A class of compact subsets for non-sober topological spaces
Paul Poncet
定义了拓扑空间的一类子集，当空间是sober时，这类子集与紧饱和子集类重合，而当空间不是sober时，这类子集具有足够好的性质。本课程特别针对容量理论的应用而介绍。
We define a class of subsets of a topological space that coincides with the class of compact saturated subsets when the space is sober, and with enough good properties when the space is not sober. This class is introduced especially in view of applications to capacity theory.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On topological Rudin's lemma, well-filtered spaces and sober spaces
基于拓扑Rudin引理，研究了$T_0$拓扑空间中的两类新的集合-- Rudin集和良滤确定集.使用这样的集合，我们制定和证明了一些新的刻画良好的过滤空间和清醒的空间。部分作品的灵感来自于Xi和Lawson关于良好过滤空间的工作。我们的研究还引出了一类新的空间--强$d$ -空间和一些问题，它们的解决将加强我们对相关结构的理解。
Products of co-sober spaces need not be co-sober
该研究否定了共 sober 空间的乘积必为共 sober 的猜想，通过构造特定空间给出反例，还为共 sober 空间在 T₀ 空间范畴内的非反射性提供了新证明。
A Few Projective Classes of (Non-Hausdorff) Topological Spaces
本文研究非豪斯多夫拓扑空间中若干类的投射性，证明相干sober空间、紧相干sober空间及（局部）强sober空间构成投射类，而大多数局部紧空间类甚至不是ω-投射的。
On some open problems concerning strong d-spaces and super H-sober spaces
在本文中，我们强调了徐和赵所提出的一些开放性问题。特别地，我们专注于强$d$ -空间和回答两个开放的问题，有关强$d$ -空间。一个是关于任意强$d$ -空间族的乘积空间。另一个是关于强$d$ -空间范畴$\mathbf{S}$ - $\mathbf{Top}_{d}$的反射性。同时，对于不可约子集系统（简称$R$ -子集系统）$\mathrm{H}$和$T_{0}$空间$X$，证明了$\mathrm{H}$自然满足性质$M$ .在此基础上，我们推出了$X$是超$\mathrm{H}$ -清醒的当且仅当$X$是$\mathrm{H}$ -清醒的且$\mathrm{H}$满足性质$Q$ .并对徐在\cite{Xiaoquan21}中提出的一些问题作了肯定的回答。进一步得到了超清醒空间的有限积是超清醒的。
A complete Heyting algebra whose Scott space is non-sober
证明了：（1）对任意完全格$L$，$L$的Scott空间的所有非空饱和紧子集的集合$\mathcal{D}(L)$是完备Heyting代数（包含序相反）;（2）若完全格$L$的Scott空间是非sober的，则$\mathcal{D}(L)$的Scott空间是非sober的.利用这些结果和Isbell关于非sober完全格的例子，我们推出了存在一个完全Heyting代数，它的Scott空间是非sober的，从而肯定地回答了Jung提出的一个问题.我们还将证明一个$T_0$空间是良滤的当且仅当它的上空间（$X$的所有非空饱和紧子集的集合$\mathcal{D}(X)$都具有Vietoris上拓扑）是良滤的，这回答了另一个公开问题.
Sober topological spaces valued in a quantale
通过一个Quantale模范畴和一个Quantale值拓扑空间范畴之间的连接，将清醒性的概念推广到了值为交换和酉Quantale的拓扑空间.研究了此类空间与基于平坦理想的量子值域之间的关系。
The complete Boolean algebra of regular open sets in real line is not sober
本文针对Xu和Zhao提出的开放问题，证明了实直线上正则开集构成的完全布尔代数$\text{RO}(\bbR)$的Scott空间不是清醒的，给出该问题的否定答案。
On H-sober spaces and H-sobrifications of $T_0$ spaces
本文给出了$d$ -空间、清醒空间和良滤空间的统一方法，并给出了处理所有这些空间的一般框架。对于子集系统H，建立了H-sober空间和超H-sober空间的理论，给出了$T_0$空间的H-sobrification和超H-sobrification的直接构造.因此，所有H-sober空间的范畴在$\mathbf{Top}_0$中是反射的，并且所有超H-sober空间的范畴在$\mathbf{Top}_0$中也是反射的，如果H具有自然性质（称为性质M）。证明了H-sobrification保持$T_0$空间的有限积，当H具有性质M时，超H-sobrification保持$T_0$空间的有限积.
On Function Spaces Related to H-sober Spaces
本文主要研究与H-清醒空间相关的函数空间。对于不可约子集系H和$T_{0}$空间$X$和$Y$，证明了$Y$是H-sober的当且仅当所有连续函数$f : X\longrightarrow Y$的函数空间$\mathbb{C}(X, Y)$具有点式收敛拓扑且当且仅当函数空间$\mathbb{C}(X, Y)$具有Isbell拓扑且H-sober.一个直接的推论是，对于$T_{0}$空间$X$，$Y$是清醒空间（分别地，$d$ -空间，良滤空间）当且仅当具有点式收敛拓扑拓扑的函数空间$\mathbb{C}(X, Y)$是sober空间（相应地，$d$ -空间，良滤空间）当且仅当具有Isbell拓扑的函数空间$\mathbb{C}(X, Y)$是sober空间（即，$d$ -空间，良好过滤的空间）。证明了$T_{0}$空间$X$和$Y$，若函数空间$\mathbb{C}(X, Y)$具有紧开拓扑，则$Y$是H-清醒的.讨论了具有Scott拓扑的函数空间$\mathbb{C}(X, Y)$.
Applications of sequential spaces to Smyth power spaces and sober spaces
本文研究比Frechet-Urysohn空间更弱的序贯空间，证明了在特定条件下良滤空间的Scott拓扑与上Vietoris拓扑一致，以及ω-良滤coherent d-空间的sober性。
On $T_0$ spaces determined by well-filtered spaces
本文首先引入并研究了$T_0$空间中两类新的子集-- Rudin集和介于有向子集的所有闭包类与不可约闭子集的所有闭包类之间的$\wdd$集。利用这些子集，我们定义了三种新的拓扑空间-- $\mathsf{DC}$空间，Rudin空间和$\wdd$空间. Rudin空间类介于$\wdd$空间类和$\dc$空间类之间，而$\dc$空间类介于Rudin空间类和sober空间类之间。利用Rudin集和$\wdd$集，我们给出并证明了良滤空间和sober空间的一些新的刻画.对于$T_0$空间$X$，证明了$X$是sober的，如果{} fPDMATHABMQ是良滤Rudin空间，如果{} fPDMATHABMQ是良滤$\mathsf{WD}$空间.证明了每个局部紧$T_0$空间是Rudin空间，每个核紧$T_0$空间是$\wdd$空间.一个直接的推论是，每一个核心紧凑过滤良好的空间是清醒的，给一个肯定的答案贾荣问题。使用$\wdd$集，我们给出了$T_0$空间的良好过滤反射的更直接的构造，并证明任何良好过滤空间集合的积都是良好过滤的。我们的研究也引出了一些问题，这些问题的回答将加深我们对相关空间和结构的理解。
Sobriety of Regular Open Algebras in Second-Countable T3 Spaces
该研究针对第二可数T3空间，揭示正则开代数RO(X)的Scott空间为sober的充要条件，由此解答完全布尔代数sober性的公开问题，并提供构造非sober完全格的系统方法。
On Scott power spaces
本文主要讨论Scott幂空间的一些基本性质。对于$T_0$空间$X$，设$\mathsf{K}(X)$是$X$的所有非空紧饱和子集的偏序集，赋予Smyth序。证明了良滤空间$X$的Scott幂空间$Σ\mathsf{K}(X)$仍然是良滤的，$T_0$空间$Y$是良滤的当且仅当$Σ\mathsf{K}(Y)$是良滤的，并且上Vietoris拓扑比$\mathsf{K}(Y)$上的Scott拓扑粗.一个清醒的空间是为它的斯科特权力空间是不清醒的。给出了Scott幂空间是清醒的几个充分条件。研究了Smyth幂空间和Scott幂空间的局部紧性、第一可数性、Rudin性和良滤决定性等性质。
Posets uniquely determined by its compact saturated subsets
受Zhao和Xu启发，本文探讨偏序集（或dcpo）能否由其Scott紧饱和子集族唯一确定（$\mathcal Q_\sigma$-唯一），证明了拟连续域、余Sober的$K_D$偏序集及弱良滤的余Sober偏序集均满足此性质，并通过实例区分了各条件。
Domain-complete and LCS-complete spaces
我们研究连续dcpos的$G_δ$子空间，我们称之为域完备空间，和局部紧sober空间的$G_δ$子空间，我们称之为LCS完备空间。这些空间包括所有局部紧的sober空间--特别是所有连续的dcpos空间--，所有Čech意义下的拓扑完备空间，以及所有拟波兰空间--特别是所有波兰空间。我们证明了LCS-完备空间是sober、Wilker、紧Choquet-完备、完全Baire和$\odot$ -辅音-特别是辅音空间;域完备）空间是准波兰空间;并且可度量的LCS完备（分别，域完备空间是完全可度量化的空间。我们包括两个应用程序：在LCS-完备空间上，所有的连续赋值都扩张到测度上，并且次线性预影形成了一个与连续赋值空间的凸Hoare幂域同胚的空间。
First countability, $ω$-well-filtered spaces and reflections
本文首先在$T_0$空间中引入并研究了介于可数有向子集的所有闭包的类与不可约闭子集的所有闭包的类之间的两类新子集--$ω$ -Rudin集和$ω$ -良滤定集，以及两类新空间-- $ω$ - $d$空间和$ω$ -良滤定空间.证明了$ω$ -良滤$T_0$空间是局部紧的当且仅当它是核紧的.一个直接的推论是每个核紧良滤空间是清醒的，用一种新的方法回答了Jia-Jung问题。我们还证明了第一可数$ω$ -良好过滤$T_0$空间中的所有不可约闭子集是有向的。因此，第一可数$T_0$空间$X$是清醒的当且仅当$X$是良好过滤的当且仅当$X$是$ω$ -良好过滤的$d$ -空间。利用$ω$ -良滤确定集，给出了$T_0$空间的$ω$ -良滤反射的直接构造，并证明了$ω$ -良滤空间的乘积是$ω$ -良滤的.
Faithfulness of Directed Complete Posets based on Scott Closed Set Lattices
Thron证明了拓扑空间$X$具有如下性质：$C(X)$同构于$C(Y)$，蕴含$X$同胚于$Y$当且仅当$X$是sober且$T_D$，其中$C(X)$和$C(Y)$分别表示$X$和$T_0$空间$Y$的闭集格。当我们考虑dcpos（有向完备偏序集）配备了它们的Scott拓扑时，一个类似的问题出现了：哪些dcpos $P$具有这样的性质：对于任何dcpo PDMATHAMT，$C_σ(P)$同构于$C_σ(Q)$意味着$P$同构于PDMATHAMT（这样的dcpo $P$将被称为Scott闭集格忠实，或简称为SCL忠实）？这里，$C_σ(P)$和$C_σ(Q)$分别表示$P$和$Q$的Scott闭集的格。根据$C_σ(P)$对连续（拟连续）dcpo的刻画，可以很容易地推导出每个连续（拟连续）dcpo都是SCL-忠实的。注意，每个连续（拟连续）dcpo的Scott空间是sober的。与Thron的结果相比，人们自然会问是否每个SCL忠实的dcpo都是清醒的（使用Scott拓扑）。本文证明了某些dcpos类是SCL-忠实的，这些类包含某些dcpos类的Scott拓扑不是有界的。这些结果将有助于在未来获得一个完整的描述SCL忠实dcpos。
$PF$-well-filtered spaces
本文解决拓扑空间良滤性的两个公开问题，否定了上空间开良滤则原空间开良滤的猜想，肯定了局部紧下$PF$-良滤性与$PF$-清醒性等价，还得到相关刻画及函数空间性质等结果。
On Faded Cosheaves of Sets
证明了在清醒拓扑空间$(B,Ω)$上的Set中的褪色余层范畴等价于一个范畴Sett $(B,Ω)$，它具有与Set $ / B$相同的对象类，但一般具有更宽的态射类.我们还证明了相反的情况：如果$T_0$ -空间$(B,Ω)$上的每一上层同构于$(B,Ω)$中适当映射的管的上层，则$(B,Ω)$是sober的。
$ω$-Rudin spaces, well-filtered determined spaces and first-countable spaces
研究了$d$ -空间、良滤空间和Rudin空间的各种可数性质。主要成果包括：（i）如果$T_0$空间$X$的sobrification是一次可数的，则$X$是$ω$ -Rudin空间;（ii）如果每个$ω$ -良滤空间的sobrification是一次可数的，则它是sobrification;（iii）如果一个$T_0$空间是二次可数的或一次可数的，并且有一个可数的底层集，则它是$ω$ -Rudin空间;（iv）第一可数$T_0$空间是良滤确定的;（v）第一可数$ω$ -良滤空间中的不可约闭子集是可数定向的;（vi）第一可数$ω$ -良滤$ω^\ast$ - $d$ -空间是sober的。
Two topologies on the lattice of Scott closed subsets
对于偏序集$P$，令$σ(P)$和$Γ(P)$分别表示其按包含排序的Scott开子集和Scott闭子集的格，并设置$ΣP=(P,σ(P))$。本文讨论了$Γ(P)$上的下Vietoris拓扑和Scott拓扑，给出了使这两种拓扑相等的充分条件.我们在$σ(P)$和$σ(Γ(P))$之间建立了一个连接，证明了$ΣP$是核紧的当且仅当$ΣΓ(P)$是核紧的当且仅当$ΣΓ(P)$是清醒的，局部紧的和$σ(Γ(P))=\upsilon(Γ(P))$（下Vietoris拓扑）.这回答了[17]中的一个问题。Brecht和Kawai在[2]中提出了拓扑空间$X$的调和是否蕴涵其低次幂空间的调和的问题，本文最后给出了这个问题的部分答案。
A Hofmann-Mislove theorem for approach spaces
霍夫曼-米斯洛夫定理说，一个清醒的拓扑空间的开集格的开滤子的有序集同构于该空间的紧饱和集的有序集（通过反向包含有序）。本文讨论了这个结果的度量类比。为此，引入了逼近空间的紧函数的概念。这样的功能是一个类似的紧凑的子集在丰富的上下文中。证明了对一个清醒的逼近空间$X$，$X$的上正则函数度量空间的真开$[0,\infty]$ -滤子度量空间同构于$X$的紧饱和函数度量空间的对立面，建立了逼近空间的Hofmann-Mislove定理.
Recovering the boundary path space of a topological graph using pointless topology
首先，我们将Paterson和Welch对局部紧空间序列给出的局部紧拓扑的定义推广到其基础空间是$T_1$和sober的情况。然后，我们考虑这种拓扑的基本开集的一个特定的半格上的所有路径的空间上的一个图和图C* 代数的定义所激发的关系，以恢复的边界道路空间的一个图。这是使用无意义拓扑技术完成的。最后，我们将结果推广到拓扑图的情况。
Topological representations for frame-valued domains via $L$-sobriety
本文以 frame $L$ 为真值表，引入局部超紧及强局部超紧 $L$-拓扑空间，借助 $L$-sobriety 表示连续与代数 $L$-dcpo，并建立相关范畴同构及定向完备化应用。
Ordered Locales
本文通过引入有序 locale 范畴，将 Stone 对偶扩展到预序拓扑空间，并建立其与满足开锥条件空间之间的伴随及范畴等价。
Further studies on open well-filtered spaces
本文在开良滤空间的既有研究基础上，进一步探究其性质，证明了开良滤空间的上空间（非空饱和紧子集集配上Vietoris拓扑）仍为开良滤空间，并补充了该类空间的其他相关性质，推进了相关拓扑问题的研究。
Co-Noetherian spaces
本文引入并研究了余诺etherian空间，探讨了其在T0空间分类中的作用，并建立了与KC空间、强R空间的联系，同时指出某些幂空间可能不满足余诺etherian条件。
Closed subsets of compact-like topological spaces
我们研究闭子集（子半群，分别）类紧拓扑空间（分别为半群）。证明了每个Hausdorff拓扑空间都可以作为闭子空间嵌入到H-闭拓扑空间中。然而，$ω{\timesω}$ -矩阵单位半群不能嵌入到弱H-闭拓扑空间的拓扑半群。证明了每个Hausdorff拓扑空间都是某个$ω$ -有界实紧拓扑空间的闭子空间，并刻画了可数实紧拓扑空间的开稠密子空间.此外，我们还构造了一个伪紧拓扑半群，其中包含的双环幺半群作为一个封闭的子半群，提供了一个问题的正解的Banakh，Dimitrova，和Gutik。
Reflecting compact $T_1$-spaces into bounded distributive lattices
本文构造了紧致 $T_1$-空间到有界分配格的反变反射，用闭 subfit 态射推广 Stone 对偶与 Isbell 对偶，并在完备紧致 subfit 格上得到对偶，进而恢复 Cornish 的经典结果。
Discrete Subsets in Topological Groups and Countable Extremally Disconnected Groups
证明了单位元邻域滤子不快速的可数拓扑群包含一个恰有一个非孤立点的离散集。这给出了一个否定的答案Protasov的问题存在ZFC的可数非离散群，其中所有离散子集是封闭的。还证明了可数非离散极端不连通群的存在性蕴含着快速超滤子的存在性，因此在ZFC中不能构造可数非离散极端不连通群.
A groupoid approach to the study of fuzzy topological spaces
本文针对模糊拓扑空间中补集定义与经典拓扑性质不一致的问题，提出通过关联拓扑空间的基本群胚并配备Lasso拓扑，对模糊子集补运算进行拓扑刻画。
Weakly discontinuous and resolvable functions between topological spaces
我们证明了一个函数$f:X\to Y$从第一可数（更一般地，Preiss-Simon）空间$X$到正则空间$Y$是弱不连续的（这意味着每个子空间$A\subset X$包含一个开稠密子集$U\subset A$，使得$f|U$是连续的）当且仅当$f$是开可分解的（在这个意义上，对于每个开子集$U\subset Y$，原像$f^{-1}(U)$是$X$的可分解子集）当且仅当$f$是可分解的（在这个意义上，对于每个可解析子集$R\subset Y$，原像$f^{-1}(R)$是$X$的可解析子集）。对于可度量化空间上的函数，这一特征在1985年由维诺库罗夫（Vinokurov）宣布（没有证明）。
A Geometric Vietoris-Begle Theorem, with an Application to Convex Subsets of Topological Vector Lattices
证明了如果$L$是拓扑向量格，$u \colon L \to L$是函数$u(x) = x \vee 0$，$C \subset L$是凸的，$D = u(C)$是可度量化的，则$D$是ANR，$u|_C \colon C \to D$是同伦等价，因而是AR.这是通过验证第二个结果的假设证明：如果$X$是一个连通空间，是同伦等价于ANR，$Y$是一个ANR，和$f \colon X \to Y$是一个连续满射，使得对于每个$y \in Y$和每个邻域$y$的$V \subset Y$，有一个邻域$V' \subset V$的$y$，使$f^{-1}(V')$可以收缩在$f^{-1}(V)$，那么$f$是同伦等价。后者的结果是一个几何模拟的Vietoris-Begle定理。
On connected subsets of a convergence space
本文研究收敛空间与其拓扑修正中连通子集的差异，刻画了两类连通性等价的子集，并给出保持中间子集均连通的最大集合。
Core spaces, sector spaces and fan spaces: a topological approach to domain theory
我们提出了旧的和新的核心空间，别名全球网络空间，最初定义的超紧邻域基的存在。核空间的补片空间，通过将原拓扑与具有对偶特化序的第二拓扑连接而获得，是所谓的扇区空间，其具有良好的凸性和分离性，并确定原空间。核空间范畴被证明是具体同构于扇空间范畴;这些是某些具有所谓扇的邻域基的准序空间，通过从主滤子中删除有限个主滤子而获得。这种方法对域理论有着有益的影响。实际上，赋予Scott拓扑，连续Domain就是sober核空间，赋予Lawson拓扑，连续Domain就是相应的fan空间。利用T $_2$ Lawson拓扑将连续格的刻画推广为交连续格，并将紧致半格的基本定理推广到非完备结构.最后，我们调查基数不变量，如密度和重量的对象。
A remark on locally direct product subsets in a topological Cartesian space
设$X$和$Y$是拓扑空间。设$C$是$X\times Y$的路连通闭集。设$C$是局部直积，即对任何$(a,b)\in X\times Y$，存在$X$的开集$U$，$Y$的开集$V$，$U$的子集$I$和$V$的子集$J$，使得$(a,b) \in U\times V$和$$C\cap (U\times V)=I\times J$$成立.然后，在这个备忘录中，我们证明了$C$是全局的，也就是说，存在$X$的一个子集$A$和$Y$的一个子集$B$，使得$$C=A\times B$$成立。证据是基本的。在这里，我们注意到，对于局部平凡纤维空间的纤维积，人们可能能够想到一个（也许是开放的）类似的问题，而不仅仅是拓扑空间的直积。在附录中，我们提到了一个$C([0,1];\mathbb R)$ -流形的简单例子，它不能作为$C([0,1];\mathbb R)$ -子流形嵌入到直积$(C([0,1];\mathbb R))^n$中。此外，我们还引入了拓扑2-空间的概念，它是拓扑空间的局部直积，是拓扑2-空间同伦范畴的一个类比。最后，我们提出了有限维$\mathbb R^n$ -欧氏空间中$\mathbb R^n$ -Morse函数和$\mathbb R^n$ -浸入的存在性问题.这里，我们注意到，也可以考虑定义$\mathbb R^n$ -手柄主体的概念的问题。
On Hereditarily Normal Topological Groups
本文研究遗传正规拓扑群及其子空间。证明了遗传正规拓扑群的每个紧子空间都是可度量化的。为了证明这一点，我们首先证明了具有非平凡收敛序列的遗传正规拓扑群具有$G_δ$ -对角。这意味着，特别是，每一个可数紧子集的遗传正规拓扑群与非平凡的收敛序列是度量化。另一个推论是在真迫公理下，遗传正规拓扑群的每一个可数紧子集都是可度量化的。
Selectors for dense subsets of function spaces
设$USC^*_p(X)$是定义在$X$上的实上连续有界函数的拓扑空间，其乘积拓扑的子空间拓扑是${}^X\mathbb{R}$上的. $\tildeΦ^{\uparrow},\tildeΨ^{\uparrow}$分别是$USC^*_p(X)$的所有上序稠密、上稠密或逐点稠密子集的集合。我们证明了几个等价的断言$USC^*_p(X)$满足选择原则$S_1(\tildeΦ^{\uparrow},\tildeΨ^{\uparrow})$，包括一个条件的拓扑空间$X$。我们证明了连续有界函数的拓扑空间$C^*_p(X)$的类似结果。类似的结果也适用于选择原则$S_{fin}(\tildeΦ^{\uparrow},\tildeΨ^{\uparrow})$。
Topological Representations of Posets
以前证明了任意偏序集$P$同构于具有两个闭包的空间$M$的子集的集合，这两个闭包在第一个闭包中是闭的，在另一个闭包中是开的。使用代数对偶空间$P^*$作为用于该表示的空间$M$。在这里，我们推广了偏序集的代数对偶理论，推广了理想的概念。这种方法产生了一个充分条件的一个子集的$P^*$（相对于诱导闭包）的闭包子集的集合是同构的$P$。应用这一结果对某些偏序集类证明了一些表示定理，并得到了正交补的一个拓扑刻画。
The strong Pytkeev property in topological spaces
拓扑空间$X$在点$x\in X$处具有强Pytkeev性质，如果存在$X$的子集的可数族$\mathcal N$使得对于在$x$处累积的每个邻域$O_x\subset X$和子集$A\subset X$，存在集合$N\in\mathcal N$使得$N\subset O_x$和$N\cap A$是无限的。证明了对任意$\aleph_0$ -空间$X$和任意在点$y\in Y$处具有强Pytkeev性质的空间$Y$，函数空间$C_k(X,Y)$在常数函数$X\to \{y\}\subset Y$处具有强Pytkeev性质.如果空间$Y$是可求长的，则函数空间$C_k(X,Y)$是可求长的，并且在每一点都具有强Pytkeev性质。我们还证明了对于任何具有强Pytkeev性质的点空间$(X_n,*_n)$，$n\inω$，它们的Tychonoff积和它们的小盒积在区别点处都具有强Pytkeev性质.证明了序列可求长空间$X$具有强Pytkeev性质的充要条件是$X$是可度量化的或包含一个闭次可度量化的$k_ω$ -子空间.一个局部预紧拓扑群是可度量化的当且仅当它包含一个具有强Pytkeev性质的稠密子群。
A few characterizations of topological spaces with no infinite discrete subspace
本文刻画了无无限离散子空间的拓扑空间（FAC空间），证明其等价于每个闭集为有限个不可约闭子集之并、每个闭集含稠密Noetherian子空间等条件，并给出相对Hausdorff子集基数的min-max性质。
Sequential Definitions of Connectedness
一个拓扑群$X$称为连通的，如果它的开闭子集只有全空间$X$和零集$\emptyset$。拓扑群的子集是连通的，如果子空间是连通的。我们说$X$的子集$A$是$G$ -序贯连通的，如果$A$的唯一子集是$G$ -序贯开和$G$ -序贯闭的，相对于$A$的相对$G$ -序贯开和$G$ -序贯闭子集，是$A$的开子集和闭子集是$A$和零集$\emptyset$。我们研究了序列收敛的定义的改变对$X$的子集的序列连通性结构的影响，通过序列闭包的集合的意义下的$G$ -序列闭包。当G = lim时，拓扑群的序列连通性是这一推广的特殊情况。
Some classes of minimally almost periodic topological groups
定义了拓扑群的类SSGP（n）（n < ω），建立并证明了类论包含SSGP（n）\subseteq SSGP（n+1）\subseteq m.a.p.这些类的调查方面的性质通常研究的拓扑学家（产品，同胚，通过密集的子群，等等）。顺便说一下，作者在阿贝尔群的文献中的许多早期例子中建立了SSGP（1）或SSGP（2）性质的存在。
Topologically independent sets in precompact groups
由阿贝尔群的子集$A$生成的子群是循环群$\langle a\rangle$、$a\in A$的直和当且仅当集合$A$是独立的。在[5]中，阿贝尔群中的$independent$集的概念被推广到拓扑阿贝尔群中的$topologically$ $independent$ $set$（这两个概念在离散阿贝尔群中是一致的）。证明了由交换拓扑群的子集$A$生成的拓扑子群是循环拓扑群$\langle a\rangle$、$a\in A$的Tychonoff直和当且仅当集合$A$拓扑独立且绝对Cauchy可和.此外，它表明，假设的绝对柯西可和的$A$一般不能删除这个结果。在本文中，我们证明了它可以在预紧群中被移除。换句话说，我们证明了：如果$A$是{ \em precompact}阿贝尔群的子集，则由$A$生成的拓扑子群是拓扑循环子群$\langle a\rangle$，$a\in A$的Tychonoff直和当且仅当$A$是拓扑独立的.我们证明了在这个结果中，预紧性不能被局部紧性所代替。
Topological properties defined in terms of generalized open sets
本文介绍了sg-开集、sg-紧空间、N-散布空间及相关概念的研究进展。拓扑空间$(X,τ)$的子集$A$称为sg-闭的，如果$A$的半闭包包含在$A$的每个半开超集中. sg-闭集的补集称为sg-开集。拓扑空间$(X,τ)$称为sg-紧的，如果sg-开集对$X$的每个覆盖都有一个有限子覆盖. n-散布空间是指处处处处稠密的子集都是散布的拓扑空间。
Spaces of Real Functions, Covers and Dense Subsets
本文研究了拓扑空间$X$与$X$上的有界上连续函数空间$(USC^*(X),τ_{\mathcal{B}})$的覆盖性质之间的关系，其中拓扑$τ_{\mathcal{B}}$由$X$上的拓扑$\mathcal{B}$定义.我们提出的各种局部性质的$(USC^*(X),τ_{\mathcal{B}})$的选择原则有关的拓扑覆盖的$X$的特征。我们还研究了$(USC^*(X),τ_{\mathcal{B}})$的上稠密子集序列和上序稠密子集序列的拓扑性质。
A new method for constructing a compact and non SI-compact space
本文提出构造紧且非SI紧空间的新方法，引入v紧性概念并证明其相关性质，解答了Zhao、Ho及[1]提出的问题。
Some topological properties of spaces between the Sorgenfrey and usual topologies on real number
$H$ -空间记为$(\mathbb{R}, τ_{A})$，以$\mathbb{R}$为点集，在$A$的点上取开区间邻域，在$\mathbb{R}$ - $A$的点上取Sorgenfrey邻域.本文主要讨论了$H$ -空间的一些拓扑性质。特别地，我们证明了：（1）$A\subset \mathbb{R}$是零维的当且仅当$\mathbb{R}\setminus A$在$(\mathbb{R}, τ_{E})$中稠密;（2）$(\mathbb{R}, τ_{A})$是局部紧的当且仅当$(\mathbb{R}, τ_{A})$是$k_ω$ -空间;（3）如果$(\mathbb{R}, τ_{A})$是$σ$ -紧的，则$\mathbb{R}\setminus A$是可数的且无处稠密;如果$\mathbb{R}\setminus A$是可数的且离散的，则$(\mathbb{R}, τ_{A})$是$σ$ -紧的;（4）$(\mathbb{R}, τ_{A})^{\aleph_{0}}$是完全次仿紧的;（5）存在子集$A\subset\mathbb{R}$使得$(\mathbb{R}, τ_{A})$不是拟度量化的;（6）$(\mathbb{R}, τ_{A})$是可度量化的当且仅当$(\mathbb{R}, τ_{A})$是$β$ -空间.
$*-$open sets and $*-$ continuity in topological spaces
该研究探讨拓扑空间中$*-$开、闭子集的性质，明确$*-$开集族可构成新拓扑$^{*}O(X)$，分析其与原拓扑的性质关联，并提出$*-$连续映射的概念，拓展了拓扑空间的相关研究内容。
$\mathfrak P_0$-spaces
定义正则拓扑空间$X$为$\mathfrak P_0$ -空间，如果它具有可数Pytkeev网.对于$X$的网络$\mathcal N$称为Pytkeev网络，如果对于任何点$x\in X$，$x$的邻域$O_x\subset X$和在$x$处累积的子集$A\subset X$，存在集合$N\in\mathcal N$使得$N\subset O_x$和$N\cap A$是无限的。$\mathfrak P_0$ -空间类包含所有可度量化的可分空间，并且（正确地）包含在$\aleph_0$ -空间的Michael类中。它在许多拓扑运算下是封闭的：取子空间，可数吉洪诺夫积，可数小盒积，可数直接极限，紧子集的超空间。对于$\aleph_0$ -空间$X$和$\mathfrak P_0$ -空间$Y$，赋予紧开拓扑的函数空间$C_k(X,Y)$是$\mathfrak P_0$ -空间。对任意序列$\aleph_0$ -空间$X$，自由阿贝尔拓扑群$A(X)$和自由局部凸线性拓扑空间$L(X)$都是$\mathfrak P_0$ -空间.序列空间是$\mathfrak P_0$ -空间当且仅当它是$\aleph_0$ -空间。一个拓扑空间是可度量化和可分的当且仅当它是具有可数扇紧度的$\mathfrak P_0$ -空间。
Best proximity point results in topological spaces and extension of Banach contraction principle
本文利用连续函数$g:X\times X\rightarrow \mathbb{R}$引入了定义在任意拓扑空间X上的拓扑Banach压缩映射的概念，并研究了这类映射的不动点的存在性.此外，我们引入了两种类型的映射定义在一个非空子集的X和生产的充分条件，这将确保存在的最佳邻近点，这些映射。我们的最佳邻近点结果也将已有的一些结果从度量空间或巴拿赫空间推广到拓扑空间。更确切地说，我们新引入的映射比Bunlue和Suantai引入的相应概念更一般[Arch. Math.（Brno），54（2018），165-176]。我们提出了几个例子来验证我们的结果，并证明其动机。为了研究最佳邻近点的结果，我们引入了X的g-闭、g-序列紧子集的概念，并举例说明了存在X的一个非空子集，它在通常的拓扑下不是闭的、序列紧的，而是g-闭的、g-序列紧的.
On Topological Groups of Automorphisms on Unions
研究有限个紧致连通线性有序子集并集上的同胚双射群，证明其在逐点收敛拓扑下构成拓扑群。
Topological and measure properties of some self-similar sets
给定有限子集$Σ\subset\mathbb{R}$和正实数$q<1$，研究了方程$K=Σ+qK$的唯一紧解--自相似集$K(Σ;q)=\big\{\sum_{n=0}^\infty a_nq^n:(a_n)_{n\inω}\inΣ^ω\big\}$的拓扑性质和测度性质.将所得结果应用于研究某些（多重几何）序列$x=(x_n)_{n\inω}$的部分和集$E(x)=\big\{\sum_{n=0}^\infty x_n\varepsilon_n:(\varepsilon_n)_{n\inω}\in\{0,1\}^ω\big\}$.
Quasiorders on topological categories
本文证明了，对每一个基数$α\geq {\mathfrak c}$，存在一个具有$|X|=α$的可度量化空间$X$，使得对于集合$Q$上的每一对拟序$\leq_1$，$\leq_2$，$|Q| \leq α$满足蕴涵$$q \leq_1 q' \implies q \leq_2 q'$$，存在一个由$X$的非同胚闭子集组成的系统$\{X(q) : q\in Q\}$，它具有以下性质：（1）$q \leq_1 q'$当且仅当$X(q)$同胚于$X(q')$的闭序子集，（2）$q \leq_2 q'$意味着$X(q)$同胚于$X(q')$的闭子集;（3）$\neg (q \leq_2 q')$意味着不存在一对一$X(q)$到$X(q')$的一个连续映射。
Lowering topological entropy over subsets
设$(X, T)$是一个拓扑动力系统（TDS），$h (T, K)$是$X$的子集$K$的拓扑熵. $(X, T)$是{ \it lowerable}，如果对于每个$0\le h\le h (T, X)$，存在具有熵$h$的非空紧子集;是{ \it遗传lowerable}，如果每个非空紧子集是lowerable;是{ \it遗传一致lowerable}，如果对于每个非空紧子集$K$和每个$0\le h\le h (T, K)$，存在具有$h (T, K_h)= h$和$K_h$的非空紧子集$K_h\subseteq K$，最多有一个极限点。证明了每个有限熵的TDS是可降的，并且TDS $(X, T)$是遗传一致可降的当且仅当它是渐近$h$ -扩张的.
Compactly convex sets in linear topological spaces
线性拓扑空间的凸子集X称为紧凸的，如果存在连续紧值映射$Φ:X\to exp(X)$使得对所有$x,y\in X$有$[x,y]\subsetΦ(x)\cup Φ(y)$.我们证明了平面的每个凸子集都是紧凸的。另一方面，空间$R^3$包含非紧凸的凸集。线性拓扑空间$L$的每个紧凸子集$X$都有局部紧闭包$\bar X$，它是可度量化的当且仅当$X$的每个紧子集是可度量化的.
On the spread of topological groups containing subsets of the Sorgenfrey line
证明了任何包含Sorgenfrey线的子空间$X$的拓扑群$G$都是$s(G)\ge s(X\times X)$的扩展群.在OCA下，每个包含Sorgenfrey线的不可数子空间的拓扑群具有不可数扩展。这意味着在OCA下可度量拓扑群$G$是宇宙的当且仅当它具有可数扩展。另一方面，在CH下，存在一个可化的阿贝尔拓扑群，它具有遗传的Lindelöf可数幂，并且包含Sorgenfrey线的不可数子空间。这个可量化的拓扑群有可数的扩展，但不是宇宙的。
On 2-swelling topological groups
一个拓扑群$G$称为2-膨胀群，如果对于任意紧子集$A,B\subset G$和元素$a,b,c\in G$，包含$aA\cup bB\subset A\cup B$和$aA\cap bB\subset c(A\cap B)$等价于等式$aA\cup bB=A\cup B$和$aA\cap bB=c(A\cap B)$ .本文证明了一个（交换）拓扑群$G$是2-膨胀的，如果每个3-生成的（分别为. 2-生成的）子群是离散的。这意味着有理数的加法群$\mathbb Q$是2-膨胀的，并且每个局部有限的拓扑群都是2-膨胀的。
The Scott space of lattice of closed subsets with supremum operator as a topological semilattice
本文研究了闭子集格上 supremum 函数的连续性等价条件，利用 $n$-approximation 证明了 $\mathbf{T_0}$ 空间的拟连续性等价于其闭子集格的拟连续性，并给出了拓扑空间具有 Scott 完备化的必要条件及反例。
On proximal fineness of topological groups in their right uniformity
一个一致空间$X$被称为近端精细的，如果在$X$上到一个均匀空间的每个近端连续映射是一致连续的。证明了由其预紧子集泛函生成的拓扑群关于其右一致性是近精细的。另一方面，我们表明，有各种置换群$G$的整数$\mathbb N$是不接近罚款相对于所产生的拓扑集$\{g\in G: g(A)\subset B\}$，$A,B\subset \mathbb N$。
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