Descents in powers of permutations
本文研究排列幂的下降数分布，枚举了平方按下降数分类的 Grassmannian 排列、平方恰有一个下降的情形及平方或立方达最大下降数的排列。
2024-06-13 math.CO
Derivative polynomials and enumeration of permutations by their alternating descents
在本文中，我们提出了一个明确的公式，排列的数目与给定的交替下降。此外，我们还研究了这些数的生成多项式的零点的实部的交错性质。
2015-04-09 math.CO
Descent polynomials for permutations with bounded drop size
受杂耍序列和冒泡排序的启发，我们研究了集合{1，2，. n}，具有d个下降和最大液滴尺寸k。对于给定的整数k和d，我们给出了枚举这种排列的显式公式。我们还导出了相关的生成函数，并证明了单峰性和对称性的系数。
2010-01-18 math.CO
Exact and asymptotic enumeration of cyclic permutations according to descent set
利用Gessel和Lettenauer的一个结果，我们找到了一个关于给定下降集的轮换数的简单公式，将其表示为普通下降数（即，那些计数具有给定下降集合的所有排列的排列）。然后，我们使用这个公式表明，对于几乎所有的集合$I \subseteq [n-1]$，具有下降集合$I$的大小- $n$置换是$n$ -循环的部分是渐近的$1/n$。作为一个特例，我们恢复了交替循环的Stanley结果。我们还使用我们的公式来计算没有两个连续下降的周期。
2019-07-15 math.CO
Schubert Products for Permutations with Separated Descents
如果$π$在位置$k$之前没有下降，而$ρ$在位置$k$之后没有下降，我们说两个排列$π$和$ρ$在位置$k$处有分离的下降。本文给出了一个计算Schubert多项式的乘积的结构常数的约化表公式，并指出这些结构常数是某些Edelman-Greene系数。我们的方法使用Schützenberger的jeu de taquin算法和Edelman-Greene对应通过颠簸的白日梦的概括。
2023-01-12 math.CO
Descents on quasi-Stirling permutations
斯特灵置换是由Gessel和Stanley引入的，他们使用下降数的计数来给出与斯特灵数相关的某些多项式的组合解释。拟Stirling置换是由Archer等人提出的Stirling置换的自然扩张，它可以被看作是标记非交叉匹配。将Stirling置换与标号增平面树之间的Janson对应关系推广到拟Stirling置换与相同树集合之间的双射，而不需要增限制。Archer等人提出了用下降数来枚举拟Stirling置换的问题，并证明存在$(n+1)^{n-1}$这样的置换，其大小为$n$，具有最大下降数。本文证明了他们的猜想，并给出了拟Stirling置换的下降数母函数，表示为欧拉多项式母函数的合成逆。我们还找到了Gessel和Stanley论文中主要结果的拟Stirling置换的类似物。我们证明了这些置换的下降分布是渐近正态的，并且相应的拟斯特林多项式的根都是实的，类似于博纳关于斯特林置换的结果。最后，我们将我们的结果推广到一个单参数的家庭的排列，扩展了$k$ -斯特林排列，我们完善他们也保持跟踪的上升和高原的数量。
2020-02-03 math.CO
Descents in $t$-Sorted Permutations
让$s$表示West的堆栈排序映射。一个置换称为$t-\textit{sorted}$，如果它的形式为$s^t(μ)$，对于某些置换$μ$。证明了长度为$n$的$t$排序置换的最大下降数为$\left\lfloor\frac{n-t}{2}\right\rfloor$ .当$n$和$t$具有相同的奇偶性和$t\geq 2$时，我们给出了$S_n$中达到这个最大值的$t$排序置换的一个简单刻画.特别地，这种排列的数目是$(n-t-1)!!$。
2019-06-30 math.CO
The descent statistic over 123-avoiding permutations
我们利用Krattenthaler的双射之间的123-避免排列和Dyck路径，以确定在$S_n$的123-避免排列的集合$S_n(123)$的欧拉分布。特别地，我们证明了置换的下降对应于Dyck路径的谷和三重下降，并通过研究这两个统计量在Dyck路径上的联合分布，得到了$S_n(123)$的欧拉数.
2009-10-06 math.CO
Generalized descent patterns in permutations and associated Hopf algebras
排列或单词中的下降是从两个连续字母的相对位置定义的。我们研究了一个包含k个连续字母模式的统计量，并证明了它导致了霍普夫代数的推广，推广了非交换对称函数和拟对称函数.
2009-11-30 math.CO
Intervals of Permutations with a Fixed Number of Descents are Shellable
所有排列的集合，按模式包含排序，是一个偏序集。本文给出了从具有固定下降数的置换偏序集到具有子词序的词偏序集的一个序同构。我们使用这种双射来证明具有固定下降次数的排列的区间是可壳的，并且我们给出了这些区间的默比乌斯函数的公式。我们提出了一个替代的证明的结果默比乌斯函数的间隔$[1,π]$，使$π$只有一个下降。我们证明，如果$π$有一个下降，避免456123和356124，那么区间$[1,π]$没有非平凡的不连通子区间，我们猜想，这些区间是可壳的。
2015-07-30 math.CO
The generating function of two-stack sortable permutations by descents is real-rooted
论文被撤回，因为结果包含在arXiv：math/0403364中。
2012-04-17 math.CO
Lagrange Inversion Counts $3\bar{5}241$-Avoiding Permutations
在以前的论文中，我们表明，$3\bar{5}241$ -避免排列计数的唯一序列，从1开始，并在自合成变换下左移。这个证明使用了一个复杂的双射。在这里，我们给出了一个更简单的证明的基础上拉格朗日反演。
2011-04-23 math.CO
Descent polynomials for k bubble-sortable permutations of type B
受Chung，Claesson，Dukes和Graham的工作的启发，我们定义了经典冒泡排序的自然B型模拟，并使用它来定义最大丢弃统计的B型模拟。我们列举（通过显式，递归和生成函数公式）有符号排列r类型B下降和类型B最大下降最多k。我们还发现这些符号排列和某些2色杂耍序列之间的连接。
2012-05-04 math.CO
Bijections for restricted inversion sequences and permutations with fixed points
本文给出了Auli和作者的一个公式的双射证明，该公式表示了不含三个连续相等项的反转序列的个数与非无序排列（即具有不动点的排列）的个数的关系.此外，我们给出了两个简单递归的双射证明的数量的非错位。
2020-06-24 math.CO
Inversion Polynomials for Permutations Avoiding Consecutive Patterns
在2012年，Sagan和Savage引入了$st$ -Wilf等价的概念，用于统计量$st$和避免特定置换模式的置换集，其可以扩展到广义置换模式。本文考虑两个或多个连续置换模式集上的$inv$ -Wilf等价性。如果同时避开$Π$的所有元素的置换的逆统计量的生成函数等于同时避开$Π'$的所有元素的置换的逆统计量的生成函数，则我们说两组广义置换模式$Π$和$Π'$是$inv$ -Wilf等价的.在2013年，Cameron和Killpatrick给出了Fibonacci tableaux的逆生成函数，它与同时避免连续模式$321$和$312.$的排列集一一对应。本文使用Fibonacci tableaux的语言研究了避免$Π$的排列的逆生成函数，其中$Π$是一组五个或更少的连续排列模式。此外，我们介绍了更一般的概念，一个带tableaux这是一个有用的组合对象，研究连续模式避免。我们接着给出了所有情况下，但其中$Π$是一个子集的三个连续的置换模式，我们给出了几个结果$Π$的两个连续的置换模式的子集的反演生成函数。
2014-02-21 math.CO
Inversion polynomials for 321-avoiding permutations: addendum
本附录包含的结果有关的反转数和主要指数多项式的排列避免321，这并不适合以及到原来的文件。特别是，我们考虑对称性，单峰性，行为模2，并签署枚举。
2013-05-16 math.CO
Descent sets of cyclic permutations
我们给出了{1，2，.，}的轮换之间的一个双射n+1}和{1，2，...，n}，保持前n个条目的下降集和弱超越集。这种非平凡的双射涉及到一个类似于Foata的置换循环符号的变换，然后是某些共轭。我们也给出了一个替代推导的结果，使用工作的Gessel和Eschertenauer的下降集的均匀分布。最后证明了作者在[SIAM J. Discrete Math.23（2009），765-786]中的一个猜想和Eriksen，Freij and Wästlund的一个猜想。
2012-01-31 math.CO
On the Real-rootedness of the Descent Polynomials of $(n-2)$-Stack Sortable Permutations
Bóna证明了$(n-2)$ -栈可排序排列的下降多项式只有实零。Brändén通过建立一个更一般的结果证明了这个猜想。本文利用Savage和Visontai最近发展的$s$ -欧拉多项式理论，给出Brändén结果的另一个证明.
2016-02-05 math.CO
Largest minimal inversion-complete and pair-complete sets of permutations
我们解决了置换理论中两个相关的极值问题。整数1到$n$的排列的集合$Q$是反转完全的（分别地，对完全），如果对于每个反转$(j,i)$，其中$1 \le i \textless{} j \le n$，（分别，对于每对$(i,j)$，其中$i\not= j$），在~ $Q$中存在置换，其中$j$在~ $i$之前。它是极小反演完备的，如果除此之外没有~ $Q$的真子集是反演完备的;对完备性也是如此。我们考虑的问题是确定一个最小的反转完全排列集的最大基数，和一个最小的配对完全排列集的最大基数。后一个问题出现在确定的Carathéodory数的某些抽象凸结构的$(n-1)$维实向量空间和整数向量空间。使用曼特尔定理的最大数量的边缘在一个三角形的自由图，我们确定这两个最大基数，我们提出了一个完整的描述，每个问题的最佳排列集。也许令人惊讶的是（因为要覆盖的对是反演的两倍），这两个最大基数在$n \ge 4$时重合。
2015-03-01 math.CO
Revstack sort, zigzag patterns, descent polynomials of $t$-revstack sortable permutations, and Steingrímsson's sorting conjecture
在本文中，我们研究的排序操作$T(LnR)=T(R)T(L)n$。将此运算符应用于置换等效于将置换反向通过堆栈。我们证明了定理，$t$-revstack排序的模式方面的置换，我们称之为$zigzag$模式。利用这些定理，我们证明了那些由$T$的$t$应用程序为$t=0,1,2,n-3,n-2,n-1$排序的长度为$n$的排列。我们推导出这六类排列的下降多项式的表达式，并利用这些信息来证明Steingrímsson对$t$的六个值的排序猜想。证明了一般$t$-revstack可排序置换的下降多项式的对称性和单峰性，并给出了三个证明.
2014-04-05 math.CO
Enumeration of flattened $k$-Stirling permutations with respect to descents
本文证明扁平化k-Stirling排列与类型B集合划分的着色变体双射对应，并用加权标记结构给出其基数和下降多项式的指数生成函数及若干计数公式。
2023-08-08 math.CO
On the Möbius Function of Permutations With One Descent
所有排列的集合，按模式包含排序，是一个偏序集。对于至多有一个下降的任意置换$π$，给出了该偏序集中区间$[1,π]$的默比乌斯函数的一个公式.我们计算的默比乌斯函数作为一个功能的数量和位置的连续字母对在$π$是连续的价值。结果证明了默比乌斯函数在所有置换的偏序集上是无界的。证明了默比乌斯函数在任意区间$[1,π]$上为零，其中$π$有三个连续的字母，其值是连续的和单调的.我们还推测了默比乌斯函数在其它至多下降一次的排列区间上的值。
2014-04-02 math.CO
On Inversion Graphs of Permutations
本文探索排列的逆序图结构，通过将排列表示为图并利用几何与偏序集等多重定义视角，深入揭示了其组合复杂性。
2025-06-27 math.CO
Pattern Avoiding Permutations Enumerated by Inversions
该论文以逆序数为计数参数，研究长度不超过3的排列模式组合的避免计数，并聚焦于不可分解排列，扩展了Simion和Schmidt的经典方法。
2025-05-23 math.CO
Distribution of sets of descent tops and descent bottoms on restricted permutations
本文研究模式避免排列上下降顶集与下降底集的分布，通过双射证明3字母模式下231、312避免排列的两类集合联合等分布，提出4字母模式相关猜想，且部分猜想已被他人证明。
2025-01-13 math.CO
Thresholds for patterns in random permutations with a given number of inversions
本文研究具有给定逆序数的随机排列的渐近结构随逆序数变化的演化规律，并建立了各类排列模式出现与消失的阈值，其中经典模式的阈值由其和不可分解分量的最大逆序数决定。
2024-08-12 math.CO
Descent set distribution for permutations with cycles of only odd or only even lengths
本文证明对称群中仅含奇长度循环与仅含偶长度循环的排列数等式在下降集层面的细化，并给出奇数阶情形的变体，方法基于特征标生成函数与高阶 Lie 特征标新恒等式。
2025-02-05 math.CO
The Descent Set and Connectivity Set of a Permutation
一个置换w为1，2，.的下降集D（w），n是一个标准的、经过充分研究的统计量。我们引入了一个新的统计量--连通集C（w），并证明了它是D（w）的一种对偶对象.对偶性用记录D（w）和C（w）的联合分布的矩阵的逆来表示。我们还给出了一个变化，涉及置换的多集和一个Q-模拟，跟踪的数量反转的W。
2005-07-11 math.CO
Inversion polynomials for 321-avoiding permutations
我们证明了Dokos，Dwyer，Johnson，Sagan和Selsor的一个猜想的推广，给出了321-避免排列的反演多项式的递归。我们还回答了他们提出的一个问题，找到一个递归公式的主要指标多项式的321-避免排列。这些多项式的其他性质进行了研究。我们的工具包括Dyck和2-Motzkin路径，polyominoes，和连分数。
2012-11-20 math.CO
Inversions in Colored Permutations, Derangements, and Involutions
本文研究广义对称群逆序统计量在有色排列、错排和对合上的分布，通过建立有色排列与有色Lehmer码的双射，构建统一枚举框架，推导出显式公式、递推关系与生成函数。
2025-05-02 math.CO
Permutations with few inversions
本文提出生成函数 $S_0(x)$ 计数恰好有 $n$ 个逆序的排列，并证明 $(xC(x))^iS_0(x)$ 计数恰好有 $n-i$ 个逆序的排列，其中 $C(x)$ 为 Catalan 数生成函数。
2023-05-16 math.CO
Canon permutations and generalized descents of standard Young tableaux
本文将nonnesting排列枚举多项式的分解结果推广至任意k的Canon排列，通过双射证明将其与矩形标准杨表的广义降序枚举相联系，并解决了Sulanke关于格路径统计量分布的猜想。
2024-03-22 math.CO
Permutations of type $B$ with fixed number of descents and minus signs
本文研究了三维数组$B(n,k,j)$，$0\le j,k\le n$，其中$B(n,k,j)$是$k$下降且$j$为减号的$n$阶$B$型置换的个数.我们证明，特别是，$b(n,k,j):=B(n,k,j)/\binom{n}{j}$是一个整数，并提供两个组合解释这些数字。
2019-05-26 math.CO
Inversion-descent enumerators of $\underline{32}1$-avoiding permutations
College of Mathematics and Physics, Wenzhou University（温州大学数理学院）
该研究针对避免$\boldsymbol{321}$ vincular模式的排列，推导了涉及逆序、降序的计数多项式递推关系与$q$-指数生成函数，并从受限增长单词角度提供了新解释。
2026-09-01 math.CO
A Context-free Grammar for Peaks and Double Descents of Permutations
本文研究了$[n] =\{1,2,\ldots,n\}$上置换的外峰数与真双降数的联合分布。置换的外峰的概念是由Aguiar、Bergeron和Nyman在他们研究峰代数时引入的。Gessel得到了$[n]$上具有给定外峰数的排列数的母函数。另一方面，Elizalde和Noy通过建立微分方程，导出了在给定的真双下降数下，$[n]$上排列数的生成函数。Barry和Basset独立地推导出了$[n]$上排列数的生成函数，没有适当的双下降。我们找到了一个上下文无关的文法，它可以用来计算置换数的$[n]$与给定数量的外部峰和一个给定数量的适当的双下降。基于该文法，可以很容易地得到$[n]$上置换数与给定外峰数的递推关系。此外，我们使用文法演算来推导母函数，而不需要解微分方程。我们的公式简化为Gessel、Elizalde-Noy、Barry和Basset的公式。最后，从文法上建立了我们的生成函数与Carlitz和Scoville导出的峰数和双下降数的联合分布的生成函数之间的关系。
2018-01-17 math.CO
(32-1)-Avoiding Permutations with Maximum Inversion Number
Macalester College（麦克莱斯特学院）；University of Colorado, Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
研究(32 - 1) - 避免排列，确定其最大逆序数并计数，给出直接构造来枚举达到最大逆序数的排列。
2026-07-22 math.CO
Variations on Descents and Inversions in Permutations
我们研究新的统计排列的下降和反转统计的变化。特别地，我们考虑置换sigma = sigma_1sigma_2.的交替下降集。sigma_n定义为索引i的集合，使得i为奇数且sigma_i > sigma_{i+1}，或者i为偶数且sigma_i < sigma_{i+1}。我们发现，这个统计量是等分布的3-下降集统计排列sigma = sigma_1 sigma_2.其中sigma_1 = 1，定义为索引i的集合，使得三重sigma_i sigma_{i+1} sigma_{i+2}形成大小为3的奇置换。然后，我们引入对应于两个新的变化下降的Mahonian反转统计，并表明所产生的下降反转对的联合分布是相同的。我们研究涉及交替欧拉多项式的生成函数，通过与使用交替下降的经典欧拉多项式sum_{sigma in S_n} t^{des（sigma）+1}类比来定义。对于交替下降集统计量，我们通过类比布尔代数B_n的ab-指标定义了两个非交换变量的生成多项式，并对它进行了观察，通过观察交替（下-上）排列中交替反转的个数，我们得到了欧拉数E_n的一个新的q-模拟，并说明了它如何出现在表示E_n为Dyck路加权和的恒等式的q-模拟中.
2008-04-11 math.CO
The excedances and descents of bi-increasing permutations
本文从某些差分统计量与经典置换统计量的关系出发，研究了反转数与超差一致的置换。事实证明，这些（所谓的双递增）排列只是避免321的排列。本文考察了它们的递进结构。特别是，我们找到了一些很好的组合解释的分布系数的数量的超越和下降，分别，和他们的差异类似物的双递增排列的双polyominoes和2-Motzkin路径。这就产生了限制排列、二次多项式和格路径之间的联系，揭示了这些对象的几个著名双射之间的关系（例如Delest-Viennot、Billey-Jockusch-Stanley、Francon-Viennot和Foata-Zeilberger）。作为应用，我们按秩列举了斜交图，并对对称群上的超数和逆数的联合分布的对称性的一个结果给出了一个简单的组合证明.
2002-12-18 math.CO
A descent-excedance correspondence in colored permutation groups
Indian Institute of Science（印度科学学院）；Indian Institute of Technology, Bombay（孟买印度理工学院）
研究在固定首字母的排列中，通过改变首字母得到下降和超越的枚举数相等，并推广到类型B和其他彩色排列群，定义下降和超越通过线性序，得出类型B结果的推广和Conger结果的类型B版本。
2024-10-30 math.CO
Enumerating Permutations and Rim Hooks Characterized by Double Descent Sets
令$dd(I;n)$表示具有双重下降集$I$的$[n]$的排列数。对于单例集$I$，我们给出了$dd(I;n)$的一个递归公式和估计$dd(I;n)$的一种方法.我们还讨论了某些类的缘钩的枚举。令$\mathcal{R}_I(n)$表示长度为$n$的所有边缘钩的集合，其具有双重下降集$I$，使得这些边缘钩之一的任何表对应于具有双重下降集$I$的置换。当$I$是单例集时，我们给出了$\mathcal{R}_I(n)$的大小公式;当$I$是空集时，我们也给出了$\mathcal{R}_I(n)$的大小公式.我们还提出了几个渐近的某些比率的$dd(I;n)$。
2019-11-02 math.CO
Major index over descent for pattern-avoiding permutations
模式回避理论中的一个公开猜想是，321-回避排列中的主索引的分布是单峰分布的。我们为这个分布构造了一个公式，在2次下降的情况下证明了单峰性，3到5次下降的单峰性可能稍微复杂一些。该公式是对Frame-Robinson-Thrall钩长公式的$q$ -模拟的改进，本文后半部分讨论了另一个同类型的定理，并对这一问题作了进一步的探讨。我们也给出了其他长度为3的置换模式的类似行为的观察。
2017-07-13 math.CO
Enumeration of permutations by the parity of descent positions
本研究发现近期部分下降多项式变体属Carlitz-Scoville四变量多项式特例，证明了该生成函数的q-模拟与B型模拟，还得到Chebikin公式的q-模拟、Sun二元欧拉多项式伽马正性新证及细化Petersen结果的B型模拟。
2023-06-13 math.CO
Eulerian polynomials and descent statistics
我们证明了几个身份表示多项式计数排列的各种下降统计欧拉多项式，Stembridge，彼得森和Brändén的结果的延伸。此外，我们发现$q$ -指数母函数的$q$ -这些下降统计多项式的类似物，也保持跟踪的反转数或逆主指数。我们还提出了有关这些下降统计多项式的B型欧拉多项式和标志下降多项式的符号置换的负字母的数量的改进的身份。我们的方法包括置换枚举技术涉及非交换对称函数，Brändén的修改后的Foata-Strehl行动，和一个群作用的彼得森签署置换。值得注意的是，修改后的Foata-Strehl行动之间的Narayana多项式和联合分布的峰值数和下降数超过231-避免排列，我们也解释在二叉树和戴克路径类似的关系。
2017-05-11 math.CO
Descents of $λ$-unimodal cycles in a character formula
本文证明了Adin和Roichman提出的一个涉及$λ$ -单峰轮换置换下降集的恒等式.这些置换出现在对称群的某些表示的特征标的公式中。这些公式以前已被证明代数。在本文中，我们给出了一个这样的公式的组合证明，并讨论了下降集的分布轮换的后果。
2016-06-04 math.CO
Counting permutations by alternating descents
我们发现的指数母函数的置换与所有的山谷甚至和所有的高峰奇，并用它来确定其系数的渐近，回答了一个问题提出的利维乌尼古拉斯库。生成函数可以表示为涉及欧拉数的和的倒数。给出了该公式的两个证明。第一种方法使用一个微分方程系统。第二个证明得出的生成函数直接从一般置换枚举技术，使用非交换对称函数。生成函数是大卫和巴顿的生成函数的“交替”类似物，用于没有增加长度为3或更长的排列。我们的一般结果给出了置换计数公式的进一步交替类似物，包括Chebikin和Remmel的结果。
2014-08-08 math.CO
Odd length: odd diagrams and descent classes
我们定义和研究奇数类似物的经典几何和组合对象的排列，即奇舒伯特品种，奇图，奇反演集。证明了置换的奇逆集与Turán图的无圈定向之间存在双射，与置换相关联的奇Schubert簇的维数是置换的奇长，并给出了$[n] \times [n]$的子集是置换的奇图的几个必要条件.我们还研究了对称群的下降类上奇长的符号扭生成函数。
2020-06-23 math.CO
Permutation Tableaux and the Dashed Permutation Pattern 32-1
本文给出了Corteel和Nadeau提出的一个关于长度为n的置换表和[n]上的虚线模式32- 1在置换中出现的次数的问题的一个解决方案。我们引入了置换表的反转数。对于置换表T和由Corteel和Nadeau的双射从T得到的置换$π$，我们证明了T的反转数等于虚线模式32- 1在$π$的逆补中出现的次数.我们还表明，置换表没有反转相吻合的L-贝尔表介绍Corteel和纳多。
2010-07-28 math.CO
Equidistribution and Sign-Balance on 321-Avoiding Permutations
令$T_n$为321-避免排列的集合，其顺序为$n$。证明了$T_n$的两个性质：（1）{ \em last descent}和{ \em last index minus one}统计量在$T_n$上是等分布的，在其逆序列具有（几乎）预定下降集的置换子集上也是等分布的.一个类似的结果也适用于Dyck路径。(2)$T_{2n}$和$T_{2n+1}$的符号和最后下降枚举器基本上等于$T_n$的最后下降枚举器。证明使用一个适当的多元生成函数的递推公式。
2004-01-12 math.CO
Counting pattern-avoiding permutations by big descents
研究避免长度为3模式集合的排列中大降标统计量的分布，将大小为1和2的模式集分类为等价类并推导分布公式，方法涉及生成函数与双射。
2024-08-30 math.CO
Descents on nonnesting multipermutations
受最近关于准斯特林排列的结果的启发，准斯特林排列是避免“交叉”模式1212和2121的多集$\{1,1,2,2,\dots,n,n\}$的排列，我们考虑非嵌套排列，定义为避免模式1221和2112的排列。我们表明，多项式给出的非嵌套排列的下降数的分布是一个产品的欧拉多项式和Narayana多项式。因此，相当出乎意料的是，这个多项式是回文的。我们提供双射证明这些事实组成的各种变换戴克路径，包括Lalanne-Kreweras对合。
2022-10-17 math.CO
Descent generating polynomials for ($n-3$)- and ($n-4$)-stack-sortable (pattern-avoiding) permutations
Tianjin Normal University（天津师范大学）；University of Strathclyde（斯特拉斯克莱德大学）
本文研究($n-3$)-和($n-4$)-可栈排序排列及避免长度3模式的此类排列的下降分布，推广已知计数结果，并给出两个猜想。
2026-09-15 math.CO
A ChatGPT-assisted Triangle Characterization of Affine Permutation Inversion Graphs
University of Washington（华盛顿大学）；The University of the South（南部大学）
研究借助ChatGPT给出仿射置换逆序图的新刻画，基于加权竞赛图三角形局部条件，带来识别逆序图和集的高效算法、有向路径权重界等，还给出新算法测试集合是否为仿射置换逆序集。
2026-07-13 math.CO
Descent-Inversion Statistics in Riffle Shuffles
本文研究了riffle shuffle的统计问题，通过使用逆shuffle将其与随机字统计联系起来。证明了在Kolmogorov距离下具有$1/\sqrt{n}$阶收敛速度的Riffle shuffle中下降数和反转数的渐近正态性。本文还给出了由riffle shuffle产生的随机排列的最长交替序列长度的结果。一个草图的理论多重集可以是有用的统计的变化顶部$m$随机洗牌。
2013-03-10 math.CO
The Number of Inversions and the Major Index of Permutations are Asymptotically Joint-Independently Normal
我们使用递归（别名差分方程）证明了长期以来的猜想，即两个最重要的置换统计量，即反转数和主要指标，是渐近联合独立正常。我们甚至推导出更精确的（归一化）混合矩的渐近公式。这是完全修订的第二版，incorporting许多有见地的意见，九个认真的非匿名裁判员列出的作者的名字。这篇文章是独家发表在网上杂志“个人杂志的沙洛什B。伊卡德和多伦·泽尔伯格”还有这个阿西夫。
2011-02-07 math.CO
