The set of real numbers with the cocountable topology has a bounded complete dcpo model
National Institute of Education, Nanyang Technological University（南洋理工大学国立教育学院）；Beijing University of Posts and Telecommunications（北京邮电大学）；Jiangsu Normal University（江苏师范大学）
本研究构造有界完全dcpo P，解决了余可数拓扑实数集的dcpo模型公开问题，还得到了Scott空间非索伯的新完全格。
2026-08-05 math.GN
Posets uniquely determined by its compact saturated subsets
受Zhao和Xu启发，本文探讨偏序集（或dcpo）能否由其Scott紧饱和子集族唯一确定（$\mathcal Q_\sigma$-唯一），证明了拟连续域、余Sober的$K_D$偏序集及弱良滤的余Sober偏序集均满足此性质，并通过实例区分了各条件。
2025-03-04 math.GN
Domain-complete and LCS-complete spaces
我们研究连续dcpos的$G_δ$子空间，我们称之为域完备空间，和局部紧sober空间的$G_δ$子空间，我们称之为LCS完备空间。这些空间包括所有局部紧的sober空间--特别是所有连续的dcpos空间--，所有Čech意义下的拓扑完备空间，以及所有拟波兰空间--特别是所有波兰空间。我们证明了LCS-完备空间是sober、Wilker、紧Choquet-完备、完全Baire和$\odot$ -辅音-特别是辅音空间;域完备）空间是准波兰空间;并且可度量的LCS完备（分别，域完备空间是完全可度量化的空间。我们包括两个应用程序：在LCS-完备空间上，所有的连续赋值都扩张到测度上，并且次线性预影形成了一个与连续赋值空间的凸Hoare幂域同胚的空间。
2019-02-28 math.GN
The reflective hull of the two-element chain in DCPO: properness, maximal Γ-faithfulness, and an internal reflection formula
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
本文在范畴论框架下，研究DCPO中二元链的反射包络R₂的正则性、极大Γ-忠实性，给出2-反射的内部构造及相关判据，丰富了dcpo范畴的反射子范畴理论。
2026-08-25 math.GN
Uniqueness of directed complete posets based on Scott closed set lattices
本文类比Drake-Thron定理，引入下线性与拟连续元素，证明包括拟连续dcpos及Johnstone、Kou实例在内的多类dcpos由Scott闭集格唯一决定，且其Scott拓扑不必有界sober。
2018-05-15 math.GN
The product of two Scott sober complete lattices is not always Scott sober
School of Sciences, Southwest Petroleum University（西南石油大学理学院）
本文构造两个 Scott sober 完备格，证明其乘积的 Scott 空间非 sober，从而回答 Miao 等人提出的问题。
2026-10-14 math.GN
Topological representations for frame-valued domains via $L$-sobriety
本文以 frame $L$ 为真值表，引入局部超紧及强局部超紧 $L$-拓扑空间，借助 $L$-sobriety 表示连续与代数 $L$-dcpo，并建立相关范畴同构及定向完备化应用。
2024-08-08 math.GN
Products of co-sober spaces need not be co-sober
Nanchang Institute of Technology（南昌工程学院）；Guilin University of Technology（桂林理工大学）
该研究否定了共 sober 空间的乘积必为共 sober 的猜想，通过构造特定空间给出反例，还为共 sober 空间在 T₀ 空间范畴内的非反射性提供了新证明。
2026-10-14 math.GN
S*-well-filtered spaces and d*-spaces
Hunan University（湖南大学）；Changsha University of Science and Technology（长沙理工大学）
本文引入S*-well-filtered空间，证明其与d*-空间的关系，并展示Johnstone的例子表明S*-well-filtered与强well-filtered的区别
2026-01-16 math.GN
Separating minimal valuations, point-continuous valuations and continuous valuations
本文给出了dcpo上连续赋值的两个具体例子来区分极小赋值、点连续赋值和连续赋值：（1）设$\mathcal J$为Johnstone的非清醒dcpo，$μ$为$\mathcal J$上的连续赋值，其中$μ(U) =1$为非空Scott为$U=\emptyset$打开$U$和$μ(U) = 0$.则$μ$是$\mathcal J$上的点连续赋值，它不是最小的。(2)Lebesgue测度推广到Sorgenfrey线$\mathbb R_{l}$上的测度.它对$\mathbb R_{l}$的开子集的限制是连续赋值$λ$。则通过将$\mathbb R_{l}$嵌入到Scott拓扑中的Smyth幂域$\mathcal Q\mathbb R_{l}$中，其像赋值$\overlineλ$是不点连续的连续赋值。我们相信我们的结构$\overlineλ$可能是有用的反例显示失败的一般Fubini型方程dcpo的。
2021-09-01 cs.LO math.GN
On H-sober spaces and H-sobrifications of $T_0$ spaces
本文给出了$d$ -空间、清醒空间和良滤空间的统一方法，并给出了处理所有这些空间的一般框架。对于子集系统H，建立了H-sober空间和超H-sober空间的理论，给出了$T_0$空间的H-sobrification和超H-sobrification的直接构造.因此，所有H-sober空间的范畴在$\mathbf{Top}_0$中是反射的，并且所有超H-sober空间的范畴在$\mathbf{Top}_0$中也是反射的，如果H具有自然性质（称为性质M）。证明了H-sobrification保持$T_0$空间的有限积，当H具有性质M时，超H-sobrification保持$T_0$空间的有限积.
2020-03-16 math.GN
On some open problems concerning strong d-spaces and super H-sober spaces
在本文中，我们强调了徐和赵所提出的一些开放性问题。特别地，我们专注于强$d$ -空间和回答两个开放的问题，有关强$d$ -空间。一个是关于任意强$d$ -空间族的乘积空间。另一个是关于强$d$ -空间范畴$\mathbf{S}$ - $\mathbf{Top}_{d}$的反射性。同时，对于不可约子集系统（简称$R$ -子集系统）$\mathrm{H}$和$T_{0}$空间$X$，证明了$\mathrm{H}$自然满足性质$M$ .在此基础上，我们推出了$X$是超$\mathrm{H}$ -清醒的当且仅当$X$是$\mathrm{H}$ -清醒的且$\mathrm{H}$满足性质$Q$ .并对徐在\cite{Xiaoquan21}中提出的一些问题作了肯定的回答。进一步得到了超清醒空间的有限积是超清醒的。
2021-09-23 math.GN
Not every countable complete lattice is sober
在Domain理论中，Scott空间的清醒性研究已经有了较长的历史。Lawson和Hoffmann分别证明了每个连续有向完备偏序集（通常称为Domain）的Scott空间是sober的。Johnstone构造了第一个Scott空间是非清醒的有向完备偏序集。不久之后，Isbell给出了一个具有非清醒Scott空间的完全格。在Isbell例子的基础上，Xu，Xi和Zhao证明了甚至存在一个完备的Heyting代数，其Scott空间是非sober的。阿希姆·荣格接着提出了一个问题：是否每一个可数的完全格都有一个清醒的斯科特空间。设$ΣP$是偏序集$P$的Scott空间.证明了如果偏序集$P$和$Q$的所有非平凡理想的集合$Id(P)$和$Id(Q)$都是可数的，则乘积空间$ΣP\times ΣQ$的拓扑与乘积偏序集$P\times Q$上的Scott拓扑重合.在此基础上，我们得到了有向完备偏序集$P$有一个清醒的Scott空间，如果$Id(P)$是可数的，并且空间$ΣP$是凝聚的和良好滤子的.因此，具有$Id(L)$可数的完全格$L$具有清醒的Scott空间。利用所得结果，构造了一个Scott空间为非清醒的可数完全格，从而否定了Jung问题.
2022-04-30 math.GN
Continuity and core compactness of topological spaces
本文研究了T0拓扑空间上的两个逼近关系：n-逼近和d-逼近，它们是dcpo上way-below关系的推广.这两个近似定义了不同种类的连续空间，并证明它们都是有向空间。我们证明了有向空间的连续性在许多方面与dcpo的连续性非常相似，这表明有向空间的概念是dcpo的一个适当的拓扑推广.主要结果是：（1）拓扑空间连续当且仅当它是代数空间的收缩核;（2）有向空间X是核紧的当且仅当对任意有向空间Y，其拓扑积分别等于X和Y在DTop中的范畴积;（3）有向空间是连续的（分别，代数的，拟连续的，拟代数的）当且仅当其闭子集的格是连续的（分别地，代数的，拟连续的，拟代数的）。
2022-07-07 cs.LO math.GN
On $T_0$ spaces determined by well-filtered spaces
本文首先引入并研究了$T_0$空间中两类新的子集-- Rudin集和介于有向子集的所有闭包类与不可约闭子集的所有闭包类之间的$\wdd$集。利用这些子集，我们定义了三种新的拓扑空间-- $\mathsf{DC}$空间，Rudin空间和$\wdd$空间. Rudin空间类介于$\wdd$空间类和$\dc$空间类之间，而$\dc$空间类介于Rudin空间类和sober空间类之间。利用Rudin集和$\wdd$集，我们给出并证明了良滤空间和sober空间的一些新的刻画.对于$T_0$空间$X$，证明了$X$是sober的，如果{} fPDMATHABMQ是良滤Rudin空间，如果{} fPDMATHABMQ是良滤$\mathsf{WD}$空间.证明了每个局部紧$T_0$空间是Rudin空间，每个核紧$T_0$空间是$\wdd$空间.一个直接的推论是，每一个核心紧凑过滤良好的空间是清醒的，给一个肯定的答案贾荣问题。使用$\wdd$集，我们给出了$T_0$空间的良好过滤反射的更直接的构造，并证明任何良好过滤空间集合的积都是良好过滤的。我们的研究也引出了一些问题，这些问题的回答将加深我们对相关空间和结构的理解。
2019-09-20 math.GN
Two Counterexamples Concerning the Scott Topology on a Partial Order
我们构造了一个完备格$Z$，使得二元上确界函数$\sup:Z\times Z\to Z$相对于$Z$的每个副本上的Scott拓扑的$Z\times Z$上的乘积拓扑是不连续的.此外，我们证明了一个完整的格$Z$的有界完备性一般不继承从$X$到$Z$的连续函数的dcpo $C(X,Z)$，其中$X$可以是任何拓扑空间，并在$Z$上的Scott拓扑被认为是。
2016-07-14 cs.LO math.GN
The Extended Real Line with Reentry: A Compact Path-Connected US-not-KC Space
本文构建了带有回退的实数直线（ERI），该空间在Clontz层级中位于k2-Hausdorff层级，是首个非 Hausdorff、非弱 Hausdorff 且非 KC 的紧致路径连通空间。
2026-10-26 math.GN
