Erdős distinct distances in hyperbolic surfaces
本文引入富克斯群的“测地覆盖”的概念，它召唤双曲平面上的基本多边形的副本来覆盖相应双曲曲面上实现距离的代表对。然后利用测地线覆盖数的估计来研究双曲曲面中的不同距离问题。特别地，对于一类双曲曲面的$Y$，我们建立了由$Y$中的$N$点所确定的不同距离的近似最优界$\geq c(Y)N/\log N$，其中$c(Y)>0$是仅依赖于$Y$的常数.特别地，对于$Y$是模曲面或亏格为$g\geq 2$的标准正则曲面，我们显式地计算了$c(Y)$。我们还得到了新的和-积型估计。
2020-07-27 math.CO math.NT
Erdős Type Problems in Modules over Cyclic Rings
本文研究了整数模$q$（其中$q=p^l$为奇素数幂）集合中的各种Erdans型几何问题.更准确地说，我们证明了有关$E\subset \mathbb{Z}_q^2$点之间三角形和三角形面积分布的某些结果。我们还证明了$d$-$\mathbb{Z}_q^d$的重积子集$E=A\times \ldots \times A$的一个点积结果，其中$A\subset \mathbb{Z}_q$ .
2014-06-25 math.CA math.CO math.NT
A matrix variant of the Erdős-Falconer distance problems over finite field
本文研究有限域向量空间中Erdős-Falconer距离问题的矩阵类似物，并由此引发对某些二次矩阵Gauss和的有趣分析。
2023-05-23 math.CO
An Analogue of the Erdős-Ginzburg-Ziv Theorem over $\mathbb Z$
设$\mathcal S$是整数的多重集合。我们说$\mathcal S$是一个$\textit{zero-sum sequence}$，如果它的元素之和是0。研究了零和序列的元素位于区间$[-k,k]$中，使得长度为$t$的子序列都是零和序列.考虑到这些限制，Augspurger，Minter，Shoukry，Sissokho，Voss证明了存在任意长的$t$ -避免，$k$ -有界零和序列，除非$t$可被$\mathrm{LCM}(2,3,4,\dots,2k-1)$整除。我们证实了这些作者的一个猜想，$k$和$t$，使这个整除条件成立，每一个零和序列的长度至少$t+k^2-k$包含一个零和子序列的长度$t$，这是最小的长度，这个属性。
2018-08-23 math.CO math.NT
A stronger connection between the Erdős-Burgess and Davenport constants
半群$S$的Erdens-Burgess常数是最小的正整数$k$，使得在$S$上长度为$k$的任何序列包含一个非空子序列，其元素乘以$S$的幂等元。在$S$是$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$的乘法半群的情形下，我们证明了一个猜想，当$n$至多有两个素因子时，它将$S$的Erdess-Burgess常数与$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$的Davenport常数联系起来.我们还讨论了我们的技术扩展到其他环。
2018-08-18 math.CO
On generalized Erdős-Ginzburg-Ziv constants for $\mathbb{Z}_2^d$
设$G$是有限阿贝尔群，$r$是其指数的倍数.广义Erdens-Ginzburg-Ziv常数$s_r(G)$是最小整数$s$，使得$G$上的每个长度为$s$的序列都有长度为$r$的零和子序列。我们找到了$d \leq 2m+1$的$s_{2m}(\mathbb{Z}_2^d)$的精确值。连接到线性二进制码的最大长度和代码没有禁止的重量进行了讨论。
2020-03-25 math.CO
A new bound on Erdős distinct distances problem in the plane over prime fields
本文给出了素域上平面上Erdom不同距离问题的一个新的下界。更精确地说，我们证明了任何集合$A\subset \mathbb{F}_p^2$与$|A|\le p^{7/6}$，$A$中的点对所确定的不同距离的数目满足$$ |Δ(A)| \gg |A|^{\frac{1}{2}+\frac{149}{4214}}.$$我们的结果给出了一个新的下界范围内的$|Δ{(A)}|$ $|A|\le p^{1+\frac{149}{4065}}$。我们采用的主要工具是能量的一组抛物面由于Rudnev和Shkredov，一个点线的发病率由史蒂文斯和德Zeeuw的界限，和一个下界的数量不同的距离之间的线和一组$\mathbb{F}_p^2$。后者是新的功能，使我们能够改善以前的约束由于史蒂文斯和德Zeeuw。
2019-03-22 math.CO math.NT
The Erdös-Falconer distance problem on the unit sphere in vector spaces over finite fields
art，Iosevich，Koh and Rudnev（2007）利用傅里叶分析方法证明了有限Erdös-Falconer距离猜想对$\mathbbm{F}_q^d$中单位球面的子集成立。本文给出了这个结果的一个图论证明。
2008-10-09 math.CO
The Erdős distinct distances problem in $\mathbb{R}^3$
Princeton University（普林斯顿大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
该研究证明三维欧氏空间中N个点至少确定N^(2/3-o(1))个不同距离，推进了Erdős不同距离问题的相关研究
2026-08-17 math.CO math.MG
On the two-parameter Erdős-Falconer distance problem over finite fields
给定$E \subseteq \mathbb{F}_q^d \times \mathbb{F}_q^d$，利用阶为$q$的有限域$\mathbb{F}_q$和整数$d \ge 2$，我们定义双参数距离集为$Δ_{d, d}(E)=\left\{\left(\|x_1-y_1\|, \|x_2-y_2\|\right) : (x_1,x_2), (y_1,y_2) \in E \right\}$。Birklbauer和Iosevich（2017）证明，如果$|E| \gg q^{\frac{3d+1}{2}}$，则$ |Δ_{d, d}(E)| = q^2$。对于$d=2$的情况，他们表明，如果是$|E| \gg q^{\frac{10}{3}}$，则是$ |Δ_{2, 2}(E)| \gg q^2$。在本文中，我们提出了这些结果的扩展和改进。
2021-01-26 math.CO math.NT
Explicit Ramsey graphs and Erdos distance problem over finite Euclidean and non-Euclidean spaces
研究了有限欧氏空间和非欧几里得空间上的Erdos距离问题。我们的主要工具是与Bannai-Shimabukuro-Tanaka（2004，2007）中考虑的有限欧氏空间和非欧几里得空间相关的图。这些图被证明是渐近Ramanujan图。使用这些图表的好处是双重的。首先，我们可以得到新的下界的Erdos距离问题的显式常数。其次，我们可以构造许多显式坚韧Ramsey图R（3，k）。
2007-11-22 math.CO
Erdős-Ko-Rado theorem for vector spaces over residue class rings
令$h=\prod_{i=1}^{t}p_i^{s_i}$是它分解成不同素数的幂的乘积，$\mathbb{Z}_{h}$是模$h$的剩余类环.设$\mathbb{Z}_{h}^{n}$是$\mathbb{Z}_{h}$上的$n$维行向量空间. $\mathbb{Z}_{h}^n$的一个广义Grassmann图，记为$G_r(m,n,\mathbb{Z}_{h})$（简称$G_r$），它以$\mathbb{Z}_{h}^n$的所有$m$ -子空间为顶点，如果两个不同的顶点的交维数为$>m-r$，则它们相邻，其中$2\leq r\leq m+1\leq n$ .本文确定了$G_r$的团数和最大团的几何结构。结果得到了$\mathbb{Z}_{h}^{n}$的Erdens-Ko-Rado定理.
2022-01-03 math.CO
The Erdős-Falconer distance problem between arbitrary sets and $k$-coordinatable sets in finite fields
论文研究有限域上任意集合与$k$-可坐标化集合间的距离集大小，证明乘积条件$|A||B|>2q^d$可保证超过$q/2$个不同距离，并恢复奇数维尖锐阈值、改进Box距离问题结果。
2025-06-08 math.CO math.NT
Strongly complete sets and a conjecture of Erdős
University of Georgia（佐治亚大学）
研究集合完备性相关问题及埃尔德什猜想，核心方法是利用特定条件判断集合是否强完备，主要贡献是证明了满足特定条件的集合是强完备的，解决了埃尔德什的一个猜想并建立更一般准则。
2026-09-18 math.CO math.NT
Erdős-Ko-Rado theorem and bilinear forms graphs for matrices over residue class rings
令$h=\prod_{i=1}^{t}p_i^{s_i}$是它分解成不同素数的幂的乘积，$\mathbb{Z}_{h}$是模$h$的剩余类环。令$1\leq r\leq m\leq n$和$\mathbb{Z}_{h}^{m\times n}$是$\mathbb{Z}_{h}$上所有$m\times n$矩阵的集合。$\mathbb{Z}_{h}$上的广义双线性型图，记为$\hbox{Bil}_r(\mathbb{Z}_{h}^{m\times n})$，其顶点集为$\mathbb{Z}_{h}^{m\times n}$，如果$A-B$的内秩小于或等于$r$，则两个不同的顶点$A$和$B$相邻.本文确定了$\hbox{Bil}_r(\mathbb{Z}_{h}^{m\times n})$的团数和最大团的几何结构。结果得到了$\mathbb{Z}_h^{m\times n}$的Erdens-Ko-Rado定理.
2020-02-10 math.CO
On Erdos-Falconer distance problem in even dimensions
研究偶数维的埃尔德什 - 法尔科纳距离问题，通过证明提取定理，将偶数维猜想归结为平面情形，在固定距离问题和三角形分布上得到改进阈值，在素域和任意有限域分别取得新记录。
2026-07-21 math.CA math.CO math.NT
On generalized Erdős-Ginzburg-Ziv constants of $C_n^r$
设$G$是一个指数为$\exp(G)=m$的可加有限阿贝尔群.对于任何正整数$k$，第$k$广义Erdens-Ginzburg-Ziv常数$\mathsf s_{km}(G)$被定义为最小正整数$t$，使得长度至少为$t$的$G$中的每个序列$S$具有长度为$km$的零和子序列。很容易看出，$\mathsf s_{kn}(C_n^r)\ge(k+r)n-r$中的$n,r\in\mathbb N$。Kubertin解释说，这个等式适用于任何$k\ge r$。本文主要证明了以下结果：（1）对每一正整数$k\ge 6$，我们有$$\mathsf s_{kn}(C_n^3)=(k+3)n+O(\frac{n}{\ln n}).$$;（2）对每一正整数$k\ge 18$，我们有$$\mathsf s_{kn}(C_n^4)=(k+4)n+O(\frac{n}{\ln n}).$$;（3）对$n\in \mathbb N$，假设对于某些$a\in\mathbb N$，$n$的最大素幂因子是$p^a$.对于任何固定的$r\ge 5$，如果$p^t\ge r$对于某个$t\in\mathbb N$，那么对于任何$k\in\mathbb N$，我们有$$\mathsf s_{kp^tn}(C_n^r)\le(kp^t+r)n+c_r\frac{n}{\ln n},$$其中$c_r$是一个依赖于$r$…
2018-11-26 math.CO math.NT
Families of modular arithmetic progressions with an interval of distance multiplicities
给定$\mathbb{Z}_n$的子集的族$\mathcal{F}=\{A_1,\dots,A_s\}$，定义$Δ\mathcal{F}$为所有（循环）距离dist $(x,y)$的多集，其中对于某些$i=1,\dots,s$，$\{x,y\} \subset A_i$，$x \neq y$。从一个Euclidean距离问题的Erdibs，我们说，$\mathcal{F}$是Erdibs深的，如果在$Δ\mathcal{F}$中出现的距离的多重性是精确的$1,2,\dots,k-1$为某个整数$k$。在$s=1$的情况下，已知$\mathbb{Z}_n$中的模算术级数实现了此属性（在温和条件下）;相反，AP是唯一的此类集合，除了$n=6$时的一个零星情况。在这里，我们详细考虑$s=2$的情况。特别是，我们分类Erdens-deep对$\{A_1,A_2\}$时，每个$A_i$是一个算术级数在$\mathbb{Z}_n$。当$s$是平方整数时，我们还构造了一类更广的Erdens-deep族$\{A_1,\dots,A_s\}$.
2022-08-10 math.CO math.NT
On the Elementary Proof of the Inverse Erdős-Heilbronn Problem
本文研究两个不同集合限制和集的逆Erdős-Heilbronn问题，在整数中给出完全初等证明，并在模素数情形提供部分结果，避免使用多项式方法与组合零点定理。
2024-08-25 math.CO
On the Erdős-Burgess constant of the multiplicative semigroup of a factor ring of $\mathbb{F}_q[x]$
设$\mathcal{S}$是具有二元结合运算$+$的交换半群. $\mathcal{S}$的元素$e$称为幂等的，如果$e+e=e$。$\mathcal{S}$的{ \sl Erdens-Burgess常数}被定义为最小的$\ell\in \mathbb{N}\cup \{\infty\}$，使得来自$S$且长度为$\ell$的项的任何序列$T$包含其项的和是幂等的非空子序列。设$q$是素数幂，$\F_q[x]$是有限域$\F_q$上的多项式环.设$R=\F_q[x]\diagup K$是$\F_q[x]$模任意理想$K$的商环.给出了环$R$的乘法半群的Erdens-Burgess常数的一个精确下界，特别是当$K$是$\F_q[x]$中素理想或两两不同素理想的乘积的幂时，给出了Erdens-Burgess常数的一个精确下界.
2018-07-18 math.CO
On a sumset conjecture of Erdős
Erdinger证明了对任何具有正下渐近密度的集合$A\subseteq \mathbb{N}$，存在无穷多个集合$B,C\subseteq \mathbb{N}$使得$B+C\subseteq A$ .在$A$的Banach密度超过$\frac{1}{2}$的情况下，我们验证了Erdens的猜想.因此，我们证明了，对于正Banach密度的$A\subseteq \mathbb{N}$（一个比正下密度弱得多的假设），我们可以找到无限的$B,C\subseteq \mathbb{N}$，使得$B+C$包含在$A$和$A$的平移的联合中。上述两个结果都推广到任意可数顺从群。对于伪随机的自然数的子集，我们也给出了Erdés猜想的一个正解.
2014-04-23 math.CO math.GR math.LO
Erdős-Ginzburg-Ziv type generalizations for linear equations and linear inequalities in three variables
对于三元线性不等式$\mathcal{L}$，我们确定（如果存在的话）最小整数$R(\mathcal{L}, \mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$，使得：对于每个映射$χ:[1,n] \to \{0,1,2\}$，有$n\geq R(\mathcal{L}, \mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$，都有$\mathcal{L}$的解$(x_1,x_2,x_3)\in [1,n]^3$，有$χ(x_1)+χ(x_2)+χ(x_3)\equiv 0$（mod $3$）.此外，我们证明了$R(\mathcal{L}, \mathbb{Z}/3\mathbb{Z})=R(\mathcal{L}, 2)$，其中$R(\mathcal{L}, 2)$表示经典的$2$ -色Rado数，即最小整数（如果它存在），使得对于$[1,n]$的每一个$2$ -着色，用$n\geq R(\mathcal{L}, 2)$，存在$\mathcal{L}$的单色解.这样，我们得到了所有三元线性不等式的正整数解的Erdens-Ginzburg-Ziv型推广。我们还显示了一些家庭的线性方程在三个变量$\mathcal{L}$，使他们不承认这样的Erdens-Ginzburg-Ziv型推广，命名为$R(\mathcal{L}, \mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\neq R(\math…
2021-09-15 math.CO
Directed cycles have the edge-Erd\H os-Pósa property
本文证明了对每个$k\in \mathbb{N}$都存在一个$t_k\in\mathbb{N}$使得对每个有向图$G$都存在$k$边不相交的有向圈或至多有$t_k$边的集合$X$使得$G-X$不含有向圈.
2018-02-14 math.CO
On Densities in the Erdős-Falconer Distance Problems over the Integers
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
本文提出整数格中的Erdős-Falconer距离问题，以离散类比、Falconer问题等为动机，用离散球面平均的ℓᵖ改进不等式研究，其方法在部分场景优于现有结果，或可助力原始固定距离问题。
2026-10-23 math.CA math.CO math.MG
A Generalisation on Erdős Distinct Subset Sums Problem
本文推广了 Erdős 不同子集和问题到 $\u2124^k$，通过引入替代统计量改进低维界的估计，并提供了按维度选择方法的框架。
2025-10-07 math.CO math.PR
A problem of Erdős about rich distances
本文解决 Erdős 关于丰富距离的问题，构造 n 点集使 ⌊n/4⌋ 个距离出现超过 n 次，并推广得到 c_m·n 个距离出现超过 n+m 次。
2024-07-04 math.CO
A solution to the Erdős-Sárközy-Sós problem on asymptotic Sidon bases of order 3
本文构造了一个同时是 Sidon 集和三阶渐近基的自然数集合，肯定解决了 Erdős、Sárközy 和 Sós 于 1993 年提出的问题，证明借助 Sawin 在函数域上关于 von Mangoldt 函数卷积的深刻结果。
2023-11-30 math.CO math.NT
Erdős-Szekeres theorem for $k$-flats
我们将著名的Erdens-Szekeres定理推广到${\mathbb{R}^d}$中的$k$ -平坦
2022-09-16 math.CA math.CO
The Erdős-Ulam problem, Lang's conjecture, and uniformity
有理距离集是平面的子集，使得任何两点之间的距离都是有理数数。我们证明，假设郎猜想，在一般位置的合理距离集的基数是一致有界的，推广的结果Solymosi-de Zeeuw，Makhul-Shaffaf，Shaffaf，和陶。在这个过程中，我们给出了具有非正则奇点的簇是一般型簇的一个判据。
2020-08-17 math.AG math.CO math.NT
Solution to a Problem of Erdős Concerning Distances and Points
Dartmouth College（达特茅斯学院）
本文通过构造晶格点集，解决了埃尔多斯关于距离和点的问题，证明了在满足局部约束条件下，存在n点集确定O(n/√logn)个不同距离。
2026-01-16 math.CO
Modified Erdős-Ginzburg-Ziv constants for $\mathbb{Z}_2^d$
本文研究了有限阿贝尔群的修正 Erdős-Ginzburg-Ziv 常数，确定了当 $d \leq 2k+1$ 时 $\mathbb{Z}_2^d$ 上该常数的精确值。
2023-01-21 math.CO math.GR
On the Erdős-Turán Conjecture and the growth of $B_{2}[g]$ sequences
本文研究Erdős-Turán猜想中B₂[g]序列的加法基性质与增长密度；通过构造满足两两和表示数受限的序列，证明在g>1/ε时其可带小项三项表示所有充分大整数，并将计数下界改进为≫x^{g/(2g+1)}。
2024-05-07 math.CO math.NT
Bounds on the Higher Degree Erdős-Ginzburg-Ziv Constants over $\mathbb{F}_q^n$
本研究针对有限域空间$\mathbb{F}_q^n$上的高阶Erdős-Ginzburg-Ziv常数，运用Lovász局部引理、Expurgation方法及Slice Rank等技术，推导其上下界，部分下界优于已有结果，并给出基于帽集问题相关结论的闭式上界。
2023-04-28 math.CO math.NT
Erdős's unit distance problem and rigidity
本文针对Erdős单位距离问题，证明了具有接近n^{4/3}个单位距离的点集的结构性结果，并将改进Spencer等人上界的问题归结为刚性框架猜想。
2025-07-21 math.CO
Counterexamples to generalizations of the Erdős $B+B+t$ problem
Institute of Mathematics, École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院数学研究所）
本文基于 Straus 构造，对 Erdős $B+B+t$ 问题推广中的若干猜想给出反例，证明存在高密度集合不含特定乘积或多项式配置。
2024-04-26 math.CO math.NT
A proof of the Erdös similarity conjecture
证明了对${\mathbb R}$中的任意无限集$A$，存在正勒贝格测度的紧集$E \subseteq \mathbb{R}$，它不包含$A$的任何非平凡仿射拷贝.这证明了埃尔德什相似性猜想。
2020-01-11 math.CA math.CO
Some Remarks on the Erdős Distinct Subset Sums Problem
设$\left\{a_1, \dots, a_n\right\} \subset \mathbb{N}$是一组正整数，$a_n$表示最大的元素，使得对于任何两个$2^n$子集，所有元素的和是不同的。Erdibs问这是否意味着$a_n \geq c \cdot 2^n$适用于某种通用的$c>0$。我们证明，稍微扩展的结果Elkies，任何$a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}_{>0}$ $$ \int_{\mathbb{R}} \left( \frac{\sin{ x}}{ x} \right)^2 \prod_{i=1}^{n} \cos{( a_i x)^2} dx \geq \fracπ{2^{n}}$$与平等的当且仅当所有子集和$1-$分离。这导致了一个新的证明，目前最好的下界$a_n \geq \sqrt{2/πn} \cdot 2^n$。主要的新见解是，具有不同的子集和和$a_n$小需要随机变量$X = \pm a_1 \pm a_2 \pm \dots \pm a_n$接近高斯在精确的意义上。
2023-01-02 math.CA math.CO math.NT
The Erdos-Falconer distance problem in the tree setting
最近Guth，Iosevich，Ou和Wang（2019）在Falconer距离问题上的突破指出，对于紧集$A\subset \mathbb{R}^2$，如果$A$的豪斯多夫维数大于$\frac{5}{4}$，则距离集$Δ(A)$具有正的Lebesgue测度。在最近的一篇论文中，Murphy、Petridis、Pham、Rudnev和Stevens（2022）证明了这个结果的素域版本，即对于具有$|E|\gg p^{5/4}$的$E\subset\mathbb{F}_p^2$，存在许多点$x\in E$，使得到$x$的不同距离的数目至少为$cp$。本文的主要目的是在一个非常一般的钉扎树结构中提供扩展，这是受到Ou和Taylor（2021）最近工作的启发。
2022-07-26 math.CO
An Erdős-Ko-Rado theorem in general linear groups
设$S_n$是$n$点上的对称群。Deza和Frankl [M. Deza和P. Frankl，关于给定最大或最小距离的最大排列数，J. Combin。Theory Ser.A22（1977）352- 360]证明了如果${\cal F}$是$S_n$中的交集，则$|{\cal F}|\leq(n-1)!$。在本文中，我们认为$q$模拟版本的这一结果。设$\mathbb{F}_q^n$是有限域$\mathbb{F}_q$上的$n$维行向量空间，$GL_n(\mathbb{F}_q)$是度为$n$的一般线性群.集合${\cal F}_q\subseteq GL_n(\mathbb{F}_q)$是{ \it相交}，如果对于任何$T,S\in{\cal F}_q$，存在非零向量$α\in \mathbb{F}_q^n$使得$αT=αS$。设${\cal F}_q$是$GL_n(\mathbb{F}_q)$中的交集。我们表明，$|{\cal F}_q|\leq q^{(n-1)n/2}\prod_{i=1}^{n-1}(q^i-1)$。
2011-07-15 math.CO
On a question of Erdos and Ulam
乌拉姆在1945年问，如果有一个无处不在的密集\emph{rational set}，即一个点集在平面上的所有成对距离合理。Erd \H证明了如果一个集合$S$有一个稠密有理子集，那么$S$应该是非常特殊的.唯一已知的具有稠密（甚至无限）有理子集的集合的例子是直线和圆。本文证明了Erd \H os关于代数曲线的猜想，证明了除了直线或圆以外，任何不可约的代数曲线都不包含无穷有理集.
2009-01-14 math.CO math.NT
Counterexamples to a dimension-free variant of Erdős's diameter conjecture for separated distances
该研究通过构造特定点集，证明在高维空间中，即使所有点对距离均大于等于1，直径也可能远小于n²，推翻了埃德华兹的直径猜想。
2026-10-26 math.CO math.MG
The Erdős-Ko-Rado theorem for twisted Grassmann graphs
我们提出了一个“现代”的方法来研究Q-多项式距离正则图的Erdens-Ko-Rado定理，并将其应用于van Dam和Koolen在2005年发现的扭曲Grassmann图。
2011-09-03 math.CO
On the Erdős distance problem
African Institute for Mathematical science（非洲数学科学研究所）
本文利用压缩方法，恢复了埃尔多斯单位距离问题的下界，并为不同距离猜想提供了另一种证明，同时将下界推广到更高维度。
2026-03-08 math.CO math.MG math.NT
An Analytical Exploration of the Erdös-Moser Equation $ \sum_{i=1}^{m-1} i^k = m^k $ Using Approximation Methods
本文利用 Euler-MacLaurin 公式和有理根定理对 Erdös-Moser 方程进行近似解析，确认 k=1 时唯一解为 m=3，并提示 k≥2 时无其他正整数解，但强调该方法不能替代严格证明。
2025-04-11 math.CO math.NT
Embedding the Erdős-Rényi Hypergraph into the Random Regular Hypergraph and Hamiltonicity
建立了随机$k$ -图（对于常数$k \ge 2$）在$n$标记顶点上的两个一致模型之间的包含关系：$\mathbb G^{(k)}(n,m)$，具有$m$边的随机$k$ -图，和$\mathbb R^{(k)}(n,d)$，随机$d$ -正则$k$ -图.我们表明，如果$n\log n\ll m\ll n^k$，我们可以选择$d = d(n) \sim {km}/n$和耦合$\mathbb G^{(k)}(n,m)$和$\mathbb R^{(k)}(n,d)$，使后者包含前者的概率趋于一$n\to\infty$。这推广了Kim和Vu关于“随机图的随机化”的一个较早的结果。鉴于已知的阈值定理存在不同类型的Hamilton圈在$\mathbb G^{(k)}(n,m)$，我们的结果使我们能够找到条件下，$\mathbb R^{(k)}(n,d)$是Hamilton。特别地，对于$k\ge 3$，我们得出结论，如果$n^{k-2} \ll d \ll n^{k-1}$，则a.a.s. $\mathbb R^{(k)}(n,d)$包含一个紧Hamilton圈。
2016-09-23 math.CO
A proof of a sumset conjecture of Erdős
本文证明了对于$\mathbb{N}$的无限子集的$B,C$对，每个正密度集$A \subset \mathbb{N}$都包含$B+C$，从而解决了Erdens的一个猜想.证明功能两个不同的分解成一个结构化的组件和一个伪随机组件的任意有界序列。我们的方法是相当普遍的，使我们能够证明这个猜想的一个版本可数顺从群体。
2019-06-13 math.CO math.DS
Erdős--Szekeres-type problems in the real projective plane
我们考虑点集在真正的射影平面$\mathbb{R}P^2$和探讨经典极值问题的变种在此设置的平面点集，主要集中在Erdens-Szekeres型问题。我们提供了一个变种的Erdens-Szekeres定理关于点集在凸位置的$\mathbb{R}P^2$，这是由Harborth和Möller在1994年发起的。$\mathbb{R}P^2$中的凸位置概念与Steinitz在1913年引入的凸集定义一致。对于$k \geq 3$，有限集合$S \subseteq \mathbb{R}^2$中的（\affine）$k$ -洞是来自$S$的处于凸位置的$k$点的集合，并且在它们的凸包内部没有$S$的点。在介绍了一个新的概念$k$ -洞的点集从$\mathbb{R}P^2$，称为投影$k$ -洞，我们发现任意大的有限点集从$\mathbb{R}P^2$没有\projective 8-洞，提供了一个类似的经典平面结构霍顿从1983年。我们还证明了它们只包含二次方多个\projective $k$ -洞的$k \leq 7$。另一方面，我们表明，$k$ -孔的数量可以大大大于在$\mathbb{R}P^2$比在$\mathbb{R}^2$通过构建，为每个$k \in \{3,\dots,6\}$，集$n$点从$\mathbb{R}^2 \subset \mathbb{R}P^2$与$Ω(n^{3…
2022-09-03 cs.CG math.CO
Extension theorems and a connection to the Erdős-Falconer distance problem over finite fields
本文的第一个目的是提供抛物面和球面的新的有限域扩张定理。通过使用最近在Iosevich，Lee，Shen以及第一和第二位作者（2018）的工作中发现的某些特定维度的零球的不寻常的良好傅里叶变换，我们为$d=4k+3$和$q\equiv 3\mod 4$维度的抛物面提供了一个新的$L^2\to L^r$扩展估计，这显着改善了第一位作者获得的最近指数。在球的情况下，我们引入了一种利用\textit{the first association scheme graph}分析能量集的方法，从而得到了奇维原半径球的新的$L^p\to L^4$扩张定理，它将Stein-Tomas的结果突破到了成立了十多年的$L^p\to L^4$.最重要的是，从球面的结果可以看出，在奇数维情况下，球面和抛物面之间存在一种不同的扩张现象，即对具有原始半径的球面的$L^p\to L^4$估计要比抛物面的强得多.基于新的估计，我们还将阐明球面上有限域扩张问题的一些性质。这导致在一个相当完整的描述领域的有限域扩张定理。第二个目的是证明与抛物面有关的限制猜想和有限域上的Erdens-Falconer距离猜想之间存在联系。最后证明了当我们研究两个集合之间的距离时，Erdens-Falconer距离猜想在奇维空间中成立：一个集合位于一个簇（抛物面或球面）上，而另一个集合在$\mathbb{F}_q^d$中是任意的。
2020-03-15 math.CA math.CO math.NT
The structure and number of Erdős covering systems
Erdés在1950年提出的整数覆盖系统是等差数列的有限集合，其并集是集合$\mathbb{Z}$。在过去的几十年里，人们提出了许多关于覆盖系统的美丽问题和理论，但直到最近，人们对它们的性质知之甚少。最著名的是，2015年Hough解决了Erdans的最小模问题，他证明了在每个具有不同模的覆盖系统中，最小模至多为$10^{16}$。在本文中，我们回答另一个问题的Erdens，在1952年提出的，对一些最小覆盖系统。更准确地说，我们证明了最小覆盖系统的数量正好$n$元素是\[ \exp\left( \left(\frac{4\sqrtτ}{3} + o(1)\right) \frac{n^{3/2}}{(\log n)^{1/2}} \right) \]作为$n \to \infty$，其中\[ τ= \sum_{t = 1}^\infty \left( \log \frac{t+1}{t} \right)^2. \]在这个计数结果的途中，我们得到了一个结构描述的所有覆盖系统，在适当的意义上接近最优。
2022-11-16 math.CO math.NT
The Erdős unit distance problem for small point sets
该研究改进了16至30顶点单位距离图边数的上界，在n≤21时与下界匹配并枚举最稠密图，通过高效生成ℱ-自由图和自定义嵌入器提升了单位距离图的判定效率。
2025-02-12 math.CO math.MG
Embeddings of weighted graphs in Erdős-type settings
组合学中的许多最近的结果关注集合的大小和由集合中的点对确定的距离的数量之间的关系。这个问题的一个扩展考虑具有指定距离模式的集合内的配置。在本文中，我们使用图论的方法来证明，一个足够大的集合$E$必须包含至少$C_G|E|$不同的副本，任何给定的加权树$G$，其中$C_G$是一个常数只依赖于图$G$。
2017-12-11 math.CO
A two-parameter finite field Erdős-Falconer distance problem
我们研究了Erd \H os-Falconer距离问题的以下两个参数的变体。给定$E,F \subset {\Bbb F}_q^{k+l}$，$l \geq k \ge 2$，有限域上含$q$元的$k+l$维向量空间，设$B_{k,l}(E,F)$由$$\{(\Vert x'-y'\Vert, \Vert x"-y" \Vert): x=(x',x") \in E, y=(y',y") \in F; x',y' \in {\Bbb F}_q^k, x",y" \in {\Bbb F}_q^l \}.$$给出，证明了若$|E||F| \geq C q^{k+2l+1}$，则$B_{k,l}(E,F)={\Bbb F}_q \times {\Bbb F}_q$ .此外，如果$k$是奇数，则该结果是尖锐的。对于$l=k=2$和$q$与$q \equiv 3 \mod 4$为素数的情况，我们得到对于每个正的$C$，存在$c$使得$$ \text{if } |E||F|>C q^{6+\frac{2}{3}}\text{, then } |B_{2,2}(E,F)|> c q^{2}.$$
2017-02-07 math.CA math.CO
Reflections on the Erd\H {o}s Discrepancy Problem
我们考虑一些着色问题有关的著名的Erd \H {o}的离散问题。形式为$A_{s,k}=\{s,2s,\dots,ks\}$的集合，加上$s,k\in \mathbb{N}$，称为\emph{homogeneous arithmetic progression}。我们证明了对于每个固定的$k$，存在$\mathbb N$的$2$ -着色，使得每个集合$A_{s,k}$都是\emph{perfectly balanced}（集合$A_{s,k}$中红色元素和蓝色元素的个数至多相差1）.这促使反映各种限制版本的Erd \H {o}s'的问题，通过对参数$s,k$施加不同的限制。在一个稍微不同的方向，我们讨论了一个\emph{majority}问题的变体，其中每个集合$A_{s,k}$都应该有多余的元素，颜色与集合中的第一个元素不同。这个问题导致，出乎意料的是，一些深层次的问题，完全乘法函数的值在$\{+1,-1\}$。特别是，是否存在这样一个函数的部分和从上界。
2020-05-28 math.CO
Moderate Deviations of Triangle Counts in the Erdős-Rényi Random Graph $G(n,m)$: The Lower Tail
Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学物理学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）
设$N_{\triangle}(G)$是图$G$中三角形的个数。在[14]和[25]中分别证明了稠密Erdens-Rényi随机图$G_m\sim G(n,m)$中三角形计数的下尾行为的如下界：\[ \mathbb{P}\big(N_{\triangle}(G_m) \, < \, (1-δ)\mathbb{E}[N_{\triangle}(G_m)]\big) \,=\, \exp\left(-Θ\left(δ^2n^3\right)\right) \qquad \text{if $n^{-3/2}\ll δ\ll n^{-1}$} \]和\[ \mathbb{P}\big(N_{\triangle}(G_m) \, < \, (1-δ)\mathbb{E}[N_{\triangle}(G_m)]\big) \,=\, \exp\left(-Θ(δ^{2/3}n^2) \right) \qquad \text{if $n^{-3/4} \ll δ\ll 1$.} \] Neeman，Radin和Sadun [25]还证明了在“缺失区间”$n^{-1}\ll δ\ll n^{-3/4}$中概率应具有$\exp\left(-Θ\left(δ^2n^3\right)\right)$的形式。我们证明了这个猜想。作为我们的证明的一部分，我们还证明了一些随机图统计，度和余度，正态分布的概率很…
2025-10-30 math.CO math.PR
