Invariants of forth order linear differential operators
Valentin Lychagin, Valeriy Yumaguzhin
本文研究了定向二维流形上的四阶线性微分算子的标量性质。我们调查这些运营商的微分不变式，并显示其应用的等价问题。
In this paper, we study scalar the forth order linear differential operators over an oriented 2-dimensional manifold. We investigate differential invariants of these operators and show their application to the equivalence problem.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A note on the relation between joint and differential invariants
讨论了流形上光滑李群作用的联合不变量理论的一般性质。许多关于微分不变式的已知结果，包括李有限性定理，在联合不变式的背景下有更简单的版本。我们探讨了联合和微分不变式之间的关系，我们暴露了一个通用的方法，允许计算微分不变式从联合不变。
Feedback Differential Invariants
研究了控制系统的反馈等价问题。给出了正则控制系统的一个微分不变式代数和反馈等价性判据。
Conformal Differential Invariants
我们计算希尔伯特多项式和庞加莱函数计数的固定射流阶微分不变式的共形度量结构模局部同态的数量，我们描述的领域的有理微分不变式分离的一般轨道的同态伪群作用。这解决了共形结构的局部识别问题。
Differential invariants of the motion group actions
（伪）群作用的微分不变式在受限于不变子流形（微分方程）时可以变化。代数仍然由Lie-Tresse定理控制，但可能会发生很大变化。我们详细描述的情况下的运动组$O(n)\ltimes\R^n$的作用于全（无约束）喷空间以及一些不变方程。
Invariant Differential Pairings
本文引入了M阶不变双线性微分对的概念，并给出了其形式定义。如果流形具有AHS结构，则构造各种一阶对。这就给出了具有AHS结构的齐性空间上除某些完全退化情形外的所有一阶不变双线性微分对的分类。在此齐性空间上构造了高阶不变双线性微分对，从而对非退化情形下的复射影空间进行了分类。退化的情况对应于存在不变的线性微分算子。
Dualities of differential geometric invariants on cuspidal edges on flat fronts in the hyperbolic space and the de Sitter space
本文在双曲$3$ -空间和de Sitter空间中计算了平面尖点边的微分几何不变量。指出了几个不变量的对偶性。
On relation between rational and differential rational invariants of surfaces with respect to the motion groups
将曲面关于运动组的不变量描述归结为参数化曲面关于运动组的不变量描述。存在的交换系统不变的部分微分算子（衍生物）和有限系统的不变量，使任何不变量的表面是这些不变量和他们的不变的衍生物的功能，显示。与微分几何中的“活动标架法”相比，所提供的方法适用于更一般的设置。
Differential invariants of Kundt spacetimes
我们发现发电机的代数的理性微分不变式的一般和退化的孔特时空，并与其他方法的等价性问题的洛伦兹度量。特别注意第三和第四方面。
On radicals in differential invariants: global theory vs moving frames
本文针对微分不变量中根式相关的矛盾，结合活动标架技术与全局Lie-Tresse定理，通过示例解释矛盾并给出算法计算全局微分不变量的方法。
On Differential Invariants of Parabolic Surfaces
具有非零Pocchiola $4^{\text{th}}$不变量$W$的一般抛物曲面$S^2 \subset \mathbb{R}^3$的$SA_3(\mathbb{R})$下的微分不变式代数被证明是通过不变微分仅由另一个具有$57$微分单项式的$5$阶不变量$M$生成的。证明是基于Fels-Olver的递归公式，拉回到抛物射流束。
Differential invariants of curves in G(2) flag varieties
本文计算了齐次G（2）旗簇中的非参数曲线的微分不变式的代数，即G（2）/P中的微分不变式，从而解决了这类曲线的等价问题。我们考虑积分曲线和一般曲线的情况，并将抛物子群P的所有三种选择的等价问题联系起来。
A global invariant for path structures and second order differential equations
本文研究路径结构的全局不变量，将其作为典范丛上 Cartan connection 的二级不变量获得，并在路径结构约化的例子中进行了计算，特别给出了环面 $T^2$ 上二阶微分方程的全局不变量公式。
Bi-invariant differential operators on the Galilean group
伽利略群是牛顿力学的对称群，其中李代数为$\gal(n)$。我们发现代数独立的发电机中心的泛包络代数$\gal(n)$使用coadjoint轨道。
On conformally invariant differential operators
我们构造了一类新的共形不变微分算子。我们介绍了一个简单，直接的方法表明，所有这些运营商出现通过这种建设时的程度是有界的尺寸。该方法依赖于对众所周知的变换定律的研究和Weyl关于“形式上”与“通过替代”持有身份的理论。我们还说明了这种新的方法可以加强现有的结果在抛物不变理论的共形几何。
Differential Invariants and Symmetry: Riemannian metrics and beyond
本文讨论了作用在（伪）黎曼度量空间上的伪同态群的Lie-Tresse定理，并将其与Killing向量场的存在性联系起来.然后，我们讨论在一般情况下的对称性的影响。
Conformally invariant differential operators on tensor densities
令${\cal F}_λ$是${\bf R}^n$上的张量密度空间，其度为$λ$（或等价地，度为$-λn$的共形密度），被认为是李代数$so(p+1,q+1)$上的模。我们将$so(p+1,q+1)$不变的双线性微分算子从${\cal F}_λ\otimes{\cal F}_μ$分类到~ ${\cal F}_ν$ .以不同的方式获得了文献中已知的从${\cal F}_λ$到${\cal F}_μ$的线性$so(p+1,q+1)$不变微分算子的分类。
Invariant Bilinear Differential Pairings on Parabolic Geometries
本文研究抛物几何上的不变双线性微分对理论。它介绍了正式的概念与射流束形式主义的帮助下，并提供了详细的分析。更确切地说，在介绍了最重要的符号和定义之后，我们首先给出了齐性空间上配对的代数描述，并得到了一个第一存在定理。其次，在排除与不变线性微分算子存在性有关的某些退化情形的情况下，给出了一阶不变双线性微分对的分类.此外，还给出了一大类任意阶不变双线性微分对的具体计算公式，并计算了许多例子。高阶不变双线性微分对的一般理论变得更加复杂，并且一般的构造只有在排除了许多退化情况下才可能，这些退化情况的意义通常仍然难以捉摸（尽管包括射影几何的结果）。这种构造依赖于所谓的分裂算子，在最后一章中，我们描述了射影几何、共形几何和CR几何的例子。
Symmetries and Invariant Differential Pairings
这篇文章的目的是激发研究不变，特别是共形不变，微分配对。由于缺乏一个普遍的理论，这项工作只是提出了一些有趣的例子，这些配对，解释他们如何自然产生，并制定了各种相关的问题。
An Approach to Differential Invariants of $G$-Structures
一个流形到自身上的局部自同态以一种自然的方式作用于任何阶的参照标架丛和与它们相关联的丛。由于传递性，配丛的同素同胚不变量对应于喷流群作用于典型纤维的轨道空间上的实函数，这使得构造该配丛成为可能.标量微分不变式是关于配丛的截面的喷束的函数，它们不受局部同态的标准作用量的影响。我们证明了这些喷丛又是与高阶参考标架丛的配丛。通过前面的结果，这将允许将标量微分不变式识别为商空间上的实函数，而与基流形无关。我们将上述应用于$G$ -结构，并将其标量微分不变式描述为某些商空间上的函数。每个商空间包含一个稠密微分流形，其维数是“函数独立标量微分不变式的个数“。我们将得到这个数的下界，并在某些情况下计算它，特别是对于标量共形微分不变式。
The Binary $\mathfrak{aff}(n|1)$-Invariant Differential Operators On Weighted Densities On The Superspace $\mathbb{R}^{1|n}$ And $\mathfrak{aff}(n|1)$-Relative Cohomology
本文研究微分双线性算子空间上的$\mathfrak{aff}(n|1)-$模结构，它作用在加权密度超空间上。本文对作用于加权密度空间的$\mathfrak{aff}(n|1)-$不变二元微分算子进行了分类。这一结果使我们能够计算第一$\mathfrak{aff}(n|1)-$相对微分上同调$\mathcal{K}(n)$的系数在超空间的线性微分算子上的加权密度的超空间。
Differential Invariants of SL(2) and SL(3)-ACTIONS on R^2
本文的主要目的是计算两个李群SL（2）和SL（3）在$R^2$的$n$ th喷流空间上的延拓作用所产生的微分不变式。计算动作的延长无穷小发生元$n$是必要的。
Differential invariants of a Lie group action: syzygies on a generating set
给定一个群作用，已知其无穷小生成元，我们展示了一个完整的一套合合的微分不变量的生成集。为此，我们详细阐述了Fels和Olver（1999）对嘉当运动标架的重新解释。这为探索微分不变量代数提供了建设性的工具。
A note on invariant differential operators on Siegel-Jacobi space
本文研究Siegel-Jacobi空间上在Jacobi群的自然作用下不变的微分算子。这些不变的微分算子在高次Jacobi型的算术理论中起着重要的作用。我们给出了一些显式不变的微分算子。我们提出的问题是自然的。我们给出了这些自然问题的一些新的部分解。
Natural differential invariants and equivalence of third order nonlinear differential operators
本文给出了二维流形上一类三阶非线性微分算子的有理自然微分不变量域的描述，并给出了它们在这类算子等价问题中的应用.
Differential Invariants of Linear Symplectic Actions
研究了辛与切触线性空间的子流形与函数上辛与共形辛群作用的等价性问题。这是通过Lie-Tresse定理计算微分不变式来解决的。
Ambient metric construction of CR invariant differential operators
这些笔记是基于我在IMA暑期课程“对称性和超定系统的偏微分方程”的讲座。“在这里，我试图通过研究球面的Szego核来解释环境度量构造的基本思想。
Differential K-theory and localization formula for $η$-invariants
本文得到了$S^1$作用量在微分K-理论中的一个局部化公式。然后结合Goette关于两类等变$η$ -不变量的比较结果的推广，建立了一类等变$η$ -不变量的局部化公式.我们的方法的一个重要步骤是构造一个前$λ$环结构的微分K-理论，这是有趣的，在其本身的权利。
Differential invariants of Kundt waves
昆特波属于时空的一种，这种时空并不以它们的标量曲率不变量来区分。我们解决等价问题的度量在这个类通过标量微分不变量的等价伪群的问题。我们计算并表示那些在一般地层的代数，也指定的真空Kundt波的行为。然后将结果与Cartan-Karlhede算法计算的不变量进行比较。
Invariants of differential equations defined by vector fields
我们确定了最一般的一组等价变换的微分方程族定义的任意向量场的流形上。我们还找到了所有的不变量和微分不变量为这个群体的二阶。给出了用不变函数刻画这类方程类的结果。
Additive higher rho invariant for structure group in differential point of view
本文采用Weinberger，Xie和Yu的部分突破性工作，利用特征算子的微分几何形式定义了拓扑结构群的可加高ρ不变量，即无界Hilbert-Poincaré复形.
Differential Invariants in Algebra
在这些讲座中，我们讨论两种方法来研究代数李群的轨道空间。由于代数方法轨道空间，或商，是一个代数流形，而从微分观点来看，商是一个微分方程。这些讲座的主要目标是表明，差分方法使我们更好地理解结构的不变量和轨道空间。我们说明这一点上的经典等价问题，如$\mathrm{SL}$ -分类的二元和三元形式，和仿射分类的代数平面曲线。
Scalar relative differential invariants
研究标量相对微分不变量的有限生成性，展示正反两面结果，探讨其权重及阶数限制，并通过实例验证应用。
Differential invariants of 2--order ODEs, I
本文研究了所有点变换的伪群在自然方程丛$y''=a^3(x,y)(y')^3+a^2(x,y)(y')^2+a^1(x,y)y'+a^0(x,y)$上的作用。我们构造了这种作用的微分不变式，并解决了某些类这些方程的等价性问题，特别是一般方程。
Learning Differential Invariants of Planar Curves
我们提出了一个学习范式的微分不变量的平面曲线的数值逼近。深度神经网络（DNN）的通用近似特性被用来估计几何测量。所提出的框架被证明是一个更好的替代公理化结构。具体来说，我们证明了DNN可以学习克服不稳定性和采样伪影，并为平面中给定的一组变换的曲线产生一致的签名。我们比较所提出的方案，以替代国家的最先进的公理化建设的微分不变量。我们评估我们的模型定性和定量，并提出了一个基准数据集来评估近似模型的微分不变量的平面曲线。
Differential invariants of feedback transformations for quasi-harmonic oscillation equations
本文的目的和主要结果是给出一类带标量控制参数的二阶常微分方程关于局部反馈变换的李伪群的有理微分不变式的完整描述.特别是，考虑类描述保守的力学系统的行为。我们构造了一类分离正则轨道的有理微分不变式。众所周知，微分不变式构成了关于加法和乘法运算的代数。在我们的例子中，构造的有理微分算子形成一个域（在代数意义上）。
Generalized Wilczynski invariants for non-linear ordinary differential equations
我们表明，经典的Wilczynski-Seashi不变量的线性系的常微分方程推广在一个自然的方式接触不变量的非线性常微分方程。我们探讨了与具有消失的广义Wilczynski不变量的方程相关联的几何结构，并建立了此类方程与复代数曲面上有理曲线的变形理论之间的关系。
Differential Invariants of Self-Dual conformal structures
我们计算的商的自对偶方程的共形度量的作用下的同胚群。我们还确定希尔伯特多项式，计数的数量独立的标量微分不变式取决于射流阶，和相应的庞加莱函数。我们描述的领域的理性微分不变式分离一般轨道的同胚伪群作用，解决局部识别问题的自对偶共形结构。
On invariants and equivalence of differential operators under Lie pseudogroups actions
本文研究线性微分算子在代数李伪群作用下的不变量，利用不变量和n-不变量原理求出算子标准形式，并解决等价问题，以局部辛微分同胚伪群为例展示应用。
On natural invariants and equivalence of differential operators
本文刻画了光滑流形上一类高阶非线性微分算子的有理自然微分不变量域，并将其应用于该类算子的等价问题。
The Binary Invariant Differential Operators on Weighted Densities on the superspace $\mathbb{R}^{1|n}$ and Cohomology
在$(1,n)$维实超空间$n>1$上，我们分类了作用于加权密度超空间上的$\mathcal{K}(n)$不变二元微分算子，其中$\mathcal{K}(n)$是切触向量场的李超代数.这一结果使我们能够计算的第一个微分上同调%的李超代数$\mathcal{K}(n)$系数的超空间的线性微分算子作用于超空间的加权密度-superisation的结果由Feigin和Fuchs。我们明确给出了这些上同调空间的1-上圈。
Differential Invariants of Conformal and Projective Surfaces
我们证明了，对于共形群和射影群，三维空间中一般曲面的所有微分不变式都可以写成单个微分不变式的不变导数的组合。证明是基于活动标架的等变方法。
Index invariants and Eta invariants determine Differential KO theory in degrees that are multiples of 8
本文提出通过指标不变量和Eta不变量来确定微分KO理论在8的倍数次数中的情况，并发展了两个家庭指标定理。
Two body problem on two point homogeneous spaces, invariant differential operators and the mass center concept
从不变微分算子理论的角度考虑了两点齐型空间上具有中心相互作用的两体问题。找到了两粒子哈密顿量在对称群上的径向微分算子和不变算子的表示，研究了这些空间的不同质心定义与所得到的哈密顿算子表示的关系。
Differential invariants for cubic integrals of geodesic flows on surfaces
我们构造了微分不变式，当且仅当二维度量的测地流在给定的Birkhoff-Kolokoltsov 3-余微分下允许3次动量积分.
Equivariant heat invariants of the Laplacian and nonmininmal operators on differential forms
在本文中，我们计算的前两个等变热核系数的Bochner拉普拉斯微分形式。给出了带挠的Bochner Laplacian的前两个等变热核系数。我们还研究了微分形式上非小算子的等变热核系数，得到了等变Gilkey-Branson-Fulling公式.
Differential Invariants and Application to Riccati-Type Systems
我们推广了经典的李结果的基础上的微分不变量的单参数组的局部变换的情况下，任意数量的独立和依赖的变量。证明了在已知单参数群的泛不变量的条件下，通过一次求积和微分可以构造出一个函数独立的微分不变量的完备集。一阶微分不变量的Riccati型系统的一些应用。
Differential and integral invariants under Mobius transformation
在二维图像或三维形状领域中最具挑战性的问题之一是处理非刚性变形。从变换群的角度看，保角变换是复同态的一个关键部分。根据Liouville定理，共形变换的一个重要组成部分是Mobius变换，因此我们重点研究了Mobius变换，并给出了两个分别在二维和三维Mobius变换下不变的微分表达式。其次，分析了它们及其分量的不变性的绝对性和相对性。在此基础上，我们提出了在Mobius变换下的积分不变量。最后，根据我们对上述两个微分不变量的合成的观察，提出了一个关于保角变换下微分不变量结构的猜想。
Orbit reduction of exterior differential systems, and group-invariant variational problems
对于给定的偏微分方程系统，或具有内部对称性的李群的外微分系统，引入轨道约化过程。证明了约化外微分系统的解与原系统的扩张的正则解的模空间一一对应。建立了约化无约束喷流空间的局部特征上同调与对称群的李代数上同调之间的同构。不变变分问题的群不变Euler-Lagrange方程被描述为约化喷流空间上的Euler-Lagrange算子和约化喷流空间上的某些其他微分算子的组合。给出了计算这些算子的实用算法。
Scalar Differential Invariants of Symplectic Monge-Ampère Equations
显式计算了辛双曲和椭圆蒙日-安培方程关于辛同胚的所有二阶标量微分不变式.特别是，它表明，独立的二阶不变量的数量等于7，在一般的蒙日-安培方程，这个数字等于2形成鲜明对比。我们还介绍了一系列的不变微分形式和向量场，使我们能够构建许多高阶的标量微分不变式。引入的不变量给出了蒙日-安培方程的辛等价解。作为一个例子，我们研究拟线性方程的一种合适的，特别是找到一个简单的线性化准则。
Exterior differential systems on Lie algebroids and the invariant inverse problem of the calculus of variations
本文研究了Lie algebroids上的外微分系统，提出积分流形的概念，并应用到具有对称群的动力系统及变分学的不变反问题中。
Construction of Arbitrary Order Conformally Invariant Operators in Higher Spin Spaces
本文完成了高阶自旋空间中任意阶共形不变微分算子的构造。Jan Jenkák对局部共形平坦流形上的共形不变微分算子进行了分类。我们完成了他的结果在更高的自旋理论给出明确的表达式为任意阶共形不变的微分算子，其中共形不变我们的意思是等变相对于共形群的$\mathbb{S}^m$在欧几里得空间$\mathbb{R}^m$。我们命名这些费米子运营商时，订单是奇数和玻色子运营商时，订单是偶数。我们的方法显式地使用卷积型算子来构造共形不变的微分算子。这些卷积型算子是Knapp-Stein算子的例子，它们可以被认为是相应的微分算子的逆。提供了这些卷积型算子的交织算子，并且紧接着给出了微分算子的交织算子。这表明我们的卷积型算子和微分算子都是共形不变的。这也给出了一类高自旋空间中的共形不变卷积型算子。当它们的逆算子存在时，它们是共形不变的伪微分算子。此外，我们使用Stein Weiss梯度算子和自旋群的表示论来自然地激发Rarita-Schwinger算子。
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