Method of training examples in solving inverse ill-posed problems of spectroscopy
本文提出利用模型示例估算截断参数的方法，改进了求解反问题的计算实验方法，提高了正则化参数选择的准确性。
2015-09-20 cs.NA math.NA
Finite element interpolated neural networks for solving forward and inverse problems
本研究提出将神经网络插值到有限元空间的通用框架，解决偏微分方程约束的正反问题相关挑战，实验验证其泛化性优于有限元解，还提出带初始拟合的单循环反问题求解器。
2023-10-10 cs.NA math.NA
Inverse Scattering for Dirac Equations Arising in Waveguide Arrays
Yale University（耶鲁大学）；Tsinghua University（清华大学）
研究导波阵列连续模型中狄拉克方程的反散射问题，建立正向模型的适定性，发展反Born级数和简化反Born级数，分析收敛性与误差估计，通过数值实验验证算法有效性。
2026-05-02 cs.NA math.NA
Big in Japan: Regularizing networks for solving inverse problems
深度学习和（深度）神经网络是解决逆问题和图像重建任务的新兴工具。尽管神经网络具有出色的性能，但其用于求解反问题的数学分析大多缺失。在本文中，我们引入并严格分析了$B_α+ N_{θ(α)} B_α$形式的深度正则化神经网络（RegNets）家族，其中$B_α$是经典正则化，网络$N_{θ(α)} B_α$经过训练，可以恢复经典正则化未找到的缺失部分$\operatorname{Id}_X - B_α$。我们表明，这些正则化网络产生一个收敛的正则化方法求解反问题。此外，我们推导出收敛速度（定量误差估计）假设一个足够的衰减相关的距离函数。我们证明，我们的结果恢复现有的收敛性和收敛速度的结果，基于过滤器的正则化方法，以及最近推出的零空间网络作为特殊情况。对一个层析稀疏数据问题的数值结果表明，所提出的RegNets改进了经典正则化方法和零空间网络.
2019-09-28 cs.NA math.NA
Numerical results of solving 3D inverse scattering problem with non-over-determined data
Kansas State University（堪萨斯州立大学）
本文基于非过定散射数据，提出求解三维反散射问题的数值方法，并展示计算结果。
2017-01-31 cs.NA math.NA
L1 scheme for solving an inverse problem subject to a fractional diffusion equation
研究了一类时间分数阶扩散方程反问题的时间离散化。首先，证明了具有谱角$< π/2 $的任意扇形算子的L1格式的收敛性，即对于某些$ π/2 < θ< π$，该算子的预解集包含$ \{z\in\mathbb C\setminus\{0\}:\ |\operatorname{Arg} z|< θ\}$.时间分数阶数$α\in (0, 1)$和误差估计中的常数之间的关系被精确地表征，揭示了L1方案在$ α$接近$ 1 $时是鲁棒的。然后分析了一类分数阶扩散方程的反问题，并给出了该反问题时间离散化的收敛性分析。最后，数值结果证实了理论结果。
2022-01-06 cs.NA math.NA
Solving a 1-D inverse medium scattering problem using a new multi-frequency globally strictly convex objective functional
提出利用多频后向散射数据构造全局严格凸目标泛函求解一维逆介质散射问题，基于Carleman估计证明凸性，证明梯度投影算法全局收敛并给出误差估计，模拟数据验证了重构精度。
2019-01-09 cs.NA math.NA
A study of the inverse scattering problem for the reconstruction of the shape and/or impedance of an obstacle
三篇论文描述了不同的方法来解决逆散射问题的形状和/或阻抗的障碍物的重建已被选择进行分析。该文献综述包括对这些方法的评估，其中比较了假设、条件、优点、缺点、准确性和适用性。
2022-10-19 cs.NA math.NA
Nonlinear Iterative Hard Thresholding for Inverse Scattering
University of Michigan（密歇根大学）
本文提出了一种基于非线性迭代硬阈值化的图像重建算法，用于解决稀疏散射体的反散射问题，并通过相干估计分析了方法的收敛性和误差，与数值模拟进行了比较。
2019-03-22 cs.NA math.NA
Economic numerical method of solving coefficient inverse problem for 3D wave equation
National Research Nuclear University ’MEPhI’（国立核研究大学）；Federal Research Center ’Computer Science and Control’ of Russian Academy of Sciences, Institute for Systems Analysis（俄罗斯科学院计算机科学与控制中心联邦研究中心系统分析研究所）
本文提出一种经济高效的数值方法，用于求解三维波动方程的系数逆问题，通过引入新的线性三维Fredholm积分方程第一类方程，利用快速傅里叶变换实现高效求解，无需大量计算资源。
2017-03-03 cs.NA math.NA
A fast algorithm for solving a three-dimensional inverse multiple frequency problems of scalar acoustics in a cylindrical region
本文提出了一种求解圆柱形区域内非均匀介质声测深三维标量反问题稳定解的新算法。问题的数据是波场的复振幅，在圆柱形层中的声学不均匀性区域之外测量。利用傅里叶变换和傅里叶级数，将反问题归结为求解一组一维第一类弗雷德霍姆积分方程，进而计算非均匀区域波场的复振幅，进而求出该区域所需的声速场。该算法允许在个人计算机上的平均性能足够精细的三维网格在几十秒内解决反问题。数值研究的精度所提出的算法求解模型反问题在不同的频率进行，和数据扰动的算法的稳定性问题进行了研究。
2021-02-11 cs.CE cs.NA math.NA
Scattering and inverse scattering for the AKNS system: A rational function approach
我们考虑使用有理基函数来计算与AKNS系统相关的散射和逆散射变换。所提出的数值前向散射变换计算在整个实轴上有效的AKNS系统的解，从而通过求解单个线性系来计算在一点处的反射系数。建议的数值逆散射变换利用一个新的改进的有理函数的方法振荡柯西算子，使有效解某些黎曼-希尔伯特问题没有轮廓变形。后者的发展使访问高精度的计算，这是证明了一维薛定谔算子与$\mathrm{sech}^2$潜在的逆散射变换。
2021-07-01 cs.NA math.NA nlin.SI
Laplace-fPINNs: Laplace-based fractional physics-informed neural networks for solving forward and inverse problems of subdiffusion
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
本文提出Laplace-fPINNs方法，通过避免引入辅助点和简化损失函数，有效解决了分数阶扩散方程正反问题中自动微分不适用于分数阶导数的挑战。
2023-04-03 cs.LG cs.NA math.NA
Neural operators for solving nonlinear inverse problems
University of Vienna（维也纳大学）；Christian Doppler Laboratory for Mathematical Modeling and Simulation of Next Generations of Ultrasound Devices (MaMSi)（下一代超声设备数学建模与仿真克里斯蒂安·多普勒实验室）
本文研究利用神经算子求解非线性反问题，分析了Tikhonov正则化方法，并扩展了神经算子在Sobolev和Lebesgue空间中的逼近性质，最后通过数值实验验证了方法的有效性。
2026-04-28 cs.NA math.FA math.NA
A Proximal Decomposition Method for Solving Convex Variational Inverse Problems
UPMC Université Paris 06（巴黎第六大学）；Laboratoire Jacques-Louis Lions – UMR 7598（雅克-路易·利翁斯实验室）；Université Paris-Est（巴黎东大学）；Institut Gaspard Monge and UMR CNRS 8049（加斯帕尔·蒙日研究所）
提出一种用于Hilbert空间中多个凸函数和最小化问题的近端分解算法，可处理任意数量的非光滑函数，并证明其收敛性，在信号与图像处理中展示数值应用。
2009-06-23 cs.NA math.NA math.OC
Approximation of the inverse scattering Steklov eigenvalues and the inverse spectral problem
本文研究了声逆散射中Steklov本征值问题的数值逼近。基本的散射问题是一个非均匀的各向同性介质。这些特征值已被提议用作目标特征，因为它们可以从散射数据中恢复。研究了一种以拉普拉斯算子的Neumann本征函数为基函数的Galerkin方法。利用外尔定律证明了特征值和特征函数的误差估计。我们将测试这种方法对分离变量，以验证理论收敛。我们还考虑了逆谱问题的估计/恢复的折射率的知识的Steklov特征值。由于特征值相对于实值折射率是单调的，这意味着它们可以用于无损检测。最后给出了一些数值算例。
2021-04-19 cs.NA math.AP math.NA
NETT: Solving Inverse Problems with Deep Neural Networks
University of Göttingen（哥廷根大学）；University of Innsbruck（因斯布鲁克大学）
从间接测量数据中恢复函数或高维参数向量是各个科学领域的中心任务。几种方法来解决这样的反问题是发达国家和良好的理解。最近，出现了使用深度学习和神经网络解决逆问题的新算法。虽然仍处于起步阶段，但这些技术在低剂量CT或各种稀疏数据问题等应用中表现出惊人的性能。然而，在逆问题中深度学习的理论成果很少。在本文中，我们建立了一个全收敛分析所提出的NETT（网络Tikhonov）方法反问题。NETT考虑具有由训练的神经网络定义的正则化子的小值的数据一致性解决方案。我们推导出适定性结果和定量的误差估计，并提出了一种可能的策略训练正则化。我们的理论结果和框架是不同的，从任何以前的工作使用神经网络解决反问题。提出了一种可能的数据驱动正则化器。数值结果的层析稀疏数据的问题，这表明良好的性能NETT，即使从训练数据的不同类型的未知数。为了得到收敛性和收敛速度的结果，我们引入了一个新的框架的基础上的绝对Bregman距离推广的标准Bregman距离从凸的非凸的情况下。
2019-12-08 cs.LG cs.NA math.NA
High-frequency limit of the inverse scattering problem: asymptotic convergence from inverse Helmholtz to inverse Liouville
本文研究了以Helmholtz方程和辐射传输方程为物理模型的反问题在高频极限下的渐近关系。特别地，我们评估了基于Helmholtz方程的广义逆散射问题的渐近收敛到Liouville方程的逆散射问题（RTE的简化版本）。这两个逆问题通过Wigner变换和Husimi变换连接，Wigner变换将物理空间上的波型描述转换为相空间上的动力学型描述，Husimi变换对位置和方向上的数据进行建模。这一发现表明，碰撞紧密集中的单色光束确实可以提供稳定的重建介质，渐近在高频制度。这一事实与经典逆散射问题在探测信号为平面波时的不稳定重建形成了鲜明的对比。
2022-08-09 cs.NA math-ph math.MP
An approximate method for solving inverse scattering problem with fixed-energy phase shifts
提出一种近似方法，从所有角动量的固定能量相移中恢复紧支撑球对称势，将逆散射问题简化为数值求解的矩问题。
1999-11-28 cs.NA math-ph math.MP
On the recovery of two function-valued coefficients in the Helmholtz equation for inverse scattering problems via inverse Born series
本文提出正则化逆 Born 级数，利用双频散射数据同时恢复 Helmholtz 方程的两个函数值系数，并分析其收敛性与误差，数值验证了介质恢复能力。
2025-03-15 cs.NA math-ph math.MP
Novel Deep neural networks for solving Bayesian statistical inverse
George Mason University（乔治梅森大学）；University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校）
本文研究了大规模线性和非线性偏微分方程（PDE）的贝叶斯统计反问题的模拟。马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法是解决此类问题的标准技术。然而，MCMC技术在计算上具有挑战性，因为它们需要数千个正向PDE解。本文的目标是介绍一种基于分数深度神经网络的方法，用于MCMC例程中的正向求解。此外，我们讨论了一些近似误差估计，并通过几个数值例子说明我们的方法的效率。
2021-02-08 cs.LG cs.NA math.NA
Computational inverse scattering with internal sources: a reproducing kernel Hilbert space approach
本文提出一种基于内部源逆散射问题和再生核希尔伯特空间理论，结合正则化重建非均匀介质散射势的方法，数值实验验证了其有效性。
2024-07-17 cs.NA math-ph math.MP
A data-driven approach to solving a 1D inverse scattering problem
本文将基于ROM的逆散射方法扩展至具有阻抗边界条件的一维Schr{ö}dinger方程，提出免Lanczos正交化的新型数据同化反演方法，并数值验证了其准确性与稳定性。
2023-04-06 cs.NA math-ph math.MP
Solving Inverse Wave Scattering with Deep Learning
Stanford University（斯坦福大学）
本文提出了一种求解二维逆散射中两个经典问题：远场方向图问题和地震成像问题的神经网络方法。逆散射的数学问题是基于介质散射波的边界测量来恢复介质的散射元场，这是一个高维非线性问题。对于圆形实验装置下的远场方向图问题，微扰分析表明，前向映射可以在角方向上用矢量化的卷积算子近似。受此启发和滤波反投影，我们提出了一个有效的神经网络架构的逆映射使用最近推出的BCR-Net以及标准的卷积层。类似的地震成像问题，我们提出了一个类似的神经网络架构下的矩形域设置与深度相关的背景速度。数值结果表明所提出的神经网络的有效性。
2019-11-27 cs.LG cs.NA math.NA
HomPINNs: homotopy physics-informed neural networks for solving the inverse problems of nonlinear differential equations with multiple solutions
Purdue University（普渡大学）；University of Michigan（密歇根大学）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
本文提出同伦物理信息神经网络（HomPINNs），将同伦延拓与神经网络结合，通过同时逼近多解观测数据并追踪识别多个解，有效求解具有多解和未知参数的非线性微分方程反问题，并在一维和二维Gray-Scott模拟中验证了其可扩展性与适应性。
2024-01-17 cs.AI cs.LG cs.NA
Solving Inverse PDE Problems using Minimization Methods and AI
American University of Beirut（贝鲁特美国大学）
本文提出利用物理信息神经网络（PINNs）求解正向和反向偏微分方程问题，通过逻辑方程和孔隙介质方程的案例验证了其在计算成本和解精度上的有效性。
2026-03-03 cs.AI cs.NA math.AP
Solving an inverse elliptic coefficient problem by convex non-linear semidefinite programming
在医学成像和非破坏性材料测试中的一些应用导致椭圆系数反问题，其中椭圆PDE中的未知系数函数将从其解的部分知识确定。这通常是一个高度非线性的不适定反问题，对于这种问题，数值方法很难得到唯一的可重构结果、稳定性估计和整体收敛。本说明的目的是指出反系数问题和半定规划之间的新联系，这可能有助于解决这些挑战。我们证明了具有多个测量的椭圆Robin传输逆问题可以等价地改写为一个唯一可解的凸非线性半定最优化问题。这允许显式地估计实现所需分辨率所需的测量的数量，以导出噪声数据的误差估计，并克服通常出现在用于逆系数问题的基于优化的方法中的局部最小值的问题。
2021-05-24 cs.NA math.AP math.NA
A direct method for solving inverse Sturm-Liouville problems
我们考虑两个主要的逆Sturm-Liouville问题：从两个谱或从一个谱密度函数恢复的潜力和边界条件的问题。一个简单的方法为实际解决这类问题的开发，基于嬗变算子的方法，新的Neumann系列的贝塞尔函数表示的解决方案和Gelfand-Levitan方程。该方法允许一个减少逆Sturm-Liouville问题直接到一个系统的线性代数方程，这样的潜力是从第一个元素的解决方案矢量。我们证明了该方法的稳定性，并显示其数值效率与几个数值例子。
2020-11-24 cs.NA math-ph math.CA
A transmutation operator method for solving the inverse quantum scattering problem
研究了扰动贝塞尔方程的量子逆散射问题。提出了一种直接而实用的求解方法。它允许一个减少反问题的线性代数方程组的系统，和潜在的恢复从系统的解向量的第一个组成部分。该方法是基于一个特殊形式的傅里叶-雅可比级数表示的嬗变算子内核和Gelfand-Levitan方程，用于获得线性代数方程组的系统。证明了该方法的收敛性和稳定性以及截断系统解的存在唯一性。讨论了该方法的数值实现。数值试验结果表明，该方法具有较高的精度和稳定性。
2020-09-23 cs.NA math-ph math.CA
