On Scott power spaces
本文主要讨论Scott幂空间的一些基本性质。对于$T_0$空间$X$，设$\mathsf{K}(X)$是$X$的所有非空紧饱和子集的偏序集，赋予Smyth序。证明了良滤空间$X$的Scott幂空间$Σ\mathsf{K}(X)$仍然是良滤的，$T_0$空间$Y$是良滤的当且仅当$Σ\mathsf{K}(Y)$是良滤的，并且上Vietoris拓扑比$\mathsf{K}(Y)$上的Scott拓扑粗.一个清醒的空间是为它的斯科特权力空间是不清醒的。给出了Scott幂空间是清醒的几个充分条件。研究了Smyth幂空间和Scott幂空间的局部紧性、第一可数性、Rudin性和良滤决定性等性质。
2022-07-05 math.GN
$PF$-well-filtered spaces
Hunan University（湖南大学）；Qufu Normal University（曲阜师范大学）
本文解决拓扑空间良滤性的两个公开问题，否定了上空间开良滤则原空间开良滤的猜想，肯定了局部紧下$PF$-良滤性与$PF$-清醒性等价，还得到相关刻画及函数空间性质等结果。
2026-10-16 math.GN
A Hofmann-Mislove theorem for $c$-well-filtered spaces
本文引入$c$-良滤空间概念，证明其收缩保持该性质，并得到局部Lindelöf的$c$-良滤$P$-空间为countably sober，进而推广Hofmann-Mislove定理至$c$-良滤空间。
2023-03-17 math.GN
$ω$-Rudin spaces, well-filtered determined spaces and first-countable spaces
研究了$d$ -空间、良滤空间和Rudin空间的各种可数性质。主要成果包括：（i）如果$T_0$空间$X$的sobrification是一次可数的，则$X$是$ω$ -Rudin空间;（ii）如果每个$ω$ -良滤空间的sobrification是一次可数的，则它是sobrification;（iii）如果一个$T_0$空间是二次可数的或一次可数的，并且有一个可数的底层集，则它是$ω$ -Rudin空间;（iv）第一可数$T_0$空间是良滤确定的;（v）第一可数$ω$ -良滤空间中的不可约闭子集是可数定向的;（vi）第一可数$ω$ -良滤$ω^\ast$ - $d$ -空间是sober的。
2020-08-23 math.GN
First countability, $ω$-well-filtered spaces and reflections
本文首先在$T_0$空间中引入并研究了介于可数有向子集的所有闭包的类与不可约闭子集的所有闭包的类之间的两类新子集--$ω$ -Rudin集和$ω$ -良滤定集，以及两类新空间-- $ω$ - $d$空间和$ω$ -良滤定空间.证明了$ω$ -良滤$T_0$空间是局部紧的当且仅当它是核紧的.一个直接的推论是每个核紧良滤空间是清醒的，用一种新的方法回答了Jia-Jung问题。我们还证明了第一可数$ω$ -良好过滤$T_0$空间中的所有不可约闭子集是有向的。因此，第一可数$T_0$空间$X$是清醒的当且仅当$X$是良好过滤的当且仅当$X$是$ω$ -良好过滤的$d$ -空间。利用$ω$ -良滤确定集，给出了$T_0$空间的$ω$ -良滤反射的直接构造，并证明了$ω$ -良滤空间的乘积是$ω$ -良滤的.
2019-11-25 math.GN
On H-sober spaces and H-sobrifications of $T_0$ spaces
本文给出了$d$ -空间、清醒空间和良滤空间的统一方法，并给出了处理所有这些空间的一般框架。对于子集系统H，建立了H-sober空间和超H-sober空间的理论，给出了$T_0$空间的H-sobrification和超H-sobrification的直接构造.因此，所有H-sober空间的范畴在$\mathbf{Top}_0$中是反射的，并且所有超H-sober空间的范畴在$\mathbf{Top}_0$中也是反射的，如果H具有自然性质（称为性质M）。证明了H-sobrification保持$T_0$空间的有限积，当H具有性质M时，超H-sobrification保持$T_0$空间的有限积.
2020-03-16 math.GN
When do weakly first-countable spaces and the Scott topology of open set lattice become sober?
本文研究弱第一可数空间的sober性，给出开集格Scott拓扑为sober空间的充分条件，并建立Fréchet空间条件下偏序集乘积、$ω$-良滤凝聚$d$-空间及$ω$型P-空间/协调Wilker空间的相关sober性结论。
2025-04-08 math.GN
Not every countable complete lattice is sober
在Domain理论中，Scott空间的清醒性研究已经有了较长的历史。Lawson和Hoffmann分别证明了每个连续有向完备偏序集（通常称为Domain）的Scott空间是sober的。Johnstone构造了第一个Scott空间是非清醒的有向完备偏序集。不久之后，Isbell给出了一个具有非清醒Scott空间的完全格。在Isbell例子的基础上，Xu，Xi和Zhao证明了甚至存在一个完备的Heyting代数，其Scott空间是非sober的。阿希姆·荣格接着提出了一个问题：是否每一个可数的完全格都有一个清醒的斯科特空间。设$ΣP$是偏序集$P$的Scott空间.证明了如果偏序集$P$和$Q$的所有非平凡理想的集合$Id(P)$和$Id(Q)$都是可数的，则乘积空间$ΣP\times ΣQ$的拓扑与乘积偏序集$P\times Q$上的Scott拓扑重合.在此基础上，我们得到了有向完备偏序集$P$有一个清醒的Scott空间，如果$Id(P)$是可数的，并且空间$ΣP$是凝聚的和良好滤子的.因此，具有$Id(L)$可数的完全格$L$具有清醒的Scott空间。利用所得结果，构造了一个Scott空间为非清醒的可数完全格，从而否定了Jung问题.
2022-04-30 math.GN
Further studies on open well-filtered spaces
本文在开良滤空间的既有研究基础上，进一步探究其性质，证明了开良滤空间的上空间（非空饱和紧子集集配上Vietoris拓扑）仍为开良滤空间，并补充了该类空间的其他相关性质，推进了相关拓扑问题的研究。
2023-03-17 math.GN
Smyth power space of a co-sober space is not always co-sober
Minnan Normal University（闽南师范大学）；Guangxi University（广西大学）
该研究构造了一个反例，证明余清醒空间的Smyth幂空间未必是余清醒空间，否定了相关开放问题。
2026-08-04 math.GN
On some kinds of weakly sober spaces
在\cite{E_2018}中，Erné放宽了清醒度的概念，以便将清醒空间和局部超紧空间的理论扩展到定向连接缺失的情况，并引入了三种非清醒空间：割空间，弱清醒空间和拟清醒空间。本文研究了它们的基本性质。结果表明，一些性质是类似的清醒的空间保持和其他不成立。
2019-07-15 math.GN
School of Mathematics and Statistics, Guilin University of Technology, Guilin 541004, ChinaScott spaces of complete Boolean algebras need not be co-sober
School of Mathematics and Statistics, Guilin University of Technology（桂林理工大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics, Minnan Normal University（闽南师范大学数学与统计学院）
本文通过构造嵌入与实例，证明完备布尔代数的Scott空间未必是co-sober的，否定了相关公开问题，同时验证了对应空间的非可定义性与良滤性。
2026-08-11 math.GN
Products of two sober dcpo's need not be sober
Hunan University（湖南大学）；Yancheng Teachers University（盐城师范学院）；National Institute of Education, Nanyang Technological University（南洋理工大学国立教育学院）
本文通过构造反例证明两个 sober dcpo 的乘积未必是 sober，并在特定条件下证明其 Scott 空间为 sober。
2025-12-22 math.GN
A class of compact subsets for non-sober topological spaces
定义了拓扑空间的一类子集，当空间是sober时，这类子集与紧饱和子集类重合，而当空间不是sober时，这类子集具有足够好的性质。本课程特别针对容量理论的应用而介绍。
2011-06-18 math.GN
Products of co-sober spaces need not be co-sober
Nanchang Institute of Technology（南昌工程学院）；Guilin University of Technology（桂林理工大学）
该研究否定了共 sober 空间的乘积必为共 sober 的猜想，通过构造特定空间给出反例，还为共 sober 空间在 T₀ 空间范畴内的非反射性提供了新证明。
2026-10-14 math.GN
The product of two Scott sober complete lattices is not always Scott sober
School of Sciences, Southwest Petroleum University（西南石油大学理学院）
本文构造两个 Scott sober 完备格，证明其乘积的 Scott 空间非 sober，从而回答 Miao 等人提出的问题。
2026-10-14 math.GN
On some open problems concerning strong d-spaces and super H-sober spaces
在本文中，我们强调了徐和赵所提出的一些开放性问题。特别地，我们专注于强$d$ -空间和回答两个开放的问题，有关强$d$ -空间。一个是关于任意强$d$ -空间族的乘积空间。另一个是关于强$d$ -空间范畴$\mathbf{S}$ - $\mathbf{Top}_{d}$的反射性。同时，对于不可约子集系统（简称$R$ -子集系统）$\mathrm{H}$和$T_{0}$空间$X$，证明了$\mathrm{H}$自然满足性质$M$ .在此基础上，我们推出了$X$是超$\mathrm{H}$ -清醒的当且仅当$X$是$\mathrm{H}$ -清醒的且$\mathrm{H}$满足性质$Q$ .并对徐在\cite{Xiaoquan21}中提出的一些问题作了肯定的回答。进一步得到了超清醒空间的有限积是超清醒的。
2021-09-23 math.GN
A countable metric space whose Hoare power space is not co-sober
Minnan Normal University（闽南师范大学）；Guilin University of Technology（桂林理工大学）
本文构造了一个可数零维度量空间，其Hoare幂空间不是co-sober，从而否定了Xu及He和Zhao的相关猜想，并建立了Hoare幂空间co-sober性与Scott空间sober性的等价条件。
2026-10-06 math.GN
A Few Projective Classes of (Non-Hausdorff) Topological Spaces
本文研究非豪斯多夫拓扑空间中若干类的投射性，证明相干sober空间、紧相干sober空间及（局部）强sober空间构成投射类，而大多数局部紧空间类甚至不是ω-投射的。
2024-07-04 math.GN
S*-well-filtered spaces and d*-spaces
Hunan University（湖南大学）；Changsha University of Science and Technology（长沙理工大学）
本文引入S*-well-filtered空间，证明其与d*-空间的关系，并展示Johnstone的例子表明S*-well-filtered与强well-filtered的区别
2026-01-16 math.GN
A non-sober core-compact meet-continuous dcpo
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
本文构造了一个交连续dcpo，其Scott空间核心紧但非清醒、非局部紧，该dcpo是局部紧清醒完全格的真子dcpo，其Scott闭集格与原格同构，表明局部紧清醒dcpo不由Scott闭集格唯一确定。
2026-10-16 math.GN
The core compactly generated topology
针对核心紧生成拓扑的相关封闭性问题，通过构造反例证明其在清醒化下不封闭，同时得出其在ω良滤化、D完备化下封闭，还发现良滤空间Smyth幂空间的核心紧生成拓扑与Scott拓扑一致，并给出核心紧生成空间核心紧性的刻画。
2023-04-30 math.GN
Sober topologies on a set
本文研究集合上所有拓扑构成的完备格中 sober 拓扑的地位，证明了每个拓扑可表示为 sober 拓扑的交或并，并刻画了极小 sober 拓扑，构造反例说明豪斯多夫拓扑递减序列之交不必 sober。
2025-08-07 math.GN
The complete Boolean algebra of regular open sets in real line is not sober
本文针对Xu和Zhao提出的开放问题，证明了实直线上正则开集构成的完全布尔代数$\text{RO}(\bbR)$的Scott空间不是清醒的，给出该问题的否定答案。
2026-08-04 math.GN
Sober metric approach spaces
证明了度量空间作为逼近空间是sober的当且仅当它是Smyth完备的。
2017-06-18 math.CT math.GN
Nonexistence of k-bounded sobrification
本文主要研究k-有界sobrification空间，证明了不允许任何k-有界sobrification的T_0空间X的存在性。这加强了Zhao，Lu和Wang的结果，他们证明了标准k-有界sobrification不存在。我们的工作给出了Zhao和Ho的一个问题的完整解，并证明了与Sob和BSob不同，所有k-有界sober空间的范畴KBSob不是所有T_0空间的范畴Top_0的反射子范畴.进一步，我们引入了qk-有界sober空间的概念，证明了范畴KBSob是所有qk-有界sober空间和保既有不可约上确界的连续映射的范畴QKBSob的全反射子范畴.
2020-11-23 math.GN
On Weakly Hausdorff Spaces and Locally Strongly Sober Spaces
我们证明了局部强清醒空间正是在Keimel和Lawson意义下弱Hausdorff的凝聚清醒空间。这使我们能够明确地描述他们的石头。作为另一个应用，我们证明了弱Hausdorff性是透镜和拟透镜形成同胚空间的充分条件，推广了以前已知的结果。
2022-11-22 cs.LO math.GN
Sober topological spaces valued in a quantale
通过一个Quantale模范畴和一个Quantale值拓扑空间范畴之间的连接，将清醒性的概念推广到了值为交换和酉Quantale的拓扑空间.研究了此类空间与基于平坦理想的量子值域之间的关系。
2021-09-14 math.CT math.GN
Sobriety of Regular Open Algebras in Second-Countable T3 Spaces
Yancheng Teachers University（盐城师范学院）；Beijing University of Posts and Telecommunications（北京邮电大学）；National Institute of Education, Nanyang Technological University（南洋理工大学国立教育学院）
该研究针对第二可数T3空间，揭示正则开代数RO(X)的Scott空间为sober的充要条件，由此解答完全布尔代数sober性的公开问题，并提供构造非sober完全格的系统方法。
2026-08-13 math.GN
The sobriety for locally compact dcpos
School of Sciences, Southwest Petroleum University（西南石油大学理学院）；School of Sciences, Hebei University of Science and Technology（河北科技大学理学院）
本文研究局部紧dcpo对Scott拓扑的清醒性这一开放问题，给出交连续局部紧coherent dcpo及局部紧第二可数dcpo的Scott空间为清醒空间的两个充分条件。
2026-10-14 math.GN
Domain-complete and LCS-complete spaces
我们研究连续dcpos的$G_δ$子空间，我们称之为域完备空间，和局部紧sober空间的$G_δ$子空间，我们称之为LCS完备空间。这些空间包括所有局部紧的sober空间--特别是所有连续的dcpos空间--，所有Čech意义下的拓扑完备空间，以及所有拟波兰空间--特别是所有波兰空间。我们证明了LCS-完备空间是sober、Wilker、紧Choquet-完备、完全Baire和$\odot$ -辅音-特别是辅音空间;域完备）空间是准波兰空间;并且可度量的LCS完备（分别，域完备空间是完全可度量化的空间。我们包括两个应用程序：在LCS-完备空间上，所有的连续赋值都扩张到测度上，并且次线性预影形成了一个与连续赋值空间的凸Hoare幂域同胚的空间。
2019-02-28 math.GN
Sobriety of Scott topologies under countability conditions
School of Sciences, Southwest Petroleum University（西南石油大学理学院）；School of Mathematics and Statistics, Shaanxi Normal University（陕西师范大学数学与统计学院）
本文研究了可数条件下Scott拓扑的sobriety性质，证明了可数交连续核心紧dcpo和可数局部紧dcpo是sober的，但有理数空间的开集格不是sober的。
2026-09-24 math.GN
Posets uniquely determined by its compact saturated subsets
受Zhao和Xu启发，本文探讨偏序集（或dcpo）能否由其Scott紧饱和子集族唯一确定（$\mathcal Q_\sigma$-唯一），证明了拟连续域、余Sober的$K_D$偏序集及弱良滤的余Sober偏序集均满足此性质，并通过实例区分了各条件。
2025-03-04 math.GN
Faithfulness of Directed Complete Posets based on Scott Closed Set Lattices
Thron证明了拓扑空间$X$具有如下性质：$C(X)$同构于$C(Y)$，蕴含$X$同胚于$Y$当且仅当$X$是sober且$T_D$，其中$C(X)$和$C(Y)$分别表示$X$和$T_0$空间$Y$的闭集格。当我们考虑dcpos（有向完备偏序集）配备了它们的Scott拓扑时，一个类似的问题出现了：哪些dcpos $P$具有这样的性质：对于任何dcpo PDMATHAMT，$C_σ(P)$同构于$C_σ(Q)$意味着$P$同构于PDMATHAMT（这样的dcpo $P$将被称为Scott闭集格忠实，或简称为SCL忠实）？这里，$C_σ(P)$和$C_σ(Q)$分别表示$P$和$Q$的Scott闭集的格。根据$C_σ(P)$对连续（拟连续）dcpo的刻画，可以很容易地推导出每个连续（拟连续）dcpo都是SCL-忠实的。注意，每个连续（拟连续）dcpo的Scott空间是sober的。与Thron的结果相比，人们自然会问是否每个SCL忠实的dcpo都是清醒的（使用Scott拓扑）。本文证明了某些dcpos类是SCL-忠实的，这些类包含某些dcpos类的Scott拓扑不是有界的。这些结果将有助于在未来获得一个完整的描述SCL忠实dcpos。
2016-07-13 math.GN
Sober $L$-convex spaces and $L$-join-semilattices
本研究将经典凸空间的sober性推广至$L$-凸空间，构造其sober化并证明范畴反射性，引入Scott $L$-凸结构，借此刻画$L$-序集的$L$-并半格完备化。
2024-08-16 math.CT math.GN
Convergence Choquet-complete spaces and domain representations
Yancheng Teachers University（盐城师范学院）；Beijing University of Posts and Telecommunications（北京邮电大学）；National Institute of Education, Nanyang Technological University（南洋理工大学国立教育学院）
研究de Brecht等人提出的关于清醒收敛Choquet完备空间是否域完备的问题，引入单点Choquet完备性概念，证明单点Choquet完备的T₁空间可域表示，得出收敛Choquet完备的T₁空间可域表示且清醒，简化原问题。
2026-07-29 math.GN
On Faded Cosheaves of Sets
证明了在清醒拓扑空间$(B,Ω)$上的Set中的褪色余层范畴等价于一个范畴Sett $(B,Ω)$，它具有与Set $ / B$相同的对象类，但一般具有更宽的态射类.我们还证明了相反的情况：如果$T_0$ -空间$(B,Ω)$上的每一上层同构于$(B,Ω)$中适当映射的管的上层，则$(B,Ω)$是sober的。
1999-01-24 math.CT math.GN
Strong well-filteredness of upper topology on sup-complete posets
Jiangxi Normal University（江西师范大学）；Minnan Normal University（闽南师范大学）
本文研究了sup-完全偏序集上上拓扑的强well-filtered性质，证明其为强R空间，并回答了Xu提出的两个问题。
2025-12-11 math.GN
A note on power spaces and function spaces of strongly well-filtered spaces
Changsha Normal University（长沙师范学院）；Hunan University（湖南大学）；Hebei Normal University（河北师范大学）
本文构造可数局部紧强R空间，其幂空间及函数空间均非强d-空间，否定相关保持性质问题。
2026-10-05 math.GN
Existence of well-filterifications of $T_0$ topological spaces
证明了对每个$T_0$空间$X$，存在一个良滤空间$W(X)$和一个连续映射$η_X: X\lra W(X)$使得对任何良滤空间$Y$和任何连续映射$f: X\lra Y$，存在唯一的连续映射$\hat{f}: W(X)\lra Y$使得$f=\hat{f}\circ η_X$ .这样的空间$W(X)$将被称为$X$的井过滤。这一结果给出了一个积极的答案的主要开放问题之一，良好的过滤空间。我们将证明的关于良滤空间的另一个结果是两个良滤空间的乘积是良滤的。
2019-07-15 math.GN
A Hofmann-Mislove theorem for approach spaces
霍夫曼-米斯洛夫定理说，一个清醒的拓扑空间的开集格的开滤子的有序集同构于该空间的紧饱和集的有序集（通过反向包含有序）。本文讨论了这个结果的度量类比。为此，引入了逼近空间的紧函数的概念。这样的功能是一个类似的紧凑的子集在丰富的上下文中。证明了对一个清醒的逼近空间$X$，$X$的上正则函数度量空间的真开$[0,\infty]$ -滤子度量空间同构于$X$的紧饱和函数度量空间的对立面，建立了逼近空间的Hofmann-Mislove定理.
2022-12-27 math.CT math.GN
On three problems about well-filteredness of $T_0$-spaces
School of Mathematics and Statistics, Minnan Normal University（闽南师范大学数学与统计学院）；College of Mathematics and Information, Nanchang Hangkong University（南昌航空大学数学与信息学院）
研究关于\(T_0\)空间良滤性的三个问题，通过构造可数诺特完备格、dcpo等及相应拓扑，得出\((L,\tau)\)、\(\sigma (P)\)、\(\mathbb{C}(X,Y)\)非良滤的结果，从而回答了相关开放问题。
2026-07-08 math.GN
$ω$-well-filtered spaces, revisited
本文通过禁止自然数集以余有限拓扑或Scott拓扑作为强拓扑闭子集出现，重新刻画了T₀空间的ω-良滤性，并解决了ω-良滤化刻画及第二可数空间中sober性的收敛特征问题。
2024-09-03 math.GN
The characterization for the sobriety of $L$-convex spaces
以交换整量子化格 $L$ 为真值表，研究分层 $L$-凸空间 sober 性的刻画，证明 sober 化等价于拟同胚存在，且 sober 性等价于在分层 $S_0$ $L$-凸空间范畴中为严格内射对象。
2024-10-13 math.CT math.GN
Some new results on well-filteredness of $T_0$-spaces
Minnan Normal University（闽南师范大学）
本文证明具有性质Q的d-空间是良好过滤的，并指出Smyth幂空间构造保持良好过滤性，同时研究了完全格上序兼容d-拓扑的良好过滤性条件。
2026-06-18 math.GN
On $k$-ranks of topological spaces
本文引入 $k$-良滤空间与 $k$-秩，证明任意 $T_0$ 空间存在 $k$-良滤反射，并构造任意序数作为 $k$-秩，统一了 $d$-空间与良滤空间理论。
2023-03-17 math.GN
Deriving dualities in pointfree topology from Priestley duality
本文从分配格的 Priestley 对偶出发，推导出 pointfree 拓扑中的 Hofmann-Lawson 对偶、稳定连续对偶及 Isbell 对偶，为经典对偶结果提供新视角。
2023-08-06 math.GN
Reflecting compact $T_1$-spaces into bounded distributive lattices
本文构造了紧致 $T_1$-空间到有界分配格的反变反射，用闭 subfit 态射推广 Stone 对偶与 Isbell 对偶，并在完备紧致 subfit 格上得到对偶，进而恢复 Cornish 的经典结果。
2025-08-19 math.CT math.GN math.LO
Recovering the boundary path space of a topological graph using pointless topology
首先，我们将Paterson和Welch对局部紧空间序列给出的局部紧拓扑的定义推广到其基础空间是$T_1$和sober的情况。然后，我们考虑这种拓扑的基本开集的一个特定的半格上的所有路径的空间上的一个图和图C* 代数的定义所激发的关系，以恢复的边界道路空间的一个图。这是使用无意义拓扑技术完成的。最后，我们将结果推广到拓扑图的情况。
2018-04-23 math.GN math.OA
