Structures in supercritical scale-free percolation
无标度逾渗是$\mathbb{Z}^d$上的一种逾渗模型，可用于模拟真实世界的网络。我们证明了边界的顶点有无限度的制度，图的距离。我们充分刻画了1维和2维的瞬变与递归，并给出了3维及更高维的瞬变的充分条件。最后，我们证明了存在的一个层次结构的参数，顶点的程度与无穷大的方差，并获得集群密度的界限。
2016-11-09 math.CO math.PR
The giant component after percolation of product graphs
在本文中，我们证明了存在一个尖锐的阈值的出现后，一个巨大的组件的笛卡儿积的图的最大程度和等周常数的假设下，渗透。特别是，这概括了工作Ajtai，Komlós和Szemerédi从1982年关于渗流的超立方体在高维。
2021-10-17 math.CO math.PR
Supercritical Site Percolation on Regular Graphs
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
研究在超临界条件下，正则图中站点渗流出现大规模连通分量的条件，揭示了超立方体和伪随机图中的新现象。
2026-03-19 math.CO math.PR
Contagious sets in a degree-proportional bootstrap percolation process
我们研究了如下的自举渗流过程：给定一个连通图$G$，一个常数$ρ\in [0, 1]$和一个初始$A \subseteq V(G)$的\emph{infected}顶点集，在每一步，一个顶点~ $v$成为感染，如果至少一个$ρ$ -的邻居已经被感染（一旦感染，一个顶点永远保持感染）。我们的重点是大小$h_ρ(G)$的最小初始集是\emph{contagious}，这意味着这个过程中的感染的每个顶点的$G$的结果。我们的主要结果表明，$n$顶点上的每个连通图$G$都有$h_ρ(G) < 2ρn$或$h_ρ(G) = 1$（注意，由于$ρ\leq\tfrac{1}{2n}$的情况，允许后一种可能性是必要的，因为每个传染集的大小至少为1）。这是这种形式的最佳可能界，并且改进了Chang和Lyuu以及Gentner和Rautenbach的先前结果。我们还提供了一个更强的边界，周长至少为5和足够小的$ρ$，这是渐近最好的可能的图。
2018-03-31 math.CO math.PR
The critical probability for percolation on finite graphs
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
该研究确定了本质上任意有限图上伯努利键渗流的临界概率为1/λ(G)，证实了相关猜想并推广了前人仅针对稠密图的定理，揭示了特定图上渗流的微妙行为。
2026-08-20 math.CO math.PR
Discrete Malliavin-Stein method: Berry-Esseen bounds for random graphs and percolation
建立了非对称非齐次无限Rademacher序列的非线性泛函的一个新的Berry-Esseen界.它基于Malliavin-Stein方法的离散版本和离散Ornstein-Uhlenbeck半群的分析。结果被应用到子图计数和具有规定的程度在Erdens-Renyi随机图的顶点数。进一步的应用涉及一个渗流问题的树木。
2015-11-12 math.CO math.PR
Quantitative indistinguishability and sparse and dense clusters in factor of IID percolations
本文研究了因子IIDs渗流中非超有限聚类的量化不可区分性，证明了稀疏性与薄密度的关系，并展示了非超有限聚类的强不可区分性等性质。
2025-12-08 math.CO math.DS math.GR
First passage percolation on random graphs with finite mean degrees
我们在组态模型上研究了第一通道渗流。假设每个边有一个独立的指数分布的边的权重，我们推导出显式的分布渐近网络中的两个随机选择的连接顶点之间的最小权重，以及最小权重路径上的边的数量，所谓的跳数。我们分析了度幂律指数为$τ>2$的组态模型，其中度假设为独立同分布。具有尾部分布，该尾部分布是具有指数$τ-1>1$的幂律形式，或者具有甚至更细的尾部（$τ=\infty$）。在该模型中，度具有有限的一阶矩，而方差对于$τ>3$是有限的，但对于$τ\in(2,3)$是无限的。我们证明了一个中心极限定理的跳数，渐近相等的均值和方差等于$α\log{n}$，其中$α\in(0,1)$为$τ\in(2,3)$，而$α>1$为$τ>3$。这里$n$表示图的大小。对于$τ\in (2,3)$，已知两个随机选择的连接顶点之间的图形距离与$\log \log{n}$成比例[Electron. J. Probab. 12（2007）703- 766]，也就是说，距离非常小。因此，边权重的增加导致网络几何结构的显著变化。我们进一步研究了最小权路径的权，并证明了适当中心化版本的分布收敛性。该研究继续了在[J.Math.Phys.49（2008）125218]中发起的程序，该程序表明$\log{n}$是i.i.d.下跳数的正确缩放。边缘无序，即使两个随机选择的顶点之间的图距离是小得多的顺序。在[ Extreme va…
2010-11-09 math.CO math.PR
Seed thresholds and degree variance in heterogeneous bootstrap percolation with growing degrees
Yandex
本文研究度数增长的异质自助渗透，证明种子规模阈值与度数方差相关，并揭示正则图与独立边图在相同平均度数下系数不同。
2026-10-20 math.CO math.PR
Percolation with small clusters on random graphs
考虑在随机$d$ -正则图中确定最大诱导子图的问题，使得当图的大小变得任意大时，它的分量保持有界.我们表明，对于渐近大$d$，任何这样的诱导子图的大小密度最多$2(\log d)/d$的概率很高。已知独立集的匹配下界。我们也证明了稀疏Erdens-Rényi图的类似结果。
2015-12-09 cs.DM math.CO math.PR
Minimum degree conditions for small percolating sets in bootstrap percolation
$r$ -邻居引导过程是顶点状态的更新规则，其中具有至少$r$“感染”邻居的“未感染”顶点被感染，并且如果最终所有顶点都被感染，则初始感染顶点的集合被称为\emph{percolate}。对于每一个$r \geq 3$，给出了一个充分大图的最小度的尖锐条件，该条件保证了存在一个大小为$r$的扩张集.在$r=3$的情况下，对于足够大的$n$，$n$顶点上的任何具有最小度$\lfloor n/2 \rfloor +1$的图都有一个大小为$3$的扩展集，并且对于足够大的$r \geq 4$和$n$（根据$r$），$n$顶点上的每个具有最小度$\lfloor n/2 \rfloor + (r-3)$的图都有一个大小为$r$的扩展集。给出了一类例子来说明这些结果的清晰性。
2017-03-31 math.CO
Components, large and small, are as they should be I: supercritical percolation on regular graphs of growing degree
本文针对度增长正则图给出超临界渗流出现类G(n,p)相变的充分条件，刻画了巨分量与其余分量的规模，证明了结果的紧性，为多类已知图的渗流结论提供统一证明。
2025-11-14 math.CO math.PR
Simple peeling of planar maps with application to site percolation
剥离过程，描述了一个逐步探索的平面地图，一直在解决随机无限平面地图上的渗流问题。通过所谓的惰性剥离探索，可以方便地研究具有任意次数面的映射上的键和面渗流。在这种勘探过程中，勘探轮廓线上的不同顶点可能在稍后阶段被识别，使得该过程不太适合研究场地渗流。为了解决这种情况，并明确确定网站的渗透阈值，我们回来的替代“简单”剥离探索的天使和揭示深层关系的懒惰剥离过程。一路上，我们定义和研究的随机玻尔兹曼映射的半平面与一个简单的边界的任意临界重量序列。它的结构是不平凡的，特别是在“稠密区”，其中半平面随机玻尔兹曼映射不具有无限简单的核心。
2020-08-16 math.CO math.PR
Percolation on Finite Graphs
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本讲义基于特拉维夫大学研究生课程，系统介绍有限图上的渗流理论，涵盖随机图相变、巨分量、长路径、连通性与完美匹配阈值及随机超立方体中的相关结果。
2026-09-25 math.CO math.HO math.PR
Ore and Chvátal-type Degree Conditions for Bootstrap Percolation from Small Sets
Bootstrap渗透是一种确定性元胞自动机，其中图~ $G$的顶点以两种状态（“休眠”或“活动”）之一开始。给定固定整数$r$，如果在任何阶段休眠顶点至少具有$r$活动邻居，则休眠顶点变为活动的，并且休眠顶点在该过程的持续时间内保持活动。给定一个初始的活动顶点集$A$，如果$G$中的每个顶点在经过一定的步骤后都变成活动的，我们就说$G$ $r$ -transmates（从$A$）。令$m(G,r)$表示集合$A$的最小大小，使得$G$ $r$ -从$A$中删除。Bootstrap渗流已经在许多环境中进行了研究，并应用于统计物理和离散流行病学。这里，我们关注的是确保$m(G,2)=2$的基于度的密度条件。特别是，我们给出了一个Ore型度和的结果，即如果一个图$G$满足$σ_2(G)\ge n-2$，那么无论是$m(G,2)=2$或$G$是在一个少数类的例外图。我们还给出了一个Chvátal型度条件：如果$G$是一个图，其度序列$d_1\le d_2\le\dots\le d_n$使得对所有$1 \leq i < \frac{n}{2}$都有$d_i \geq i+1$或$d_{n-i} \geq n-i-1$，则$m(G,2)=2$或$G$属于几个特殊的图类之一.这两个结果都是受[D. Freund，M. Poloczek和D. Reichman，Contagious sets i…
2019-10-19 math.CO
Clustering and percolation on superpositions of Bernoulli random graphs
一个简单但功能强大的网络模型与$n$节点和$m$部分重叠的层生成作为一个覆盖的独立随机图$G_1,\dots,G_m$可变的大小和密度。该模型由层尺寸和密度的联合分布$P_n$参数化。当$m$线性增长和$P_n \to P$为$n \to \infty$时，该模型生成具有丰富统计结构的稀疏随机图，允许非零聚类系数以及有限度分布和具有可调幂律指数的聚类谱。值得注意的是，该模型承认参数制度，其中债券渗流表现出两个相变：第一个相关的出现一个巨大的连接组件，第二个巨大的单层组件的外观。
2020-11-02 math.CO math.PR physics.soc-ph
Polynomial growth in degree-dependent first passage percolation on spatial random graphs
本文研究空间随机图上度依赖首达渗流，证明随惩罚指数增大，远距离顶点间传输时间经历爆炸、多重对数、多项式次线性和线性四个普适阶段，并给出后两阶段下界及线性阶段上界证明。
2024-10-02 cs.SI math.CO math.PR
Planar site percolation on semi-transitive graphs
针对满足平面嵌入、有限面度有界、顶点最小度≥7的单端半传递图，证明了其点渗流上临界概率与匹配图的点渗流下临界概率之和为1，拓展了1964年Sykes和Essam的相关结论。
2023-07-20 math.CO
Bootstrap percolation in power-law random graphs
图$G$上的自举逾渗过程是一个逐轮演化的“感染”过程。最初，有一个受感染节点的子集，在随后的每一轮中，至少有$r$感染邻居的每个未感染节点都被感染，并永远保持感染状态。参数$r\geq 2$是固定的。这些过程被用作在个人网络中传播思想或趋势的模型。我们分析的情况下，底层图是一个非均匀的随机图，它表现出幂律度分布，最初有$a(n)$随机感染节点的自举渗流过程。本文的主要焦点是在过程结束时将被感染的顶点的数量。这项工作的主要结果是，如果随机图的度序列遵循幂律指数$β$，其中$2 < β< 3$，那么一个次线性数量的初始感染的顶点是足够的随机图的节点的线性分数，以高概率传播感染。更具体地，我们明确地确定临界函数$a_c(n)$，使得$a_c(n)=o(n)$具有以下性质。假设$n$是基础随机图的顶点数，如果是$a(n) \ll a_c(n)$，则该过程根本不演化，随着$n$的增长具有高概率，而如果是$a(n)\gg a_c(n)$，则存在常数$\eps>0$，使得最终的感染顶点集具有至少$\eps n$的大小的高概率。结果表明，当最大度为$o(n^{1/(β-1)})$时，则$a_c(n)$也依赖于$r$。但当最大度为$Θ(n^{1/(β-1)})$时，则为$a_c (n)=n^{β-2 \over β-1}$。
2013-08-14 cond-mat.stat-mech math.CO math.PR
Four universal growth regimes in degree-dependent first passage percolation on spatial random graphs I
本文研究空间无标度随机图上的一相依首达渗流，证明随惩罚函数参数增大，远距顶点间传输时间经历爆炸式、多对数式、严格次线性多项式及线性四个普适增长阶段，并开发了证明次爆炸阶段上界的新方法。
2024-03-23 cs.SI math.CO math.PR
Networks with degree-degree correlations is a special case of edge-coloured random graphs
在复杂网络中，相邻节点的度可能经常表现为依赖性-这提出了建模挑战。我们提出了一个工作框架，研究网络与任意联合分布的程度相邻节点，表明这种网络是一个特殊的情况下，边着色随机图。我们使用这个映射来研究网络中的键渗流与非线性混合，并表明，与网络中的独立度，连接组件的大小可能具有意想不到的敏感度分布的扰动。研究结果还表明，度-度依赖可能具有消失的渗流阈值，即使当度分布的二阶矩是有限的。这些结果可用于设计有效地抵抗链路故障的人工网络，并表明在没有明显区别的枢纽的网络中存在超级传播的可能性
2020-08-24 math.CO physics.soc-ph
