Local Laws for Sparse Sample Covariance Matrices without the truncation condition
我们考虑稀疏样本协方差阵$\frac1{np_n}\mathbf X\mathbf X^*$，其中$\mathbf X$是具有稀疏概率$p_n$的$n\times m$阶的稀疏矩阵。在满足$np_n>\log^βn$，$β>0$和某些$(4+δ)$ -矩条件$δ>0$的条件下，证明了局部Marchenko-Pastur定理.
2022-09-27 math.PR
On sparse random combinatorial matrices
令$Q_{n,d}$表示随机组合矩阵，其行彼此独立，并且使得每行从$\{0,1\}^n$中具有精确等于$1$的$d$条目的向量子集中随机均匀采样。我们提出了一个简短的事实证明，$\Pr[\det(Q_{n,d})=0] = O\left(\frac{n^{1/2}\log^{3/2} n}{d}\right)=o(1)$，每当$d=ω(n^{1/2}\log^{3/2} n)$。特别是，我们的证明在允许$d = o(n)$的意义上适应稀疏随机组合矩阵。我们还考虑了确定性整数矩阵$A$受稀疏组合矩阵随机扰动的奇异性。特别是，我们证明了$\Pr[\det(A+Q_{n,d})=0]=O\left(\frac{n^{1/2}\log^{3/2} n}{d}\right)$，再次，每当$d=ω(n^{1/2}\log^{3/2} n)$和$A$的属性，$(1,-d)$是不是一个特征对的$A$。
2020-10-15 math.CO math.PR
Tail bounds for gaps between eigenvalues of sparse random matrices
证明了稀疏随机矩阵的第一特征值排斥界。因此，我们证明了这些矩阵具有简单的谱，提高了第二作者和Vu的工作的稀疏性和错误概率的范围。作为我们的尾界的应用程序，我们表明，稀疏Erdens-Rényi图，弱和强节点域是相同的，回答一个问题的Dekel，李，和Linial。
2020-12-18 math.PR
Spectral radii of sparse random matrices
本文给出了一类稀疏随机矩阵的谱半径的界，其中包括非齐次Erdens-Rényi图的邻接矩阵.我们的误差界是尖锐的一大类稀疏随机矩阵。特别地，对于Erdens-Rényi图$G(n,d/n)$，我们的结果意味着邻接矩阵的最小和次大特征值收敛于渐近特征值分布的支撑的边，条件是$d \gg \log n$ .连同配套文件[3]，其中我们分析了补充制度$d \ll \log n$的极端特征值，这建立了一个交叉的极端特征值的行为周围$d \sim \log n$。我们的结果也适用于非埃尔米特稀疏随机矩阵，对应于有向图的邻接矩阵。证明结合了（i）一个新的不等式之间的谱半径和它的非回溯版本的谱半径与（ii）一个新的应用程序的矩量法的非回溯矩阵。
2021-01-22 math.PR
The exact group-sparse recovery for block diagonal matrices with subexponential entries
Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）；Institute for Financial Studies, Shandong University（山东大学金融研究院）
研究具有独立同分布亚指数 entries 的块对角随机矩阵，证明其在几乎最优测量数下能实现精确稀疏恢复，单块情况恢复传统独立同分布亚指数集合的最优率。
2026-03-26 math.PR
Invertibility of Sparse Complex Gaussian Matrices
令$σ_n(\cdot)$表示$n \times n$矩阵的最小奇异值。众所周知，如果$A$是从$n \times n$矩阵的实Ginibre系综中得出的，则$\mathbb{P}[σ_n(A) \le \varepsilon] \le \varepsilon n$是$\mathbb{P}[σ_n(A) \le \varepsilon] \le \varepsilon n$，如果$A$是从复Ginibre系综中得出的，则$\mathbb{P}[σ_n(A) \le \varepsilon] \le \varepsilon^2 n^2$是$\mathbb{P}[σ_n(A) \le \varepsilon] \le \varepsilon^2 n^2$。在本文中，我们将证明一个类似的现象发生稀疏随机矩阵。
2022-06-09 math.PR
Universality of the least singular value for sparse random matrices
研究了稀疏随机矩阵系综的最小奇异值的分布。我们的激励示例是$N\times N$矩阵的集合，其条目独立于具有参数$p$的伯努利分布来选择。这些矩阵表示随机Erdens-Rényi有向图的邻接矩阵，当$p\ll 1$ .我们证明了在$pN\gg 1$体制下，最小奇异值的分布是普适的，即它与$p$无关，且等于高斯矩阵系综的最小奇异值的分布.我们还证明了多个小奇异值的联合分布的普适性。我们的方法扩展到矩阵合奏，其条目是从任意分布，可能是相关的，复杂的价值，并有不等的方差选择。
2019-01-24 math.PR
Sparse Random Block Matrices
在高阶极限下，给出了稀疏随机分块矩阵系综的谱矩的解析表达式。稀疏矩阵的结构对应于Erdös-Renyi随机图。这些块是独立的。经典系综GOE或GUE的随机矩阵。对有限维或无限维的块计算矩。之间的对应关系集的封闭行走的树木和类的不可约分区研究的自由概率与功能关系是强大的工具，分析评价的极限时刻。它们有助于确定块的概率定律和参数的极限，从而可以评估所有的谱矩和谱密度。
2021-06-18 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
Bulk eigenvalue fluctuations of sparse random matrices
考虑一类稀疏随机矩阵，它包含了Erdens-Rényi图$\mathcal G(N,p)$的邻接矩阵，其中$\mathcal G(N,p)$是$p \in [N^{\varepsilon-1},N^{-\varepsilon}]$的邻接矩阵.我们确定的联合极限分布的特征值远离0和频谱边缘。我们的结果表明，不同于Wigner矩阵，稀疏矩阵的特征值满足中心极限定理与正规化$N\sqrt{p}$。此外，特征值同时波动：相同/不同符号的两个特征值的相关性渐近为1/-1。我们还证明了在介观尺度下的特征值计数函数和预解式的迹的CLT。
2020-03-12 math-ph math.MP math.PR
On the Largest and the Smallest Singular Value of Sparse Rectangular Random Matrices
我们推导出稀疏矩形$N\times n$随机矩阵的最大和最小奇异值的估计，假设$\lim_{N,n\to\infty}\frac nN=y\in(0,1)$。我们考虑一个模型，稀疏参数$p_N$，使得$Np_N\sim \log^{α}N$对于某些$α>1$，并假设矩阵元素的矩满足条件$\mathbf E|X_{jk}|^{4+δ}\le C<\infty$。我们还假设我们考虑的矩阵的项在$(Np_N)^{\frac12-\varkappa}$与$\varkappa:=\fracδ{2(4+δ)}$的水平上被截断。
2022-11-28 math.PR
Nonuniform Sparse Recovery with Subgaussian Matrices
压缩感知预测可以从高度不完整的信息中恢复足够稀疏的向量。有效的恢复方法，如$\ell_1$ -最小化找到稀疏的解决方案，某些系统的方程。随机矩阵已经成为测量矩阵的流行选择。实际上，对于这样的矩阵，已经显示出接近最优的均匀恢复结果。在本文中，我们专注于使用高斯随机矩阵和$\ell_1$ -最小化的非均匀恢复。我们提供了一个条件的稀疏性和信号长度，保证了一个固定的稀疏信号可以恢复与随机抽取的矩阵使用$\ell_1$ -最小化的样本数。这个条件中的常数2是最优的，并且与Donoho和Tanner的类似结果相比，证明相当短。
2011-08-16 cs.IT math.IT math.PR
Edge Universality of Sparse Random Matrices
该研究针对稀疏随机矩阵极端特征值统计问题，在pN>N^ε的参数区间下，证明了所有特征值相对于显式随机测度的最优刚性，以及极端特征值经随机平移后涨落服从Tracy-Widom分布。
2023-05-04 math-ph math.CO math.MP
Bulk universality of sparse random matrices
我们考虑Erdens-Rényi随机图系综的邻接矩阵，该图系综由$N$顶点上的图组成，其中每条边以概率$p$独立出现.我们证明，在该政权$pN \gg 1$这些矩阵表现出批量的普遍性，在这个意义上说，这两个平均$n$点相关函数和分布的一个单一的本征值间隙与那些GOE相一致。我们的方法扩展到一类随机矩阵，其中包括稀疏合奏的条目有不同的方差。
2015-06-21 math-ph math.MP math.PR
Eigenvalue degeneracy in sparse random matrices
Graduate School of Mathematics, Nagoya University（名古屋大学大学院数学研究院）
本文通过随机二分图匹配理论研究稀疏随机矩阵特征值退化问题，发现特征值向原点累积导致退化概率非零。
2026-03-13 math-ph math.MP math.PR
Universality and the circular law for sparse random matrices
普适性现象是指独立同分布随机矩阵的特征值的分布。零均值、单位方差项不依赖于随机项的基础结构。例如，一个随机符号矩阵的特征值图，其中每个元素是+1或-1的概率相等，看起来与一个随机矩阵的特征值图相同，其中每个元素是具有零均值和单位方差的复高斯。本文证明了稀疏随机n × n矩阵的一个普适性结果，其中每个元素以概率$1/n^{1-α}$为非零，其中$0<α\le1$为任意常数.稀疏普适性原理的一个结果是，只要元素具有零均值和单位方差，循环定律就适用于稀疏随机矩阵，这是迄今为止稀疏随机矩阵的最一般结果。
2012-10-10 math.PR
Smallest singular value of sparse random matrices
本文将独立元随机矩阵最小奇异值的概率估计推广到一类稀疏随机矩阵。我们表明，人们可以放松以前使用的条件的一致有界的方差从下面。这允许我们考虑具有空元素的矩阵，或者更一般地，具有小方差的元素。我们的结果不假设一个随机矩阵的条目的分布相同，并有助于澄清的作用的方差的条目。我们还表明，它是足够的，要求从上面的$r$ -th时刻，$r > 2$，相应的条目的有界性。
2012-12-20 math.FA math.PR
Eigenvector Statistics of Sparse Random Matrices
证明了稀疏随机矩阵的体特征向量，即Erdens-Rényi图或随机正则图的邻接矩阵，在平均度随图的大小而增加的条件下，是渐近联合正规的.我们的方法遵循[6]，通过分析Dyson布朗运动下的特征向量流，结合格林函数的各向同性局部定律。作为一个辅助结果，我们证明了对于具有一般初始数据的Dyson布朗运动的本征向量流，如果在$r$大小的窗口中，初始态密度在$η_*$的上下有界，则本征向量在时间$η_*\ll t\ll r$之后在$q$方向上渐近联合正规，并且初始特征向量在$q$方向上被离域到尺度$η_*$。
2017-06-29 math.PR
Local law and Tracy-Widom limit for sparse random matrices
我们考虑稀疏随机矩阵的谱性质和边的普遍性，这类随机矩阵包括Erdos-Renyi图模型$G(N,p)$的邻接矩阵。我们证明了一个本地法律的特征值密度谱边缘。在一个适当的条件下的稀疏性，我们还证明了重新缩放的极值特征值表现出GOE Tracy-Widom波动，如果确定性的移动，由于稀疏性的频谱边缘包括在内。对于Erdos-Renyi图的邻接矩阵，这建立了$p\gg N^{-2/3}$的第二大特征值的Tracy-Widom波动，其具有确定性的阶移位$(Np)^{-1}$。
2016-06-02 math-ph math.MP math.PR
Componentwise condition numbers of random sparse matrices
United International College（联合国际学院）；City University of Hong Kong（香港城市大学）
研究随机稀疏矩阵的分量条件数，证明其对数期望值为O(log n)，进而得到三角线性系统平均精度损失的小界。
2008-07-08 cs.NA math.NA math.PR
Bulk Universality for Sparse Complex non-Hermitian Random Matrices
本文证明具有独立元素且矩衰减条件满足的稀疏复非厄米随机矩阵，其体相局部特征值统计量具有普适性，主要工具为稀疏多预解式局部律。
2025-08-05 math-ph math.MP math.PR
Local law and Tracy-Widom limit for sparse sample covariance matrices
研究了二分Erdens-Rényi图模型中包含双邻接矩阵的稀疏样本协方差阵的谱性质。我们证明了一个本地法律的特征值密度的上谱边缘。在适当的稀疏性条件下，我们还证明了由GOE Tracy-Widom定律给出的重标度，移位极值特征值的极限分布与谱边缘的确定性移位的明确公式。对于具有两个大小相当的顶点集$M$和$N$的Erdens-Rényi图的双邻接矩阵，当连接概率$p$远大于$N^{-2/3}$时，这建立了第二大特征值的Tracy-Widom波动，具有确定性的阶移位$(Np)^{-1}$。
2018-08-03 math.PR
Hammerstein equations for sparse random matrices
本文提出利用Hammerstein方程的数值解精确恢复稀疏随机矩阵（如随机图的邻接矩阵和拉普拉斯矩阵）的谱，填补了该理论在稀疏矩阵应用中的空白，并具有广泛适用性。
2025-01-11 cond-mat.dis-nn cs.NA math-ph
Robust Sparse Recovery with Sparse Bernoulli matrices via Expanders
本文研究稀疏 Bernoulli(p) 矩阵的鲁棒零空间性质，刻画以最少测量实现稀疏恢复所需的最小 p，并以匹配下界证明最优性。
2024-12-06 cs.IT math.IT math.PR
Sparse General Wigner-type Matrices: Local Law and Eigenvector Delocalization
证明了一般Wigner型矩阵的一个局部律和特征向量的非局部化。我们的方法使我们能够得到最好的可能的间隔长度和最佳的特征向量离域在密集的情况下，和这种稀疏的情况下的第一个结果下降到$p=\frac{g(n)\log n}{n}$与$g(n)\to\infty$。我们专门我们的结果的情况下的随机块模型，我们也得到了一个局部法律的情况下，类的数量是无界的。
2019-02-08 math-ph math.MP math.PR
Extreme eigenvalues of sparse, heavy tailed random matrices
研究了当$p \times n$矩阵$M_{p,n}$的元素稀疏且具有尾分布$t^{-α}$，$α>0$时，$p \times p$样本协方差矩阵$Σ_{p,n} = M_{p,n}M_{p,n}^{*}$的最大特征值的统计特性.平均而言，$M_{p,n}$的非零条目的数量的顺序为$n^{μ+1}$，$0 \leq μ\leq 1$。我们证明了在大的$n$极限下，当$α<2(1+μ^{-1})$时，最大特征值是泊松的，当$α>2(1+μ^{-1})$时，最大特征值收敛到一个常数.我们还推广了Benaych-Georges和Peche [7]在Hermitian情形下的结果，去掉了对矩阵非零元素个数的限制。
2015-06-19 math.PR
Extremal eigenvectors of sparse random matrices
Shanghai Center for Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学上海数学中心）；Department of Statistics and Data Science, University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学统计与数据科学系）；Department of Mathematics, City University of Hong Kong（香港城市大学数学系）
研究稀疏随机矩阵极值本征向量的渐近正态性，提出计算联合本征向量分布的算法并应用于Wigner矩阵量子ergodic性波动证明。
2026-02-22 math-ph math.MP math.PR
Invertibility of Sparse non-Hermitian matrices
本文考虑一类稀疏随机矩阵$A_n =(ξ_{i,j}δ_{i,j})_{i,j=1}^n$，其中$\{ξ_{i,j}\}$是独立同分布的.中心随机变量，和$\{δ_{i,j}\}$是i.i.d.~ Bernoulli随机变量取值$1$的概率为$p_n$，在适当的谱范数假设下，证明了$p_n = Ω(\frac{\log n}{n})$的最小奇异值的一个定量估计.这建立了一大类稀疏矩阵的可逆性。对于具有某些$α\in (0,1)$的$p_n =Ω( n^{-α})$，在关于$\{ξ_{i,j}\}$的最优矩假设下，我们推导出$A_n$的条件数是概率趋于1的$n$阶.这特别是，扩展了冯诺依曼猜想的条件数稀疏随机矩阵的重尾条目。在随机变量$\{ξ_{i,j}\}$是i.i.d.~亚高斯，我们进一步表明，一个稀疏的随机矩阵是奇异的概率最多$\exp(-c n p_n)$时，$p_n$是高于临界阈值$p_n = Ω(\frac{ \log n}{n})$。结果还扩展到$\{ξ_{i,j}\}$具有非零均值的情况。当有向Erdens-Réyni图的边连通概率大于临界阈值$Ω(\frac{\log n}{n})$时，我们进一步得到了其邻接矩阵的最小奇异值的定量估计.
2017-02-03 math.PR
Quantitative Tracy-Widom laws for sparse random matrices
本文针对含 Erdős–Rényi 图归一化邻接矩阵的稀疏随机矩阵，利用 Green 函数比较与符号计算，定量证明最大特征值涨落收敛于 Tracy-Widom 定律。
2025-07-25 math.PR
Vanishingly Sparse Matrices and Expander Graphs, With Application to Compressed Sensing
École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）；University of Oxford（牛津大学）
本文通过概率方法构造固定列非零元个数的稀疏随机矩阵，利用二元分裂技术分析邻居集碰撞，得到扩展图的尾界，并推导出无损扩展图存在性及压缩感知采样定理的定量结果。
2013-07-15 cs.IT cs.NA math.IT
Spectra of sparse non-Hermitian random matrices: an analytical solution
我们提出了一个稀疏的非Hermitian随机矩阵合奏的频谱的精确解析表达式，推广了随机矩阵理论中的两个经典结果：这个解析表达式形成了一个非Hermitian版本的Kesten-Mckay定律以及稀疏实现的Girko的椭圆律。我们的确切结果开辟了新的视角，在研究几个物理问题的稀疏随机图建模。在这种情况下，我们分析表明，一个非常稀疏的图上的运输过程的收敛速度取决于在一个非单调的方式的边缘的对称程度。
2012-12-23 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math-ph
Sparse Random Block Matrices : universality
研究了由具有平均度为$Z$的$N$顶点的Erdös-Renyi随机图的邻接矩阵生成的稀疏随机块矩阵的系综，在每个非零项处插入一个实对称的$d \times d$随机块.我们考虑了具有秩$r < d$和具有最大秩$r=d$的随机分块矩阵的系综。稀疏随机块矩阵的谱矩被评估为$N \to \infty$，$d$有限或无限，和几个概率分布的块（例如，固定迹，有界迹和高斯）。由于概率测度在$d \to \infty$极限中的集中，谱矩与块的概率测度无关（具有各向同性、光滑性和亚高斯尾的温和假设）。有效介质近似是有限秩稀疏随机块系综的极限谱密度。类似的普适性类别适用于拉普拉斯稀疏块系综。使用随机正则图代替Erdös-Renyi图得到相同的极限分布。
2022-06-19 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math-ph
An Improved Lower Bound for Sparse Reconstruction from Subsampled Walsh Matrices
本文通过简短论证，给出了从有界正交矩阵（如Walsh矩阵）均匀子采样行以满足受限等距性质所需行数的新下界，并指出核中稀疏向量的存在会阻碍均匀稀疏恢复。
2023-05-09 cs.DM cs.DS cs.IT
