The multiplicity of generic normal surface singularities
János Nagy, András Némethi
当固定拓扑型上的解析结构是通有的时，我们给出了复解析法曲面奇点的重数的组合/拓扑公式.
We provide combinatorial/topological formula for the multiplicity of a complex analytic normal surface singularity whenever the analytic structure on the fixed topological type is generic.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Multiplicity of singularities is not a bi-Lipschitz invariant
证明了奇点的重数是双Lipschitz不变的。我们反驳了这个猜想，构建的例子，双Lipschitz等效复杂的代数奇点具有不同的值的多重性。
Multiplicity of analytic hypersurface singularities under bi-Lipschitz homeomorphisms
我们给出了部分答案的度量版本的Zagliki的多重性猜想。特别地，我们证明了$\mathbb{C}^3$中复解析曲面（不一定是孤立的）奇点的重数是双Lipschitz不变量.
On the Zariski multiplicity conjecture for weighted homogeneous and Newton non-degenerate line singularities
我们提出了新的家庭的加权齐次和牛顿非退化线奇点，满足Zerkiki多重性猜想。
On the multiplicity of terminal singularities on threefolds
通过简单的计算，给出了三重上终端奇点的重数。然后得到了关于重数和指数的最佳不等式。利用这一点，我们可以改进[KMMT，定理1.2]中关于终端弱Q-Fano 3-folds的有界数.进一步地，我们可以将[K，定理3.6]中的Fujita自由条件推广到非超曲面的终端奇点。
Upper bound on the multiplicity of rational and Du Bois singularities
本文证明了Du Bois奇点重数的尖锐上界，并恢复了有理奇点的已知上界，解决了Huneke和Watanabe的问题。
Symmetric Determinantal Singularities I: The Multiplicity of the Polar Curve
本文是介绍对称行列式奇点族的Whitney等奇异性研究的两部分论文的第一部分。该研究揭示了如何使用与奇异性的通用变形相关联的极曲线的多重性来控制这些曲线的Whitney等奇异性类型。
Maximal rank for planar singularities of multiplicity two
证明了在射影平面上重数为2的奇异概型的一般并具有极大秩。
The multiplicity of abelian covers of splice quotient singularities
本文提出通过解析图和伽罗瓦群计算splice quotient奇点的abelian覆盖的multiplicity的方法。
Planar curve singularities having constant intersection multiplicity with a smooth boundary
本文研究光滑曲面中与光滑边界曲线具有常数相交重数的曲线奇点的形变，刻画了等奇点轨迹的余维数及理想包含关系，并分类了余维数不超过3的奇点。
Bounds of the multiplicity of abelian quotient complete intersection singularities
本文研究了交换商完全相交奇点在特定数据下的重数和对数正则阈值。并给出了交换商完全交奇点重数的界。
The $4n^2$-inequality for complete intersection singularities
将著名的$4n^2$ -不等式推广到一般的完全相交奇点：证明了具有极大奇点的可动线性系的自相交的重数大于$4n^2μ$，其中$μ$是奇点的重数.
Birationally rigid complete intersections with a singular point of high multiplicity
证明了指数为1的Fano完全交的双有理刚性，其高重数奇点可以接近簇的阶。特别地，这些簇的双有理和双正则自同构群是相等的，并且它们是非有理的。证明是基于极大奇点法、完全相交奇点的广义$4n^2$ -不等式和超切因子技巧。
The multiplicity of pairs of modules and hypersurface singularities
本文将重数极定理应用于具有非孤立奇点的超曲面的研究。多重性极定理通过将特殊纤维处的多重性与一般纤维处的模对的多重性联系起来来控制族中模对的多重性。它是重要的研究多重性的模块作为基本定理在理想理论中的联系的多重性的一个理想的地方程度的地图所形成的发电机的最小减少。事实上，作为定理的推论，我们证明了对于等维复解析芽的局部环上的自由模F的有限长子模M，M的极小约化的一般扰动不等于F的点的个数是M的重数。本文将这一结果应用于超曲面族的分层条件的研究，得到了第一组不变量，给出了具有非孤立奇点的超曲面的A_f条件的充要条件。
Adjacent Singularities, TQFTs, and Zariski's Multiplicity Conjecture
本研究利用不动点Floer上同调的TQFT结构与相邻奇点生成的辛配边，构造Floer上链的链映射并结合McLean谱序列，给出孤立超曲面奇点下Zariski重数猜想的新证明，同时重现Varchenko定理。
Invariants of Newton non-degenerate surface singularities
我们恢复牛顿图（模自然歧义）从链接的任何表面超曲面奇点与非退化牛顿主部，其链接是一个合理的同调球。作为推论，我们表明，链接决定嵌入的拓扑型，Milnor纤维化，和这样的胚芽的多重性。这证明了（甚至是更强的版本）Zubalki关于这样一个奇点的多重性的猜想。
On the simplification of singularities by blowing up at equimultiple centers
用重数作为主不变量，证明了特征为零的域上簇的奇点的分解。这一结果的证明引出了具有正特征的新问题。我们在这里讨论的结果，随后归纳的维数的品种。固定一个{ \em完美域} $k$上的维数$d$的簇$X^{(d)}$，或者更一般地，固定一个$k$上的有限型纯维概型。修复重数为$e>1$的闭合点$x\in X^{(d)}$。定义$x\in X^{(d)}$上重数的局部简化为一个真双有理映射，比如说$X^{(d)}\leftarrow X^{(d)}_1$，其中$X^{(d)}$表示$x$的一个邻域，使得$X^{(d)}_1$在任何点$x_1\in X^{(d)}_1$都有重数$<e$。通过对$d$的归纳，假设对所有$d' <d$，$k$上维数为$d'$的格式的重数存在局部简化。我们证明，在这个归纳假设下，一个局部简化$x\in X^{(d)}$可以构造时，$(C_{X,x})_{red}$是不规则的。这里$C_{X,x}$表示$x\in X$的切锥，而$(C_{X,x})_{red}$是简化方案。利用交换代数的经典结果，比较了沿等重中心和沿常平坦中心爆破的效果。
Zariski's multiplicity conjecture for quasihomogeneous hypersurfaces with non-isolated singularities
本文针对2≤n≤4维拟齐次非孤立奇点超曲面，利用拟齐次正规形推导出由权重和次数决定的重数显式公式，证明重数在拓扑等价下不变，从而证实Zariski重数猜想。
The Quotient of Milnor Number by Tjurina Number of Hypersurface Singularities in Arbitrary Characteristic
本文通过Hilbert-Samuel乘数等工具，建立了任意特征下孤立hypersurface奇异性的广义Milnor数与Tjurina数商的精确上界，并推导出特征零下的上界，证明了孤立表面奇点的μ/τ≤3/2，回应了Almirón猜想并验证了Durfee猜想的弱形式。
Equimultiplicity of families of map germs from $\mathbb{C}^2$ to $\mathbb{C}^3$
1971年，Zagliki提出了奇点理论中的一些问题。其中一个问题是所谓的，今天，Zubalki的多重性猜想。在这项工作中，我们考虑这个猜想的家庭版本。对一类特殊的非孤立奇点，我们肯定地回答了Zapriki的多重性猜想.
Multiplicity of complex hypersurface singularities, Rouche' satellites and Zariski's problem
Soient $f,g\colon (\hbox{åC}^n,0) \to (\hbox{åC},0)$ des germes de functions holomorphes réduits.我们认为，$f$和$g$在0时同样具有多样性，并且如果存在分别与$f$和$g$等同的$f'$和$g'$的细菌，则$f'$和$g'$满足Rouché型的不平等性，并与~0的“小”基因圈相关。同样地，我们将重新表述关于多重性的茨万吉拉伊问题，并对这个问题作出积极的回应。
Segre Numbers and Hypersurface Singularities
我们定义一个理想的Segre数作为一个有限长度理想的重数的推广。我们证明了各种定理的推广，涉及多重性的理想，如原则的专业化的整体依赖，里斯-博格定理，和公式的多重性的产品的两个理想。这些结果被应用到各种等奇异性条件的研究中，如Verdier条件W，以及条件$A_f$和$W_f$。
On the classification of rational surface singularities
给出了有理曲面奇点图分类的一般策略。对于每一个最大的合理二重点配置，我们调查的基本循环中可能的多重性。我们对某些类型的图进行完全分类。这允许将有理奇点的分类扩展到多重性8。我们还讨论了有理分解图的复杂性。
The Multiplicity Polar Theorem and Isolated Singularities
利用交换代数中的不变量对几何对象进行计数是奇点理论中的一个基本思想。例如，理想的重数可以用来计算两个解析集在非横截相交点的交点。理想或模的重数的一个问题是，它只定义于有限长度的模和理想。在本文中，我们使用对模块和他们的多重性作为一种方法，围绕这个困难。一个关键的工具是多重性极定理，适用于家庭对的模块，链接的多重性在一般对家庭的多重性对在特殊纤维。我们研究的具体问题是：设X，0是C^n中的一个等维复解析集，T^*_X（C^n）是X，s的光滑部分的余法向量的闭包，S是T^*（C^n）的一部分，C^n的余切丛限制在X上。假设s的像（记为im（s））与T^*_X（C^n）的交集是孤立的。然后我们利用对的重数计算交重数im（s）\cdot T^*_X（C^n）。很容易看出，如果X=C^n且s（x）=df（x），其中f在原点有一个孤立奇点，那么这个数就是f的米尔诺尔数。这个数字的变化出现在几个不同的情况下，如，理论的微分形式的奇异空间，理论的D-模，Milnor纤维的功能与孤立奇点，A_f分层条件的托姆，和理论的欧拉不变量。我们讨论我们的结果的应用到所有这些情况。
Nonisolated forms of rational triple point singularities of surfaces and their resolutions
本文详细研究了多重有理奇点（简称RTP奇点）。本文给出了一类非孤立的超曲面奇点，它们的正规化是它们的RTP-奇点，并通过对它们的Newton多边形的剖分构造了它们的极小分解图。孤立的完全相交奇点。我们证明了RTP奇点的非孤立形式及其正规化都是牛顿非退化的。
The multiplicity and the number of generators of an integrally closed ideal
设$(R, \mathfrak m)$是Noether局部环，$I$是$\mathfrak m$ -准素理想.本文研究了一个涉及生成元个数、Loewy长度和$I$重数的不等式.有强有力的证据表明，不等式对所有有限长的整闭理想成立当且仅当$R$有足够好的奇点。我们验证了正则局部环在所有维度上的不等式，维度$2$上的有理奇异性，以及维度$3$上的cDV奇异性。另外，当Cohen-Macaulay不等式$R$的维数不超过2时，我们可以进行分类.我们还讨论了各种主题的关系：最小的多重性和合理的奇异环的经典结果，最近的工作$p_g$理想的Okuma-Watanabe-Yoshida，多重性的纤维锥，和相关的分次环的$h$ -向量。
Normal reduction numbers of normal surface singularities
本文研究了正常表面奇点的正常还原数，综述了相关结果并证明了Brieskorn完全交集的新结论。
Singularities in positive characteristic, stratification and simplification of the singular locus
本文引入了一个上半连续函数，它将超曲面的最高重数轨迹按任意特征分层（在完满域上）。沿着由该函数定义的最大层的爆破导致奇点的简化形式，也称为单项式情况的简化。
Base points of natural line bundles on relatively generic surface singularities
在\cite{NNM}中，作者与A. Némethi计算了一般曲面奇点的多重性，该公式是纯粹拓扑计算的曲面奇点的分辨率图。在本文中，我们将结果部分推广到相对的情况下，当存在一对分解图$\mathcal{T}_1 \subset \mathcal{T}$，一个固定的奇点$\tX_1$与分解图$\mathcal{T}_1$，一个相对一般的奇点$\tX$对应的子奇点$\tX_1$与分解图$\mathcal{T}$。从分解图$\mathcal{T}$和次奇点$\tX_1$的解析不变量出发，确定了$\tX$上自然线丛的基点（在一定条件下）.对于每个基点$p$，我们确定一个下界的数目$t_p$，使$p$是$t_p$ -简单的，我们计算从它的一个下界的多重性的$\tX$，这是尖锐的在所有已知的情况下。
Expected term bases for generic multivariate Hermite interpolation
本文的主要目标是找到一个有效的估计的最小数量的泛点在$\mathbb K^2$的基础上Hermite插值由第一$\ell$条款（相对于全次数订购）。作为结果，我们证明了平面曲线的次数$d$具有一般的奇异的重$\leq m$的空间具有预期的维数，如果低阶奇异（重$k\leq12$）的数量大于一些$r(m,k)$。此外，给出了$r(m,k)$的上界。
Construction of bicuspidal rational complex projective plane curves
给出了双尖有理复射影平面曲线的几种构造方法，并给出了所构造曲线上的Newton对和奇点重数序列。虽然文献中已经证明了某些尖点构型的存在性，但本文方法的优点在于，一方面明确地给出了曲线上的牛顿对和奇点重数序列，另一方面给出了将具有简单方程的二次曲线或双尖曲线变换为具有给定尖点构型的有理双尖曲线的双有理变换.
F-blowups of normal surface singularities
本文研究非F-正则正规曲面奇点的F-爆破，重点详细分析有理二重点与简单椭圆奇点两类情形。
First order deformations of schemes with normal crossing singularities
本文描述了一个具有正规交叉奇点的约化概形的一阶变形层T^1（X）。特别地，我们在X的适当对数分辨率下得到了T^1（X）的一个公式。
Invariants of plane curve singularities and Plücker formulas in positive characteristic
研究了平面曲线奇异点$f\in K[[x,y]]$的经典不变量，$K$是具有特征$p\geq 0$的代数闭域：Milnor数，delta不变量，kappa不变量和重数.已知，在特征零中，$μ(f)=2δ(f)-r(f)+1$和$κ(f)=2δ(f)-r(f)+\mathrm{mt}(f)$。Deligne通过证明$μ(f)-\left( 2δ(f)-r(f)+1\right)$度量了任意特征线的野消失圈，证明了不等式$μ(f)\geq 2δ(f)-r(f)+1$的存在性.通过引入新的不变量$γ,\tildeγ$，本文证明了$κ(f)\geq γ(f)+\mathrm{mt}(f)-1\geq 2δ(f)-r(f)+\mathrm{mt}(f)$具有等式当且仅当特征$p$不整除$f$的任何分支的重数.作为一个应用程序，我们表明，如果$p$是“大”的$f$（实际上$p > κ(f)$），那么$f$没有野生消失循环。此外，我们还得到了正特征射影平面曲线的Plücker公式。
Maximal contact and normal crossings in resolution of singularities
本文已被作者撤回
The cohomology of line bundles of splice-quotient singularities
我们提供了几个结果拼接商奇点：所有“自然”线丛的第一上同调维数的组合表达式，线丛相对截面维数的等变Campillo-Delgado-Gusein-Zade型公式（证明了等变的、整除的多变量希尔伯特级数是拓扑的），解析函数-芽的因子的组合描述，并由其分解图给出了奇点重数的表达式。此外，我们建立了一个新的公式的Seiberg-Witten不变量的任何有理同调球奇异链。
Demi-Normal Surface Singularities
证明了Gorenstein正规曲面的半有理化和半对数标准化。也就是说，给定一个Gorenstein正规曲面X在一个开集U中具有半有理（分别为半对数正则）奇点，U补一个有限点集，存在一个真双有理态射f：Y --> X使得f是U上的同构，Y只有半有理（分别为半对数正则）奇点。我们继续进行正规化，然后沿着导体粘合在X的正规化的适当的有理化或对数规范化中。
Deforming nonnormal isolated surface singularities and constructing 3-folds with $\mathbb{P}^1$ as exceptional set
通常，人们假设孤立的表面奇点是法向的。本文的目的是表明，它可以是有用的，看看非正常的奇点。通过变形它们可以构造有趣的法向奇点，例如孤立的、非Cohen-Macaulay三重奇点。它们是由光滑的有理曲线的一个小收缩引起的，该曲线的法丛有一个充分正的子丛。我们从它们的非正规一般超平面截面来研究这类奇点。
Motivic local density of isolated surface singularities
本文旨在计算孤立代数曲面奇点的motivic局部密度，以解释其与代数乘数的关系，引入了与奇点bilipschitz几何相关的内部速率数据。
Normal surface singularities of small degrees
本文通过Yau序列推广Yau椭圆序列，利用Yau环计算二次曲面奇点的典范环，并给出算术亏格公式、几何亏格上界及加权对偶图分类性质。
Two examples of surfaces with normal crossing singularities
本文给出了两个具有正规交叉奇点的曲面的例子。在第一个例子中，正则环不是非线性生成的。在第二种情况下，规范线丛并不充足，但它对规范化的拉回是充足的。后者的答案是否定的，这个问题在[EGA，III.2.6.2]中没有得到解决，Viehweg又提出了这个问题。
Smoothings of Fano schemes with normal crossing singularities of dimension at most three
研究了具有维数不超过3的正规交叉奇点的Fano簇X的形变理论。我们得到了X的一阶变形层T^1（X）在X的适当对数分解及其奇异轨迹Z中的一个公式，并得到了X光滑存在的显式判据。
Codimension Two Determinantal Varieties with Isolated Singularities
研究了具有孤立奇点的两个行列式簇的余维数。这些奇异点具有唯一的光滑性，因此我们可以将它们的Milnor数定义为它们的类纤维的中间贝蒂数。对于C^4中的曲面，我们得到了用第二极重数和一般截面的Milnor数表示曲面的Milnor数的Lê-Greuel公式。我们还将Milnor数与Ebeling和Gusein-Zade指数的1-形式给出了一个通用的线性投影定义在表面上的微分。为了说明结果，在最后一节中我们计算了A的一些正规形的Milnor数。Frühbis-Krüger和A. Neumer [2]简单行列式曲面奇点列表。
Motivic generating series for toric surface singularities
Lejeune-Jalabert和Reguera计算了复曲面奇点的几何庞加莱级数P_{geom}（T）。他们提出的问题是否这个系列等于算术庞加莱系列。我们证明了这一平等的一类复曲面簇，包括表面，并构造一个反例在一般情况下。我们还计算了复曲面奇点的motivic Igusa Poincare级数Q_{geom}（T），使用motivic积分的变量变换公式，从而回答了Lejeune-Jalabert和Reguera的第二个问题。级数Q_{geom}（T）比等比级数包含更多的信息，因为它决定了奇点的多重性。在某种意义上，这是Q_{geom}（T）和P_{geom}（T）之间的唯一区别。
Generic Hypersurface Singularities
本文给出了一个新的微分证明，证明了我们关于射影空间中次数大于5的重点的通有并的最大秩的结果。这在某种程度上简化了我们对华林猜想的证明。
$D$-local algebraic fundamental groups of germs of normal complex analytic singularities
本文将正规复解析奇点的局部代数基本群的概念推广到某些称为$D$ -局部代数基本群的投射有限群上，证明了$D$ -局部代数基本群的Lefshetz型定理.例如，该定理给出了某类四维奇点的局部代数基本群的有限性，并将对三维纯对数终端奇点的分类有用。
Normal complex surface singularities with rational homology disk smoothings
本文证明极小好预解图至少含两个节点的正规曲面奇点无有理同伦圆盘光滑化，结合已有分类结果给出此类奇点的完整分类，同时证明了Wahl猜想及其有理猜想。
Lipschitz normal embedding among superisolated singularities
复解析空间的任一芽都具有两个自然度量：由周围空间的厄米度量导出的外度量和芽上的黎曼度量。一个复解析芽称为Lipschitz正规嵌入（LNE），如果它的内外度量是bilipschitz等价的. LNE似乎是相当罕见的表面奇点;唯一已知的LNE表面芽以外的平凡的情况下（直锥）是最小的奇点。本文证明了超孤立超曲面奇点是LNE的当且仅当它的射影切锥只有普通奇点。这提供了一个无限家庭的LNE奇点，这是根本不同的类的最小奇点。
Lipschitz Normal Embeddings and Determinantal Singularities
代数簇的芽自然地配备有两个不同的度量，直到bilipschitz等价。内度量和外度量。如果两个度量是bilipschitz等价的，则称为通常嵌入的一个变种Lipschitz的胚芽。本文证明了模型行列式奇点，即秩小于给定数的$m\times n$矩阵空间，是Lipschitz正规嵌入的。我们还将讨论一些困难的情况下推广这一结果一般行列式奇点。
The Eisenbud-Goto conjecture for projectively normal varieties with mild singularities
本文证明了对于具有特定奇点类型的2-非常 ample射影正常簇，Eisenbud-Goto猜想成立。
Smoothings of Fano varieties with normal crossing singularities
本文给出了定义在特征为零的代数闭域上的具有正规交叉奇点的Fano簇X是光滑的判别准则。与原始版本的不同之处在于，本文利用对数结构和变形理论证明了X可被一个光滑簇光滑的充要条件是T^1（X）=O_D，其中D是X的奇异轨迹。
Zero loci of admissible normal functions with torsion singularities
证明了光滑复代数簇S上的正规函数的零轨迹是代数的，只要该正规函数扩张到S的具有扭奇异的光滑紧化上的容许正规函数.这个结果推广了我们以前关于曲线上容许正规函数的结果[arxiv：math/0604345 [math.AG]]。M. Saito在最近的预印本中使用了不同的方法[arXiv：0803.2771v2]。
Normal reduction number of normal surface singularities
设$(X,o)$为复解析法曲面奇点，${\mathcal O}_{X,o}$为其局部环.通过$(X,o)$的分解$\widetilde{X}\to X$和不同线丛${\mathcal L}\in {\rm Pic}(\widetilde{X})$的上同调群，研究了${\mathcal O}_{X,o}$的正规约化数和相关的数值解析不变量.正规约化数是一个普适的最优界，从这个界出发，某些理想的幂具有稳定性。在这里，我们结合这与迭代阿贝尔映射的稳定性。一些主要的结果提供拓扑上界的稳定性能。
Hölder equivalence of complex analytic curve singularities
证明了：如果在$0\in\mathbb{C}^2$上的两个不可约复解析曲线芽具有不同的特征指数序列，则存在$0<α<1$使得这两个芽不是$α$ -Hölder同胚的.对于具有多个不可约分支的复解析平面曲线芽，证明了若其中任意两个是$α$同胚的，则对所有的$0<α<1$，其保持特征指数序列的分支与分支对的交重数之间存在对应关系.特别地，我们恢复了复解析平面曲线芽的分支特征指数序列和分支对的交重数是Lipschitz不变量.
A characterization of Lipschitz normally embedded surface singularities
复解析空间的任一芽都具有两个自然度量：由周围空间的厄米度量导出的外度量和芽上的黎曼度量。这两个度量在bilipschitz同胚上一般是不等价的。给出了法向曲面奇点为Lipschitz法向嵌入（LNE）的一个充要条件，即，以具有bilipschitz等效的外部和内部度量。在合作伙伴的论文[15]中，我们应用它来证明有理曲面奇点是LNE当且仅当它们是最小的。
Limits and Singularities of Normal Functions
我们构造了一个集合的高周循环在某些表面退化到安排的飞机在一般的位置。当它的次数为4时，这种构造给出了一类K3曲面的Hodge-D-猜想的一个新的显式证明。作为应用，我们还构造了一类具有非平凡Griffiths群的三重图.
Minimal surface singularities are Lipschitz normally embedded
复解析空间的任何芽都具有两个自然度量：由周围空间的厄米度量导出的{ \it外度量}和芽上的黎曼度量{ \it内度量}。我们证明了极小曲面奇点是Lipschitz正规嵌入的（LNE），即，恒等映射是外度量和内度量之间的bilipschitz同胚，并且它们是唯一具有此性质的有理曲面奇点。
Normal crossing singularities and Hodge theory over Artin rings
我们发展了一个相对简单的正规交叉品种在一个Artin基本方案的Hodge理论。我们引入的概念，混合霍奇结构的Artin环，公理化的结构，发现上同调这样的品种。作为应用，我们证明了Hodge丛的分次片之间的映射具有常秩。
Desingularization preserving stable simple normal crossings
这门课的主题是奇点的部分奇点的分解。给定一个特征为零的代数簇X（不一定是等维的）（或者更一般地，一对（X，D），其中D是X上的一个因子），我们构造了一个函子去奇异化的所有，但稳定的简单正规交叉（稳定snc）奇点，通过光滑的爆破，保持这样的奇点。一个簇在一点上有稳定的单正规交叉，如果在局部上，它的不可约分支在某个光滑嵌入簇中是光滑的和横截的。我们还表明，我们的主要主张是错误的更一般的简单正规交叉奇点。
Rational singularities of normal T-varieties
T-簇是具有代数环面T的有效正则作用的代数簇X。Altmann和Hausen利用多面体因子给出了仿射T-簇X的组合描述。在本文中，我们计算的高直接图像的结构层的去奇异化的X在此组合数据。作为结果，我们给出了一个标准，当一个T-簇有合理的奇异性。我们还提供了T-簇是Cohen-Macaulay簇的一个部分判据。作为应用，我们在这方面的特点拟齐次椭圆奇异曲面。
Normal singularities with torus actions
我们提出了一种方法来计算一个正常的仿射品种X赋予一个环面行动方面的组合描述这样的品种由于Altmann和豪森的desingularization。这种去奇异化使我们能够研究X的奇点结构。特别是，我们给X的标准，只有合理的，（QQ-）阶乘，或（QQ-）Gorenstein奇点。我们还给出了X是Cohen-Macaulay或对数终结的部分判据。最后，我们提供了一个方法来构造具有环面作用的阶乘仿射簇。这导致了一个完整的分类，这些品种的情况下，该行动是复杂的。
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