On the Rank of Random Sparse Matrices
Kevin P. Costello, Van Vu
本文研究随机（对称）稀疏矩阵的秩。我们的主要发现是，在这种矩阵中出现的任何依赖性都很有可能是由一组包含压倒性数量的零的几行组成的。这使我们能够获得对联合秩的精确估计。
We investigate the rank of random (symmetric) sparse matrices. Our main finding is that with high probability, any dependency that occurs in such a matrix is formed by a set of few rows that contains an overwhelming number of zeros. This allows us to obtain an exact estimate for the co-rank.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Sparse Random Matrices have Simple Spectrum
设$M_n$是一类对称稀疏随机矩阵，其中$i \leq j$的元素独立于$M_{ij} = δ_{ij} ξ_{ij}$. $δ_{ij}$为i.i.d.。对于任何常数$δ> 0$和$ξ_{ij}$，取$1$值且概率为$p \geq n^{-1+δ}$的伯努利随机变量是独立同分布。中心的亚高斯随机变量。我们证明了这类随机矩阵具有简单谱（即特征值重数为1）的概率很高。我们可以稍微修改我们的证明，以证明稀疏Erdens-Rényi图的邻接矩阵对于$n^{-1+δ} \leq p \leq 1- n^{-1+δ}$具有简单谱。这些结果是指数最优的。图的结果与臭名昭著的图同构问题有关。
The rank of sparse symmetric matrices over arbitrary fields
设$\FF$是一个任意域，$(\bm{G}_{n,d/n})_n$是一个在$n$顶点上的稀疏加权Erdens-Rényi随机图序列，其边概率为$d/n$，其中来自$\FF \setminus\{0\}$的权根据一个固定矩阵$J_n$分配给边.我们证明了$(\bm{G}_{n,d/n})_n$的邻接矩阵的归一化秩依概率收敛到一个常数，并导出了极限表达式。我们的结果表明，对于所考虑的一般类稀疏对称矩阵，归一化秩的渐近性与边权重甚至域无关，在这个意义上，一般情况下的极限常数与先前从\cite{bordenave2011rank}中为$\RR$上稀疏（非加权）Erdens-Rényi矩阵的邻接矩阵建立的极限常数一致。我们的证明，这是纯粹的组合在其性质，是基于一个复杂的扩展的新的扰动方法从\cite{coja2022rank}的对称设置。
The full rank condition for sparse random matrices
我们得到了一个充分条件的稀疏随机矩阵具有给定数量的非零元素的行和列具有满行秩秩。这个结果既包括有限域上具有独立非零元素的矩阵，也包括有理数上的$\{0,1\}$ -矩阵。这个充分条件一般也是必要的。
Local Laws for Sparse Sample Covariance Matrices without the truncation condition
我们考虑稀疏样本协方差阵$\frac1{np_n}\mathbf X\mathbf X^*$，其中$\mathbf X$是具有稀疏概率$p_n$的$n\times m$阶的稀疏矩阵。在满足$np_n>\log^βn$，$β>0$和某些$(4+δ)$ -矩条件$δ>0$的条件下，证明了局部Marchenko-Pastur定理.
Tail bounds for gaps between eigenvalues of sparse random matrices
证明了稀疏随机矩阵的第一特征值排斥界。因此，我们证明了这些矩阵具有简单的谱，提高了第二作者和Vu的工作的稀疏性和错误概率的范围。作为我们的尾界的应用程序，我们表明，稀疏Erdens-Rényi图，弱和强节点域是相同的，回答一个问题的Dekel，李，和Linial。
Sparse Random Matrices and Statistics of Rooted Trees
我们考虑平均每行具有p个非零元素的N维随机对称矩阵A的系综。本文研究了A的范数在N和p无限递增的极限下的渐近性态，证明了p= logN是范数有界或无界的临界值.参数是基于树型图的演算。稀疏随机矩阵的渐近性质基本上取决于树的顶点，我们证明是有限的典型程度。
Spectral radii of sparse random matrices
本文给出了一类稀疏随机矩阵的谱半径的界，其中包括非齐次Erdens-Rényi图的邻接矩阵.我们的误差界是尖锐的一大类稀疏随机矩阵。特别地，对于Erdens-Rényi图$G(n,d/n)$，我们的结果意味着邻接矩阵的最小和次大特征值收敛于渐近特征值分布的支撑的边，条件是$d \gg \log n$ .连同配套文件[3]，其中我们分析了补充制度$d \ll \log n$的极端特征值，这建立了一个交叉的极端特征值的行为周围$d \sim \log n$。我们的结果也适用于非埃尔米特稀疏随机矩阵，对应于有向图的邻接矩阵。证明结合了（i）一个新的不等式之间的谱半径和它的非回溯版本的谱半径与（ii）一个新的应用程序的矩量法的非回溯矩阵。
The exact group-sparse recovery for block diagonal matrices with subexponential entries
研究具有独立同分布亚指数 entries 的块对角随机矩阵，证明其在几乎最优测量数下能实现精确稀疏恢复，单块情况恢复传统独立同分布亚指数集合的最优率。
Invertibility of Sparse Complex Gaussian Matrices
令$σ_n(\cdot)$表示$n \times n$矩阵的最小奇异值。众所周知，如果$A$是从$n \times n$矩阵的实Ginibre系综中得出的，则$\mathbb{P}[σ_n(A) \le \varepsilon] \le \varepsilon n$是$\mathbb{P}[σ_n(A) \le \varepsilon] \le \varepsilon n$，如果$A$是从复Ginibre系综中得出的，则$\mathbb{P}[σ_n(A) \le \varepsilon] \le \varepsilon^2 n^2$是$\mathbb{P}[σ_n(A) \le \varepsilon] \le \varepsilon^2 n^2$。在本文中，我们将证明一个类似的现象发生稀疏随机矩阵。
On the Markus-Spielman-Srivastava inequality for sums of rank-one matrices
本文将Markus、Spielman和Srivastava关于秩1对称随机矩阵和的结果推广到放松随机矩阵各向同性假设的情形。
Universality of the least singular value for sparse random matrices
研究了稀疏随机矩阵系综的最小奇异值的分布。我们的激励示例是$N\times N$矩阵的集合，其条目独立于具有参数$p$的伯努利分布来选择。这些矩阵表示随机Erdens-Rényi有向图的邻接矩阵，当$p\ll 1$ .我们证明了在$pN\gg 1$体制下，最小奇异值的分布是普适的，即它与$p$无关，且等于高斯矩阵系综的最小奇异值的分布.我们还证明了多个小奇异值的联合分布的普适性。我们的方法扩展到矩阵合奏，其条目是从任意分布，可能是相关的，复杂的价值，并有不等的方差选择。
On the Largest and the Smallest Singular Value of Sparse Rectangular Random Matrices
我们推导出稀疏矩形$N\times n$随机矩阵的最大和最小奇异值的估计，假设$\lim_{N,n\to\infty}\frac nN=y\in(0,1)$。我们考虑一个模型，稀疏参数$p_N$，使得$Np_N\sim \log^{α}N$对于某些$α>1$，并假设矩阵元素的矩满足条件$\mathbf E|X_{jk}|^{4+δ}\le C<\infty$。我们还假设我们考虑的矩阵的项在$(Np_N)^{\frac12-\varkappa}$与$\varkappa:=\fracδ{2(4+δ)}$的水平上被截断。
The largest eigenvalue of small rank perturbations of Hermitian random matrices
我们计算了由小秩确定性矩阵加扰的大厄米特随机矩阵谱边缘的极限特征值统计。为了更精确，我们考虑随机埃尔米特矩阵与独立的高斯元素$M_{ij}, i\leq j$与各种期望。我们证明了这种随机矩阵的最大特征值的展品，在大$N$限制，各种限制分布取决于矩阵$(\mathbb{E}M_{ij})_{i,j=1}^N$和它的秩的特征值。
Sparse Random Block Matrices
在高阶极限下，给出了稀疏随机分块矩阵系综的谱矩的解析表达式。稀疏矩阵的结构对应于Erdös-Renyi随机图。这些块是独立的。经典系综GOE或GUE的随机矩阵。对有限维或无限维的块计算矩。之间的对应关系集的封闭行走的树木和类的不可约分区研究的自由概率与功能关系是强大的工具，分析评价的极限时刻。它们有助于确定块的概率定律和参数的极限，从而可以评估所有的谱矩和谱密度。
Universality and the circular law for sparse random matrices
普适性现象是指独立同分布随机矩阵的特征值的分布。零均值、单位方差项不依赖于随机项的基础结构。例如，一个随机符号矩阵的特征值图，其中每个元素是+1或-1的概率相等，看起来与一个随机矩阵的特征值图相同，其中每个元素是具有零均值和单位方差的复高斯。本文证明了稀疏随机n × n矩阵的一个普适性结果，其中每个元素以概率$1/n^{1-α}$为非零，其中$0<α\le1$为任意常数.稀疏普适性原理的一个结果是，只要元素具有零均值和单位方差，循环定律就适用于稀疏随机矩阵，这是迄今为止稀疏随机矩阵的最一般结果。
On Finite Rank Deformations of Wigner Matrices II: Delocalized Perturbations
本文研究了Wigner随机矩阵有限秩形变谱中野值的分布。我们假设矩阵元素具有有限的四阶矩，并将Capitaine，Donati-Martin和Féral的结果推广到特征向量是离域的扰动。
Bulk eigenvalue fluctuations of sparse random matrices
考虑一类稀疏随机矩阵，它包含了Erdens-Rényi图$\mathcal G(N,p)$的邻接矩阵，其中$\mathcal G(N,p)$是$p \in [N^{\varepsilon-1},N^{-\varepsilon}]$的邻接矩阵.我们确定的联合极限分布的特征值远离0和频谱边缘。我们的结果表明，不同于Wigner矩阵，稀疏矩阵的特征值满足中心极限定理与正规化$N\sqrt{p}$。此外，特征值同时波动：相同/不同符号的两个特征值的相关性渐近为1/-1。我们还证明了在介观尺度下的特征值计数函数和预解式的迹的CLT。
Edge Universality of Sparse Random Matrices
该研究针对稀疏随机矩阵极端特征值统计问题，在pN>N^ε的参数区间下，证明了所有特征值相对于显式随机测度的最优刚性，以及极端特征值经随机平移后涨落服从Tracy-Widom分布。
Eigenvector Statistics of Sparse Random Matrices
证明了稀疏随机矩阵的体特征向量，即Erdens-Rényi图或随机正则图的邻接矩阵，在平均度随图的大小而增加的条件下，是渐近联合正规的.我们的方法遵循[6]，通过分析Dyson布朗运动下的特征向量流，结合格林函数的各向同性局部定律。作为一个辅助结果，我们证明了对于具有一般初始数据的Dyson布朗运动的本征向量流，如果在$r$大小的窗口中，初始态密度在$η_*$的上下有界，则本征向量在时间$η_*\ll t\ll r$之后在$q$方向上渐近联合正规，并且初始特征向量在$q$方向上被离域到尺度$η_*$。
Nonuniform Sparse Recovery with Subgaussian Matrices
压缩感知预测可以从高度不完整的信息中恢复足够稀疏的向量。有效的恢复方法，如$\ell_1$ -最小化找到稀疏的解决方案，某些系统的方程。随机矩阵已经成为测量矩阵的流行选择。实际上，对于这样的矩阵，已经显示出接近最优的均匀恢复结果。在本文中，我们专注于使用高斯随机矩阵和$\ell_1$ -最小化的非均匀恢复。我们提供了一个条件的稀疏性和信号长度，保证了一个固定的稀疏信号可以恢复与随机抽取的矩阵使用$\ell_1$ -最小化的样本数。这个条件中的常数2是最优的，并且与Donoho和Tanner的类似结果相比，证明相当短。
Bulk universality of sparse random matrices
我们考虑Erdens-Rényi随机图系综的邻接矩阵，该图系综由$N$顶点上的图组成，其中每条边以概率$p$独立出现.我们证明，在该政权$pN \gg 1$这些矩阵表现出批量的普遍性，在这个意义上说，这两个平均$n$点相关函数和分布的一个单一的本征值间隙与那些GOE相一致。我们的方法扩展到一类随机矩阵，其中包括稀疏合奏的条目有不同的方差。
Eigenvalue degeneracy in sparse random matrices
本文通过随机二分图匹配理论研究稀疏随机矩阵特征值退化问题，发现特征值向原点累积导致退化概率非零。
Free probability of type B and asymptotics of finite-rank perturbations of random matrices
我们表明，有限秩扰动的某些随机矩阵适合在无穷小（B型）渐近自由的框架。这可以用来解释自由调和分析的出现（如从属功能出现在加性自由卷积）在计算异常特征值的频谱中的矩阵。
Smallest singular value of sparse random matrices
本文将独立元随机矩阵最小奇异值的概率估计推广到一类稀疏随机矩阵。我们表明，人们可以放松以前使用的条件的一致有界的方差从下面。这允许我们考虑具有空元素的矩阵，或者更一般地，具有小方差的元素。我们的结果不假设一个随机矩阵的条目的分布相同，并有助于澄清的作用的方差的条目。我们还表明，它是足够的，要求从上面的$r$ -th时刻，$r > 2$，相应的条目的有界性。
Local law and Tracy-Widom limit for sparse random matrices
我们考虑稀疏随机矩阵的谱性质和边的普遍性，这类随机矩阵包括Erdos-Renyi图模型$G(N,p)$的邻接矩阵。我们证明了一个本地法律的特征值密度谱边缘。在一个适当的条件下的稀疏性，我们还证明了重新缩放的极值特征值表现出GOE Tracy-Widom波动，如果确定性的移动，由于稀疏性的频谱边缘包括在内。对于Erdos-Renyi图的邻接矩阵，这建立了$p\gg N^{-2/3}$的第二大特征值的Tracy-Widom波动，其具有确定性的阶移位$(Np)^{-1}$。
Componentwise condition numbers of random sparse matrices
研究随机稀疏矩阵的分量条件数，证明其对数期望值为O(log n)，进而得到三角线性系统平均精度损失的小界。
Bulk Universality for Sparse Complex non-Hermitian Random Matrices
本文证明具有独立元素且矩衰减条件满足的稀疏复非厄米随机矩阵，其体相局部特征值统计量具有普适性，主要工具为稀疏多预解式局部律。
Hammerstein equations for sparse random matrices
本文提出利用Hammerstein方程的数值解精确恢复稀疏随机矩阵（如随机图的邻接矩阵和拉普拉斯矩阵）的谱，填补了该理论在稀疏矩阵应用中的空白，并具有广泛适用性。
Sparse General Wigner-type Matrices: Local Law and Eigenvector Delocalization
证明了一般Wigner型矩阵的一个局部律和特征向量的非局部化。我们的方法使我们能够得到最好的可能的间隔长度和最佳的特征向量离域在密集的情况下，和这种稀疏的情况下的第一个结果下降到$p=\frac{g(n)\log n}{n}$与$g(n)\to\infty$。我们专门我们的结果的情况下的随机块模型，我们也得到了一个局部法律的情况下，类的数量是无界的。
Robust Sparse Recovery with Sparse Bernoulli matrices via Expanders
本文研究稀疏 Bernoulli(p) 矩阵的鲁棒零空间性质，刻画以最少测量实现稀疏恢复所需的最小 p，并以匹配下界证明最优性。
Extremal eigenvectors of sparse random matrices
研究稀疏随机矩阵极值本征向量的渐近正态性，提出计算联合本征向量分布的算法并应用于Wigner矩阵量子ergodic性波动证明。
Vanishingly Sparse Matrices and Expander Graphs, With Application to Compressed Sensing
本文通过概率方法构造固定列非零元个数的稀疏随机矩阵，利用二元分裂技术分析邻居集碰撞，得到扩展图的尾界，并推导出无损扩展图存在性及压缩感知采样定理的定量结果。
Spectra of sparse non-Hermitian random matrices: an analytical solution
我们提出了一个稀疏的非Hermitian随机矩阵合奏的频谱的精确解析表达式，推广了随机矩阵理论中的两个经典结果：这个解析表达式形成了一个非Hermitian版本的Kesten-Mckay定律以及稀疏实现的Girko的椭圆律。我们的确切结果开辟了新的视角，在研究几个物理问题的稀疏随机图建模。在这种情况下，我们分析表明，一个非常稀疏的图上的运输过程的收敛速度取决于在一个非单调的方式的边缘的对称程度。
Sparse Random Block Matrices : universality
研究了由具有平均度为$Z$的$N$顶点的Erdös-Renyi随机图的邻接矩阵生成的稀疏随机块矩阵的系综，在每个非零项处插入一个实对称的$d \times d$随机块.我们考虑了具有秩$r < d$和具有最大秩$r=d$的随机分块矩阵的系综。稀疏随机块矩阵的谱矩被评估为$N \to \infty$，$d$有限或无限，和几个概率分布的块（例如，固定迹，有界迹和高斯）。由于概率测度在$d \to \infty$极限中的集中，谱矩与块的概率测度无关（具有各向同性、光滑性和亚高斯尾的温和假设）。有效介质近似是有限秩稀疏随机块系综的极限谱密度。类似的普适性类别适用于拉普拉斯稀疏块系综。使用随机正则图代替Erdös-Renyi图得到相同的极限分布。
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