Giant Rainbow Trees in Sparse Random Graphs
本文针对稀疏随机图的彩虹树覆盖规模猜想，通过改进误差项分析，证明了带αn种边色的Erdős-Rényi随机图中，高概率存在覆盖顶点数达正确首项常数的巨型彩虹树，验证了已有猜想。
2023-08-27 math.CO
Asymptotic distribution of the numbers of vertices and arcs of the giant strong component in sparse random digraphs
研究了$n$顶点上随机有向图的两种模型：$D(n,\text{Prob}(\text{arc})=p)$和$D(n,\text{number of arcs}=m)$. 1990年，Karp为$D(n,p)$和独立的T.对$D(n,m=cn)$的Rumuczak证明了对于概率趋于1的$c>1$，存在唯一的强分量，其大小为$n$阶.事实上，卡普证明了巨分支的大小可能渐近于$nθ^2$，其中$θ=θ(c)$是$1-θ=e^{-c θ}$的唯一正根。本文证明了：对于两个随机有向图，当均值向量$n\boldsymbolμ(c)$，$\boldsymbolμ(c):=(θ^2, cθ^2)$和两个不同的$2\times 2$协方差矩阵$n\mathbf{B}(c)$和$n[\mathbf{B}(c)+c (\boldsymbolμ'(c))^T (\boldsymbolμ'(c)))]$相同时，巨强分支的顶点数和弧数的联合分布是渐近高斯分布.为此，我们引入并分析了一个随机删除过程，该过程确定了有向$(1,1)$ -核心，最大有向图的最小入度和出度至少为1。这个$(1,1)$核心包含所有非平凡的强成分。然而，我们发现，可能的外围顶点和弧的$(1,1)$核心的数量，那些最大的强成分之外，是对数多项式的顺序，从而相形见绌预期的波动，在$n^{1/2}$的规模，巨大的组件参数。通过近似删除算法的可能…
2015-05-20 math.CO math.PR
Constraining the clustering transition for colorings of sparse random graphs
设$Ω_q$表示随机图$G_{n,m}, m=dn/2$的真$q$ -着色集，$H_q$表示具有顶点集$Ω_q$和边$\{σ,τ\}$的图，其中$σ,τ$是映射$[n]\to[q]$当且仅当$h(σ,τ)=1$ .这里$h(σ,τ)$是汉明距离$|\{v\in [n]:σ(v)\neqτ(v)\}|$。我们表明，w. h. p. $H_q$包含一个巨大的组成部分，几乎所有的着色$Ω_q$，如果$d$是足够大的和$q\geq \frac{cd}{\log d}$为常数$c>3/2$。
2018-01-09 math.CO
First Order Definability of Trees and Sparse Random Graphs
设D（G）是一个一阶公式的最小量词深度，该公式对图G为真，但对其它非同构图为假。这可以看作是G的一阶描述复杂度的度量。我们将证明几乎必然D（G）=Θ（\ln n/ \ln \ln n），其中G是n阶随机树或随机图G（n，c/n）的巨分支，且c>1.这些结果依赖于计算最大度为l的n阶树T的D（T）的最大值，因此我们也研究了这个问题。
2005-06-15 math.CO
Embedding Graphs of Simple Treewidth into Sparse Products
研究有界树宽及简单树宽图嵌入有向积图的稀疏性问题，证明简单树宽图可嵌入特定入度和树宽界限的有向积且界限最优，但树宽图存在无法嵌入的否定结果。
2025-08-15 math.CO
Formation of a giant component in the intersection graph of a random chord diagram
研究了弦稀疏交叉时随机弦图最大分量的弦数和交叉数。这相当于研究随机交图的最大分支的顶点数和边数。用n表示弦的个数，用m表示交叉的个数，当m/nlog（n）趋于（0，2/π^2）的极限时，我们证明了从所有给定参数的图中随机均匀选取的弦图有一个包含几乎所有交叉和正弦分数的分量。当m < n/14时，最大分支的大小为O（log n）。其中一个关键的分析成分是一个渐近表达式的弦图的数量与参数n和m的m <（2/π^2）n \log（n），基于Touchard-Riordan公式和雅可比恒等式欧拉分拆函数。
2014-09-07 math.CO
Sparse random graphs with clustering
在2007年，我们引入了一个一般模型的稀疏随机图之间的独立的边缘。本文的目的是提出一个扩展的边缘是远离独立的这个模型，并证明了几个结果，这种扩展。其基本思想是通过添加边和其他小图来构造随机图。换句话说，我们首先构造一个具有独立超边的非齐次随机超图，然后用一个（可能是完全的）图来替换每个超边。虽然足够灵活，可以生成边之间具有显著相关性的图，但该模型在数学上仍然是易于处理的。事实上，我们找到了一个巨大的组件出现在充分的一般性的临界点，在一定的积分算子的规范，并涉及到一定的（非泊松）多类型分支过程的生存概率的巨大的组件的大小。虽然我们的主要重点是相变，我们也研究了度分布和小的子图的数量。我们用一个简单的特例来说明这个模型，这个特例产生了幂律度序列的图，它具有广泛的度指数和聚类系数。
2009-10-23 math.CO math.PR
The emergence of a giant rainbow component
随机着色图$G_c(n,p)$是从Erdens-Rényi二项式随机图$G(n,p)$通过从$c$颜色集合中独立且均匀地随机分配给每个边而获得的。不难看出，当$c = Θ(n)$时，该模型中最大彩虹树的阶数在临界点$p=\frac{1}{n}$发生相变。本文确定了当\emph{weakly sub- and supercritical regimes}对于满足$\varepsilon = o(1)$和$|\varepsilon|^3 n\to\infty$的$\varepsilon=\varepsilon(n)$，最大彩虹树的渐近阶。特别是，我们表明，在这两个政权的最大组件的$G_c(n,p)$包含一个几乎生成彩虹树的概率很高。我们还考虑了当$p = \frac{d}{n}$对某个常数$d >1$时，最大彩虹树在\emph{sparse regime}中的阶数.在这里，我们表明，最大的彩虹树具有线性顺序，而且，对于$d$和$c$足够大，具有很高的概率$G_c(n,p)$甚至包含一个几乎跨越彩虹循环。
2022-10-21 math.CO
Percolation on sparse random graphs with given degree sequence
研究了具有给定度序列的稀疏随机图上的两种最常见的渗流过程。也就是说，我们首先检查一个键渗流过程中，图的边缘保留概率为p，然后我们专注于网站渗流的顶点保留概率为p。我们建立临界值p以上的一个巨大的组件出现在这两种情况下。此外，我们表明，事实上，这些是一致的。作为特例，我们的结果适用于幂律随机图。我们得到了严格的证明公式推导出的几个物理学家这样的图。
2007-03-09 math.CO math.PR
Are sparse graphs typically determined by their spectrum?
Eindhoven University of Technology, The Netherlands（埃因霍温理工大学）；University of Münster, Germany（明斯特大学）
研究稀疏图是否通常由其谱确定，发现悬垂树可能是障碍，通过修剪2-核可提高谱确定性。
2026-02-26 math.CO math.PR math.SP
Counting connected multitype graphs with prescribed edge counts
Università degli Studi di Torino（都灵大学）；Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics（魏尔斯特拉斯应用分析与随机性研究所）
研究稀疏标记连通多类型图的渐近计数，通过非齐次随机图的大偏差原理和连通性概率，将计数问题转化为巨分支问题，推广了Bender、Canfield和McKay的经典结果。
2026-10-21 math.CO math.PR
A short proof of a central limit theorem for the order of the giant component and $k$-core
Institute of Science and Technology Austria（奥地利科学技术研究所）；School of Mathematics, University of Birmingham（伯明翰大学数学学院）；Institute of Discrete Mathematics, Graz University of Technology（格拉茨工业大学离散数学研究所）；Department of Mathematics, London School of Economics（伦敦政治经济学院数学系）
研究用新简单方法证图参数中心极限定理，利用埃弗龙 - 斯坦因不等式，经边重采样稳定性组合分析，给出稀疏随机图巨分支阶数和k-核中心极限定理简短证明。
2026-07-15 math.CO math.PR
On Alon-Tarsi orientations of sparse graphs
本文研究稀疏图的 Alon-Tarsi 定向与列表可延拓性，将外可平面图的结果加强到不含 $K_4$ 子式的图，并刻画多种指定顶点的 AT/列表可延拓条件。
2025-08-31 math.CO
A note on the width of sparse random graphs
本文用直接证明重证超临界随机图秩宽与树宽结果，避免黑箱引用扩张定理并给出 ε 的显式界，还确定弱超临界区域中宽度的常数因子渐近。
2024-01-26 math.CO
Percolation on Finite Graphs
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本讲义基于特拉维夫大学研究生课程，系统介绍有限图上的渗流理论，涵盖随机图相变、巨分量、长路径、连通性与完美匹配阈值及随机超立方体中的相关结果。
2026-09-25 math.CO math.HO math.PR
Stochastic processes in random graphs
本文用随机过程的方法研究了稀疏随机图连通分支的大偏差、中偏差和正态偏差的渐近性。我们得到了连通分支数、巨分支的大小和巨分支的多余边数的联合分布的大偏差的对数渐近性。对于超临界情形，我们得到了组分数、最大组分尺寸和最大组分多余边数的联合分布的正态偏差渐近性和大偏差及中偏差的对数渐近性.在临界情形下，我们得到了连通分量大小和多余边数的联合分布的中偏差的对数渐近性。一些相关的渐近性也建立。大、中偏差渐近性的证明采用幂等概率论的方法。作为副产品的结果，我们提供了一些额外的洞察稀疏随机图的相变的性质。
2004-02-11 math.CO math.PR
Randomized Near Neighbor Graphs, Giant Components, and Applications in Data Science
如果我们在$[0,1]^d$中均匀地选取$n$随机点，并将每个点连接到它的$k-$最近邻，则众所周知，存在一个具有高概率的巨连通分支。我们证明，在$[0,1]^d$它足以连接到$ c_{d,1} \log{\log{n}}$点随机选择的$ c_{d,2} \log{n}-$最近的邻居，以确保一个巨大的组件的大小$n - o(n)$具有高概率。这种构造产生了一个稀疏得多的随机图，其具有$\sim n \log\log{n}$而不是具有可比连通性的$\sim n \log{n}$边。这一结果对于构建亲和矩阵的数据科学问题具有重要意义：人们通常可以在不牺牲效率的情况下从$k-$最近邻居中挑选$k' \ll k$随机点，而不是挑选$k-$最近邻居。这可以大大简化和加速计算，我们用几个数值例子来说明这一点。
2017-11-13 cs.DM cs.DS math.CO
The birth of the giant component
当$n$顶点上的随机图具有近似$\half n$边时，稀疏连通分量的极限分布被导出。特别是，我们表明，这样的图完全由树，单环组件，和双环组件的概率接近$\sqrt{2\over 3} \cosh\sqrt{5\over 18}\approx0.9325$为$n\to\infty$。它由树、单圈成分和至多一个其他成分组成的极限概率约为0.9957;它是平面的极限概率介于0.987和0.9998之间。当一个随机图的边数经过$\half n$时，其分支的循环复杂度按照一个有趣的马尔可夫过程增长，并导出了该过程的渐近结构.在整个演化过程中，边数大于顶点数的分量不超过一个的概率接近$5π/18\approx0.8727$。一个"均匀“模型的随机图，它允许自环和重边，导致公式，大大简单于类似的公式为经典的随机图的Erdés和Rényi。"过剩“和"不足”的概念是生成函数和图本身的重要特征，它们导致了统一模型在数学上有吸引力的结构理论。停止配置的研究的一般方法使得有可能锐化以前获得的估计在一个统一的方式，并经常获得封闭的形式的常数的利益。实证结果是为了补充分析，表明典型的行为时，$n$是接近20000。
1993-10-01 math.CO math.PR
Percolation on dense graph sequences
本文确定了任意稠密图序列$(G_n)$的渗流阈值。设$λ_n$为$G_n$邻接矩阵的最大特征值，$G_n(p_n)$为$G_n$的随机子图，其边以概率$p_n$保持独立.我们发现，在$G_n(p_n)$中的一个巨大的组件的外观有一个尖锐的阈值在$p_n=1/λ_n$。事实上，我们证明了更多：如果$(G_n)$收敛到一个不可约的极限，那么密度的最大组件的$G_n(c/n)$倾向于生存概率的多类型分支过程定义在这个限制。这里的概念收敛和限制是那些博格，Chayes，Lovász，索斯和Vesztergombi。除了使用收敛的基本性质外，我们还大量使用了Bollobás，Janson和Riordan的方法，他们使用多类型分支过程来研究稀疏非齐次随机图中巨分支的出现。
2010-01-29 math.CO math.PR
Rigid partitions: from high connectivity to random graphs
本文引入满足连通性条件的“刚性划分”以建立图的 $d$-刚性新判据，并据此推导高连通图、随机图、随机二部图、伪随机图及稠密图的刚性结果。
2023-12-12 math.CO
Clustering and percolation on superpositions of Bernoulli random graphs
一个简单但功能强大的网络模型与$n$节点和$m$部分重叠的层生成作为一个覆盖的独立随机图$G_1,\dots,G_m$可变的大小和密度。该模型由层尺寸和密度的联合分布$P_n$参数化。当$m$线性增长和$P_n \to P$为$n \to \infty$时，该模型生成具有丰富统计结构的稀疏随机图，允许非零聚类系数以及有限度分布和具有可调幂律指数的聚类谱。值得注意的是，该模型承认参数制度，其中债券渗流表现出两个相变：第一个相关的出现一个巨大的连接组件，第二个巨大的单层组件的外观。
2020-11-02 math.CO math.PR physics.soc-ph
Supercritical percolation on finite transitive graphs I: Uniqueness of the giant component
该研究针对有限顶点传递图的伯努利边渗流，证明稀疏图序列的超临界巨片以高概率唯一，验证了Benjamini的相关猜想，并给出稠密图超临界唯一性的充要等周条件。
2024-03-11 math-ph math.CO math.MP
Percolation on random graphs with a fixed degree sequence
本文研究了具有给定度和有界平均度的随机图上的键渗流问题。特别地，我们考虑了这样一个随机图的边随机删除后的最大分量的顺序。我们给出了一个粗略的表征，这些度分布的键渗流与高概率离开一个组件的线性顺序，通常被称为一个巨大的组件。我们表明，基本上临界条件与度分布的尾部有关。我们的证明利用了Joos等人介绍的最新技术[FOCS 2016，pp. 695--703]的方法，避免了经典配置模型的使用和具有限制对象的假设。因此，我们的结果保持稀疏度序列，没有通常的限制，伴随配置模型。
2022-01-11 cs.DM math.CO math.PR
On the spread of random graphs
一个连通图G的扩展度是由Alon，Boppana和Spencer（1998）提出的，用来度量图的连通程度。它定义为当X在V（G）上均匀分布时，f（X）的方差在V（G）上的所有Lipschitz函数f上的最大值.我们研究了稀疏随机图的某些模型的扩散，特别是随机正则图G（n，d），超临界范围p>1/n的Erdens-Rényi随机图G_{n,p}，以及“小世界”模型.对于超临界G_{n,p}，我们证明了，如果p=c/n与c>1固定，那么有很高的概率的巨组件的蔓延是有界的，我们证明了相应的声明，为其他模型的随机图，包括随机边长的模型。当p=（1+o（1））/n时，我们也给出了几乎超临界情形下的扩散的下界.进一步，我们证明了当d大时，G（n，d）的扩展很可能任意地接近于完全图K_n的扩展.
2012-08-10 math.CO math.PR
First passage percolation on the Erdős-Rényi random graph
在本文中，我们研究了Erdens-Rényi随机图$G_n(p_n)$上的首次通过渗流（FPP），其中每条边都被赋予一个独立的指数边权重，速率为1。在稀疏状态下，即，当$np_n\to λ>1,$时，我们发现对于巨分量中均匀选择的顶点之间的路径的最小权重，以及对于跳数（即，更精确地说，我们证明了一个中心极限定理的跳数，渐近均值和方差都等于$λ/(λ-1)\log{n}$。证明了以$\log{n}/(λ-1)$为中心的最小权按分布收敛。我们还调查了密集的制度，其中$np_n \to \infty$。我们发现，虽然基础图是一个{ \it超小}（这意味着均匀选择的顶点之间的图形距离是$o(\log{n})$），附加随机边权重完全改变了网络的几何形状。实际上，跳数$H_n$满足普适性性质，即无论$p_n$、\ $H_n/\log{n}\to 1$的值是多少，概率是多少，更准确地说，是$(H_n-β_n\log{n})/\sqrt{\log{n}}$，其中$β_n=λ_n/(λ_n-1)$具有极限标准正态分布。常数$β_n$可以被替换为1精确时，$λ_n\gg \sqrt{\log{n}}$，一种情况下，已经出现在文献中（在更强的条件下对$λ_n$）。我们还找到了图中顶点之间的最大权重和最大跳数的界。本文继续了作者对FPP的研究。与\cite{BHHS08}中研究的配置模型的设置相比，由于E…
2010-05-22 math.CO math.PR
