On Scott power spaces
本文主要讨论Scott幂空间的一些基本性质。对于$T_0$空间$X$，设$\mathsf{K}(X)$是$X$的所有非空紧饱和子集的偏序集，赋予Smyth序。证明了良滤空间$X$的Scott幂空间$Σ\mathsf{K}(X)$仍然是良滤的，$T_0$空间$Y$是良滤的当且仅当$Σ\mathsf{K}(Y)$是良滤的，并且上Vietoris拓扑比$\mathsf{K}(Y)$上的Scott拓扑粗.一个清醒的空间是为它的斯科特权力空间是不清醒的。给出了Scott幂空间是清醒的几个充分条件。研究了Smyth幂空间和Scott幂空间的局部紧性、第一可数性、Rudin性和良滤决定性等性质。
2022-07-05 math.GN
$PF$-well-filtered spaces
Hunan University（湖南大学）；Qufu Normal University（曲阜师范大学）
本文解决拓扑空间良滤性的两个公开问题，否定了上空间开良滤则原空间开良滤的猜想，肯定了局部紧下$PF$-良滤性与$PF$-清醒性等价，还得到相关刻画及函数空间性质等结果。
2026-10-16 math.GN
A Hofmann-Mislove theorem for $c$-well-filtered spaces
本文引入$c$-良滤空间概念，证明其收缩保持该性质，并得到局部Lindelöf的$c$-良滤$P$-空间为countably sober，进而推广Hofmann-Mislove定理至$c$-良滤空间。
2023-03-17 math.GN
$ω$-Rudin spaces, well-filtered determined spaces and first-countable spaces
研究了$d$ -空间、良滤空间和Rudin空间的各种可数性质。主要成果包括：（i）如果$T_0$空间$X$的sobrification是一次可数的，则$X$是$ω$ -Rudin空间;（ii）如果每个$ω$ -良滤空间的sobrification是一次可数的，则它是sobrification;（iii）如果一个$T_0$空间是二次可数的或一次可数的，并且有一个可数的底层集，则它是$ω$ -Rudin空间;（iv）第一可数$T_0$空间是良滤确定的;（v）第一可数$ω$ -良滤空间中的不可约闭子集是可数定向的;（vi）第一可数$ω$ -良滤$ω^\ast$ - $d$ -空间是sober的。
2020-08-23 math.GN
First countability, $ω$-well-filtered spaces and reflections
本文首先在$T_0$空间中引入并研究了介于可数有向子集的所有闭包的类与不可约闭子集的所有闭包的类之间的两类新子集--$ω$ -Rudin集和$ω$ -良滤定集，以及两类新空间-- $ω$ - $d$空间和$ω$ -良滤定空间.证明了$ω$ -良滤$T_0$空间是局部紧的当且仅当它是核紧的.一个直接的推论是每个核紧良滤空间是清醒的，用一种新的方法回答了Jia-Jung问题。我们还证明了第一可数$ω$ -良好过滤$T_0$空间中的所有不可约闭子集是有向的。因此，第一可数$T_0$空间$X$是清醒的当且仅当$X$是良好过滤的当且仅当$X$是$ω$ -良好过滤的$d$ -空间。利用$ω$ -良滤确定集，给出了$T_0$空间的$ω$ -良滤反射的直接构造，并证明了$ω$ -良滤空间的乘积是$ω$ -良滤的.
2019-11-25 math.GN
On H-sober spaces and H-sobrifications of $T_0$ spaces
本文给出了$d$ -空间、清醒空间和良滤空间的统一方法，并给出了处理所有这些空间的一般框架。对于子集系统H，建立了H-sober空间和超H-sober空间的理论，给出了$T_0$空间的H-sobrification和超H-sobrification的直接构造.因此，所有H-sober空间的范畴在$\mathbf{Top}_0$中是反射的，并且所有超H-sober空间的范畴在$\mathbf{Top}_0$中也是反射的，如果H具有自然性质（称为性质M）。证明了H-sobrification保持$T_0$空间的有限积，当H具有性质M时，超H-sobrification保持$T_0$空间的有限积.
2020-03-16 math.GN
When do weakly first-countable spaces and the Scott topology of open set lattice become sober?
本文研究弱第一可数空间的sober性，给出开集格Scott拓扑为sober空间的充分条件，并建立Fréchet空间条件下偏序集乘积、$ω$-良滤凝聚$d$-空间及$ω$型P-空间/协调Wilker空间的相关sober性结论。
2025-04-08 math.GN
Not every countable complete lattice is sober
在Domain理论中，Scott空间的清醒性研究已经有了较长的历史。Lawson和Hoffmann分别证明了每个连续有向完备偏序集（通常称为Domain）的Scott空间是sober的。Johnstone构造了第一个Scott空间是非清醒的有向完备偏序集。不久之后，Isbell给出了一个具有非清醒Scott空间的完全格。在Isbell例子的基础上，Xu，Xi和Zhao证明了甚至存在一个完备的Heyting代数，其Scott空间是非sober的。阿希姆·荣格接着提出了一个问题：是否每一个可数的完全格都有一个清醒的斯科特空间。设$ΣP$是偏序集$P$的Scott空间.证明了如果偏序集$P$和$Q$的所有非平凡理想的集合$Id(P)$和$Id(Q)$都是可数的，则乘积空间$ΣP\times ΣQ$的拓扑与乘积偏序集$P\times Q$上的Scott拓扑重合.在此基础上，我们得到了有向完备偏序集$P$有一个清醒的Scott空间，如果$Id(P)$是可数的，并且空间$ΣP$是凝聚的和良好滤子的.因此，具有$Id(L)$可数的完全格$L$具有清醒的Scott空间。利用所得结果，构造了一个Scott空间为非清醒的可数完全格，从而否定了Jung问题.
2022-04-30 math.GN
Further studies on open well-filtered spaces
本文在开良滤空间的既有研究基础上，进一步探究其性质，证明了开良滤空间的上空间（非空饱和紧子集集配上Vietoris拓扑）仍为开良滤空间，并补充了该类空间的其他相关性质，推进了相关拓扑问题的研究。
2023-03-17 math.GN
On some kinds of weakly sober spaces
在\cite{E_2018}中，Erné放宽了清醒度的概念，以便将清醒空间和局部超紧空间的理论扩展到定向连接缺失的情况，并引入了三种非清醒空间：割空间，弱清醒空间和拟清醒空间。本文研究了它们的基本性质。结果表明，一些性质是类似的清醒的空间保持和其他不成立。
2019-07-15 math.GN
School of Mathematics and Statistics, Guilin University of Technology, Guilin 541004, ChinaScott spaces of complete Boolean algebras need not be co-sober
School of Mathematics and Statistics, Guilin University of Technology（桂林理工大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics, Minnan Normal University（闽南师范大学数学与统计学院）
本文通过构造嵌入与实例，证明完备布尔代数的Scott空间未必是co-sober的，否定了相关公开问题，同时验证了对应空间的非可定义性与良滤性。
2026-08-11 math.GN
On some open problems concerning strong d-spaces and super H-sober spaces
在本文中，我们强调了徐和赵所提出的一些开放性问题。特别地，我们专注于强$d$ -空间和回答两个开放的问题，有关强$d$ -空间。一个是关于任意强$d$ -空间族的乘积空间。另一个是关于强$d$ -空间范畴$\mathbf{S}$ - $\mathbf{Top}_{d}$的反射性。同时，对于不可约子集系统（简称$R$ -子集系统）$\mathrm{H}$和$T_{0}$空间$X$，证明了$\mathrm{H}$自然满足性质$M$ .在此基础上，我们推出了$X$是超$\mathrm{H}$ -清醒的当且仅当$X$是$\mathrm{H}$ -清醒的且$\mathrm{H}$满足性质$Q$ .并对徐在\cite{Xiaoquan21}中提出的一些问题作了肯定的回答。进一步得到了超清醒空间的有限积是超清醒的。
2021-09-23 math.GN
Sober topologies on a set
本文研究集合上所有拓扑构成的完备格中 sober 拓扑的地位，证明了每个拓扑可表示为 sober 拓扑的交或并，并刻画了极小 sober 拓扑，构造反例说明豪斯多夫拓扑递减序列之交不必 sober。
2025-08-07 math.GN
S*-well-filtered spaces and d*-spaces
Hunan University（湖南大学）；Changsha University of Science and Technology（长沙理工大学）
本文引入S*-well-filtered空间，证明其与d*-空间的关系，并展示Johnstone的例子表明S*-well-filtered与强well-filtered的区别
2026-01-16 math.GN
The core compactly generated topology
针对核心紧生成拓扑的相关封闭性问题，通过构造反例证明其在清醒化下不封闭，同时得出其在ω良滤化、D完备化下封闭，还发现良滤空间Smyth幂空间的核心紧生成拓扑与Scott拓扑一致，并给出核心紧生成空间核心紧性的刻画。
2023-04-30 math.GN
Faithfulness of Directed Complete Posets based on Scott Closed Set Lattices
Thron证明了拓扑空间$X$具有如下性质：$C(X)$同构于$C(Y)$，蕴含$X$同胚于$Y$当且仅当$X$是sober且$T_D$，其中$C(X)$和$C(Y)$分别表示$X$和$T_0$空间$Y$的闭集格。当我们考虑dcpos（有向完备偏序集）配备了它们的Scott拓扑时，一个类似的问题出现了：哪些dcpos $P$具有这样的性质：对于任何dcpo PDMATHAMT，$C_σ(P)$同构于$C_σ(Q)$意味着$P$同构于PDMATHAMT（这样的dcpo $P$将被称为Scott闭集格忠实，或简称为SCL忠实）？这里，$C_σ(P)$和$C_σ(Q)$分别表示$P$和$Q$的Scott闭集的格。根据$C_σ(P)$对连续（拟连续）dcpo的刻画，可以很容易地推导出每个连续（拟连续）dcpo都是SCL-忠实的。注意，每个连续（拟连续）dcpo的Scott空间是sober的。与Thron的结果相比，人们自然会问是否每个SCL忠实的dcpo都是清醒的（使用Scott拓扑）。本文证明了某些dcpos类是SCL-忠实的，这些类包含某些dcpos类的Scott拓扑不是有界的。这些结果将有助于在未来获得一个完整的描述SCL忠实dcpos。
2016-07-13 math.GN
Some new results on well-filteredness of $T_0$-spaces
Minnan Normal University（闽南师范大学）
本文证明具有性质Q的d-空间是良好过滤的，并指出Smyth幂空间构造保持良好过滤性，同时研究了完全格上序兼容d-拓扑的良好过滤性条件。
2026-06-18 math.GN
A new method for constructing a compact and non SI-compact space
School of Mathematics and Statistics, Shaanxi Normal University（陕西师范大学数学与统计学院）
本文提出构造紧且非SI紧空间的新方法，引入v紧性概念并证明其相关性质，解答了Zhao、Ho及[1]提出的问题。
2026-08-04 math.GN
The reflectivity of some categories of T0 spaces in domain theory
本文针对域理论中的T0空间范畴反射性问题，证明Keimel与Lawson提出的反射性判定条件在特定意义下兼具充分性与必要性，并借此推导出若干域理论范畴不具反射性，解决了相关公开问题。
2021-10-04 math.CT math.GN
