Method of training examples in solving inverse ill-posed problems of spectroscopy
本文提出利用模型示例估算截断参数的方法，改进了求解反问题的计算实验方法，提高了正则化参数选择的准确性。
2015-09-20 cs.NA math.NA
Finite element interpolated neural networks for solving forward and inverse problems
本研究提出将神经网络插值到有限元空间的通用框架，解决偏微分方程约束的正反问题相关挑战，实验验证其泛化性优于有限元解，还提出带初始拟合的单循环反问题求解器。
2023-10-10 cs.NA math.NA
Big in Japan: Regularizing networks for solving inverse problems
深度学习和（深度）神经网络是解决逆问题和图像重建任务的新兴工具。尽管神经网络具有出色的性能，但其用于求解反问题的数学分析大多缺失。在本文中，我们引入并严格分析了$B_α+ N_{θ(α)} B_α$形式的深度正则化神经网络（RegNets）家族，其中$B_α$是经典正则化，网络$N_{θ(α)} B_α$经过训练，可以恢复经典正则化未找到的缺失部分$\operatorname{Id}_X - B_α$。我们表明，这些正则化网络产生一个收敛的正则化方法求解反问题。此外，我们推导出收敛速度（定量误差估计）假设一个足够的衰减相关的距离函数。我们证明，我们的结果恢复现有的收敛性和收敛速度的结果，基于过滤器的正则化方法，以及最近推出的零空间网络作为特殊情况。对一个层析稀疏数据问题的数值结果表明，所提出的RegNets改进了经典正则化方法和零空间网络.
2019-09-28 cs.NA math.NA
Numerical results of solving 3D inverse scattering problem with non-over-determined data
Kansas State University（堪萨斯州立大学）
本文基于非过定散射数据，提出求解三维反散射问题的数值方法，并展示计算结果。
2017-01-31 cs.NA math.NA
L1 scheme for solving an inverse problem subject to a fractional diffusion equation
研究了一类时间分数阶扩散方程反问题的时间离散化。首先，证明了具有谱角$< π/2 $的任意扇形算子的L1格式的收敛性，即对于某些$ π/2 < θ< π$，该算子的预解集包含$ \{z\in\mathbb C\setminus\{0\}:\ |\operatorname{Arg} z|< θ\}$.时间分数阶数$α\in (0, 1)$和误差估计中的常数之间的关系被精确地表征，揭示了L1方案在$ α$接近$ 1 $时是鲁棒的。然后分析了一类分数阶扩散方程的反问题，并给出了该反问题时间离散化的收敛性分析。最后，数值结果证实了理论结果。
2022-01-06 cs.NA math.NA
A neural operator framework for solving inverse scattering problems
Inria, ENSTA Paris, UMA, Institut Polytechnique de Paris（法国国家数字与工程科学研究所、巴黎国立高等先进技术学院、应用数学系、巴黎理工学院）
本文提出了一种基于DeepONet的神经算子框架，用于解决反散射问题，通过神经切线核分析和正则化参数优化，实现高效的逆散射重建。
2026-02-27 cs.NA math.NA
A fast algorithm for solving a three-dimensional inverse multiple frequency problems of scalar acoustics in a cylindrical region
本文提出了一种求解圆柱形区域内非均匀介质声测深三维标量反问题稳定解的新算法。问题的数据是波场的复振幅，在圆柱形层中的声学不均匀性区域之外测量。利用傅里叶变换和傅里叶级数，将反问题归结为求解一组一维第一类弗雷德霍姆积分方程，进而计算非均匀区域波场的复振幅，进而求出该区域所需的声速场。该算法允许在个人计算机上的平均性能足够精细的三维网格在几十秒内解决反问题。数值研究的精度所提出的算法求解模型反问题在不同的频率进行，和数据扰动的算法的稳定性问题进行了研究。
2021-02-11 cs.CE cs.NA math.NA
Solving a 1-D inverse medium scattering problem using a new multi-frequency globally strictly convex objective functional
提出利用多频后向散射数据构造全局严格凸目标泛函求解一维逆介质散射问题，基于Carleman估计证明凸性，证明梯度投影算法全局收敛并给出误差估计，模拟数据验证了重构精度。
2019-01-09 cs.NA math.NA
Economic numerical method of solving coefficient inverse problem for 3D wave equation
National Research Nuclear University ’MEPhI’（国立核研究大学）；Federal Research Center ’Computer Science and Control’ of Russian Academy of Sciences, Institute for Systems Analysis（俄罗斯科学院计算机科学与控制中心联邦研究中心系统分析研究所）
本文提出一种经济高效的数值方法，用于求解三维波动方程的系数逆问题，通过引入新的线性三维Fredholm积分方程第一类方程，利用快速傅里叶变换实现高效求解，无需大量计算资源。
2017-03-03 cs.NA math.NA
A novel model reduction method to solve inverse problems of parabolic type
本文提出基于POD的模型降阶方法解决抛物型反问题中的反演犯罪，涵盖反初值与反源问题，在降低正向模型复杂度的同时保证解精度，并证明了收敛性。
2024-06-04 cs.NA math.NA
Discretization of learned NETT regularization for solving inverse problems
基于深度学习的重建方法为解决逆问题提供了出色的结果，因此变得越来越重要。最近发明的一类基于学习的重建方法是所谓的NETT（网络吉洪诺夫正则化），它包含一个经过训练的神经网络作为广义吉洪诺夫正则化中的正则化器。现有的NETT分析考虑了固定算子和固定正则化，并分析了当数据中的噪声水平接近零时的收敛性。在本文中，我们大大扩展了框架和分析，以反映各种实际方面，并考虑到离散化的数据空间，解决方案空间，前向算子和神经网络定义的正则化。我们证明了离散化NETT方法的渐近收敛，以降低噪声水平和离散化误差。此外，我们推导出收敛速度，并提出了一个有限的数据问题的光声层析的数值结果。
2021-11-14 cs.NA math.NA
Sparse aNETT for Solving Inverse Problems with Deep Learning
University of Innsbruck（因斯布鲁克大学）；University of Idaho（爱达荷大学）
我们提出了一个稀疏重建框架（aNETT）求解反问题。相对于现有的稀疏重建技术，是基于线性稀疏化变换，我们训练一个自动编码器网络$D \circ E$与$E$作为一个非线性稀疏化变换和最小化Tikhonov功能与学习正则化形成的编码器系数的$\ell^q$ -范数和惩罚的距离数据流形。我们提出了一种基于底层图像类的样本集训练自动编码器的策略，使得自动编码器独立于前向算子，并且随后适应于特定的前向模型。稀疏视图CT的数值结果，这清楚地表明了可行性，鲁棒性和改进的泛化能力和稳定性的aNETT后处理网络。
2020-04-20 cs.LG cs.NA eess.IV
A Fixed Mesh Method With Immersed Finite Elements for Solving Interface Inverse Problems
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）；Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）
本文提出了一种固定网格方法，结合浸入有限元技术，用于解决一类典型的椭圆界面反问题。该方法将界面反问题转化为形状优化问题，通过在固定网格上使用浸入有限元方法对 governing partial differential equations 和目标函数进行最优离散化，从而实现高效准确的求解。
2018-05-08 cs.NA math.NA
Laplace-fPINNs: Laplace-based fractional physics-informed neural networks for solving forward and inverse problems of subdiffusion
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
本文提出Laplace-fPINNs方法，通过避免引入辅助点和简化损失函数，有效解决了分数阶扩散方程正反问题中自动微分不适用于分数阶导数的挑战。
2023-04-03 cs.LG cs.NA math.NA
Neural operators for solving nonlinear inverse problems
University of Vienna（维也纳大学）；Christian Doppler Laboratory for Mathematical Modeling and Simulation of Next Generations of Ultrasound Devices (MaMSi)（下一代超声设备数学建模与仿真克里斯蒂安·多普勒实验室）
本文研究利用神经算子求解非线性反问题，分析了Tikhonov正则化方法，并扩展了神经算子在Sobolev和Lebesgue空间中的逼近性质，最后通过数值实验验证了方法的有效性。
2026-04-28 cs.NA math.FA math.NA
Recent Trends on Nonlinear Filtering for Inverse Problems
在一类非线性粒子滤波方法中，增强卡尔曼滤波（Enklman Filter，EnKF）因其在求解逆问题中的应用而受到关注。我们回顾了原来的方法，并讨论了最近的发展，特别是在考虑到无限粒子的限制和扩展到稳定性分析和多目标最优化。我们说明了该方法的性能，使用测试反问题从文献中。
2022-04-05 cs.NA math.NA
A Proximal Decomposition Method for Solving Convex Variational Inverse Problems
UPMC Université Paris 06（巴黎第六大学）；Laboratoire Jacques-Louis Lions – UMR 7598（雅克-路易·利翁斯实验室）；Université Paris-Est（巴黎东大学）；Institut Gaspard Monge and UMR CNRS 8049（加斯帕尔·蒙日研究所）
提出一种用于Hilbert空间中多个凸函数和最小化问题的近端分解算法，可处理任意数量的非光滑函数，并证明其收敛性，在信号与图像处理中展示数值应用。
2009-06-23 cs.NA math.NA math.OC
To the numerical solution of the inverse multi-frequency scalar acoustics problem
本文提出了一种求解非均匀介质中声波测深三维标量反问题的新算法。该算法的数据是在非均匀区域外测量的波场的复振幅。对于在平坦层中的数据记录方案，使用傅里叶变换将逆问题归结为求解一组一维第一类弗雷德霍姆积分方程。通过正则化方法求解这些方程，我们计算了非均匀区域中波场的复振幅，然后找到了该区域中所需的声速场。所提出的算法允许我们在几分钟内解决足够精细的三维网格的平均性能（无并行化）的个人计算机上的反问题。我们展示了在一个频率和几个频率同时与所提出的算法的精度的研究模型逆问题的解决结果。我们还研究了数据扰动下算法的数值稳定性问题。
2019-11-24 cs.NA math.NA
Orthogonal Constrained Neural Networks for Solving Structured Inverse Eigenvalue Problems
本文提出了一种名为Stiefel多层感知机（SMLP）的新型无监督神经网络，通过引入Stiefel层确保相似变换的正交性，并利用ReLU处理非负性约束，构建了统一框架以高效精确求解结构化逆特征值问题。
2024-06-28 cs.NA math.NA
An approximate method for solving inverse scattering problem with fixed-energy phase shifts
提出一种近似方法，从所有角动量的固定能量相移中恢复紧支撑球对称势，将逆散射问题简化为数值求解的矩问题。
1999-11-28 cs.NA math-ph math.MP
Extension of Newton-Steffenssen method by Gejji-Jafari decomposition Technique for solving nonlinear equations
本文利用Gejji-Jafari分解技术扩展了Sharma提出的第三阶牛顿-斯蒂芬森方法，通过数值实例展示新方法的效率和性能。
2013-04-25 cs.NA math.NA
NETT: Solving Inverse Problems with Deep Neural Networks
University of Göttingen（哥廷根大学）；University of Innsbruck（因斯布鲁克大学）
从间接测量数据中恢复函数或高维参数向量是各个科学领域的中心任务。几种方法来解决这样的反问题是发达国家和良好的理解。最近，出现了使用深度学习和神经网络解决逆问题的新算法。虽然仍处于起步阶段，但这些技术在低剂量CT或各种稀疏数据问题等应用中表现出惊人的性能。然而，在逆问题中深度学习的理论成果很少。在本文中，我们建立了一个全收敛分析所提出的NETT（网络Tikhonov）方法反问题。NETT考虑具有由训练的神经网络定义的正则化子的小值的数据一致性解决方案。我们推导出适定性结果和定量的误差估计，并提出了一种可能的策略训练正则化。我们的理论结果和框架是不同的，从任何以前的工作使用神经网络解决反问题。提出了一种可能的数据驱动正则化器。数值结果的层析稀疏数据的问题，这表明良好的性能NETT，即使从训练数据的不同类型的未知数。为了得到收敛性和收敛速度的结果，我们引入了一个新的框架的基础上的绝对Bregman距离推广的标准Bregman距离从凸的非凸的情况下。
2019-12-08 cs.LG cs.NA math.NA
Nonlinear Iterative Hard Thresholding for Inverse Scattering
University of Michigan（密歇根大学）
本文提出了一种基于非线性迭代硬阈值化的图像重建算法，用于解决稀疏散射体的反散射问题，并通过相干估计分析了方法的收敛性和误差，与数值模拟进行了比较。
2019-03-22 cs.NA math.NA
Convergence rates of nonlinear inverse problems in Banach spaces: conditional stability and weaker norms
本文给出了求解巴拿赫空间中非线性不适定问题的著名Tikhonov正则化格式的收敛速度。为了得到收敛速度，我们采用了新的光滑的概念，条件稳定估计的较弱的范数。此外，我们证明了我们的结果是适用于两个不适定的反问题。
2022-11-29 cs.NA math.NA
Physics-Informed Deep Inverse Operator Networks for Solving PDE Inverse Problems
Korea Advanced Institute of Science and Technology（韩国科学技术院）；Konkuk University（建国大学）
本文提出物理信息深度逆算子网络（PI-DIONs），通过将反问题稳定性估计扩展到算子学习框架，在无标签数据条件下学习PDE反问题的解算子，并验证了其泛化能力与准确性。
2025-02-07 cs.AI cs.NA math.NA
Novel Deep neural networks for solving Bayesian statistical inverse
George Mason University（乔治梅森大学）；University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校）
本文研究了大规模线性和非线性偏微分方程（PDE）的贝叶斯统计反问题的模拟。马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法是解决此类问题的标准技术。然而，MCMC技术在计算上具有挑战性，因为它们需要数千个正向PDE解。本文的目标是介绍一种基于分数深度神经网络的方法，用于MCMC例程中的正向求解。此外，我们讨论了一些近似误差估计，并通过几个数值例子说明我们的方法的效率。
2021-02-08 cs.LG cs.NA math.NA
An inverse-free fixed-time stable dynamical system and its forward-Euler discretization for solving generalized absolute value equations
School of Mathematics and Computational Science, Xiangtan University（湘潭大学数学与计算科学学院）；School of Mathematics and Statistics, Fujian Normal University（福建师范大学数学与统计学院）；Institute for Optimization and Decision Analytics, Liaoning Technical University（辽宁工业大学优化与决策分析研究所）；School of Mathematical Sciences, Beihang University（北京航空航天大学数学科学学院）
提出无逆固定时间稳定动力系统及前向欧拉离散化迭代方法求解GAVE，前者收敛时间有限且初始点一致有界，后者有限步内全局收敛到解的任意小邻域，数值结果验证有效性。
2025-11-19 cs.NA math.NA math.OC
Normalizing field flows: Solving forward and inverse stochastic differential equations using physics-informed flow models
Shanghai Normal University（上海师范大学）；Tongji University（同济大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
在这项工作中，我们介绍了归一化场流（NFF）学习随机场从分散的测量。更准确地说，我们构建了一个双射变换（一个归一化流表征的神经网络）之间的高斯随机场与Karhunen-Loève（KL）展开结构和目标随机场，其中KL展开系数和可逆网络的训练，通过最大化的对数似然分散的测量。该NFF模型可以在统一的框架下求解数据驱动的正、逆以及正/逆混合随机偏微分方程。我们证明了所提出的NFF模型学习非高斯过程和不同类型的随机偏微分方程的能力。
2021-09-07 cs.LG cs.NA math.NA
Solving Inverse PDE Problems using Minimization Methods and AI
American University of Beirut（贝鲁特美国大学）
本文提出利用物理信息神经网络（PINNs）求解正向和反向偏微分方程问题，通过逻辑方程和孔隙介质方程的案例验证了其在计算成本和解精度上的有效性。
2026-03-03 cs.AI cs.NA math.AP
A data-driven approach to solving a 1D inverse scattering problem
本文将基于ROM的逆散射方法扩展至具有阻抗边界条件的一维Schr{ö}dinger方程，提出免Lanczos正交化的新型数据同化反演方法，并数值验证了其准确性与稳定性。
2023-04-06 cs.NA math-ph math.MP
Solving Inverse Wave Scattering with Deep Learning
Stanford University（斯坦福大学）
本文提出了一种求解二维逆散射中两个经典问题：远场方向图问题和地震成像问题的神经网络方法。逆散射的数学问题是基于介质散射波的边界测量来恢复介质的散射元场，这是一个高维非线性问题。对于圆形实验装置下的远场方向图问题，微扰分析表明，前向映射可以在角方向上用矢量化的卷积算子近似。受此启发和滤波反投影，我们提出了一个有效的神经网络架构的逆映射使用最近推出的BCR-Net以及标准的卷积层。类似的地震成像问题，我们提出了一个类似的神经网络架构下的矩形域设置与深度相关的背景速度。数值结果表明所提出的神经网络的有效性。
2019-11-27 cs.LG cs.NA math.NA
HomPINNs: homotopy physics-informed neural networks for solving the inverse problems of nonlinear differential equations with multiple solutions
Purdue University（普渡大学）；University of Michigan（密歇根大学）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
本文提出同伦物理信息神经网络（HomPINNs），将同伦延拓与神经网络结合，通过同时逼近多解观测数据并追踪识别多个解，有效求解具有多解和未知参数的非线性微分方程反问题，并在一维和二维Gray-Scott模拟中验证了其可扩展性与适应性。
2024-01-17 cs.AI cs.LG cs.NA
A direct method for solving inverse Sturm-Liouville problems
我们考虑两个主要的逆Sturm-Liouville问题：从两个谱或从一个谱密度函数恢复的潜力和边界条件的问题。一个简单的方法为实际解决这类问题的开发，基于嬗变算子的方法，新的Neumann系列的贝塞尔函数表示的解决方案和Gelfand-Levitan方程。该方法允许一个减少逆Sturm-Liouville问题直接到一个系统的线性代数方程，这样的潜力是从第一个元素的解决方案矢量。我们证明了该方法的稳定性，并显示其数值效率与几个数值例子。
2020-11-24 cs.NA math-ph math.CA
Solving an inverse elliptic coefficient problem by convex non-linear semidefinite programming
在医学成像和非破坏性材料测试中的一些应用导致椭圆系数反问题，其中椭圆PDE中的未知系数函数将从其解的部分知识确定。这通常是一个高度非线性的不适定反问题，对于这种问题，数值方法很难得到唯一的可重构结果、稳定性估计和整体收敛。本说明的目的是指出反系数问题和半定规划之间的新联系，这可能有助于解决这些挑战。我们证明了具有多个测量的椭圆Robin传输逆问题可以等价地改写为一个唯一可解的凸非线性半定最优化问题。这允许显式地估计实现所需分辨率所需的测量的数量，以导出噪声数据的误差估计，并克服通常出现在用于逆系数问题的基于优化的方法中的局部最小值的问题。
2021-05-24 cs.NA math.AP math.NA
Optimized sparse approximate inverse smoothers for solving Laplacian linear systems
本文提出并分析了一种新的高效稀疏近似逆（SPAI）平滑器，用于求解二维和三维Laplacian线性系的几何多重网格方法.局部傅里叶分析表明，我们提出的2D SPAI平滑器实现了比[Bolten，M.，Huckle，T.K.和克拉夫瓦里蒂斯，C.D.，2016.多重网格法的稀疏矩阵逼近。线性代数及其应用，502，第58 -76页。所提出的SPAI平滑器的3D情况下提供了更小的最佳平滑因子比加权雅可比平滑器。数值结果验证了我们的理论结论，并说明了我们提出的SPAI平滑的高效率和高效果。这种SPAI平滑器具有固有并行性的优点。用于实现我们提出的算法的MATLAB代码可在http://github.com/junliu2050/SPAI-MG-Laplacian在线公开获得。
2022-06-11 cs.DC cs.NA math.NA
Solving Inverse Problems for Steady-State Equations using A Multiple Criteria Model with Collage Distance, Entropy, and Sparsity
在本文中，我们扩展了以前的方法来解决反问题的稳态状态方程使用广义拼贴定理通过寻找一个近似，不仅最小化拼贴误差，但也最大化的熵和最小化的稀疏性。在这个扩展公式中，参数估计最小化问题可以被理解为一个多准则问题，有三个不同的和相互冲突的标准：广义拼贴误差，熵与未知参数，和未知参数集的稀疏性。我们实现了一个标量化技术，减少了多个标准的程序到一个单一的标准，通过结合所有的目标函数与不同的权衡权重。数值例子证实，拼贴方法产生良好的，但次优的结果。一个相对较低的加权熵项允许更好的近似，而稀疏项降低了解决方案的复杂性方面的元素在基础上。
2019-11-07 cs.NA math.NA math.OC
A transmutation operator method for solving the inverse quantum scattering problem
研究了扰动贝塞尔方程的量子逆散射问题。提出了一种直接而实用的求解方法。它允许一个减少反问题的线性代数方程组的系统，和潜在的恢复从系统的解向量的第一个组成部分。该方法是基于一个特殊形式的傅里叶-雅可比级数表示的嬗变算子内核和Gelfand-Levitan方程，用于获得线性代数方程组的系统。证明了该方法的收敛性和稳定性以及截断系统解的存在唯一性。讨论了该方法的数值实现。数值试验结果表明，该方法具有较高的精度和稳定性。
2020-09-23 cs.NA math-ph math.CA
Solving Inverse Acoustic Obstacle Scattering Problem with Phaseless Far-Field Measurement Using Deep Neural Network Surrogates
本研究提出用深度神经网络作为代理模型求解无相远场测量下的声学障碍物逆散射问题，建立了ReLU全连接网络的逼近表达速率，验证了其在贝叶斯反演中可显著加速后验分布探索。
2025-09-05 cs.NA math.AP math.NA
Physics-informed neural networks for solving forward and inverse problems in complex beam systems
Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）
本文提出利用物理信息神经网络求解基于欧拉-伯努利和铁木辛柯理论的单梁及温克勒地基连接双梁系统的正反问题，正问题误差低于1e-3%，反问题在含噪声数据下仍能稳健识别未知参数和外力。
2023-08-29 cs.LG cs.NA math.NA
Solving the inverse potential problem in the parabolic equation by the deep neural networks method
本文提出用深度神经网络参数化抛物型方程反位势问题中的未知位势，设计带PDE残差导数和测量数据正则化项的新损失函数以克服不适定性，并严格证明了唯一性与泛化误差估计，最终给出数值算法和结果验证。
2023-07-08 cs.NA math-ph math.MP
Solving the multi-frequency electromagnetic inverse source problem by the Fourier method
School of Mathematics, Jilin University（吉林大学数学学院）；Department of Mathematics, Harbin Institute of Technology（哈尔滨工业大学数学系）；Department of Mathematics, Southern University of Science and Technology（南方科技大学数学系）
本文提出基于傅里叶方法和极化向量分解的新型方法，用于求解时谐麦克斯韦方程组的源分布反问题，并通过数学证明和数值实验验证了方法的有效性。
2017-08-02 cs.NA math-ph math.AP
Nonlinearity helps the convergence of the inverse Born series
本研究在前期标量波动方程逆Born级数收敛性研究基础上，证明已知线性项系数时，小数据下可重构任意强度Kerr非线性，且一般多项式非线性也有类似收敛结果，并用数值算例验证。
2024-10-07 cs.NA math-ph math.MP
