The Modular Isomorphism Problem for two generated groups of class two
Osnel Broche, Ángel del Río
证明了：如果$G$是有限的2-生成的至多为2的零类$p$ -群，则$G$的系数在含$p$元的域上的群代数决定$G$直到同构.
We prove that if $G$ is finite 2-generated $p$-group of nilpotence class at most 2 then the group algebra of $G$ with coefficients in the field with $p$ elements determines $G$ up to isomorphisms.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the Modular Isomorphism Problem for 2-generated groups with cyclic derived subgroup
本文研究具有循环换位子群的2生成 p-群的模同构问题，证明特定商群同构类型由模群代数确定，并对阶至多 p^{11} 的群给出肯定答案。
The Modular Isomorphism Problem: a survey
模同构问题是关于特征为p的域上的两个有限p-群G和H的群代数的同构是否蕴涵群G和H的同构。我们调查的问题的历史，解释的策略，制定了研究它，并提出了最近的负面解决方案的问题。这个问题也比较其他同构问题的群环和各种问题仍然开放。
Kleisli convolution representations and a Margolis--Sakurai version of the modular isomorphism problem
本文引入群、环、代数的Kleisli卷积表示，证明其表示范畴在群和有限维代数情形与通常等价，并借此部分解答Margolis--Sakurai模同构问题。
The Modular Isomorphism Problem over all fields
本文研究了所有字段上的模同构问题，探讨了素域与一般特征为 $p$ 的域之间的差异，并推广了部分积极结果。
Cohomological uniqueness, Massey products and the modular isomorphism problem for 2-groups of maximal nilpotency class
设$G$是极大幂零类的有限2-群，$BG$是它的分类空间.证明了$H^*(BG;\F_2)$中的迭代Massey积在具有相同上同调结构的2-完备空间中刻画了$BG$的同伦型.由此得到极大幂零类的2-群的模同构问题的另一种证明。
On the modular isomorphism problem for groups with center of index at most $p^3$
本文证明奇素数 $p$ 下中心指标为 $p^3$ 的有限 $p$-群满足模同构问题，与 $p=2$ 情形形成对比。
On the modular isomorphism problem for groups of nilpotency class 2 with cyclic center
该研究解决了具有循环中心的幂零类2群的模同构问题，证明p元域下这类p-群的群代数同构可推出群同构，奇数阶群在任意特征p域下也成立，偶数阶群需附加群或域的假设。
On the isomorphism problem for unit groups of modular group algebras
利用计算代数系统GAP（http：www.gap-system.org）和GAP软件包LAGUNA（http：//www.cs.st-andrews.ac.uk/Eschalexk/laguna.htm），我们检验了所有阶不大于32的2-群都是由它们在二元域上的模群代数的正规化单位群确定的.
A Classification of the Isomorphism Types of Indecomposable and Simple Modules that Refines the Green Theory in Finite Group Modular Representation Theory
该论文对有限群模表示理论中的不可分解与单模进行新分类，细化格林理论，将同构类型集分解为不相交子集，元素共享格林理论不变量，还证明了有限群在素特征下绝对单模同构类型数量的新公式。
On the Modular Isomorphism Problem for groups of class 3 and obelisks
本文结合小群代数与新方法研究模同构问题，对两类幂零类3群给出肯定回答，并从模群代数结构推导有限p-群下中心序列性质，还研究了近期计算机辅助研究中突出的p-方尖碑群。
Geometric approach to the modular isomorphism problem: groups of order 64
通过计算代数几何方法研究群的模同构问题，证明在特定条件下群的同构性与模代数同构性等价。
The modular isomorphism problem and abelian direct factors
设$p$是素数，$G$是有限$p$ -群.证明了$G$的极大交换直因子的同构类型以及非交换剩余直因子的$\mathbb F_p$上的群代数的同构类型都由$\mathbb F_p G$决定，推广了arXiv：2110.10025在素域上的主要结果.为了做到这一点，我们解决的问题，找到特征子群的$G$，使其相对增广理想只依赖于$k$ -代数结构的$kG$，其中$k$是任何领域的特征$p$，并将其与模块同构问题，reproving和扩展一些已知的结果。
The Modular Isomorphism Problem for small groups -- revisiting Eick's algorithm
本文在改进B.真恶心我们的改进允许在不首先计算完整的增强理想$I(kG)$的情况下确定增强理想的导数$I(kG)/I(kG)^m$。它允许我们验证MIP对于阶数为$3^7$的组具有肯定答案，并且显著减少需要检查阶数为$5^6$的组的情况。我们进一步提供了一个证据的观察Bagienski和提供一个否定的答案的问题Bleher，Kimmerle，Roggenkamp和Wursthorn。
The modular isomorphism problem for finite $p$-groups with a cyclic subgroup of index $p^2$
设$p$是素数，$G$是有限$p$ -群，$K$是特征$p$的域.模块同构问题（MIP）询问群代数$KG$是否确定群$G$。在MIP的基础上，研究了有限$p$ -群的幂零类是否由其在$p$元域上的模群代数决定的问题.我们给出了一个肯定的答案，这个问题提供了以下条件之一成立：（i）$\exp G=p$ ;（ii）$\cl(G)=2$ ;（iii）$G'$是循环的;（iv）$G$是一个群的最大类，并包含一个交换子群的指数$p$。
Random generation of subgroups of the modular group with a fixed isomorphism type
该研究提出了高效计数与均匀随机生成模群$\textsf{PSL}(2,\u2124)$中给定同构类型有限生成子群的方法，借助关联子群轮廓图的自然映射实现，该映射本身也具有独立研究价值。
Quotient isomorphism invariants of a finitely generated Coxeter group
本文描述了一个非生成Coxeter群W的同构不变量族。这些不变量中的每一个都是W的商群W/N与特征子群N的同构型。这些不变量的优点是W/N也是一个Coxeter群。对于其中的一些不变量，我们解决了W/N的同构问题，从而得到了同构不变量，这些同构不变量可以有效地用于区分N生成的Coxeter群的同构类型.
The Modular Isomorphism Problem -- the alternative perspective on counterexamples
本文针对模同构问题（MIP）的已知 2-群反例提出新的解释视角，证明其属于更一般的构造，并进一步说明该构造在 p>2 时无法产生类似反例。
Isomorphism problem for finitely generated fully residually free groups
证明了n-生成的完全剩余自由群的同构问题是可判定的。我们还证明了每一个完全剩余生成的自由群G都有一个在G的自同构下不变的分解，并得到了外自同构群Out（G）的一个结构定理.
Modular plethystic isomorphisms for two-dimensional linear groups
设$E$是任意域$K$上特殊线性群$\mathrm{SL}_2(K)$的自然表示.利用$K$具有素特征时对称幂的两个对偶构造，构造了一个显式同构$\mathrm{Sym}_m \mathrm{Sym}^\ell E \cong \mathrm{Sym}_\ell \mathrm{Sym}^m E$。这将厄米互易性推广到任意领域。我们证明了一个类似的明确概括的经典朗斯基同构，即$\mathrm{Sym}_m \mathrm{Sym}^\ell E \cong \bigwedge^m \mathrm{Sym}^{\ell+m-1} E$。我们还概括了一个结果首先证明了国王，通过表明，如果$\nabla^λ$是舒尔函子的分区$λ$和$λ^\circ$是补充$λ$在一个矩形与$\ell+1$行，然后$\nabla^λ\mathrm{Sym}^\ell E \cong \nabla^{λ^\circ} \mathrm{Sym}_\ell E$。为了说明这种“plethystic同构”的存在是远远不明显的，我们最终证明，广义$\nabla^λ\mathrm{Sym}^\ell E \cong \nabla^{λ'} \mathrm{Sym}^{\ell + \ell(λ') - \ell(λ)}E$的朗斯基同构，已知持有一个大类的分区在复杂的领域，不概括领域的主要特征，即使在考虑所有可能的对偶…
Non-isomorphic 2-groups with isomorphic modular group algebras
本文给出了特征为2的域上具有同构群代数的非同构有限2-群，从而解决了模同构问题。
Isomorphism between automorphism groups of finitely generated groups
设$G$是一个有限生成群，$C^*$表示$G$的所有中心自同构的群，该群固定$G$的中心。Azhdari和Malayeri [J. Algebra Appl.，{ \bf 6}（2011），1283-1290]给出了关于$G$使得$C^* \simeq \mathrm{Inn}(G)$ .我们证明了一个技术引理，因此，获得了一个简短而简单的证明这一结果的Azhdari和Malayeri。随后，我们也得到了一些其他现有的和一些新的相关结果的简短证明。
Silhouettes and generic properties of subgroups of the modular group
我们展示了如何计数和随机生成给定同构类型的模群$\textsf{PSL}(2,\mathbb{Z})$的随机生成子群。我们还证明了几乎非正规性和非抛物性是这些子群的可忽略性质。开发的组合方法，以实现这些结果带来了光的自然地图，它与任何一个生成的子群的$\textsf{PSL}(2,\mathbb{Z})$一个图，我们称之为它的剪影，它可以被解释为一个共轭类的自由有限指数子群的$\textsf{PSL}(2,\mathbb{Z})$。
On group invariants determined by modular group algebras: even versus odd characteristic
设$p$是一个奇素数，$G$是一个具有循环换位子群$G'$的有限$p$ -群.证明了在$G$中$G'$的中心化子的指数和阿贝尔化由特征$p$的域上的$G$的群代数决定.此外，如果$G$是$2$生成的，那么几乎所有决定$G$同构的数值不变量都是由相同的群代数决定的;因此，$G'$的中心化子的同构类型是确定的。已知这些声明对于$p=2$是错误的。
Uncountably many local isomorphism types of compactly generated simple groups
本文解决了局部紧群理论中的开放问题，证明非离散紧生成全不连通拓扑单群类中存在不可数多个（$2^{\aleph_0}$个）局部同构类，并概述了证明思路与来源。
The isomorphism problem for finitely generated bi-orderable groups
从描述集合论角度研究有限生成可序群的分类问题，证明有限生成双可序群的同构关系是弱普遍的。
Generators and closed classes of groups
我们证明了在群范畴中，每个在同构、直接极限和扩张下闭的单生成类在同构和直接极限下也是单生成类，特别是它是共反射的。我们还建立了几个新的单生成封闭类之间的关系。
Random quotients of the modular group are rigid and essentially incompressible
证明了对任意正整数$m\ge 1$，模群$M = PSL(2,\mathbb{Z})$的$m$ -关系子一般满足一个很强的Mostow型\emph{isomorphism rigidity} .我们还证明了，这样的连续性是一般的“本质上不可压缩”。通过这一点，我们的意思是，他们的“绝对$T$不变”，衡量最小的大小，任何可能的有限介绍的组，是有界的功能，这是几乎线性的长度方面的给定介绍。我们计算了$m$的\emph{isomorphism types}的$I_m(n)$-$M$的关系子的精确渐近性，其中所有定义的关系子都是$M$中长度为$n$的循环约简字。我们得到其他的代数结果，并表明，这样的群是完全的，霍普夫，共同霍普夫，单端，字双曲群。
Where isomorphisms of group algebras fail to lift
针对模同构问题的反例（有限2-群G、H在ℤ/2ℤ上群代数同构但在ℤ₂上不同构），证明G和H在ℤ/4ℤ上的群代数已非互相同构，推进了群代数同构提升问题的研究。
Unipotent automorphisms of modular group algebras and the homology of the Lazard Lie algebra
本文证明指数为p且类至多p-2的有限p-群的模群代数单幂自同构与群自同构在关系模上作用一致，并给出U(H)的Lazard李代数刻画，计算了类2群的U(H)大小。
Isomorphism problem of Unitary Subgroups of Group Algebras
设V * 是有限域F上具有经典对合 * 的有限p-群G的模群代数FG的正规酉子群.研究了群V_* 的同构问题，即群V_* 何时由它的群代数FG决定.我们对有限交换p-群、极大类的2-群和阶数不超过16的非交换2-群类证明了它。
Polynomial-time isomorphism test for $k$-generated extensions of abelian groups
本文提出了一种多项式时间算法，用于测试交换群的循环扩展和简单群扩展的同构性，推广了已有研究成果。
Modular Embeddings and Rigidity for Fuchsian Groups
证明了半算术富克斯群的一个刚性定理：若$Γ_1$，$Γ_2$是$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$中虚模嵌入的两个半算术格，且$f\colonΓ_1\toΓ_2$是一个遵守同余子群概念的群同构，则$f$是由$\mathrm{PGL}(2,\mathbb{R})$的一个内自同构诱导的.
Right-angled Artin groups and a generalized isomorphism problem for finitely generated subgroups of mapping class groups
考虑具有$p$穿孔的属$g$的表面$Σ_{g,p}$的映射类群$\Mod_{g,p}$，以及映射类的有限集合$\{f_1,...,f_k\}$，每个映射类是关于简单闭合曲线的Dehn扭曲或在连通次表面上支持的伪Anosov同胚。本文证明了对所有充分大的$N$，映射类$\{f_1^N,...,f_k^N\}$生成直角Artin群.它们生成的直角Artin群可以从映射类本身的组合拓扑中确定。当$\{f_1,...,f_k\}$是任意的映射类，我们表明，足够大的权力，这些映射类生成一个组嵌入在直角Artin组中的控制方式。我们建立了实和复双曲流形的一些类似结果。我们还讨论了$\Mod_{g,p}$的生成子群的同构问题的不可解性，证明了直角Artin群的同构问题是可解的.因此，我们刻画了$\Mod_{g,p}$的许多自然发生的子群的同构类型。
The complexity of isomorphism between countably based profinite groups
一个拓扑群G是前有限的，如果它是紧的且全不连通的。等价地，G是具有离散拓扑的有限群的满射系统的逆极限。讨论了如何将可数基投射有限群表示为波兰空间中的点。然后利用描述集合论中的Borel约简理论研究了同构的复杂性。对于拓扑生成的投射有限群，这种复杂性与实数的恒等式的复杂性相同。一般来说，它与可数图同构的复杂性相同。
The nilpotent genus of finitely generated residually nilpotent groups
若$G$和$H$是余生成的幂零群，则$G$和$H$在同一幂零亏格中，如果它们具有相同的下中心子元（直到同构）。一个更强的条件是，$H$是para-$G$，如果存在$G$到$H$的单态映射，这导致它们的下中心序列的对应子之间的同构。本文首先考虑剩余幂零群，找到了$H$是对位$G.$的单态的充分条件，然后证明了对某些多环群，如果$H$是对位$G$，则$G$和$H$具有相同的Hirsch长度.我们还证明了这些多环群的亲幂零完备化是局部多环的。
Borel Complexity of the Isomorphism Relation of Archimedean Orders in Finitely Generated Groups
本文证明了有限生成群中阿基米德序的同构关系的Borel复杂度，具体回答了Calderoni等人提出的问题，表明在$n\geq3$时非超有限，在$n\geq4$时非可树化。
Finite presentability and isomorphism of Cayley graphs of monoids
构造了两个无向生成幺半群，一个无向生成幺半群，另一个无向生成幺半群，它们的（有向无标号）Cayley图是同构的.
Condensed groups in product varieties
一个有限生成群$G$称为凝聚的，如果它的同构类在群生成的标记群空间中没有孤立点.我们证明了每个积簇$\mathcal{UV}$，其中$\mathcal{U}$（分别为$\mathcal{V}$）是一个非交换（分别为非局部有限）簇，包含一个凝聚群.特别地，存在有限指数的凝聚群。作为应用，我们得到了$\mathcal{UV}$中的同构关系的结构和初等等价。
The isomorphism problem for group algebras: a criterion
设$R$是有限单位交换环.我们引入了一类新的有限群，我们称之为$R$上的遗传群。我们的主要结果是：如果$G$是$R$上的遗传群，则群代数之间的单位代数同构$RG \cong RH$对每个有限群$H$都蕴涵一个群同构$G \cong H$.作为应用，我们研究了$R = \mathbb{F}_p$上有限$p$ -群的模同构问题，其中$\mathbb{F}_p$是$p$元素的域.证明了有限$p$群$G$是$\mathbb{F}_p$上的遗传群，只要$G$是交换群，$G$是类2，指数$p$或$G$是类2指数4.这些结果为Deskins和Passi-Sehgal的定理提供了新的证明。
Localization, metabelian groups, and the isomorphism problem
如果G和H是n-生成的剩余幂零亚阿贝尔群，则称H为仿G，如果存在G到H的同态，该同态诱导它们的下中心商群的相应项之间的同构。我们证明这是一个等价关系。这是一个比同构粗糙得多的关系，同构是我们最终关心的问题。事实证明，在一个给定的等价类中的许多群共享各种属性，包括有限可表示性。有一些例子，比如点灯人群，其中一个等价类由一个同构类组成，而其他的则不是这种情况。我们给出几个例子，我们解决同构问题。我们还证明了一个可计算生成的亚阿贝尔群的下中心行列式的无挠秩序列是可计算的。在未来的论文中，我们计划证明有一个算法来计算一个由代数生成的亚阿贝尔群的有理Poincaré级数的分子和分母，并将在一些例子中进行这种计算，这可能会对同构问题有一点点启发。我们的证明使用局部化，类域理论和一些建设性的交换代数。
Picard modular groups generated by complex reflections
在这个简短的说明中，我们使用\cite{MP}和\cite{Po}中的介绍来证明具有$d=1,3,7$的Picard模群${\rm PU}(2,1,\mathcal{O}_d)$（分别是具有Hurwitz整数环$\mathcal{H}$中的元素的四元数双曲格${\rm PSp}(2,1,\mathcal{H})$）是由复（resp.四元数）反射，并且Picard模群${\rm PU}(2,1,\mathcal{O}_d)$与$d=2,11$具有由复反射生成的指数4子群。
The isomorphism problem for small-rose generalized Baumslag-Solitar groups
该研究聚焦群论中的同构判定问题，证明了小玫瑰型非上升广义Baumslag-Solitar群的同构问题可解，为这类有限生成群的结构研究提供了判定依据。
Identification of non-isomorphic 2-groups with dihedral central quotient and isomorphic modular group algebras
本文将非同构有限p-群具有同构模群代数的否定解嵌入到具有二面体中心商的二生成有限2-群类中，解决了该类所有群的原始问题，发现了新否定解并揭示了其特殊性。
Finite-volume hyperbolic 3-manifolds are almost determined by their finite quotient groups
对任意可定向的有限体积双曲3-流形，证明了基本群的profinite同构型唯一地决定了首次积分上同调的同构型（用Thurston范数和纤维类来标记），并且在有限模糊性下，profinite同构型决定了基本群的同构型.
Genericity, the Arzhantseva-Ol'shanskii method and the Isomorphism Problem for One-Relator Groups
我们应用Arzhantseva-Ol'shanskii的方法证明了对于一个指数泛类（在Ol'shanskii意义下）的单关系子群，同构问题在至多指数时间内是可解的.这是作为一个推论，我们更一般的结果，对于任何固定的整数$m>1, n>0$有一个指数通用类的$m$ -生成器$n$ -relator组，每个组只有一个尼尔森等价类的$m$ -元组生成非自由子群。这意味着该类中的组$G$只有一个非自由$m$生成的子组，即$G$本身。因此，对于任何由$m$生成的群到$G$的同态，这个同态的象要么是自由的，要么等于$G$。应用于从$G$到自身的单同态，这意味着$G$是协霍普夫的。此外，$G$的每个自同构都是“自由诱导的”，也就是说，它提升到自由群$F_m$的自同构。所有这些结果都是通过折叠方法得到的，而没有使用JSJ-分解理论或Zlil Sela在他著名的无挠字双曲群同构问题的解决方案中部署的R-树技术。
Fundamental isomorphism theorems for quantum groups
一个群的子群的格是围绕着将群分解成“块”（subsubjecents）的中心主题的许多结果的主题，然后可以以各种方式相互比较。这类结果的例子有Noether同构定理、Zassenhaus蝴蝶引理、子群的次正规列的Schreier精化定理、Dedekind模性定律，以及最后但并非最不重要的Jordan-Hölder定理。我们在局部紧量子群和线性可约量子群的背景下讨论了上述结果的类似结果。这两种情况的性质是不同的：前者是算子代数，后者是Hopf代数，因此相应的两部分组织我们的研究。我们的意图是代数学家可以得到解析部分，反之亦然。其结果是，在局部紧的情况下，往往需要进一步的假设（可积性，紧性，离散性）。另一方面，在线性还原的情况下，量子版本的结果在没有进一步假设的情况下成立。此外，紧/离散量子群的情况通常被线性约化和局部紧框架所覆盖，从而在两者之间提供了一个桥梁。
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