具有指数非线性项的bilaplacian方程的奇异极值解

薄椭球上具有变化非线性的奇异极值解

Singular Extremal Solutions on Thin Ellipsoids with Varying Nonlinearities

University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）

本文在薄椭球上构造了变化非线性项，证明了存在无界极值解，并结合Dancer定理解决了Brézis开放问题6.1。

2026-09-09math.AP

具有m-凸非线性项的半线性椭圆型方程极值解的正则性

Regularity of extremal solutions of semilinear elliptic equations with m-convex nonlinearities

本文研究了有界光滑区域$Ω\subset \mathbb{R}^N$上Dirichlet边界条件下的Gelfand问题.我们感兴趣的是极值解$u^*$的有界性。当维数为$N\ge10$时，可以构造出非线性项$f(u)=e^u$和$Ω=B_1$的奇异极值解.当$3\le N\le 9$，Cabré，Figalli，Ros-Oton和Serra（2020）证明了以下令人惊讶的结果：如果非线性$f$是正的，非递减的，凸的，极值解$u^*$是有界的。本文成功地将他们的结果推广到一般的$m$ -凸非线性问题。此外，我们还考虑了$m$ -凸性，对前人的研究结果给出了统一的观点。我们给出了具有$m$ -凸非线性项的稳定解的封闭性结果。作为结果，我们提供了一个Liouville型结果，并通过使用爆破参数，我们证明了极值解的有界性。

2022-03-29math.AP

一类四阶奇异非线性椭圆型问题的临界维数

The critical dimension for a fourth order elliptic problem with singular nonlinearity

研究了半线性双调和方程$\bi u=\fλ{(1-u)^2}$在$\partial B$上的Dirichlet边界条件$B\subset\IR^N$下的极值解的正则性.我们在这里完成F. H. Lin和Y.S.杨\cite{LY}关于识别一个“拉入电压”$\la^*>0$，这样一个稳定的经典解决方案$u_\la$与$0<u_\la<1$存在的$\la\in (0,\la^*)$，而没有任何一种当$\la>\la^*$。我们的主要结果断言，极值解$u_{λ^*}$是正规$(\sup_B u_{λ^*} <1)$提供$ N \le 8$，而$u_{λ^*} $是奇异的（$\sup_B u_{λ^*} =1$）的$N \ge 17$，在这种情况下，$1-C_0|x|^{4/3}\leq u_{λ^*} (x) \leq 1-|x|^{4/3}$上的单位球，其中$ C_0:= <(\frac{λ^*}{\barλ}>)^{1/3}$和$ \barλ:= \frac{8 (N-{2/3}) (N- {8/3})}{9}$。其余情况下极值解的奇异性（即，当$9\leq N\leq 16$）需要计算机辅助证明时，本文将不讨论。

2008-10-29math.AP

$p$-Laplacian算子极值域的几何性质

Geometric properties of extremal domains for the $p$-Laplacian operator

本文研究欧氏与双曲空间中$p$-Laplacian无界极值域的几何性质，证明其不能任意宽，二维时连通补集域必为球，并刻画双曲空间中的边界约束。

2023-11-12math.APmath.DG

海森堡群中的非局部奇异问题及相关的具有极值函数的Sobolev型不等式

Nonlocal singular problem and associated Sobolev type inequality with extremal in the Heisenberg group

本文在海森堡群中研究含变指数奇异项的分数阶p-Laplace方程，证明弱解的存在性、正则性与常指数情形下的唯一性，并刻画相关Sobolev型不等式的极值函数及其与奇异问题解的联系。

2025-08-27math.AP

奇异p-Laplace方程极值解的正则性

Regularity of the extremal solution for singular p-Laplace equations

研究了奇异反应扩散问题$-Δ_p u = λf(u)$在$Ω$，$u =0$在$\partial Ω$上的极值解$u^*$的正则性，其中$1<p<2$，$0 < λ< λ^*$，$Ω\subset \mathbb{R}^n$是光滑有界区域，$f$是正的、超线性的、递增的、（渐近）凸的$C^1$非线性项.我们提供了一个简单的证明，已知的$L^r$和$W^{1,r}$ \textit{a priori}估计$u^*$，即$u^* \in L^\infty(Ω)$如果$n \leq p+2$，$u^* \in L^{\frac{2n}{n-p-2}}(Ω)$如果$n > p+2$和$|\nabla u^*|^{p-1} \in L^{\frac{n}{n-(p'+1)}} (Ω)$如果$n > p p'$。

2014-09-17math.AP

一类四阶奇异非线性问题的临界维数

The critical dimension for a 4th order problem with singular nonlinearity

研究了半线性双调和方程$\bi u=\fλ{(1-u)^2}$在$\partial B$上的Dirichlet边界条件$B\subset\IR^N$下的极值解的正则性.我们在这里完成F. H. Lin和Y.S.杨\cite{LY}关于识别一个“拉入电压”$\la^*>0$，这样一个稳定的经典解决方案$u_\la$与$0<u_\la<1$存在的$\la\in (0,\la^*)$，而没有任何一种当$\la>\la^*$。我们的主要结果断言，$u_{λ^*}$是正规$(\sup_B u_{λ^*} <1)$提供$ N \le 8$，而$u_{λ^*} $是奇异（$\sup_B u_{λ^*} =1$）的$N \ge 9$，在这种情况下，$1-C_0|x|^{4/3}\leq u_{λ^*} (x) \leq 1-|x|^{4/3}$上的单位球，其中$ C_0:= (\frac{λ^*}{\overlineλ})^{1/3}$和$ \barλ:= {8/9} (N-{2/3}) (N- {8/3})$。

2009-04-15math.AP

黎曼模型上半线性椭圆型方程稳定解的正则性

Regularity of stable solutions to semilinear elliptic equations on Riemannian models

本文研究了黎曼模型$(M,g)$的半径为$R$的测地线球$\mathcal{B}_R$中的反应扩散问题$-Δ_g u = f(u)$，其Dirichlet边界条件为零。这类黎曼流形包括经典的\textit{space forms}，即，欧几里得空间、椭圆空间和双曲空间。对于一类半稳定解，我们证明了径向对称性和单调性。此外，我们建立了$L^\infty$，$L^p$，和$W^{1,p}$估计是最佳的，不依赖于非线性$f$。作为应用，在非线性方程$λf(u)$的标准假设下，证明了当$n\leq9$时，相应的极值解$u^*$是有界的.为了建立我们的正则性结果的最优性，我们找到了一些指数和幂非线性使用改进的加权Hardy不等式的极值解。

2013-12-20math.AP

黎曼流形上具有奇异非线性和平流的椭圆问题

Some elliptic problems with singular nonlinearity and advection for Riemannian manifolds

研究了一类定义在完备黎曼流形的光滑有界区域上且Dirichlet边界条件为零的带平流项的奇异半线性椭圆问题的半稳定解的正则性.我们证明统一勒贝格估计，我们确定这些问题的临界尺寸与非线性的类型Gelfand，MEMS和电源的情况下。作为一个应用，我们表明，极值解决方案是经典的流形的尺寸低于相关问题的临界尺寸。此外，我们还分析了极小解的分支，证明了当参数接近临界阈值时的多重性结果，并得到了其唯一性。此外，对于黎曼模型，我们还研究了半稳定解的径向对称性和单调性。

2019-01-09math.AP

具有奇异非线性项的双调和椭圆问题的几点注记

Some remarks on biharmonic elliptic problems with a singular nonlinearity

研究了半线性双调和方程$$ \left\{\begin{array}{lllllll} Δ^{2}u=\fracλ{1-u}, &\quad \mbox{in}\quad \B, u=\frac{\partial u}{\partial n}=0, &\quad \mbox{on}\quad \partial\B, \end{array} \right. %\eqno(M_λ) $$，其中$\B$是$\R^{n}$中的单位球，$n$是外单位法向量.我们证明了$λ^{*}>0$的存在性，使得对于$λ\in (0,λ^{*})$存在最小（经典）解$\underline{u}_λ$，它满足$0<\underline{u}_λ<1$。在极值情形$λ=λ^{*}$，我们证明了弱解的存在性，即使在很弱的意义下，弱解也是唯一解。此外，还出现了一些新的困难，许多问题仍有待解决。我们在最后一节中列出了特别感兴趣的问题。

2011-01-20math.AP

关于纯Neumann型Lane-Emden系统的最小能量解：收敛性、对称性破缺与多解性

On least energy solutions to a pure Neumann Lane-Emden system: convergence, symmetry breaking, and multiplicity

该文研究纯Neumann型Lane-Emden系统的最小能量解，通过非线性特征值问题刻画最小能量水平，分析指数变化时解的收敛性与多解性，并应用于双调和方程等的对称性破缺问题。

2024-12-12math.AP

四维半线性椭圆型问题极小解的正则性

Regularity of minimizers of semilinear elliptic problems up to dimension four

考虑半线性方程$-Δu=f(u)$在$R^n$的有界光滑区域$Ω$（某些结果证明$Ω$是凸的）中的半稳定解类.这个类包括所有的局部极小，极小和极值解。在$n \leq 4$维中，我们建立了一个先验的$L^\infty$界，它对每个正半稳定解和每个非线性$f$都成立.当$n=4$和$Ω$是凸的时，这个估计导致了所有极值解的有界性.这个结果以前只在$n\leq 3$维中由G.内德夫在尺寸$5 \leq n \leq 9$的极值解的有界性仍然是一个悬而未决的问题。只知道在径向情况下$Ω=B_R$由A的结果成立。卡佩拉和作者。

2009-09-28math.AP

一般区域上具有非凸非线性项的半线性椭圆型问题极值解的正则性

Regularity of extremal solutions of semilinear elliptic problems with non-convex nonlinearities on general domains

考虑半线性椭圆方程$-Δu =λf(u)$在$R^{n}$的光滑有界区域$Ω$中的Dirichielt边界条件，其中$f$是$[0,\infty)$中的$C^{1}$正非减函数，使得$\frac{f(t)}{t}\rightarrow\infty$为$t\rightarrow\infty$ .当$Ω$是一个任意区域，$f$不一定是凸的，极值解$u^{*}$的有界性只知道$n= 2$，由X建立。Cabré \cite{C1}。在本文中，我们证明了这对于更高的维度依赖于非线性$f$。特别地，我们证明了，如果$$\frac{1}{2}<β_{-}:=\liminf_{t\rightarrow\infty} \frac{f'(t)F(t)}{f(t)^{2}}\leq β_{+}:=\limsup_{t\rightarrow\infty} \frac{f'(t)F(t)}{f(t)^{2}}<\infty$$，其中$F(t)=\int_{0}^{t}f(s)ds$，那么$u^{*}\in L^{\infty}(Ω)$，对于$n\leq 6$。此外，如果为$β_{-}=β_{+}>\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}<β_{-}\leqβ_{+}<\frac{7}{10}$，则为$n\leq 9$的$u^{*}\in L^{\infty}(Ω)$。此外，如果$β_{-}>\fr…

2015-08-26math.AP

非线性本征值问题极值参数的界及其在流动爆炸问题中的应用

Bounds for the extremal parameter of nonlinear eigenvalue problems and application to the explosion problem in a flow

本文研究了Dirichlet边界条件下光滑有界区域$ Ω\subseteq \Bbb{R}^{N} $中的非线性特征值问题$ L u = λf(u) $，其中$ L $是一致椭圆型二阶线性微分算子，$ λ> 0 $和$ f:[0,a_{f}) \rightarrow \Bbb{R}_{+} $ $ (0 < a_{f} \leqslant \infty)$是光滑的、递增的凸非线性算子，使得$ f(0) > 0 $和在$ a_{f} $处爆破.首先，我们提出了一些极值参数$ λ^{*} $和极值解$ u^{*} $的上界和下界。然后我们将结果应用于算子$ L_A = - Δ+ A c(x) $与$ A>0 $，$ c(x) $是$ Ω$中的无发散流。我们证明了，如果$ψ_{A,Ω}$是方程$ L_A u = 1 $在$Ω$中的解$ψ_{A}(x)$的最大值，那么对于任何不可压缩流$ c(x) $，我们有，$ψ_{A,Ω} \longrightarrow 0$作为$A \longrightarrow \infty$当且仅当$c(x)$在$H_{0}^{1}(Ω)$中没有非零的第一积分.此外，考虑$ c(x)=-xρ(|x|) $，其中$ρ$是$[0,1]$上的光滑实函数，则$c(x)$在单位球$ B\subset \Bbb{R}^{N} $中永远不会发散，但我们的结果完全确定了极值参数…

2016-09-18math.AP

非局部椭圆型方程组极值解的正则性

Regularity of extremal solutions of nonlocal elliptic systems

研究了具有积分-微分算子的非线性非局部特征值问题\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{lcl} \hfill \mathcal L u &=& λF(u,v) \qquad \text{in} \ \ Ω, \\ \hfill \mathcal L v &=& γG(u,v) \qquad \text{in} \ \ Ω, \\ \hfill u,v &=&0 \qquad \qquad \text{on} \ \ \mathbb R^n\setminusΩ, \end{array}\right. \end{eqnarray}的极值解的正则性，当$J$是非负可测偶跳核时，其形式为\begin{equation*}\label{} \mathcal L(u (x))= \lim_{ε\to 0} \int_{\mathbb R^n\setminus B_ε(x) } [u(x) - u(z)] J(z-x) dz , \end{equation*}.特别是，我们认为跳跃内核的形式$J(y)=\frac{a(y/|y|)}{|y|^{n+2s}}$的$s\in (0,1)$和$a$是任何非负的甚至可测量的功能，在$L^1(\mathbb {S}^{n-1})$，满足椭圆假设。首先，我们建立了上述系统的一般非线性和一般核的最小解的稳定性不等式。然后…

2019-08-22math.AP

具有一般非线性项的半线性四阶椭圆型问题极值解的正则性

Regularity of extremal solutions of semilinaer fourth-order elliptic problems with general nonlinearities

本文研究了一般有界区域$Ω$上的四阶问题$Δ^{2}u=λf(u)$在$R^{n}$中的Navier边界条件$u=Δu=0$在$\partial Ω$上.这里，$λ$是正参数，而$ f:[0,a_{f}) \rightarrow \Bbb{R}_{+} $ $ (0 < a_{f} \leqslant \infty)$是平滑的、递增的凸非线性，使得$ f(0) > 0 $和在$ a_{f} $处爆炸。令$$0<τ_{-}:=\liminf_{t\rightarrow a_{f}} \frac{f(t)f"(t)}{f'(t)^{2}}\leq τ_{+}:=\limsup_{t\rightarrow a_{f}} \frac{f(t)f"(t)}{f'(t)^{2}}<2.$$我们表明，如果$u_{m}$是一个序列的半稳定的解决方案，对应于$λ_{m}$满足稳定性不等式$$ \sqrt{λ_{m}}\int_Ω\sqrt{f'(u_{m})}ϕ^{2}dx\leq \int_Ω|\nablaϕ|^{2}dx, ~~\text{for all}~ϕ\in H^{1}_{0}(Ω),$$，然后$\sup_{m} ||u_{m}||_{L^{\infty}(Ω)}<a_{f}$为$n< \frac{4α_{*}(2-τ_{+})+2τ_{+}}{τ_{+}}\max \{1, τ_{+}…

2016-03-27math.AP

Hardy-Schrödinger算子的Sobolev不等式：矩阵和临界维数

Sobolev inequalities for the Hardy-Schrödinger operator: Extremals and critical dimensions

本文考虑了R ^n中光滑区域Ω上的Hardy-Schr dinger算子$-Δ-γ/|x|^2$，其中0是\in \bar Ω，并描述了奇点0的位置，无论是在Ω的内部还是在其边界上，如何影响其分析性质.我们通过考虑最优的Hardy，Sobolev和Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式来比较这两种设置。后者改写为：对于所有$u\in H^1_0(Ω)$的$C(\int_Ω\frac{u^{p}}{|x|^s}dx)^{\frac{2}{p}}\leq \int_Ω |\nabla u|^2dx-γ\int_Ω\frac{u^2}{|x|^2}dx$，其中γ <n^2/4，s \in [0，2]且p：= 2（n-s）/（n-2）。我们解决问题的最佳常数C的显式值，以及存在的非平凡的极值附加到这些不等式。标度不变性属性导致最佳常数不依赖于域并且无法达到的情况。我们考虑两种不同的方法来"打破同质性"的问题：一种方法是由布雷齐斯-尼伦贝格和Janelli。它适用于0在Ω内部的情况，并且包括考虑临界非线性的低阶扰动。另一种方法是由Ghoussoub-Kang，C.S. Lin等人和Ghoussoub-Robert.它包括考虑奇异性在边界上的域。这两种方法都有丰富的结构和挑战性的问题。如果0 \in Ω，则负的线性扰动对于更高维度是足够的，而在更低维度中需要正的"Hardy奇…

2015-06-18math.AP

混合局部与非局部加权奇异拟线性椭圆问题及其相关的Sobolev型不等式

Mixed local and nonlocal weighted singular quasilinear elliptic problem and its associated Sobolev-type inequality

Indian Institute of Science Education and Research（印度科学教育研究所）

该研究针对一类混合各向异性与非局部奇异拟线性椭圆问题，采用单调逼近等方法证明弱解存在唯一性，刻画相关Sobolev型不等式最佳常数并证明其可达性，结果在p=2的混合加权拉普拉斯情形下为新成果。

2026-08-07math.AP

Euler方程的奇异Casimir元与平衡点

Singular Casimir Elements of the Euler Equation and Equilibrium Points

平衡点和能量Casimir极值点，这发生在描述理想流体和等离子体动力学方程的非正则哈密顿公式的集合的不等价性的问题，是解决在不可压缩的无粘流体的欧拉方程的上下文中。这个问题被追溯到卡西米尔赤字，卡西米尔元素构成的中心的李泊松代数的基础上的哈密顿制定，这导致了研究的辛算子定义的泊松括号。辛算子的核心，这个典型的例子中的一个无限维的哈密顿系统的介质中的欧拉变量，进行了分析。对于二维流动，一个严格可解的系统制定。欧拉方程的非线性使得辛算子在相空间（状态变量的函数空间）上是非齐次的，并且可以看出，这产生了辛算子的零值（中心的“维度”）改变的奇异性。奇异卡西米尔元素源于此奇异性出土使用的广义的功能衍生物，发生在泊松括号。

2013-03-01math-phmath.APmath.MP

关于分数阶调和振子：解的存在性与不存在性、正则性及衰减性质

On a fractional harmonic oscillator: existence and inexistence of solution, regularity and decay properties

本文研究分数阶调和算子方程，利用上半空间延拓与紧嵌入、Pohozaev恒等式证明临界幂情形无解，并建立解的 $L^p$ 正则性、$C/|x|$ 衰减及超线性临界问题的存在性。

2024-08-03math.AP

Grushin p-Laplace算子的临界Sobolev指数的拟线性问题

Quasilinear problems with critical Sobolev exponent for the Grushin p-Laplace operator

本文研究Grushin p-Laplace算子的临界Sobolev指数拟线性退化椭圆方程，通过建立Sobolev不等式极值函数的存在性，将Brezis-Nirenberg型结果推广到p-情形。

2025-09-07math.AP