Canonisation and Definability for Graphs of Bounded Rank Width
本文证明维度为(3k+4)的Weisfeiler-Leman算法可完全判定秩宽至多为k的图同构，将运行时间从非初等改进为n^{O(k)}，并首次给出有界秩宽图的多项式时间规范化算法，同时证明带计数的定点逻辑在有界秩宽图类上刻画多项式时间。
2022-07-16 cs.DS cs.LO math.CO
Embedding induced trees in sparse expanding graphs
本文提出抢占式贪心算法，将Friedman-Pippenger结果推广到诱导情形，证明稀疏随机图包含线性阶有界度树及诱导Ramsey数的线性界，并给出可数扩展图中诱导森林的近乎紧结果。
2024-06-06 math.CO
First order limits of sparse graphs: Plane trees and path-width
Nesetril和Ossona de Mendez引入了一阶收敛的概念，试图统一稀疏图和稠密图的收敛概念。已知存在图的一阶收敛序列而不需要极限建模（极限的解析表示）。在积极的一面，每一个一阶收敛序列的树或图没有长的路径（图有界树深度）有一个极限建模。我们加强这些结果表明，每一个一阶收敛序列的平面树（树嵌入在平面）和每一个一阶收敛序列的图有界路径宽度有一个极限建模。
2016-03-31 math.CO
The average number of spanning trees in sparse graphs with given degrees
给出了具有给定度序列$\boldsymbol{d}=(d_1,\ldots, d_n)$的随机图的期望生成树数的渐近表达式，其中$d_{\max}$为最大度，且其边数至少为$n + \textstyle{\frac{1}{2}} d_{\max}^4$.我们的论点的一个关键部分涉及到建立一个浓度的结果，为一定的家庭的功能在随机树与给定的程度，使用Prüfer码。
2017-02-20 math.CO
Decomposition of Sparse Graphs into Forests: The Nine Dragon Tree Conjecture for $k \le 2$
对于无环多重图$G$，分数荫度$Arb(G)$是$\frac{|E(H)|}{|V(H)|-1}$在所有至少有两个顶点的子图$H$上的最大值。推广纳什-威廉姆斯荫度定理，九龙树猜想断言，如果$Arb(G)\le k+\frac{d}{k+d+1}$，则$G$分解成$k+1$森林，其中一个森林在大多数$d$处具有最大度。该猜想以前证明$d=k+1$和$k=1$时，$d \le 6$。当$k \le 2$时，我们证明了所有的$d$，除了$(k,d)=(2,1)$。
2015-02-17 math.CO
Note on packing of edge-disjoint spanning trees in sparse random graphs
图$G$的\emph{spanning tree packing number}是包含在$G$中的边不相交生成树的最大数目。令$k\geq 1$为固定整数。Palmer和Spencer证明了在几乎每一个随机图过程中，具有$k$边不交生成树的命中时间等于具有最小度$k$的命中时间.本文证明了对任意$p$，使得$(\log n+ω(1))/n\leq p\leq (1.1\log n)/n$，几乎必然随机图$G(n,p)$满足生成树的堆积数等于最小度.注意，$p$的这个界将允许最小度是$n$的函数，在这个意义上，我们改进了Palmer和Spencer的结果。此外，我们还得到了对任意$p$，使得$p\geq (51\log n)/n$，几乎必然随机图$G(n,p)$满足生成树堆积数小于最小度.
2013-01-07 math.CO
The approximate Loebl-Komlos-Sos conjecture and embedding trees in sparse graphs
Loebl，Komlós和Sós证明了每个$n$ -顶点图$G$至少有度至少为$k$的$n/2$顶点，包含每个阶为$k+1$的树$T$作为子图.我们给出了一个草图的证明这个猜想的近似版本的大值$k$。对于我们的证明，我们使用的结构分解，可以看作是一个类似的Szemerédi的正则性引理可能非常稀疏的图形。有了这个工具，每个图可以被分解成四个部分：一组巨大度的顶点，正则对（在正则引理的意义上），以及两个其他对象，每个对象都表现出一定的扩展属性。然后，我们利用$G$的每个部分的属性来嵌入给定的树$T$。本文的目的是强调我们证明的关键步骤。详情请参见[arXiv：1211.3050]。
2015-04-14 math.CO
Coloring, sparseness, and girth
一个$r$扩充树是一个有根树加上从每个叶子到祖先添加的$r$边。对于$d,g,r\in\mathbb{N}$，我们构造了一棵围长至少为$g$的二分$r$ -增广完全$d$ -二叉树.这种树的高度必须以极快的速度增长。利用所得到的图，我们构造了稀疏的非$k$ -可选的二部图，证明了最大平均度至多为$2(k-1)$是二部图中$k$ -可选的一个尖锐的充分条件，即使在要求大围长的情况下也是如此.我们还给出了具有任意围长$g$的非$k$ -可着色图和超图的一个新的简单构造.
2015-04-30 math.CO
On Low Tree-Depth Decompositions
稀疏结构理论通常使用树状结构作为构建块。在稀疏/稠密二分法的上下文中，这个角色由具有有界树深度的图扮演。在本文中，我们调查结果与此概念，特别是解释如何使用这些图来分解和构建更复杂的图形和结构。在更多的技术术语，我们调查的一些性质和应用的低树深度分解的图。
2014-12-04 math.CO
Tree densities in sparse graph classes
图类$\mathcal{G}$为$n\to \infty$的$n$ -顶点图中固定林$T$的最大副本数是多少？我们回答这个问题的各种稀疏图类$\mathcal{G}$。特别是，我们表明，答案是$Θ(n^{α_d(T)})$其中$α_d(T)$是最大的$T$的子森林中诱导的顶点的程度$d$的最大稳定集的大小，对于一些整数$d$依赖于$\mathcal{G}$。例如，当$\mathcal{G}$是$k$ -退化图的类时，则为$d=k$ ;当$\mathcal{G}$是不包含$K_{s,t}$ -子图（$t\geq s$）的图的类时，则为$d=s-1$ ;当$\mathcal{G}$是$k$ -平面图的类时，则为$d=2$。所有这些结果实际上是一个单一的引理在有限的一组排除子图的后果。
2021-07-05 math.CO
Spanning rigid subgraph packing and sparse subgraph covering
刚性，在离散几何中出现，是不弯曲的结构的属性。Laman给出了欧氏平面上刚性图的一个组合特征，因此欧氏平面上的刚性图在图论中有应用。给出了刚性生成子图和生成树填充的一个充分划分条件。作为推论，我们证明了一个简单图$G$包含一个由$k$生成刚性子图和$l$生成树构成的包装，如果$G$是$(4k+2l)$ -边连通的，并且对于每个$Z\subset V(G)$，$G-Z$本质上是$(6k+2l - 2k|Z|)$ -边连通的.因此，每个$(4k+2l)$ -连通和本质$(6k+2l)$ -连通图$G$都包含一个由$k$生成刚性子图和$l$生成树构成的填充.利用这一点，我们证明了每一个$6$ -连通和本质$8$ -连通图$G$都包含一个生成树$T$，使得$G-E(T)$是$2$ -连通的.这改进了以前的一些结果。研究了稀疏子图覆盖问题。
2018-06-12 math.CO
Embedding Graphs of Simple Treewidth into Sparse Products
研究有界树宽及简单树宽图嵌入有向积图的稀疏性问题，证明简单树宽图可嵌入特定入度和树宽界限的有向积且界限最优，但树宽图存在无法嵌入的否定结果。
2025-08-15 math.CO
Spanning trees in sparse expanders
给定整数$n\ge Δ\ge 2$，令$\mathcal{T}(n, Δ)$是所有$n$ -顶点树的集合，其最大度至多为$Δ$。Alon，Krivelevich和Sudakov在2007年提出了一个问题，要求确定一个$(n, d,λ)$ -图成为$\mathcal{T}(n, Δ)$ -泛图的最佳可能谱隙条件，即它同时包含$\mathcal{T}(n, Δ)$的所有成员作为一个子图.本文证明了对充分大的整数$n$和所有的$Δ\in \mathbb{N}$，每个具有\[ λ\le\frac{d}{2Δ^{5\sqrt{\log n}}} \]的$(n, d,λ)$ -图是$\mathcal{T}(n, Δ)$ -泛图.作为一个直接的推论，这意味着阿隆的巧妙建设的三角形自由稀疏扩展是$\mathcal{T}(n, Δ)$ -普遍的，它提供了一个明确的建设这样的图，从而解决了问题的约翰森，Krivelevich和Samotij。我们的主要结果是制定下一个更一般的情况下，即，$(n,d)$ -扩展。更精确地说，我们证明了存在绝对常数$C,c>0$，使得下面的陈述对足够大的整数$n$成立。（1）.对于所有$Δ\in \mathbb{N}$，每个$(n, Δ^{5\sqrt{\log n}})$ -扩展器是$\mathcal{T}(n, Δ)$ -通用的。（2）.对于所有具有$Δ\le c\s…
2023-02-18 math.CO
Giant Rainbow Trees in Sparse Random Graphs
本文针对稀疏随机图的彩虹树覆盖规模猜想，通过改进误差项分析，证明了带αn种边色的Erdős-Rényi随机图中，高概率存在覆盖顶点数达正确首项常数的巨型彩虹树，验证了已有猜想。
2023-08-27 math.CO
The degree-diameter problem for sparse graph classes
度-直径问题要求图中具有最大度$Δ$和直径$k$的顶点的最大数目。对于固定的$k$，答案是$Θ(Δ^k)$。我们考虑特定类别的稀疏图的度直径问题，并建立以下结果。对于有界平均度的图，答案是$Θ(Δ^{k-1})$，对于有界荫度的图，答案是$Θ(Δ^{\floor{k/2}})$，在这两种情况下都是固定的$k$。对于给定树宽的图，我们确定最大顶点数直到一个常数因子。更精确的界限给出了给定树宽的图，图嵌入在一个给定的表面上，顶点未成年人的自由图。
2014-04-25 math.CO
Sparse Random Matrices and Statistics of Rooted Trees
我们考虑平均每行具有p个非零元素的N维随机对称矩阵A的系综。本文研究了A的范数在N和p无限递增的极限下的渐近性态，证明了p= logN是范数有界或无界的临界值.参数是基于树型图的演算。稀疏随机矩阵的渐近性质基本上取决于树的顶点，我们证明是有限的典型程度。
1999-05-04 math.CO math.PR math.SP
Treelike decompositions for transductions of sparse graphs
我们给出了新的分解定理的类图，可以转换在一阶逻辑类的稀疏图-更准确地说，从类的有界扩张和无处密集类。在这两种情况下，分解都采用了一个有界深度的单色根树的形式，此外，树中不相关的节点之间可能存在链接。约束是树和链接形成的结构必须是稀疏的。使用无处密集类的转换的分解定理，我们表明，他们承认低shrubdepth覆盖的大小$O(n^\varepsilon)$，其中$n$是顶点计数和$\varepsilon>0$是任何固定的~实数。这解决了由Gajarskeleton等人提出的一个公开问题。（ACM TOCL '20），也由Briaeletski等人提出。（SIMMA'21）。
2022-01-26 cs.DM cs.LO math.CO
Sparse graphs with bounded induced cycle packing number have logarithmic treewidth
该研究证明了不含k个两两不交且不相邻圈的稀疏图具有对数级树宽，且该界是紧的，由此推出这类图上多个核心NP完全问题可在多项式或拟多项式时间内求解。
2024-02-16 cs.DS math.CO
Local limit of sparse random planar graphs
设$P(n,m)$是从顶点集$\left\{1, \ldots, n\right\}$上所有有$m=m(n)$边的可平面图类中随机均匀选取的图.当$P(n,m)$.假设$2m/n$的平均度趋于一个常数$c\in[0,2]$，则当$c\leq 1$时，$P(n,m)$的局部弱极限是一棵后代分布为$Po(c)$的Galton-Watson树，而当$c=2$时，它是一棵骨架树.此外，如果$P(n,m)$是局部弱极限，则局部弱极限是Galton-Watson树和骨架树的线性组合，在这个意义上，这两种情况之间存在一个平滑的过渡.
2021-01-28 math.CO math.PR
Characterizations of monadically dependent tree-ordered weakly sparse structures
Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IRIF（信息与随机研究所）；Centre d'Analyse et de Mathématique Sociales CNRS UMR 8557（社会分析与数学中心）；Southeast University（东南大学）；Computer Science Institute of Charles University (IUUK)（查理大学计算机科学研究所）；University of Bremen（不来梅大学）
本文研究了树序弱稀疏结构的单调依赖特征，通过多种构造方法揭示了其与稀疏性理论的联系，并证明了稀疏化与无处稠密性的等价性。
2026-01-23 cs.DM cs.LO math.CO
Sparse Induced Subgraphs of Large Treewidth
本文证明大树宽且无 $K_{t,t}$ 子图的图必含稀疏诱导子图（细分墙、其线图或细分双团的生成超图），保持树宽且边数近线性，推广了 Weissauer 的结果。
2024-05-22 cs.DM cs.DS math.CO
Ray inflations of $ω_1$-trees and ends of degree $\aleph_1$
Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo（圣保罗大学数学与计算科学研究所）
该研究针对ω₁-树的射线膨胀，证明了两类图的细分或子图同构性结论，并在◇公理下构造了哈林端度猜想的反例。
2026-08-13 math.CO math.LO
Large deviations of empirical neighborhood distribution in sparse random graphs
考虑具有n个顶点的Erdens-Renyi随机图，其中每个边以概率c/n独立存在，c>0固定。对于大的n，一个典型的随机图的局部行为类似于一个具有泊松后代分布的Galton-Watson树，平均值为c。在这里，我们研究大偏差从这个典型的行为的框架内的局部弱收敛的有限图序列。相关的速率函数表示在一个熵泛函的单模措施，并采取有限的值，只有在措施上支持的树木。对于其它一些常用的随机图系综，如边数随顶点数线性增长的均匀随机图，度序列给定的均匀随机图，我们也建立了大偏差.为了证明我们的结果，我们引入了一个新的配置模型，它允许一个样本均匀随机图与给定的邻域分布，后者是支持树。我们还引入了一类新的么模随机树，它将通常的Galton Watson树与给定的度分布的情况下，任意有限深度的邻域。这些广义高尔顿沃森树在分析单模随机树中是有用的，并且可以被认为是有意义的。
2016-04-07 math.CO math.PR
Trees in Random Sparse Graphs with a Given Degree Sequence
令$\mathbb{G}^{D}$是具有$\left|V\right|=n$的图$G(V,\, E)$的集合，并且度序列等于$D=(d_{1},\, d_{2},\,\dots,\, d_{n})$。此外，对于$\frac{1}{2}<a<1$，我们定义了一个几乎给定的度序列$D$的图的集合如下，\[ \mathbb{G}_{a}^{D}:=\cup\,\mathbb{G}^{\bar{D}}, \]其中的并集是在所有的度序列$\bar{D}$上的，使得对于$1\leq i\leq n$，我们有$\left|d_{i}-\bar{d}_{i}\right|<d_{i}^{a}$。现在，如果我们分别从集合$\mathbb{G}^{D}$和$\mathbb{G}_{a}^{D}$中均匀地选择随机图$\mathcal{G}_{\mathbf{g}}\left(D\right)$和$\mathcal{G}_{\mathbf{a}}\left(D\right)$，它们看起来像什么？当$\mathcal{G}_{\mathbf{g}}\left(D\right)$是一个稠密图，即$\left|E\right|=Θ(n^{2})$，在图子的意义上，或当$\mathcal{G}_{\mathbf{g}}\left(D\right)$是非常稀疏，即$d_{n}^{2}=o(\left|E\right…
2014-02-21 math.CO math.PR
$t$-sails and sparse hereditary classes of unbounded tree-width
该研究在树宽有界的阻碍对象中新增$t$-帆，通过分析稀疏遗传路径-星图类的结构，证明含无界星且星与路径连接无界的类树宽无界，还发现嵌套字定义的类不含经典阻碍但以$t$-帆为树宽阻碍且无树宽无界极小类。
2024-06-24 cs.DS math.CO
Globally optimal dense and sparse spanning trees, and their applications
在各种约束条件下求生成树是一个经典问题，在许多领域都有应用。最近，一种新的概念，“密集”（“稀疏”）树，特别是生成树（DST和SST分别），被引入的结构，有一个大（小）数量的子树，或小（大）之间的距离和顶点。我们发现，找到DST和SST减少到解决离散最优化问题。新的和有效的方法来找到这样的生成树是通过施加一定的条件的顶点度，然后用于定义一个目标函数，是最小化的所有生成树的图中考虑。对于大型图来说，精确地解决这个最小化问题可能非常耗时。因此，我们建议使用遗传算法（GA），这是一个众所周知的元分析方法来解决DST和SST近似。据我们所知，这是GA第一次在这种情况下使用。我们还证明了一些应用程序，遗传算法的方法是非常适合这些类型的问题，无论是在计算效率和准确性的近似解。此外，我们提出的方法，提高了效率，通过使用Kruskal的算法与遗传算法相结合。我们的方法的应用到几个实际的大型图和网络。计算结果表明，他们执行速度比以前提出的启发式方法，并产生更准确的解决方案。此外，所提出的方法的新功能是，它可以递归地应用到子树或生成树的额外的约束，以进一步调查的图形和/或网络的图形属性。将这种方法应用于癌细胞的基因网络，导致在以前的研究中不明显的网络中分离出关键基因。
2020-01-20 math.CO math.OC q-bio.QM
Sparse Graphs of Twin-width 2 Have Bounded Tree-width
本文证明孪生宽度至多为2且不含大完全二部子图的稀疏图具有多项式有界树宽，并据此给出稀疏图类上判定孪生宽度是否超过2的多项式时间算法，同时说明该结果无法推广到孪生宽度3。
2023-07-04 cs.DM cs.DS math.CO
Forest expansion of two-body partition functions for sparse interaction graphs
本文通过森林展开证明稀疏图上高温二体配分函数可用树近似，并利用置信传播高效求解，同时给出树假设的一阶和二阶修正。
2021-02-01 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
How much does a treedepth modulator help to obtain polynomial kernels beyond sparse graphs?
在过去的几年里，核与结构参数一直是一个活跃的研究领域内的参数化的复杂性。作为一个相关的例子，Gajarsk{y}等人。[ESA 2013]证明了满足称为有限整数索引的性质的每个图问题都允许有界扩展的图上的线性核和无处稠密图上的几乎线性核，由$c$ -树深度调制器的大小参数化，该调制器是顶点集，其去除导致树深度至多为$c$的图，其中$c \geq 1$是固定整数。作者留下了进一步的研究来研究这个参数在一般图上，特别是要找到的问题，虽然承认多项式核稀疏图，表现不同的一般图。在这篇文章中，我们回答这个问题，找到两个非常自然的问题：我们证明了顶点覆盖承认多项式核一般图的任何整数$c \geq 1$，并支配集不为任何整数$c \geq 2$甚至退化图，除非$\text{NP} \subseteq \text{coNP}/\text{poly}$。对于正结果，我们基于Jansen和Bodlaender [STACS 2011]的技术，对于负结果，我们使用$c\geq 3$的多项式参数变换和$c = 2$的OR交叉组合。由于已有的结果暗示了$c = 1$的控制集在退化图上存在一个多项式核，我们的结果给出了退化图上的支配集的多项式核存在性的二分法.
2018-06-06 cs.CC cs.DS math.CO
Are sparse graphs typically determined by their spectrum?
Eindhoven University of Technology, The Netherlands（埃因霍温理工大学）；University of Münster, Germany（明斯特大学）
研究稀疏图是否通常由其谱确定，发现悬垂树可能是障碍，通过修剪2-核可提高谱确定性。
2026-02-26 math.CO math.PR math.SP
Treewidth is Polynomial in Maximum Degree on Weakly Sparse Graphs Excluding a Planar Induced Minor
本文证明排除平面导出子式和$K_{t,t}$子图的图，其树宽以最大度的多项式为界，并确认了特定条件下的多对数树宽，部分回答了Chudnovsky的问题。
2024-07-22 cs.DM cs.DS math.CO
Growth and irreducibility in path-incompressible trees
本文研究了路径不可压缩树的有效随机性保持变换，证明了部分具有无穷路径的树无法通过可计算预言机使用计算完美路径随机树，稀疏完美路径不可压缩树几乎必然可被有效稠密化，并刻画了路径随机树的分支密度。
2024-01-10 cs.IT math.CO math.IT
Independent Sets of Random Trees and of Sparse Random Graphs
有限无向图$G$中的大小为$k$的独立集是图的$k$顶点的集合，其中没有两个顶点由边连接。令$x_{k}(G)$是图$G$中大小为$k$的独立集的数量，令$α(G)=\max\{k\geq0\colon x_{k}(G)\neq0\}$。1987年，Alavi、Malde、Schwenk和Erdös提出了一个问题：树的独立集序列$x_{0}(G),x_{1}(G),\ldots,x_{α(G)}(G)$是否是单峰的（序列先上升然后下降）。这个问题仍然悬而未决。2006年，Levit和Mandrescu证明了树的独立集序列的后三分之一是递减的。我们证明了随机树的独立集序列的前46.8%随着顶点数的无穷大以（指数）高概率增加.所以，Alavi、Malde、Schwenk和Erdös的问题是“五分之四正确”，概率很高。我们还表明单峰的独立集序列的Erdös-Renyi随机图，当一个单一的顶点的预期程度是大的（（指数）高概率的顶点数在图中走向无穷大，除了一个小区域附近的模式）。对随机正则图给出了一个较弱的结果。当$k$变化时，大小为$k$的独立集的结构在概率、统计物理、组合数学和计算机科学中是有意义的。
2020-06-08 cs.DM math-ph math.CO
