降对应于Dyck路径的谷和三重下降，并通过研究这两个统计量在Dyck路径上的联合分布，得到了$S_n(123)$的欧拉数.
2009-10-06 math.CO
Generalized descent patterns in permutations and associated Hopf algebras
排列或单词中的下降是从两个连续字母的相对位置定义的。我们研究了一个包含k个连续字母模式的统计量，并证明了它导致了霍普夫代数的推广，推广了非交换对称函数和拟对称函数.
2009-11-30 math.CO
Intervals of Permutations with a Fixed Number of Descents are Shellable
所有排列的集合，按模式包含排序，是一个偏序集。本文给出了从具有固定下降数的置换偏序集到具有子词序的词偏序集的一个序同构。我们使用这种双射来证明具有固定下降次数的排列的区间是可壳的，并且我们给出了这些区间的默比乌斯函数的公式。我们提出了一个替代的证明的结果默比乌斯函数的间隔$[1,π]$，使$π$只有一个下降。我们证明，如果$π$有一个下降，避免456123和356124，那么区间$[1,π]$没有非平凡的不连通子区间，我们猜想，这些区间是可壳的。
2015-07-30 math.CO
The generating function of two-stack sortable permutations by descents is real-rooted
论文被撤回，因为结果包含在arXiv：math/0403364中。
2012-04-17 math.CO
Descent polynomials for k bubble-sortable permutations of type B
受Chung，Claesson，Dukes和Graham的工作的启发，我们定义了经典冒泡排序的自然B型模拟，并使用它来定义最大丢弃统计的B型模拟。我们列举（通过显式，递归和生成函数公式）有符号排列r类型B下降和类型B最大下降最多k。我们还发现这些符号排列和某些2色杂耍序列之间的连接。
2012-05-04 math.CO
Descents and inversions in powers of permutations
本文推广了Archer和Geary关于排列幂中下降的结果并证实其猜想，证明了排列 $k$ 次幂的下降与逆序期望数显式公式，并计算了特定条件下的Grassmanian排列及最大下降数排列的数量。
2024-08-23 math.CO
Descent sets of cyclic permutations
我们给出了{1，2，.，}的轮换之间的一个双射n+1}和{1，2，...，n}，保持前n个条目的下降集和弱超越集。这种非平凡的双射涉及到一个类似于Foata的置换循环符号的变换，然后是某些共轭。我们也给出了一个替代推导的结果，使用工作的Gessel和Eschertenauer的下降集的均匀分布。最后证明了作者在[SIAM J. Discrete Math.23（2009），765-786]中的一个猜想和Eriksen，Freij and Wästlund的一个猜想。
2012-01-31 math.CO
On the Real-rootedness of the Descent Polynomials of $(n-2)$-Stack Sortable Permutations
Bóna证明了$(n-2)$ -栈可排序排列的下降多项式只有实零。Brändén通过建立一个更一般的结果证明了这个猜想。本文利用Savage和Visontai最近发展的$s$ -欧拉多项式理论，给出Brändén结果的另一个证明.
2016-02-05 math.CO
Revstack sort, zigzag patterns, descent polynomials of $t$-revstack sortable permutations, and Steingrímsson's sorting conjecture
在本文中，我们研究的排序操作$T(LnR)=T(R)T(L)n$。将此运算符应用于置换等效于将置换反向通过堆栈。我们证明了定理，$t$-revstack排序的模式方面的置换，我们称之为$zigzag$模式。利用这些定理，我们证明了那些由$T$的$t$应用程序为$t=0,1,2,n-3,n-2,n-1$排序的长度为$n$的排列。我们推导出这六类排列的下降多项式的表达式，并利用这些信息来证明Steingrímsson对$t$的六个值的排序猜想。证明了一般$t$-revstack可排序置换的下降多项式的对称性和单峰性，并给出了三个证明.
2014-04-05 math.CO
Enumeration of flattened $k$-Stirling permutations with respect to descents
本文证明扁平化k-Stirling排列与类型B集合划分的着色变体双射对应，并用加权标记结构给出其基数和下降多项式的指数生成函数及若干计数公式。
2023-08-08 math.CO
Distribution of sets of descent tops and descent bottoms on restricted permutations
本文研究模式避免排列上下降顶集与下降底集的分布，通过双射证明3字母模式下231、312避免排列的两类集合联合等分布，提出4字母模式相关猜想，且部分猜想已被他人证明。
2025-01-13 math.CO
Descent set distribution for permutations with cycles of only odd or only even lengths
本文证明对称群中仅含奇长度循环与仅含偶长度循环的排列数等式在下降集层面的细化，并给出奇数阶情形的变体，方法基于特征标生成函数与高阶 Lie 特征标新恒等式。
2025-02-05 math.CO
The Descent Set and Connectivity Set of a Permutation
一个置换w为1，2，.的下降集D（w），n是一个标准的、经过充分研究的统计量。我们引入了一个新的统计量--连通集C（w），并证明了它是D（w）的一种对偶对象.对偶性用记录D（w）和C（w）的联合分布的矩阵的逆来表示。我们还给出了一个变化，涉及置换的多集和一个Q-模拟，跟踪的数量反转的W。
2005-07-11 math.CO
Canon permutations and generalized descents of standard Young tableaux
本文将nonnesting排列枚举多项式的分解结果推广至任意k的Canon排列，通过双射证明将其与矩形标准杨表的广义降序枚举相联系，并解决了Sulanke关于格路径统计量分布的猜想。
2024-03-22 math.CO
Permutations of type $B$ with fixed number of descents and minus signs
本文研究了三维数组$B(n,k,j)$，$0\le j,k\le n$，其中$B(n,k,j)$是$k$下降且$j$为减号的$n$阶$B$型置换的个数.我们证明，特别是，$b(n,k,j):=B(n,k,j)/\binom{n}{j}$是一个整数，并提供两个组合解释这些数字。
2019-05-26 math.CO
Inversion-descent enumerators of $\underline{32}1$-avoiding permutations
College of Mathematics and Physics, Wenzhou University（温州大学数理学院）
该研究针对避免$\boldsymbol{321}$ vincular模式的排列，推导了涉及逆序、降序的计数多项式递推关系与$q$-指数生成函数，并从受限增长单词角度提供了新解释。
2026-09-01 math.CO
A Context-free Grammar for Peaks and Double Descents of Permutations
本文研究了$[n] =\{1,2,\ldots,n\}$上置换的外峰数与真双降数的联合分布。置换的外峰的概念是由Aguiar、Bergeron和Nyman在他们研究峰代数时引入的。Gessel得到了$[n]$上具有给定外峰数的排列数的母函数。另一方面，Elizalde和Noy通过建立微分方程，导出了在给定的真双下降数下，$[n]$上排列数的生成函数。Barry和Basset独立地推导出了$[n]$上排列数的生成函数，没有适当的双下降。我们找到了一个上下文无关的文法，它可以用来计算置换数的$[n]$与给定数量的外部峰和一个给定数量的适当的双下降。基于该文法，可以很容易地得到$[n]$上置换数与给定外峰数的递推关系。此外，我们使用文法演算来推导母函数，而不需要解微分方程。我们的公式简化为Gessel、Elizalde-Noy、Barry和Basset的公式。最后，从文法上建立了我们的生成函数与Carlitz和Scoville导出的峰数和双下降数的联合分布的生成函数之间的关系。
2018-01-17 math.CO
Variations on Descents and Inversions in Permutations
我们研究新的统计排列的下降和反转统计的变化。特别地，我们考虑置换sigma = sigma_1sigma_2.的交替下降集。sigma_n定义为索引i的集合，使得i为奇数且sigma_i > sigma_{i+1}，或者i为偶数且sigma_i < sigma_{i+1}。我们发现，这个统计量是等分布的3-下降集统计排列sigma = sigma_1 sigma_2.其中sigma_1 = 1，定义为索引i的集合，使得三重sigma_i sigma_{i+1} sigma_{i+2}形成大小为3的奇置换。然后，我们引入对应于两个新的变化下降的Mahonian反转统计，并表明所产生的下降反转对的联合分布是相同的。我们研究涉及交替欧拉多项式的生成函数，通过与使用交替下降的经典欧拉多项式sum_{sigma in S_n} t^{des（sigma）+1}类比来定义。对于交替下降集统计量，我们通过类比布尔代数B_n的ab-指标定义了两个非交换变量的生成多项式，并对它进行了观察，通过观察交替（下-上）排列中交替反转的个数，我们得到了欧拉数E_n的一个新的q-模拟，并说明了它如何出现在表示E_n为Dyck路加权和的恒等式的q-模拟中.
2008-04-11 math.CO
The excedances and descents of bi-increasing permutations
本文从某些差分统计量与经典置换统计量的关系出发，研究了反转数与超差一致的置换。事实证明，这些（所谓的双递增）排列只是避免321的排列。本文考察了它们的递进结构。特别是，我们找到了一些很好的组合解释的分布系数的数量的超越和下降，分别，和他们的差异类似物的双递增排列的双polyominoes和2-Motzkin路径。这就产生了限制排列、二次多项式和格路径之间的联系，揭示了这些对象的几个著名双射之间的关系（例如Delest-Viennot、Billey-Jockusch-Stanley、Francon-Viennot和Foata-Zeilberger）。作为应用，我们按秩列举了斜交图，并对对称群上的超数和逆数的联合分布的对称性的一个结果给出了一个简单的组合证明.
2002-12-18 math.CO
A descent-excedance correspondence in colored permutation groups
Indian Institute of Science（印度科学学院）；Indian Institute of Technology, Bombay（孟买印度理工学院）
研究在固定首字母的排列中，通过改变首字母得到下降和超越的枚举数相等，并推广到类型B和其他彩色排列群，定义下降和超越通过线性序，得出类型B结果的推广和Conger结果的类型B版本。
2024-10-30 math.CO
Enumerating Permutations and Rim Hooks Characterized by Double Descent Sets
令$dd(I;n)$表示具有双重下降集$I$的$[n]$的排列数。对于单例集$I$，我们给出了$dd(I;n)$的一个递归公式和估计$dd(I;n)$的一种方法.我们还讨论了某些类的缘钩的枚举。令$\mathcal{R}_I(n)$表示长度为$n$的所有边缘钩的集合，其具有双重下降集$I$，使得这些边缘钩之一的任何表对应于具有双重下降集$I$的置换。当$I$是单例集时，我们给出了$\mathcal{R}_I(n)$的大小公式;当$I$是空集时，我们也给出了$\mathcal{R}_I(n)$的大小公式.我们还提出了几个渐近的某些比率的$dd(I;n)$。
2019-11-02 math.CO
Major index over descent for pattern-avoiding permutations
模式回避理论中的一个公开猜想是，321-回避排列中的主索引的分布是单峰分布的。我们为这个分布构造了一个公式，在2次下降的情况下证明了单峰性，3到5次下降的单峰性可能稍微复杂一些。该公式是对Frame-Robinson-Thrall钩长公式的$q$ -模拟的改进，本文后半部分讨论了另一个同类型的定理，并对这一问题作了进一步的探讨。我们也给出了其他长度为3的置换模式的类似行为的观察。
2017-07-13 math.CO
Enumeration of permutations by the parity of descent positions
本研究发现近期部分下降多项式变体属Carlitz-Scoville四变量多项式特例，证明了该生成函数的q-模拟与B型模拟，还得到Chebikin公式的q-模拟、Sun二元欧拉多项式伽马正性新证及细化Petersen结果的B型模拟。
2023-06-13 math.CO
Eulerian polynomials and descent statistics
我们证明了几个身份表示多项式计数排列的各种下降统计欧拉多项式，Stembridge，彼得森和Brändén的结果的延伸。此外，我们发现$q$ -指数母函数的$q$ -这些下降统计多项式的类似物，也保持跟踪的反转数或逆主指数。我们还提出了有关这些下降统计多项式的B型欧拉多项式和标志下降多项式的符号置换的负字母的数量的改进的身份。我们的方法包括置换枚举技术涉及非交换对称函数，Brändén的修改后的Foata-Strehl行动，和一个群作用的彼得森签署置换。值得注意的是，修改后的Foata-Strehl行动之间的Narayana多项式和联合分布的峰值数和下降数超过231-避免排列，我们也解释在二叉树和戴克路径类似的关系。
2017-05-11 math.CO
Descents of $λ$-unimodal cycles in a character formula
本文证明了Adin和Roichman提出的一个涉及$λ$ -单峰轮换置换下降集的恒等式.这些置换出现在对称群的某些表示的特征标的公式中。这些公式以前已被证明代数。在本文中，我们给出了一个这样的公式的组合证明，并讨论了下降集的分布轮换的后果。
2016-06-04 math.CO
Counting permutations by alternating descents
我们发现的指数母函数的置换与所有的山谷甚至和所有的高峰奇，并用它来确定其系数的渐近，回答了一个问题提出的利维乌尼古拉斯库。生成函数可以表示为涉及欧拉数的和的倒数。给出了该公式的两个证明。第一种方法使用一个微分方程系统。第二个证明得出的生成函数直接从一般置换枚举技术，使用非交换对称函数。生成函数是大卫和巴顿的生成函数的“交替”类似物，用于没有增加长度为3或更长的排列。我们的一般结果给出了置换计数公式的进一步交替类似物，包括Chebikin和Remmel的结果。
2014-08-08 math.CO
Odd length: odd diagrams and descent classes
我们定义和研究奇数类似物的经典几何和组合对象的排列，即奇舒伯特品种，奇图，奇反演集。证明了置换的奇逆集与Turán图的无圈定向之间存在双射，与置换相关联的奇Schubert簇的维数是置换的奇长，并给出了$[n] \times [n]$的子集是置换的奇图的几个必要条件.我们还研究了对称群的下降类上奇长的符号扭生成函数。
2020-06-23 math.CO
Equidistribution and Sign-Balance on 321-Avoiding Permutations
令$T_n$为321-避免排列的集合，其顺序为$n$。证明了$T_n$的两个性质：（1）{ \em last descent}和{ \em last index minus one}统计量在$T_n$上是等分布的，在其逆序列具有（几乎）预定下降集的置换子集上也是等分布的.一个类似的结果也适用于Dyck路径。(2)$T_{2n}$和$T_{2n+1}$的符号和最后下降枚举器基本上等于$T_n$的最后下降枚举器。证明使用一个适当的多元生成函数的递推公式。
2004-01-12 math.CO
Counting pattern-avoiding permutations by big descents
研究避免长度为3模式集合的排列中大降标统计量的分布，将大小为1和2的模式集分类为等价类并推导分布公式，方法涉及生成函数与双射。
2024-08-30 math.CO
Descents on nonnesting multipermutations
受最近关于准斯特林排列的结果的启发，准斯特林排列是避免“交叉”模式1212和2121的多集$\{1,1,2,2,\dots,n,n\}$的排列，我们考虑非嵌套排列，定义为避免模式1221和2112的排列。我们表明，多项式给出的非嵌套排列的下降数的分布是一个产品的欧拉多项式和Narayana多项式。因此，相当出乎意料的是，这个多项式是回文的。我们提供双射证明这些事实组成的各种变换戴克路径，包括Lalanne-Kreweras对合。
2022-10-17 math.CO
Descent generating polynomials for ($n-3$)- and ($n-4$)-stack-sortable (pattern-avoiding) permutations
Tianjin Normal University（天津师范大学）；University of Strathclyde（斯特拉斯克莱德大学）
本文研究($n-3$)-和($n-4$)-可栈排序排列及避免长度3模式的此类排列的下降分布，推广已知计数结果，并给出两个猜想。
2026-09-15 math.CO
Actions on permutations and unimodality of descent polynomials
本文研究了Foata和Strehl关于置换的群作用，并利用它证明了某些置换集的下降生成多项式在基$\{t^i(1+t)^{n-1-2i}\}_{i=0}^m$，$m=\lfloor (n-1)/2 \rfloor$中有非负展开式.这个属性意味着对称性和单峰性。我们证明了作用在堆栈排序下是不变的，这加强了Bóna最近的单峰结果。我们证明了广义置换模式$(13-2)$和$(2-31)$在作用下是不变的，并利用这一点证明了$q$的单峰性质-最近由Corteel，Postnikov，Steingr 'ımsson和Williams研究的欧拉数的模拟。我们还扩展的作用，符号分次偏序集的线性扩展给出了一个新的证明的单峰性的$(P,ω)$ -欧拉多项式的符号分次偏序集和组合解释（在Stembridge的峰值多项式）相应的系数时，在上述基础上扩大。最后，证明了定义为置换的无序递减树中偶数高度顶点数的统计量与作用下不变的任意置换集上的下降数具有相同的分布。当限制为堆栈可排序排列集时，我们恢复Kreweras的结果。
2007-02-23 math.CO
On two conjectures concerning special kinds of descents on permutations
Zhejiang Normal University（浙江师范大学）
本文证明了Han等人关于排列的2型下降数与循环数的生成函数的连分数猜想，建立了对称群上双统计量(des₂, ear)的对称性并给出其等分布伴随统计量，解决了Baril等人相关猜想的重新表述问题。
2026-08-18 math.CO
On cyclic Schur-positive sets of permutation
我们引入了一个概念{ \em循环舒尔阳性}的集合的置换，这自然地扩展了舒尔阳性的经典概念，它涉及到存在的双射从置换到标准的扬tableaux，保持循环下降集。置换的循环舒尔正集总是舒尔正的，但反过来不成立，如逆下降类，克努特类和共轭类。在本文中，我们证明了某些类的置换不变下，无论是水平或垂直旋转是循环舒尔正的。该证明揭示了排列上下降集的一种新的等分布现象，给出了[9]和[2]中的命题的肯定解，并给出了Schur-正集的新例子.
2019-08-21 math.CO
The Colored Eulerian Descent Algebra
利用P-分拆的一个新的着色模拟，证明了Mantaci-Strontauer代数的一个子代数-着色欧拉下降代数的存在性.这个代数有一个由具有相同下降数的着色排列的形式和组成的基（使用Steingrímsson对着色排列的下降集的定义）。有色欧拉下降代数将对称群代数和超八面体群代数中常见的欧拉下降代数推广到有色置换群代数。我们还描述了一组正交幂等元，跨越有色欧拉下降代数，并包括，作为特殊情况下，熟悉的欧拉幂等元的对称群的群代数。
2014-10-31 math.CO
Descents and des-Wilf Equivalence of Permutations Avoiding Certain Non-Classical Patterns
模式回避研究中的一个常见问题是识别两组模式$Π, Π'$何时是Wilf等价的，即当$|\text{Av}_n(Π)| = |\text{Av}_n(Π')|$对所有$n$都是Wilf等价的。在Dokos等人最近的工作中，Wilf等价的概念被改进，以反映避免经典模式时保持某些统计量。在这篇文章中，我们继续他们的工作，检查$\text{des}$ -Wilf等价时，避免某些非经典模式。
2018-03-25 math.CO
Synchronicity of descent and excedance enumerators in the alternating subgroup
本文推广 Dey 的工作，定义实数序列的超同步性，并证明对所有 n≥5，偶/奇排列的下降数与超越数四类计数序列均超同步，从而加强了 Dey 的两个猜想。
2024-04-02 math.CO
Equivalence of the Descents Statistic on Some (4,4)-Avoidance Classes of Permutations
在本文中，我们计算和证明的等价性的联合分布的第一个字母和下降统计的六个避免类的排列对应于两个模式的长度为4。这种分布又被证明是等价于分布的一个限制类的反转序列的统计记录的最后一个字母和数量的不同的积极的字母，肯定了最近的猜想林和金。每个避免类的置换和类的反转序列的成员列举的$n$ -th大施罗德数，从而获得一个新的二元细化这些数字的结果。我们利用辅助组合统计，特殊的生成函数（特定于每个类）和核方法来建立我们的结果。在某些情况下，我们利用猜想本身在一个创造性的方式来帮助解决系统的函数方程满足相关的生成函数。
2021-05-18 math.CO
Non-overlapping descents and ascents in stack-sortable permutations
本文研究可栈排序排列上非重叠下降最大数目（MND）的分布，通过有根平面树双射证明其公式，并构造对合证明 MND 与非重叠上升最大数目（MNA）等分布。
2023-10-26 math.CO
Equidistribution of (X,Y)-descents, (X,Y)-adjacent pairs, and (X,Y)-place-value pairs on permutations
置换中的$(X,Y)$下降是一对相邻元素，使得第一个元素来自$X$，第二个元素来自$Y$，并且第一个元素大于第二个元素。置换中的$(X,Y)$ -邻接是一对相邻元素，使得第一个来自$X$，第二个来自$Y$。置换中的$(X,Y)$ -位-值对是在位置$x$中的元素$y$，使得$y$在$Y$中并且$x$在$X$中。事实证明，对于$X$和$Y$的某些选择，上述三个统计量中的一些变得均匀分布。此外，很容易推导出$(X,Y)$ -位置-值对的分布公式，从而也为考虑中的其他统计量提供分布。这推广了文献中的一些结果。由于我们的考虑，我们得到了几个显着的身份的组合证明。我们还推测存在的问题，保持一定的统计两个对象之间的双射。
2009-03-14 math.CO
The classification of 231-avoiding permutations by descents and maximum drop
研究了$j$ -下降且最大下降小于等于$k$的231-避免置换的个数，记为$a_{n,231,j}^{(k)}$ .我们发现，$a_{n,231,j}^{(k)}$也计数的Dyck路径的长度$2n$与$n-j$峰和高度$\leq k+1$，和有序树的数目与$n$边缘，$j+1$内部节点，和高度$\leq k+1$。我们证明了当$k$固定时，$a_{n,231,j}^{(k)}$的生成函数满足一个简单的递归.我们还利用有序树的组合学证明了新的显式公式，$a_{n,231,j}^{(k)}$作为$n$的函数，在一些特殊值的$j$和$k$，并证明了一个简单的递归$a_{n,231,j}^{(k)}$的。
2012-08-05 math.CO
Cycles of even-odd drop permutations and continued fractions of Genocchi numbers
最近，Lazar和Wachs（arXiv：1910.07651）证明了（中位）Genocchi数在齐次线性排列的研究中起着重要的作用，并得到了（中位）Genocchi数的两个新的排列模型（称为D-排列和E-排列）.他们进一步推测两个模型的循环数分布是相等的。在后续的研究中，Eu等人（arXiv：2103.09130）进一步证明了奇偶下降排列的下降多项式的gamma-positivity，它们通过Foata的基本变换与E-排列形成双射。本文通过考虑一个包含E-置换的圈数和滴数的一般矩序列，将上述两篇论文合并。利用连分数组合理论，矩连接使我们能够证实Lazar-Wachs猜想，并得到Eu等人的下降多项式的一个自然的$(p,q)$ -模拟.此外，我们证明了下降多项式的$(p,q)$ -模拟的$γ$ -系数与Brändén的$(p,q)$ -欧拉多项式的$γ$ -系数具有相同的因式分解性质.
2021-08-10 math.CO
Generating functions for descents over permutations which avoid sets of consecutive patterns
本文推广了Jones和Remmel的互易方法，研究了$$\sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} \sum_{σ\in \mathcal{NM}_n(Γ)}x^{\mathrm{LRmin}(σ)}y^{1+\mathrm{des}(σ)}$$形式的生成函数，其中$$\sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} \sum_{σ\in \mathcal{NM}_n(Γ)}x^{\mathrm{LRmin}(σ)}y^{1+\mathrm{des}(σ)}$$是一组从1开始且至多有一个下降的排列，$\mathcal{NM}_n(Γ)$是对称群$\mathfrak{S}_n$中没有$Γ$ -匹配的排列$σ$的集合，$\mathrm{des}(σ)$是$σ$的下降数，$\mathrm{LRmin}(σ)$是$σ$的从左到右最小值的数目.我们表明，这个生成函数的形式$\left( \frac{1}{U_Γ(t,y)}\right)^x$其中$U_Γ(t,y) = \sum_{n\geq 0}U_{Γ,n}(y) \frac{t^n}{n!}$和系数$U_{Γ,n}(y)$满足一些简单的递归的情况下，$Γ$等于$\{1324,123\}$，$\{1324 \cdots p,12 \cdots (p-1)\}$的$p \geq 5$，或$Γ$是一组排列$σ= …
2015-10-14 math.CO
Generating functions for permutations which avoid consecutive patterns with multiple descents
令$S_n$表示$n$的所有排列的群。对于每一个排列$σ$，我们让$\mathrm{des}(σ)$表示$σ$中下降的数目，$\mathrm{LRMin}(σ)$表示$σ$的从左到右的最小值的数目。给定不同正整数的序列$τ= τ_1 \cdots τ_n$，我们定义$τ$的约简$\mathrm{red}(τ)$为$S_n$的置换，其结果是将$τ$的第$i$个最小元素替换为$i$。如果$Γ$是一组排列，我们说一个排列$σ= σ_1 \ldots σ_n \in S_n$有一个$Γ$ -匹配，从位置$i$开始，如果有一个$i < j$使得$\mathrm{red}(σ_i σ_{i+1} \ldots σ_j) \in Γ$。我们让$Γ$ - $\mathrm{mch}(σ)$表示$σ$中$Γ$ -匹配的数量。我们设$\mathcal{NM}_n(Γ)$是$σ\in S_n$的集合，使得$Γ$ - $\mathrm{mch}(σ) = 0$。本文改进了Jones和Remmel的互易方法，研究了\begin{equation} \mbox{NM}_Γ(t,x,y)=\sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} \mbox{NM}_{Γ,n}(x,y) \end{equation}形式的生成函数，其中在不再坚持所有排列$τ\in Γ$至多有一个下降的情况下，$\displa…
2017-02-27 math.CO
Counting subwords in flattened permutations
本文研究了Callan最近在有限集划分研究中提出的降序、升序、123-子字、321-子字、峰和谷在扁平排列中的出现次数。对于下降和上升，我们利用核的方法，并获得一个明确的公式（在欧拉多项式）的分布在$\mathcal{S}_n$在平坦的意义。对于其他四种模式的问题，我们开发了一个统一的方法来获得明确的公式可比的分布。我们发现，对于123-和321-子字，所得到的公式可以用第二类切比雪夫多项式表示，而对于峰和谷，所得到的公式则更接近于欧拉多项式.我们还提供了一个双射，显示在一个给定的长度与大的下降在通常意义上的相同长度的排列的扁平排列的下降的均匀分布。
2013-07-13 math.CO
Descents and flag major index on conjugacy classes of colored permutation groups without short cycles
本文研究着色置换群共轭类上的下降与旗标主指标，证明无短循环时矩的一致性并建立渐近正态性，推广了 Fulman 关于对称群的结果。
2025-07-28 math.CO
Counting descent pairs with prescribed colors in the colored permutation groups
本文在着色置换群Z_r \wr S_n上定义了新的统计量（c，d）-下降，并计算了这些统计量在群中元素上的分布.我们使用一些组合的方法，递归，和生成函数的操作，以获得我们的结果。
2007-09-17 math.CO math.GR
Descent sets of cyclic permutations in types B and D
本研究针对B型带号对称群构造了对应Elizalde双射的函数Φ，证明其在D型循环带号置换及补集上的限制为双射，且可退化为原双射，还得到了循环带号置换的下降与标志主指标统计量的渐近正态性。
2025-08-04 math.CO
