The characterization for the sobriety of $L$-convex spaces
以交换整量子化格 $L$ 为真值表，研究分层 $L$-凸空间 sober 性的刻画，证明 sober 化等价于拟同胚存在，且 sober 性等价于在分层 $S_0$ $L$-凸空间范畴中为严格内射对象。
2024-10-13 math.CT math.GN
Smyth power space of a co-sober space is not always co-sober
Minnan Normal University（闽南师范大学）；Guangxi University（广西大学）
该研究构造了一个反例，证明余清醒空间的Smyth幂空间未必是余清醒空间，否定了相关开放问题。
2026-08-04 math.GN
On some kinds of weakly sober spaces
在\cite{E_2018}中，Erné放宽了清醒度的概念，以便将清醒空间和局部超紧空间的理论扩展到定向连接缺失的情况，并引入了三种非清醒空间：割空间，弱清醒空间和拟清醒空间。本文研究了它们的基本性质。结果表明，一些性质是类似的清醒的空间保持和其他不成立。
2019-07-15 math.GN
On Function Spaces Related to H-sober Spaces
本文主要研究与H-清醒空间相关的函数空间。对于不可约子集系H和$T_{0}$空间$X$和$Y$，证明了$Y$是H-sober的当且仅当所有连续函数$f : X\longrightarrow Y$的函数空间$\mathbb{C}(X, Y)$具有点式收敛拓扑且当且仅当函数空间$\mathbb{C}(X, Y)$具有Isbell拓扑且H-sober.一个直接的推论是，对于$T_{0}$空间$X$，$Y$是清醒空间（分别地，$d$ -空间，良滤空间）当且仅当具有点式收敛拓扑拓扑的函数空间$\mathbb{C}(X, Y)$是sober空间（相应地，$d$ -空间，良滤空间）当且仅当具有Isbell拓扑的函数空间$\mathbb{C}(X, Y)$是sober空间（即，$d$ -空间，良好过滤的空间）。证明了$T_{0}$空间$X$和$Y$，若函数空间$\mathbb{C}(X, Y)$具有紧开拓扑，则$Y$是H-清醒的.讨论了具有Scott拓扑的函数空间$\mathbb{C}(X, Y)$.
2022-04-19 math.GN
Products of two sober dcpo's need not be sober
Hunan University（湖南大学）；Yancheng Teachers University（盐城师范学院）；National Institute of Education, Nanyang Technological University（南洋理工大学国立教育学院）
本文通过构造反例证明两个 sober dcpo 的乘积未必是 sober，并在特定条件下证明其 Scott 空间为 sober。
2025-12-22 math.GN
A class of compact subsets for non-sober topological spaces
定义了拓扑空间的一类子集，当空间是sober时，这类子集与紧饱和子集类重合，而当空间不是sober时，这类子集具有足够好的性质。本课程特别针对容量理论的应用而介绍。
2011-06-18 math.GN
Products of co-sober spaces need not be co-sober
Nanchang Institute of Technology（南昌工程学院）；Guilin University of Technology（桂林理工大学）
该研究否定了共 sober 空间的乘积必为共 sober 的猜想，通过构造特定空间给出反例，还为共 sober 空间在 T₀ 空间范畴内的非反射性提供了新证明。
2026-10-14 math.GN
Some open problems on well-filtered spaces and sober spaces
在过去的几年里，关于清醒空间和良好过滤空间的研究取得了一些突破性的进展。在本文中，我们将提出一个简短的总结调查的一些这样的发展。此外，我们将提出和说明一些开放的问题，良好过滤空间和清醒的空间。
2020-05-01 math.GN
The product of two Scott sober complete lattices is not always Scott sober
School of Sciences, Southwest Petroleum University（西南石油大学理学院）
本文构造两个 Scott sober 完备格，证明其乘积的 Scott 空间非 sober，从而回答 Miao 等人提出的问题。
2026-10-14 math.GN
On some open problems concerning strong d-spaces and super H-sober spaces
在本文中，我们强调了徐和赵所提出的一些开放性问题。特别地，我们专注于强$d$ -空间和回答两个开放的问题，有关强$d$ -空间。一个是关于任意强$d$ -空间族的乘积空间。另一个是关于强$d$ -空间范畴$\mathbf{S}$ - $\mathbf{Top}_{d}$的反射性。同时，对于不可约子集系统（简称$R$ -子集系统）$\mathrm{H}$和$T_{0}$空间$X$，证明了$\mathrm{H}$自然满足性质$M$ .在此基础上，我们推出了$X$是超$\mathrm{H}$ -清醒的当且仅当$X$是$\mathrm{H}$ -清醒的且$\mathrm{H}$满足性质$Q$ .并对徐在\cite{Xiaoquan21}中提出的一些问题作了肯定的回答。进一步得到了超清醒空间的有限积是超清醒的。
2021-09-23 math.GN
Not every countable complete lattice is sober
在Domain理论中，Scott空间的清醒性研究已经有了较长的历史。Lawson和Hoffmann分别证明了每个连续有向完备偏序集（通常称为Domain）的Scott空间是sober的。Johnstone构造了第一个Scott空间是非清醒的有向完备偏序集。不久之后，Isbell给出了一个具有非清醒Scott空间的完全格。在Isbell例子的基础上，Xu，Xi和Zhao证明了甚至存在一个完备的Heyting代数，其Scott空间是非sober的。阿希姆·荣格接着提出了一个问题：是否每一个可数的完全格都有一个清醒的斯科特空间。设$ΣP$是偏序集$P$的Scott空间.证明了如果偏序集$P$和$Q$的所有非平凡理想的集合$Id(P)$和$Id(Q)$都是可数的，则乘积空间$ΣP\times ΣQ$的拓扑与乘积偏序集$P\times Q$上的Scott拓扑重合.在此基础上，我们得到了有向完备偏序集$P$有一个清醒的Scott空间，如果$Id(P)$是可数的，并且空间$ΣP$是凝聚的和良好滤子的.因此，具有$Id(L)$可数的完全格$L$具有清醒的Scott空间。利用所得结果，构造了一个Scott空间为非清醒的可数完全格，从而否定了Jung问题.
2022-04-30 math.GN
A complete Heyting algebra whose Scott space is non-sober
证明了：（1）对任意完全格$L$，$L$的Scott空间的所有非空饱和紧子集的集合$\mathcal{D}(L)$是完备Heyting代数（包含序相反）;（2）若完全格$L$的Scott空间是非sober的，则$\mathcal{D}(L)$的Scott空间是非sober的.利用这些结果和Isbell关于非sober完全格的例子，我们推出了存在一个完全Heyting代数，它的Scott空间是非sober的，从而肯定地回答了Jung提出的一个问题.我们还将证明一个$T_0$空间是良滤的当且仅当它的上空间（$X$的所有非空饱和紧子集的集合$\mathcal{D}(X)$都具有Vietoris上拓扑）是良滤的，这回答了另一个公开问题.
2019-03-02 math.GN
A countable metric space whose Hoare power space is not co-sober
Minnan Normal University（闽南师范大学）；Guilin University of Technology（桂林理工大学）
本文构造了一个可数零维度量空间，其Hoare幂空间不是co-sober，从而否定了Xu及He和Zhao的相关猜想，并建立了Hoare幂空间co-sober性与Scott空间sober性的等价条件。
2026-10-06 math.GN
A Few Projective Classes of (Non-Hausdorff) Topological Spaces
本文研究非豪斯多夫拓扑空间中若干类的投射性，证明相干sober空间、紧相干sober空间及（局部）强sober空间构成投射类，而大多数局部紧空间类甚至不是ω-投射的。
2024-07-04 math.GN
On topological Rudin's lemma, well-filtered spaces and sober spaces
基于拓扑Rudin引理，研究了$T_0$拓扑空间中的两类新的集合-- Rudin集和良滤确定集.使用这样的集合，我们制定和证明了一些新的刻画良好的过滤空间和清醒的空间。部分作品的灵感来自于Xi和Lawson关于良好过滤空间的工作。我们的研究还引出了一类新的空间--强$d$ -空间和一些问题，它们的解决将加强我们对相关结构的理解。
2019-11-25 math.GN
When do weakly first-countable spaces and the Scott topology of open set lattice become sober?
本文研究弱第一可数空间的sober性，给出开集格Scott拓扑为sober空间的充分条件，并建立Fréchet空间条件下偏序集乘积、$ω$-良滤凝聚$d$-空间及$ω$型P-空间/协调Wilker空间的相关sober性结论。
2025-04-08 math.GN
Applications of sequential spaces to Smyth power spaces and sober spaces
School of Sciences, Southwest Petroleum University（西南石油大学理学院）
本文研究比Frechet-Urysohn空间更弱的序贯空间，证明了在特定条件下良滤空间的Scott拓扑与上Vietoris拓扑一致，以及ω-良滤coherent d-空间的sober性。
2026-09-24 math.GN
The complete Boolean algebra of regular open sets in real line is not sober
本文针对Xu和Zhao提出的开放问题，证明了实直线上正则开集构成的完全布尔代数$\text{RO}(\bbR)$的Scott空间不是清醒的，给出该问题的否定答案。
2026-08-04 math.GN
School of Mathematics and Statistics, Guilin University of Technology, Guilin 541004, ChinaScott spaces of complete Boolean algebras need not be co-sober
School of Mathematics and Statistics, Guilin University of Technology（桂林理工大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics, Minnan Normal University（闽南师范大学数学与统计学院）
本文通过构造嵌入与实例，证明完备布尔代数的Scott空间未必是co-sober的，否定了相关公开问题，同时验证了对应空间的非可定义性与良滤性。
2026-08-11 math.GN
Topological representations for frame-valued domains via $L$-sobriety
本文以 frame $L$ 为真值表，引入局部超紧及强局部超紧 $L$-拓扑空间，借助 $L$-sobriety 表示连续与代数 $L$-dcpo，并建立相关范畴同构及定向完备化应用。
2024-08-08 math.GN
Sober metric approach spaces
证明了度量空间作为逼近空间是sober的当且仅当它是Smyth完备的。
2017-06-18 math.CT math.GN
Sobriety of Regular Open Algebras in Second-Countable T3 Spaces
Yancheng Teachers University（盐城师范学院）；Beijing University of Posts and Telecommunications（北京邮电大学）；National Institute of Education, Nanyang Technological University（南洋理工大学国立教育学院）
该研究针对第二可数T3空间，揭示正则开代数RO(X)的Scott空间为sober的充要条件，由此解答完全布尔代数sober性的公开问题，并提供构造非sober完全格的系统方法。
2026-08-13 math.GN
On open well-filtered spaces
本文引入开良滤空间，证明良滤空间皆为开良滤空间，且核紧的开良滤空间是 sober 的，从而以更直接的方法肯定回答了贾和容的开放问题。
2020-12-17 math.GN
On Weakly Hausdorff Spaces and Locally Strongly Sober Spaces
我们证明了局部强清醒空间正是在Keimel和Lawson意义下弱Hausdorff的凝聚清醒空间。这使我们能够明确地描述他们的石头。作为另一个应用，我们证明了弱Hausdorff性是透镜和拟透镜形成同胚空间的充分条件，推广了以前已知的结果。
2022-11-22 cs.LO math.GN
Sober topological spaces valued in a quantale
通过一个Quantale模范畴和一个Quantale值拓扑空间范畴之间的连接，将清醒性的概念推广到了值为交换和酉Quantale的拓扑空间.研究了此类空间与基于平坦理想的量子值域之间的关系。
2021-09-14 math.CT math.GN
Domain-complete and LCS-complete spaces
我们研究连续dcpos的$G_δ$子空间，我们称之为域完备空间，和局部紧sober空间的$G_δ$子空间，我们称之为LCS完备空间。这些空间包括所有局部紧的sober空间--特别是所有连续的dcpos空间--，所有Čech意义下的拓扑完备空间，以及所有拟波兰空间--特别是所有波兰空间。我们证明了LCS-完备空间是sober、Wilker、紧Choquet-完备、完全Baire和$\odot$ -辅音-特别是辅音空间;域完备）空间是准波兰空间;并且可度量的LCS完备（分别，域完备空间是完全可度量化的空间。我们包括两个应用程序：在LCS-完备空间上，所有的连续赋值都扩张到测度上，并且次线性预影形成了一个与连续赋值空间的凸Hoare幂域同胚的空间。
2019-02-28 math.GN
On Scott power spaces
本文主要讨论Scott幂空间的一些基本性质。对于$T_0$空间$X$，设$\mathsf{K}(X)$是$X$的所有非空紧饱和子集的偏序集，赋予Smyth序。证明了良滤空间$X$的Scott幂空间$Σ\mathsf{K}(X)$仍然是良滤的，$T_0$空间$Y$是良滤的当且仅当$Σ\mathsf{K}(Y)$是良滤的，并且上Vietoris拓扑比$\mathsf{K}(Y)$上的Scott拓扑粗.一个清醒的空间是为它的斯科特权力空间是不清醒的。给出了Scott幂空间是清醒的几个充分条件。研究了Smyth幂空间和Scott幂空间的局部紧性、第一可数性、Rudin性和良滤决定性等性质。
2022-07-05 math.GN
On $T_0$ spaces determined by well-filtered spaces
本文首先引入并研究了$T_0$空间中两类新的子集-- Rudin集和介于有向子集的所有闭包类与不可约闭子集的所有闭包类之间的$\wdd$集。利用这些子集，我们定义了三种新的拓扑空间-- $\mathsf{DC}$空间，Rudin空间和$\wdd$空间. Rudin空间类介于$\wdd$空间类和$\dc$空间类之间，而$\dc$空间类介于Rudin空间类和sober空间类之间。利用Rudin集和$\wdd$集，我们给出并证明了良滤空间和sober空间的一些新的刻画.对于$T_0$空间$X$，证明了$X$是sober的，如果{} fPDMATHABMQ是良滤Rudin空间，如果{} fPDMATHABMQ是良滤$\mathsf{WD}$空间.证明了每个局部紧$T_0$空间是Rudin空间，每个核紧$T_0$空间是$\wdd$空间.一个直接的推论是，每一个核心紧凑过滤良好的空间是清醒的，给一个肯定的答案贾荣问题。使用$\wdd$集，我们给出了$T_0$空间的良好过滤反射的更直接的构造，并证明任何良好过滤空间集合的积都是良好过滤的。我们的研究也引出了一些问题，这些问题的回答将加深我们对相关空间和结构的理解。
2019-09-20 math.GN
Xi-Zhao Model Preserves WD Spaces
本文研究Xi-Zhao dcpo模型对WD空间的保持性，证明了$T_1$空间$X$是WD空间当且仅当其Scott空间$\Sigma\hat{P}$是WD空间，并引入H-模型空间概念，提供一般框架证明此类空间可被Xi-Zhao模型保持。
2023-11-14 math.GN
$PF$-well-filtered spaces
Hunan University（湖南大学）；Qufu Normal University（曲阜师范大学）
本文解决拓扑空间良滤性的两个公开问题，否定了上空间开良滤则原空间开良滤的猜想，肯定了局部紧下$PF$-良滤性与$PF$-清醒性等价，还得到相关刻画及函数空间性质等结果。
2026-10-16 math.GN
Faithfulness of Directed Complete Posets based on Scott Closed Set Lattices
Thron证明了拓扑空间$X$具有如下性质：$C(X)$同构于$C(Y)$，蕴含$X$同胚于$Y$当且仅当$X$是sober且$T_D$，其中$C(X)$和$C(Y)$分别表示$X$和$T_0$空间$Y$的闭集格。当我们考虑dcpos（有向完备偏序集）配备了它们的Scott拓扑时，一个类似的问题出现了：哪些dcpos $P$具有这样的性质：对于任何dcpo PDMATHAMT，$C_σ(P)$同构于$C_σ(Q)$意味着$P$同构于PDMATHAMT（这样的dcpo $P$将被称为Scott闭集格忠实，或简称为SCL忠实）？这里，$C_σ(P)$和$C_σ(Q)$分别表示$P$和$Q$的Scott闭集的格。根据$C_σ(P)$对连续（拟连续）dcpo的刻画，可以很容易地推导出每个连续（拟连续）dcpo都是SCL-忠实的。注意，每个连续（拟连续）dcpo的Scott空间是sober的。与Thron的结果相比，人们自然会问是否每个SCL忠实的dcpo都是清醒的（使用Scott拓扑）。本文证明了某些dcpos类是SCL-忠实的，这些类包含某些dcpos类的Scott拓扑不是有界的。这些结果将有助于在未来获得一个完整的描述SCL忠实dcpos。
2016-07-13 math.GN
A Hofmann-Mislove theorem for $c$-well-filtered spaces
本文引入$c$-良滤空间概念，证明其收缩保持该性质，并得到局部Lindelöf的$c$-良滤$P$-空间为countably sober，进而推广Hofmann-Mislove定理至$c$-良滤空间。
2023-03-17 math.GN
On Faded Cosheaves of Sets
证明了在清醒拓扑空间$(B,Ω)$上的Set中的褪色余层范畴等价于一个范畴Sett $(B,Ω)$，它具有与Set $ / B$相同的对象类，但一般具有更宽的态射类.我们还证明了相反的情况：如果$T_0$ -空间$(B,Ω)$上的每一上层同构于$(B,Ω)$中适当映射的管的上层，则$(B,Ω)$是sober的。
1999-01-24 math.CT math.GN
d-Boolean algebras and their bitopological representation
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
本文提出d-布尔代数与满足T0分离公理的紧致零维位拓扑空间之间的d对偶关系。
2026-01-24 math.GN
Co-Noetherian spaces
School of Mathematics, Hunan University（湖南大学数学学院）
本文引入并研究了余诺etherian空间，探讨了其在T0空间分类中的作用，并建立了与KC空间、强R空间的联系，同时指出某些幂空间可能不满足余诺etherian条件。
2026-01-16 math.GN
Deriving dualities in pointfree topology from Priestley duality
本文从分配格的 Priestley 对偶出发，推导出 pointfree 拓扑中的 Hofmann-Lawson 对偶、稳定连续对偶及 Isbell 对偶，为经典对偶结果提供新视角。
2023-08-06 math.GN
d-Spectral Bitopological Spaces
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
本文引入d-谱空间范畴，证明其为经典谱空间的双拓扑扩展，二者存在范畴嵌入关系，且d-谱空间与d-格的谱对应，还具备patch空间、de Groot对偶等相关性质。
2026-07-30 math.GN
Ordered Locales
本文通过引入有序 locale 范畴，将 Stone 对偶扩展到预序拓扑空间，并建立其与满足开锥条件空间之间的伴随及范畴等价。
2023-05-12 math.CT math.GN
A direct approach to $K$-reflections of $T_0$ spaces
本文给出了$T_0$空间的$\mathbf{K}$ -反射的一种直接方法.对于所有$T_0$空间范畴的一个全子范畴$\mathbf{K}$和一个$T_0$空间$X$，设$\mathbf{K}(X)=\{A\subseteq X : A$是闭的，且对于$f : X\longrightarrow Y$到一个$\mathbf{K}$ -空间$Y$的任何连续映射，存在唯一的$y_A\in Y$使得$\overline{f(A)}=\overline{\{y_A\}}\}$和$P_H(\mathbf{K}(X))$是赋予下Vietoris拓扑的$\mathbf{K}(X)$的空间.证明了若$P_H(\mathbf{K}(X))$是$\mathbf{K}$ -空间，则对$\langle X^k=P_H(\mathbf{K}(X)), η_X\rangle$，其中$η_X :X\longrightarrow X^k$，$x\mapsto\overline{\{x\}}$是$X$的$\mathbf{K}$ -反射.我们称$\mathbf{K}$为适当范畴，如果对任何$T_0$空间$X$，$P_H(\mathbf{K}(X))$是$\mathbf{K}$ -空间。因此，如果$\mathbf{K}$是适当的，则$\mathbf{K}$在$\mathbf{Top}_0$中是反射的。证明了所有sober空…
2019-11-25 math.GN
A general framework for the faithful pointfree representation of $T_0$-spaces
University of Coimbra（科英布拉大学）；Hunan University（湖南大学）
提出一种一般框架研究自然反变伴随，细化框架与空间之间的伴随，使不动点为$T_0$-空间，并涵盖严格零维双框架、MT-代数和Raney扩张三个实例。
2026-06-27 math.CT math.GN
