Morse inequalities for the area functional
Fernando C. Marques, Rafael Montezuma, André Neves
本文证明了余维为1的面积泛函的强Morse不等式，并假定其周围维数满足$3 \leq (n + 1) \leq 7$，在闭和边界情形下都成立.
In this article we prove the strong Morse inequalities for the area functional in codimension one, assuming that the ambient dimension satisfies $3 \leq (n + 1) \leq 7$, in both the closed and the boundary cases.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Morse Index bound of simple closed geodesics on 2-spheres and strong Morse Inequalities
本文利用Morse理论刻画黎曼二维球面上的简单闭测地线，证明在通用度量下存在Morse指标为1、2、3的简单闭测地线，并对可定向黎曼曲面上的简单闭曲线空间建立了长度泛函的强Morse不等式。
Witten Deformation and Its Application toward Morse Inequalities
在这篇本科论文中，我们提出了一个分析证明的莫尔斯不等式封闭光滑$n$ -流形以下威滕的方法。利用偏微分方程理论的技巧，将证明归结为研究$\mathbb{R}^n$上谐振子的本征空间和本征值。
An analytic approach to the stratified Morse inequalities for complex cones
在前一篇文章中，作者将Witten变形推广到具有锥状奇点的奇异空间和一类称为容许Morse函数的Morse函数。该方法特别适用于复杂的锥和分层莫尔斯函数的意义上的理论开发的Goresky和麦克弗森。由分层莫尔斯理论可知，复锥上的奇点对分层Morse不等式的贡献仅限于中阶。本文给出了这一事实的分析证明。
Holomorphic Morse inequalities for orbifolds
利用热核方法证明了Demailly全纯Morse不等式对复orbifolds成立。然后，我们引入类Moishezon orbifolds和作为我们的不等式的应用，我们给出了一个几何准则，紧凑的连接orbifolds是Moishezon orbifolds，从而推广Siu和Demailly的答案的Grauert-Riemenschneider猜想的orbifold的情况。
Analytic approach to $S^1$-equivariant Morse inequalities
众所周知，闭流形$M$的上同调群可以利用Morse-Smale函数$f\colon M\to \R$的梯度动力学来重构。这种结构的直接结果是Morse不等式，该不等式根据$M$的贝蒂数为$f$的临界点的数目提供下界。这些不等式可以通过研究变形拉普拉斯算子的渐近性态，用纯分析的方法导出。该方法是由E.在过去的几十年里，他在几何学和拓扑学方面取得了许多伟大的成就。本文采用Witten方法，给出了李群$G=S^1$作用于基础流形，且Morse函数$f$对该作用不变时的等变Morse不等式的一个解析证明.
G-invariant Holomorphic Morse inequalities
考虑一个连通紧致李群在紧致复流形$M$上的作用，以及两个等变向量丛$L$和$E$在$M$上的作用，其中$L$秩为1。建立了$E$扭曲的$L$张量幂的Dolbeault上同调不变部分的全纯Morse不等式.为此，我们定义了一个矩映射$μ$的Kostant公式，我们定义了一个自然的假设下，$μ^{-1}(0)$的$M$减少。我们的不等式是根据$L$在这种约化上诱导的丛的曲率给出的。
Supersymmetric Schrödinger Operators with Applications to Morse Theory
在1981年爱德华威滕证明了一个显着的结果，他得出了经典的莫尔斯不等式使用的想法，从超对称（超对称）量子力学。在这方面，我们有一个例子，其中物理理论对底层的数学结构有话要说。本文的目的是从薛定谔算子的角度来理解这个经典结果。本文将分为四个部分。第一部分将重温经典的莫尔斯理论，并回顾它的一些基本结果。在第二部分中，我们考虑潜在的物理动机，考虑量子力学和0维超对称性。第三部分将集中在薛定谔算子，并强调他们的一些基本性质。最后，在最后一节，我们将把一切放在一起，目前威滕的证明莫尔斯不等式。即使在这里，我们必须完全诚实地说，我们只是遵循威滕证明弱莫尔斯不等式。强Morse不等式是使用超对称的相关思想导出的，但提到了Witten在强Morse不等式中使用的技术。
Some Morse-type inequalities for symplectic manifolds
给出了Tseng和Yau定义的Bott-Chern和Aeppli上同调群的辛形式的Morse型不等式.
Delocalized Betti numbers and Morse type inequalities
本文提出并证明了关于Morse函数和闭微分1-形式的Morse型不等式。这些不等式涉及离域贝蒂数。作为直接结果，我们证明了圆上流形的离域贝蒂数为零。
Witten instanton complex and Morse-Bott inequalities on stratified pseudomanifolds
本文在分层伪流形上构造Witten瞬子复形，推广Morse-Bott条件并证明相应的Morse不等式，为奇异空间上的几何分析提供新工具。
Strong holomorphic Morse inequalities on non-compact complex manifolds with optimal fundamental estimate
本文在最优基本估计条件下建立了非紧复流形上的强全纯Morse不等式，并证明了该估计在多种情形下成立从而保证不等式成立。
Equivariant Morse inequalities and applications
本文利用Bismut-Lebeau的分析局部化技巧证明了等变Morse不等式。作为应用，我们将等变Morse不等式应用于二重流形，得到了具有非空边界的紧致流形上的Morse不等式。
Holomorphic Morse Inequalities and Symplectic Reduction
在紧致Kaehler流形上的全纯向量丛上引入了全纯圆作用的Morse型不等式。我们的不等式产生的多重权发生在扭曲的Dolbeault上同调的不动点和辛减少的数据的界限。这个结果推广了Witten全纯Morse不等式的Wu-Zhang推广和辛约化的Tian-Zhang Morse型不等式。作为应用，我们给出了辛对偶的田-张相对指标定理的一个新证明。
Weak transcendental holomorphic Morse inequalities on compact Kähler manifolds
超越全纯Morse不等式刻画了$(1,1)$型超越上同调类的正性.本文证明了紧Kähler流形上超越Morse不等式的Demailly猜想的一个弱版本。从而部分改进了Boucksom-Demailly-Paun-Peternell的一个结果。
Morse-Bott inequalities for manifolds with boundary
本文定义了带边界流形上的Morse-Bott函数，它是Morse函数的推广，并证明了这类流形上的Morse-Bott不等式。
Morse inequalities for manifolds with boundary
本文的目的是给出一个关于有边流形的Morse不等式的证明。我们的主要结果当然是已知的专家莫尔斯理论，但似乎有必要写下来一个完整的证明。我们的证明是分析和基于J.罗伊的帐户威滕的做法莫尔斯理论。
On Bergman kernel functions and weak Morse inequalities
该研究利用渐近Bergman核函数与Bochner-Kodaira-Nakano公式，给出了多种流形及拟凸域上弱全纯Morse不等式的简单统一证明。
Equivariant Holomorphic Morse Inequalities III: Non-Isolated Fixed Points
证明了紧致Kahler流形上全纯向量丛上的全纯环面作用的等变全纯Morse不等式，其中不动点集不一定是离散的。这样的不等式约束的扭曲Dolbeault上同调的Kahler流形方面的不动点集。应用这些不等式得到了不动点集连通分支的Hodge数与整个流形的Hodge数的关系。我们还调查几何量子化的后果，特别是在辛切割的背景下。
Morse inequalities for noncompact manifolds
本文在离散群余紧真不连续作用于非紧流形的条件下，利用 $L^2$-贝蒂数及描述临界点粗略构型的群上函数，建立了莫尔斯函数不要求群不变时的莫尔斯不等式。
Szegö kernel asymptotics and Morse inequalities on CR manifolds with $S^1$ action
设$X$是维数为$2n-1, n\geq 2$的紧致连通CR流形.我们假设在$X$上存在一个横向CR局部自由$S^1$作用.令$L^k$为刚性CR线束$L$除以$X$的$k$次方。在不对$X$的Levi-形式作任何假设的情况下，得到了部分SzegIgnkernel在$(0,q)$ -形式上的标度上界，其值为$L^k$ .在积分之后，这给出了弱Morse不等式。通过精细的谱分析，我们还得到了CR背景下的强Morse不等式.我们应用强Morse不等式证明了Grauert-Riemenschneider准则在CR环境下也成立。
Szegö kernel asymptotics and Morse inequalities on CR manifolds
本文考虑一个抽象紧可定向Cauchy-Riemann流形，它具有一个Cauchy-Riemann复线丛。我们假设流形处处满足条件Y（q）。本文得到了（0，q）-形式上Szegö核的标度上界，其值在线丛的高张量幂幂中.这使得积分后弱莫尔斯不等式，类似物的全纯莫尔斯不等式的Demailly。通过精细的谱分析，我们也得到了强Morse不等式，我们应用到一些凹凸流形的嵌入。
Bergman kernels and local holomorphic Morse inequalities
设X是埃尔米特流形，L^k是X上埃尔米特线丛的高次幂。本地版本的Demailly的全纯莫尔斯不等式-积分后，他们产生通常的不等式。局部弱不等式在任何埃尔米特流形X上成立，而与紧性和完备性无关。证明，这是基本的，是基于一种新的方法逐点伯格曼核估计，其中的内核估计的模型核在标准的复空间C^n。
Homological algebra of Novikov-Shubin invariants and Morse inequalities
本文证明了由S. P. Novikov和M. A. Shubin发现的拓扑现象“连续谱中的零“可以用值在某个交换范畴内的有限多面体范畴的同调理论来解释。这种方法意味着同伦不变性的Novikov-Shubin不变量。它的主要优点是它允许使用标准的同调技术，如谱序列，导出函子，通用系数等，同时研究Novikov-Shubin不变量。它还导致了一些新的定量不变量，以不同的方式测量Novikov-Shubin现象，这是用来加强Morse型不等式的Novikov和Shubin。
Semi-classical Heat Kernel Asymptotics and Morse Inequalities
本文通过引入半经典分析中的局部化和标度技术，研究了Witten Laplacian热核在Morse函数临界点附近的渐近行为，并利用这些渐近结果给出了Morse不等式的新颖证明。
The $\overline\partial$-cohomology groups, holomorphic Morse inequalities, and finite type conditions
研究了复流形中退化边界光滑有界区域上全纯线丛的$k^{\text{th}}$张量幂形式上复Laplacian的谱行为.特别地，我们证明了在二维情形下，伪凸域是有限型的当且仅当对任意正常数$C$，当$k$趋于无穷大时，小于或等于$Ck$的$\overline\partial$ -NeumannLaplacian的特征值的个数多项式增长.
The Morse-Bott inequalities via dynamical systems
设$f:M \to \mathbb{R}$是紧致光滑有限维流形$M$上的Morse-Bott函数.多项式Morse不等式和$f$的显式扰动定义使用Morse函数$f_j$在$f$的临界子流形$C_j$上立即表明，$MB_t(f) = P_t(M) + (1+t)R(t)$，其中$MB_t(f)$是$f$的Morse-Bott多项式和$P_t(M)$是$M$的Poincaré多项式。证明了$R(t)$是一个非负整数系数的多项式，证明了$f$在两个临界点$p,q \in C_j$之间扰动的梯度流线数与Morse函数$f_j$的$p$和$q$之间的梯度流线数一致.这导致与Morse函数$f_j$相关的Morse-Smale-Witten边界算子的核与$f$的扰动之间的关系。当$M$和所有的临界子流形都是定向的或者当使用$\mathbb{Z}_2$系数时，这种方法有效。
Twisted L^2 invariants of non-simply connected manifolds
我们发展了紧致流形上平坦希尔伯丛的扭L^2-上同调和扭谱不变量理论。它们可以被看作是M的第一de Rham上同调上的函数，并且它们推广了标准概念。扭曲L^2-上同调理论的一个新特征是，它们除了满足标准的L^2 Morse不等式外，还满足某些渐近的L^2 Morse不等式。这些减少到标准的莫尔斯不等式在有限维的情况下，当莫尔斯1-形式是准确的。定义了广义扭L^2 de Rham上同调，证明了渐近L^2 Morse-Farber不等式，给出了M上Morse 1-形式的Morse数的定量下界.
Equivariant Holomorphic Morse Inequalities I: A Heat Kernel Proof
假设圆群全纯作用在具有孤立不动点的紧致Kähler流形上，并且该作用可以全纯提升到全纯埃尔米特向量丛。给出了等变全纯Morse不等式的一个热核证明.我们使用Bismut和Lebeau开发的一些技术。这些不等式，首先获得威滕使用不同的论点，产生的界限上的多重权发生在扭曲的Dolbeault上同调的数据的不动点。
Local Demailly-Bouche's holomorphic Morse inequalities
设$(X,ω)$是Hermite流形，$(E,h^E)$，$(F,h^F)$是$X$上的两个Hermite全纯线丛.设$E$的Chern曲率$c(E)$的最大秩为$r$，且$c(E)$的核是叶状的，即存在$X$的复余维$r$的叶状$Y$，使得叶在每一点$x\in X$的切空间包含在$c(E)$的核中.本文给出了局部形式的Demailly-Bouche全纯Morse不等式（它给出了上同调群$H^{q}(X,E^k\otimes F^l)$为$k,l,k/l\rightarrow \infty$的渐近界）.局部形式在任何厄米流形上成立，不管其紧性和完备性如何。这个证明是Berman方法的一个变形，该方法导出了紧致复流形上的全纯Morse不等式。
Equivariant Holomorphic Morse Inequalities II: Torus and Non-Abelian Group Actions
将Kahler流形上全纯向量丛上的圆作用的等变全纯Morse不等式推广到环面和非阿贝尔群作用的情形，并证明了Kahler条件的必要性.对于环面的作用，有一组不等式为每个选择的作用室指定方向的李代数的环面。我们将结果应用于环面流形上的不变线丛。若群是非阿贝尔群，则外尔群在其极大环面的不动点集上还有一个作用。不动点上的和可以重新排列成外尔群（已经结合了纤维上的各向同性表示的特征）及其轨道上的和。
Nakano-Griffiths inequality, holomorphic Morse inequalities, and extension theorems for $q$-concave domains
本文通过全纯Morse不等式和Nakano-Griffiths不等式，研究了$q$-凹域上全纯形式的延拓问题，并给出了$q$-凹和$q$-凸流形的消去定理的几何证明。
Novikov-Morse theory for dynamical systems
本文用Conley的动力系统理论解释和推广了Novikov的1-形式Morse型不等式理论。
Morse theory of harmonic forms
我们考虑的问题是，是否有可能改善封闭的1-形式的诺维科夫不等式，或任何其他类似性质的不等式，如果我们假设，另外，给定的1-形式是调和关于一些黎曼度量。我们表明，在适当的假设下，这是不可能的。我们使用，在一个基本的方式，定理E.卡拉比特征1-形式是调和关于一些度量。我们还研究了一些有趣的例子来说明我们的结果。
CMC hypersurfaces with bounded Morse index
我们发展了低维闭黎曼流形中指数和面积有界的嵌入CMC超曲面的泡紧性理论。特别是，我们表明，收敛总是发生与重一，这意味着最小的爆破（泡沫）都是悬链线。我们还提供了边界上的有界（Morse）指数的CMC表面分离的区域，并使用这个，连同以前的结果，约束他们的属。
Kirwan-Novikov inequalities on a manifold with boundary
我们在2个方向上推广了封闭1-形式的Novikov Morse型不等式。首先，我们考虑带边界的流形。第二，我们允许形式的临界集的非常退化的结构，仅假设形式在Kirwan意义下是非退化的。特别地，我们得到了Floer关于带边流形上通常Morse不等式的一个结果的推广.我们还得到了不等式的等变形式。我们的证明是基于威滕变形技术的应用。这里的主要新颖之处是，我们认为附近的临界集作为一个流形与圆柱形结束。这导致局部分析的相当大的简化。特别地，我们得到了闭流形上Morse-Bott不等式的一个新的解析证明.
Spectral Kernels and Holomorphic Morse Inequalities for Sequence of Line Bundles
本文推广缩放方法研究非紧复流形上线丛序列的 Bergman 核与谱核渐近行为，导出其主项并将全纯 Morse 不等式推广至紧复流形情形。
Bounds for the Morse index of free boundary minimal surfaces
受Ejiri-Micallef关于闭极小曲面的工作的启发，我们比较了具有边界的黎曼流形的自由边界极小曲面的能量指数和面积指数，并证明了面积指数是由曲面的面积和拓扑从上到下控制的.结合Fraser-Li的结果，我们得到了欧氏空间凸区域中自由边界极小曲面的面积指数由其亏格的线性函数和边界分支数的上界确定的结论.我们还证明了指数界的高维子流形。
Lojasiewicz-Simon gradient inequalities for analytic and Morse-Bott functions on Banach spaces
我们证明了巴拿赫空间上解析泛函的Lojasiewicz-Simon梯度不等式的几个抽象版本，推广了这个不等式的以前的抽象版本，削弱了他们的假设，特别是著名的无穷维版本的梯度不等式，由于Lojasiewicz证明了西蒙（1983）。我们还证明了当泛函为Morse-Bott时，Lojasiewicz-Simon梯度不等式的最优指数是得到的，改进了Chill（2003，2006），Haraux and Jendoubi（2007）和Simon（1996）的类似结果。在我们的文章arXiv：1903.01953中，我们应用抽象的Lojasiewicz-Simon梯度不等式证明了调和映射能量泛函的Lojasiewicz-Simon梯度不等式，该能量泛函使用索伯列夫空间，对闭黎曼流形之间的映射施加最小正则性要求。调和映射能量泛函的这些不等式推广了Kwon（2002）、Liu and Yang（2010）、Simon（1983，1985）和Topping（1997）的不等式。在我们的专著arXiv：1510.03815中，我们证明了Lojasiewicz-Simon梯度不等式耦合杨-米尔斯能量函数使用索伯列夫空间施加最小的正则性要求对连接和部分。这些不等式推广了第一作者（arXiv：1409.1525中的定理23.1和23.17）关于任意维基流形和拉德（1992）关于二维和三维基流形的纯杨-米尔…
Morse index, Betti numbers and singular set of bounded area minimal hypersurfaces
我们引入了一个组合的论点来研究有界面积和高Morse指数的闭极小超曲面。设$(M^{n+1},g)$是闭黎曼流形，$Σ\subset M$是面积至多为$A>0$且Hausdorff维数至多为$n-7$的闭嵌入极小超曲面.我们给出以下边界：存在仅依赖于$n$、$g$和$A$的$C_A>0$，使得$$\sum_{i=0}^n b^i(Σ) \leq C_A \big(1+index(Σ)\big) \quad \text{ if $3\leq n+1\leq 7$},$$其中$b^i$表示任何域上的贝蒂数，$\mathcal{H}^{n-7}$是$(n-7)$维Hausdorff测度，而$Sing(Σ)$是$Σ$的奇异集。事实上，在维度$n+1=3$中，$C_A$线性地依赖于$A$。在文章的最后我们列出了一些有待解决的问题。
On the Existence of Minimal Hypersurfaces with Arbitrarily Large Area and Morse Index
该研究证明了3到7维凹凸闭黎曼流形中存在面积和Morse指数均趋于无穷的连通闭嵌入双侧极小超曲面，改进了此前仅涉及任意大面积连通极小超曲面的相关结果。
Optimal Lojasiewicz-Simon inequalities and Morse-Bott Yang-Mills energy functions
对于任何紧李群$G$和维数为$d\geq 2$的闭光滑黎曼流形$(X,g)$，我们推广了Uhlenbeck（1985）的一个结果，该结果给出了在$X$上的主$G$ -丛上存在一个平坦联络，该联络支持一个具有$L^p$ -小曲率的联络，当$p>d/2$为具有$L^{d/2}$ -小曲率的联络的情况。我们证明了Banach流形上抽象Morse-Bott函数的最优Lojasiewicz-Simon梯度不等式，推广了作者和Maridakis在arXiv：1510.03817中的一个早期结果。我们应用这个结果证明了最优Lojasiewicz-Simon梯度不等式，当已知在给定的Yang-Mills联络处Morse-Bott时，对于闭黎曼四维流形上正则反自对偶联络附近的自对偶Yang-Mills能量函数和对于$d \geq 2$维闭黎曼流形上的全Yang-Mills能量函数。我们还证明了最佳Lojasiewicz-Simon梯度不等式附近的一个给定的平坦的连接，这是一个正则点的曲率映射的直接分析。我们还证明了Riemann曲面上不可约Yang-Mills $U(n)$联络的Morse-Bott性质，并由此证明了此类临界点的最优Lojasiewicz-Simon梯度不等式.
Embedded area-constrained Willmore tori of small area in Riemannian three-manifolds II: Morse Theory
这是第二个一系列的两篇论文中，我们构建嵌入Willmore环面小面积约束黎曼三流形。在这两篇论文的建设依赖于一个Lyapunov-Schmidt减少，困难是莫比乌斯退化的环面。在第一篇论文的建设是通过最小化，这里由莫尔斯理论;为了这个目的，我们建立新的几何扩展的衍生物的Willmore功能指数小克利福德环面退化，根据行动的莫比乌斯组，小测地球的一个小手柄。利用这些尖锐的渐近性，利用周围曲率张量和Morse不等式，给出了Willmore泛函在给定（足够小）面积的约束下存在/多重平稳嵌入环面的充分条件.
$S^1$-equivariant Index theorems and Morse inequalities on complex manifolds with boundary
本文研究带边复流形上横截全纯 $S^1$-作用下的 Dolbeault 上同调，证明 $\overline\partial$-Neumann Laplacian 的横截椭圆性，并建立 Fourier 分量意义下的指标公式与 Morse 不等式。
Comparison between Second Variation of Area and Second Variation of Energy of a Minimal Surface
极小曲面的共形参数化是调和的。因此，一个极小曲面是能量泛函和面积泛函的一个临界点。本文比较了作为面积泛函临界点的极小曲面的Morse指标与作为能量泛函临界点的Morse指标。这些指数之间的差最多是Teichmuller空间的实维数。这种比较使我们能够获得令人惊讶的良好的指数上界的极小曲面的有限全曲率在欧几里得空间的任何维度。我们还通过曲面的面积和亏格，以及周围流形的维数和几何形状，确定了任意黎曼流形中极小曲面的指数。
Area-charge inequalities and local rigidity of free boundary MOTS in charged initial data sets
针对无磁场的爱因斯坦-麦克斯韦方程初始数据集，证明了自由边界MOTS的面积-电荷不等式，并在等式成立时得到局部刚性结果。
Topology, Morse Index, and Area of Minimal Surfaces in Three-Manifolds
本文证明闭三维流形中极小曲面的第一Betti数受指标与面积之和控制，并给出正曲率下亏格与指标的不等式。
Morse index and multiplicity of min-max minimal hypersurfaces
面积泛函的最小-最大理论由Almgren在20世纪60年代初提出，并由Pitts在1981年大大改进，但由于它没有给出最小-最大极小超曲面的Morse指数估计，因此是不完整的。我们进一步推广了这一理论，证明了由它产生的极小超曲面的第一广义Morse指标界，并解决了经典单参数sweepout情形的多重性问题。
Witten's perturbation on strata
主要结果是一个版本的莫尔斯不等式的最小和最大的理想边界条件的德拉姆复杂的地层紧凑的M-Mather分层，赋予适应度量。在证明中采用了Witten的分析方法，以及与Dunkl谐振子有关的谐振子的某些微扰。
Weighted geometric inequalities for hypersurfaces in sub-static manifolds
证明了欧几里得空间中严格平均凸和星形超曲面的两个加权几何不等式。第一个涉及超曲面的加权面积和面积，以及超曲面所包围的区域的体积。第二种方法涉及超曲面的总加权平均曲率和面积。第一个不等式的版本为球和adS-Reissner-Nordström流形被证明。最后，我们以凸曲面为例，其极惯性矩与面积平方之比小于圆球的极惯性矩与面积平方之比。
Critical configurations of planar robot arms
已知闭多边形P是有向面积函数的临界点当且仅当P是循环多边形，即$P$可内接于圆.此外，还有一个简短的莫尔斯指数公式。进一步在这个方向上，我们扩展这些结果的情况下，开放的多边形链，或机器人手臂。引入了开多边形链的有向面积的概念，证明了临界点是端点对极的循环构形，并导出了临界构形Morse指数的计算公式.
Heat kernel asymptotics for Kodaira Laplacians of high power of line bundle over complex manifolds
本文提出一种基于缩放技术的方法，证明了非紧Hermitian流形上线丛高次幂的Kodaira Laplacian的热核渐近，并以此直接证明覆盖流形上的全纯Morse不等式，进而通过$L^2$ Le Potier同构推广至向量丛及代数版本。
Ancient gradient flows of elliptic functionals and Morse index
本文研究黎曼流形中椭圆泛函梯度流的闭古代解，对球面中平均曲率流及曲线缩短流在特定面积或长度界下进行了完全分类，揭示了其解仅为稳态或收缩的赤道球面、Clifford环面与圆。
Holomorphic Witten instanton complexes on stratified pseudomanifolds with Kähler wedge metrics
本文在带楔 Kähler 度量的分层伪流形上构造 Witten 瞬子复形，将全纯 Morse 不等式推广到奇异空间，并证明相关 $L^2$ 上同调与算子复形的刚性。
Morse index of multiplicity one min-max minimal hypersurfaces
本文证明了一个重数为1的光滑极小极大极小超曲面的Morse指标一般等于构造超曲面所用族所检测的同调类的维数。这证实了部分程序（\cite{marques-icm}，\cite{marques-neves-cycles}，\cite{marques-neves-index}，\cite{neves-icm}）提出的作者与发展的莫尔斯理论的功能区的目标。
Pinsker inequalities and related Monge-Ampère equations for log concave functions
本文进一步发展了对数凹函数的f-发散理论及其相关不等式。建立了Pinsker不等式和新的仿射不变熵不等式。得到了新的泛函仿射表面积不等式和泛函仿射表面积的Kullback-Leibler散度的上下界上界.这些函数不等式导出了凸体的L_p-仿射表面积的新不等式。
Area-charge inequalities and rigidity of time-symmetric initial data sets
本文在主导能量条件下为时间对称 Einstein-Maxwell 初始数据集边界建立新的面积-电荷不等式，并由此得到无电荷情形下不存在的新型刚性定理，其中非紧致情形通过 Gromov μ-气泡技术的新几何应用完成。
Free boundary minimal hypersurfaces with least area
本文证明了有边紧致流形中最小面积的自由边界极小超曲面的存在性。这种超曲面可以被视为格罗莫夫引入的体谱的基态。此外，我们还刻画了它们的方向性和Morse指数。
Holomorphic quantization formula in singular reduction
通过对文献[TZ1，2]中的分析论证进行改进，证明了田和作者[TZ1，2]证明的全纯Morse不等式是等价的.
Filling area conjecture, optimal systolic inequalities, and the fiber class in abelian covers
本文研究了三维流形中的填充区域猜想、最优收缩不等式以及与之相关的某些环绕数的非零性问题。
The mixed $L_p$ geominimal surface areas for multiple convex bodies
本文对所有$p\neq -n$引入了多个凸体的几种混合$L_p$几何表面积。我们的定义是从混合$p$ -仿射表面积的等价公式。证明了这些混合$L_p$几何观测曲面的仿射不变性等性质。建立了Alexander-Fenchel型不等式、Santaló型不等式、仿射等周不等式、循环不等式等相关不等式.此外，我们还研究了两个凸体的$i$次混合$L_p$几何极小曲面面积的一些性质和不等式.
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