Regularity of the extremal solution for singular p-Laplace equations
研究了奇异反应扩散问题$-Δ_p u = λf(u)$在$Ω$，$u =0$在$\partial Ω$上的极值解$u^*$的正则性，其中$1<p<2$，$0 < λ< λ^*$，$Ω\subset \mathbb{R}^n$是光滑有界区域，$f$是正的、超线性的、递增的、（渐近）凸的$C^1$非线性项.我们提供了一个简单的证明，已知的$L^r$和$W^{1,r}$ \textit{a priori}估计$u^*$，即$u^* \in L^\infty(Ω)$如果$n \leq p+2$，$u^* \in L^{\frac{2n}{n-p-2}}(Ω)$如果$n > p+2$和$|\nabla u^*|^{p-1} \in L^{\frac{n}{n-(p'+1)}} (Ω)$如果$n > p p'$。
2014-09-17 math.AP
Singularity of the extremal solution for supercritical biharmonic equations with power-type nonlinearity
令$λ^{*}>0$表示$λ$的最大可能值，使得$$ \{{array}{lllllll} Δ^{2}u=λ(1+u)^{p} & {in}\ \ \B, %0<u\leq 1 & {in}\ \ \B, u=\frac{\partial u}{\partial n} =0 & {on}\ \ \partial \B {array}. $$有解，其中$\B$是$R^{n}$中以原点为中心的单位球，$p>\frac{n+4}{n-4}$和$n$是外部单位法向量。我们证明了对于$λ=λ^{*}$这个问题具有唯一的弱解$u^{*}$，称为极值解。我们证明了当$n\geq 13$对于$p$足够大时，$u^{*}$是奇异的，在这种情况下$u^{*}(x)\leq r^{-\frac{4}{p-1}}-1$在单位球上。
2011-07-21 math.AP
Extremal functions for singular Trudinger-Moser inequalities in the entire Euclidean space
在以前的工作（Int. Math. Res. Notices 13（2010）2394-2426）中，Adimurthi-Yang证明了在整个欧几里得空间$\mathbb{R}^N$ $(N\geq 2)$中的奇异Trudinger-Moser不等式。准确地说，如果$0\leq β<1$和$0<γ\leq1-β$，则对任何$τ>0$，$$\sup_{u\in W^{1,N}(\mathbb{R}^N),\,\int_{\mathbb{R}^N}(|\nabla u|^N+τ|u|^N)dx\leq 1}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{1}{|x|^{Nβ}}\left(e^{α_Nγ|u|^{\frac{N}{N-1}}}-\sum_{k=0}^{N-2}\frac{α_N^kγ^k|u|^{\frac{kN}{N-1}}} {k!}\right)dx<\infty,$$成立，其中$α_N=Nω_{N-1}^{1/(N-1)}$和$ω_{N-1}$是$\mathbb{R}^N$中单位球的面积。上面的不等式是尖锐的意义，如果$γ>1-β$，所有的积分仍然是有限的，但上确界是无穷大。在本文中，我们考虑这些奇异不等式的极值函数。Li-Ruf（Indiana Univ.Math.J.57（2008）451-480）和Ishiwata（Math.Ann.351（2011）7…
2016-12-25 math.AP
Singular Extremal Solutions on Thin Ellipsoids with Varying Nonlinearities
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文在薄椭球上构造了变化非线性项，证明了存在无界极值解，并结合Dancer定理解决了Brézis开放问题6.1。
2026-09-09 math.AP
Compactness of Extremals for Singular Anisotropic Trudinger-Moser functionals on bounded domain
Zhejiang Normal University（浙江师范大学）
本文研究了临界奇异各向异性Trudinger-Moser泛函在有界域上的极值函数的紧致性，通过吹胀分析证明极值函数收敛到达到上确界的函数。
2025-12-08 math.AP
Extremals for singular Onofri type inequality in weighted Sobolev spaces
Università degli Studi di Bari Aldo Moro（巴里阿尔多·莫罗大学）；University of Almería（阿尔梅里亚大学）
本文将奇异Onofri不等式推广至加权Sobolev空间，建立其与奇异Carleson-Chang型不等式的等价性，证明了相关泛函非平凡优化子的存在性及共形不变性，给出尖锐性结果与推论。
2026-10-14 math.AP
Extremals for the Singular Moser-Trudinger Inequality via n-Harmonic Transplantation
Moser-Trudinger嵌入已在[Adimurthi A.; Sandeep K.，A singular Moser-Trudinger embedding and its applications，\textit{NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl.}，13（2007），no. 5-6，585- 603]转换为以下加权版本：如果$Ω\subset\mathbb{R}^n$是有界的，$ω_{n-1}$是单位球面的$\mathcal{H}^{n-1}$测度，则对于$α>0$和$β\in [0,n)$，为$$ \sup_{u\in\mathcal{B}_1}\int_Ω\frac{e^{α|u|^{n/(n-1)}}}{|x|^β}\leq C \ \Leftrightarrow \ \fracα{α_n}+\fracβ{n}\leq1,\qquad $$，其中$α_n=n\cnn$和$\mathcal{B}_1 = \left\{ u \in W_0^{1, n}(Ω) \ | \ \int_Ω |\nabla u |^n \leq1 \right\}$。我们证明了上确界达到任何域$Ω$。本文还填补了[Lin K.C.，用于Moser不等式的极值函数，\textit{Trans. of. Am. Math. Soc.}，384…
2020-07-29 math.AP
Weighted anisotropic Sobolev inequality with extremal and associated singular problems
对于$\mathbb{R}^N$中给定的Finsler-Minkowski范数$\mathcal{F}$和有界光滑域$Ω\subset\mathbb{R}^N$ $\big(N\geq 2\big)$，我们建立了如下的加权各向异性Sobolev不等式$$ S\left(\int_Ω|u|^q f\,dx\right)^\frac{1}{q}\leq\left(\int_Ω\mathcal{F}(\nabla u)^p w\,dx\right)^\frac{1}{p},\quad\forall\,u\in W_0^{1,p}(Ω,w)\leqno{\mathcal{(P)}} $$其中$W_0^{1,p}(Ω,w)$是一类$p$ -容许权$w$下的加权Sobolev空间，其中$f$是$Ω$中的某个非负可积函数.我们讨论了$0<q<1$的情形，并观察到$$ μ(Ω):=\inf_{u\in W_{0}^{1,p}(Ω,w)}\Bigg\{\int_Ω\mathcal{F}(\nabla u)^p w\,dx:\int_Ω|u|^{q}f\,dx=1\Bigg\}\leqno{\mathcal{(Q)}} $$与奇异加权各向异性$p$ -Laplace方程有关.为此，我们还研究了加权各向异性$p$ -Laplace方程在混合奇异性和指数奇异性下解的存在性和正则性。
2021-12-11 math.AP
On the regularity of timelike extremal surfaces
研究了平坦Minkowski空间$\mathbb R^{1+n}$中的一类类时弱极值曲面，其特征在于它们具有特定形式的$C^1$参数化（一般不是浸入）.我们证明了，如果杰出的参数化类$C^k$，那么表面是定期浸入远离一个封闭的奇异集的欧几里德豪斯多夫维数最多$1+1/k$，这个界是尖锐的。我们还表明，一般关于一个自然的拓扑结构，奇异集的类时弱极值柱$\mathbb R^{1+n}$是1维的，如果$n=2$，它是空的，如果$n \ge 4$。对于$n=3$，类时弱极值曲面表现出中间行为。
2012-11-13 math.AP
Asymptotic behavior of extremals for fractional Sobolev inequalities associated with singular problems
设$Ω$是$\mathbb{R}^{N}$的一个光滑的有界区域，$ω$是一个正的$L^{1}$ -正规化函数，$0<s<1<p.$我们研究了$\left( \sqrt[p]{Λ_{p}% },u_{p}\right) ,$对的渐近行为，其中$Λ_{p}$是Sobolev型不等式\[ C\exp\left( \int_Ω(\log\left\vert u\right\vert ^{p})ω\mathrm{d}x\right) \leq\left[ u\right] _{s,p}^{p}\quad\forall\,u\in W_{0}^{s,p}(Ω) \]中的最佳常数$C$，$u_{p}$是对应于$Λ_{p}$的正的适当正规化极值函数.我们证明了极限对与最小化商$\left\vert u\right\vert _{s}/\exp\left( \int_Ω(\log\left\vert u\right\vert )ω\mathrm{d}x\right) ,$的问题密切相关，其中$\left\vert u\right\vert _{s}$表示函数$u\in C_{0}^{0,s}(\overlineΩ).$的$s$-Hölder商
2019-04-05 math.AP
Perturbing singular solutions of the Gelfand problem
在单位球$B \subseteq \R^N$中提出的方程$-Δu = λe^u$，满足齐次Dirichlet条件$u|_{\partial B} = 0$，当$λ= 2(N-2)$时，有奇异解$U=\log\frac1{|x|^2}$.如果$N\ge 4$，我们表明，在小变形的球有一个奇异的解决方案$(u,λ)$接近$(U,2(N-2))$。在维度$N\ge 11$中，它对应于极值解--与存在的最大$λ$相关联的解。与此相反，我们证明，如果变形是足够大的，那么即使当$N\ge 10$，极值解在许多情况下仍然有界。
2008-01-16 math.AP
Existence and Nonexistence of Extremals for critical Adams inequalities in R4 and Trudinger-Moser inequalities in R2
虽然关于临界一阶Trudinger-Moser不等式在$W^{1,n}(\mathbb{R}^n)$上的极值存在性和高阶Adams不等式在有限域$Ω\subset \mathbb{R}^n$上的极值存在性已经做了大量的工作，但临界高阶Adams不等式在整个空间$\mathbb{R}^n$上是否存在极值函数仍然是一个未知数.本文件是这方面的第一次尝试。由于不存在Pólya-Szegö\型不等式，经典的Blow-up方法不能用于解决临界Adams型不等式的存在性.本文基于高阶Gagliardo-Nirenberg不等式的锐常数和最优多调和截断，利用锐Fourier重排原理（参见\cite{Lenzmann}），发展了一些新的思想和方法，研究了形式为$$ S(α)=\sup_{\|u\|_{H^2}=1}\int_{\mathbb{R}^4}\big(\exp(32π^2|u|^2)-1-α|u|^2\big)dx,$$的$\mathbb{R}^4$中Adams不等式极大化子的存在性和不存在性，其中$α\in (-\infty, 32π^2)$ .我们建立了阈值$α^{\ast}$的存在，其中$α^{\ast}\geq \frac{(32π^{2})^2B_{2}}{2}$和$B_2\geq \frac{1}{24π^2}$，使得如果是$32π^{2}-α<α^{\ast}$，则达到$S…
2019-08-22 math.AP
Boundedness of the extremal solutions in dimension 4
本文利用Dirichlet数据$u|_{\partial Ω}=0$建立了半线性椭圆型方程$-Δu=λf(u)$在R^N的一般光滑有界区域Omega中N=4维极值解u^* 的有界性，其中f是[0，\infty）中的C^1正非减凸函数，使得$f(s)/s\rightarrow\infty$为$s\rightarrow\infty$ .此外，我们还证明了当N>=5时，极值解$u^*\in W^{2,\frac{N}{N-2}}$ .如果N>=5，则得到$u^\ast\in L^\frac{N}{N-4}$，如果N=6，则得到$u^*\in H_0^1$。
2012-06-27 math.AP
The critical dimension for a fourth order elliptic problem with singular nonlinearity
研究了半线性双调和方程$\bi u=\fλ{(1-u)^2}$在$\partial B$上的Dirichlet边界条件$B\subset\IR^N$下的极值解的正则性.我们在这里完成F. H. Lin和Y.S.杨\cite{LY}关于识别一个“拉入电压”$\la^*>0$，这样一个稳定的经典解决方案$u_\la$与$0<u_\la<1$存在的$\la\in (0,\la^*)$，而没有任何一种当$\la>\la^*$。我们的主要结果断言，极值解$u_{λ^*}$是正规$(\sup_B u_{λ^*} <1)$提供$ N \le 8$，而$u_{λ^*} $是奇异的（$\sup_B u_{λ^*} =1$）的$N \ge 17$，在这种情况下，$1-C_0|x|^{4/3}\leq u_{λ^*} (x) \leq 1-|x|^{4/3}$上的单位球，其中$ C_0:= <(\frac{λ^*}{\barλ}>)^{1/3}$和$ \barλ:= \frac{8 (N-{2/3}) (N- {8/3})}{9}$。其余情况下极值解的奇异性（即，当$9\leq N\leq 16$）需要计算机辅助证明时，本文将不讨论。
2008-10-29 math.AP
Propagation of singularities for subelliptic wave equations
由于双特征点的存在，H{<$}rmander的奇性传播定理不能完全描述亚椭圆波动方程中奇性的传播.在目前的工作中，建立在一个有远见的会议文件R。Melrose \cite{Mel86}，证明了亚椭圆波动方程的奇性只沿着零双特征线和反常极值传播，这是最优控制理论中著名的曲线.因此，我们刻画了次椭圆波核在对角线外的奇异支撑。这些结果表明反常极值在次黎曼几何与次拉普拉斯几何的经典-量子对应中起着重要的作用。
2022-05-09 math.AP math.SP
A complete characterization of the existence of extremals for the Trudinger-Moser inequality on $\mathbb{R}^2$ under sharp $L^p$-perturbations
Beijing Institute of Technology（北京理工大学）；Wuhan University（武汉大学）；University of Connecticut（康涅狄格大学）；Nanjing University of Science and Technology（南京理工大学）
本文完整刻画了$\boldsymbol{\rm R}^2$上带精确$L^p$扰动的临界Trudinger-Moser不等式极值函数的存在性，揭示了不同$p$取值下的阈值结构及与有界域情形的本质差异。
2026-08-11 math.AP
Regularity of extremal solutions of semilinear elliptic equations with m-convex nonlinearities
本文研究了有界光滑区域$Ω\subset \mathbb{R}^N$上Dirichlet边界条件下的Gelfand问题.我们感兴趣的是极值解$u^*$的有界性。当维数为$N\ge10$时，可以构造出非线性项$f(u)=e^u$和$Ω=B_1$的奇异极值解.当$3\le N\le 9$，Cabré，Figalli，Ros-Oton和Serra（2020）证明了以下令人惊讶的结果：如果非线性$f$是正的，非递减的，凸的，极值解$u^*$是有界的。本文成功地将他们的结果推广到一般的$m$ -凸非线性问题。此外，我们还考虑了$m$ -凸性，对前人的研究结果给出了统一的观点。我们给出了具有$m$ -凸非线性项的稳定解的封闭性结果。作为结果，我们提供了一个Liouville型结果，并通过使用爆破参数，我们证明了极值解的有界性。
2022-03-29 math.AP
Variational properties of Perron's extremal solutions in the Bernoulli one-phase problem
Lafayette College（拉斐特学院）；University of Utah（犹他大学）
本文研究Bernoulli单相问题的Perron极值解，证明其具有内变分性质，并刻画二维情形下奇点结构：最大下解边界光滑，最小上解边界点或光滑或为等斜率两平面楔形。
2026-10-27 math.AP
On the critical dimension of a fourth order elliptic problem with negative exponent
研究了球$B \subset \R^N$上半线性双调和方程$βΔ^2 u-τΔu=\fracλ{(1-u)^2}$在Navier边界条件$u=Δu=0$ on $\partial B$下极值解的正则性，其中$λ>0$为参数，$τ>0$，$β>0$为固定常数.已知存在$λ^{*}$，使得对于$λ>λ^{*}$没有解，而对于$λ<λ^{*}$存在极小解的分支。我们的主要结果断言，$u^{*}$是正规的（$\sup_{B}u^{*}<1$）$N\leq 8$和$β, τ>0$和它是奇异的（$\sup_{B}u^{*}=1$）$N\geq 9$，$β>0$和$τ>0$与$\fracτβ$小。利用改进的Hardy-Rellich不等式证明了$N\geq 9$维方程极值解的奇异性.
2009-05-12 math.AP
Sharp gradient stability for a class of Hardy-Sobolev-Maz'ya inequalities
Beihang University（北京航空航天大学）
本文针对具有部分（更强）奇异权和非径向极值函数的一类Hardy-Sobolev-Maz'ya不等式，证明了尖锐梯度稳定性，这是首个关于非径向极值函数的稳定性结果。
2026-05-28 math.AP math.CA
Nonexistence of extremals for an inequality of Adimurthi-Druet on a closed Riemann surface
在Mancini-Thizy [28]的基础上，得到了Adimurthi-Druet [1]的一个不等式在闭Riemann曲面$(Σ,g)$上的极值不存在性.如果$λ_1(Σ)$是Laplace-Beltrami算子在零均值条件下的第一特征值，则存在正实数$α^\ast<λ_1(Σ)$，使得对于所有的$α\in (α^\ast,λ_1(Σ))$，上确界$$\sup_{u\in W^{1,2}(Σ,g),\,\int_Σudv_g=0,\,\|\nabla_gu\|_2\leq 1}\int_Σ\exp(4πu^2(1+α\|u\|_2^2))dv_g$$不能由任何具有$\int_Σudv_g=0$和$\|\nabla_gu\|_2\leq 1$的$u\in W^{1,2}(Σ,g)$得到，其中$W^{1,2}(Σ,g)$表示通常的Sobolev空间，$\|\cdot\|_2=(\int_Σ|\cdot|^2dv_g)^{1/2}$表示$L^2(Σ,g)$ -范数.这补充了我们在[39]中的结果。
2018-12-14 math.AP math.DG
Singular Liouville Equations on $S^2$: Sharp Inequalities and Existence Results
本文证明了一个尖锐的Onofri型不等式和球面上Moser-Tudinger泛函在具有正阶奇点的势的存在下极值的不存在性。在对称性和非简并性假设下，我们还研究了临界点的存在性，并给出了一些充分条件。
2015-08-09 math.AP math.DG
Lp estimates and asymptotic behavior for finite energy solutions of extremals to Hardy-Sobolev inequalities
受一类Hardy-Sobolev型不等式的极值所满足的方程的启发，我们在$\mathbb{R}^n$的子空间上证明了含有临界指数和可能奇异性的p-Laplace方程有限能量解的$\mathbb{R}^n$正则性，这意味着解在无穷远处的渐近行为.此外，在所考虑的$L^2$ Hardy-Sobolev不等式的情况下，我们找到了最佳常数和极值.
2006-06-11 math.AP math.DG
Late-time asymptotics for the wave equation on extremal Reissner-Nordström backgrounds
我们导出了极端Reissner-Nordström黑洞波动方程解的精确的后期渐近性，并明确地表示了初始数据的首阶系数。我们的方法是基于纯粹的物理空间技术。我们得到新的加权能量层次和发展奇异时间反演理论，这使我们能够发现的细微贡献的近地平线和近无限区域的精确渐近。我们引入了一个新的视界电荷，并提供了有关极端黑洞内部动力学的应用。我们的工作证实，并在某些情况下扩展，Lucietti-Murata-Reall-Tanahashi，Ori-Sela和Blaksley-Burko的数值和启发式分析。
2021-02-24 gr-qc math.AP
