发表机构
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文在薄椭球上构造了变化非线性项，证明了存在无界极值解，并结合Dancer定理解决了Brézis开放问题6.1。
AI 中文摘要
设 $N=m+1$ 并考虑薄椭球 \\[ \Omega_\varepsilon=\{(y,x_N)\in\mathbb R^m\times\mathbb R:\\ |y|^2+\varepsilon^{-2}x_N^2<1\}. \\] 我们证明，在每一个足够大的维度中，对于每一个足够小的 $\varepsilon>0$，存在一个光滑的、正的、严格递增的、严格凸的、超线性非线性项 $f_\varepsilon$，使得 $\Omega_\varepsilon$ 中的极值解是一个无界的 $H^1_0$ 解。将此结果与Dancer关于Gelfand非线性项 $f(t)=e^t$ 的薄域正则性定理相结合，我们在相同的足够薄的椭球上获得一个有界的Gelfand极值解和另一个非线性项的无界极值解。因此，在这两方面的意义上，Brézis的开放问题6.1在每一个足够大的维度中得到了解决。
英文摘要
Let $N=m+1$ and consider the thin ellipsoid \[ Ω_\varepsilon=\{(y,x_N)\in\mathbb R^m\times\mathbb R:\ |y|^2+\varepsilon^{-2}x_N^2<1\}. \] We prove that in every sufficiently large dimension, for every sufficiently small $\varepsilon>0$, there exists a smooth positive, strictly increasing, strictly convex, superlinear nonlinearity $f_\varepsilon$ for which the extremal solution in $Ω_\varepsilon$ is an unbounded $H^1_0$ solution. Combining this result with Dancer's thin-domain regularity theorem for the Gelfand nonlinearity $f(t)=e^t$, we obtain on the same sufficiently thin ellipsoids a bounded Gelfand extremal solution and an unbounded extremal solution for another nonlinearity. Thus, in this two-part sense, Brézis' Open Problem~6.1 is resolved in every sufficiently large dimension.
Comments68 pages
