Directed cycles have the edge-Erd\H os-Pósa property
Matthias Heinlein, Arthur Ulmer
本文证明了对每个$k\in \mathbb{N}$都存在一个$t_k\in\mathbb{N}$使得对每个有向图$G$都存在$k$边不相交的有向圈或至多有$t_k$边的集合$X$使得$G-X$不含有向圈.
In this short note we prove that for every $k\in \mathbb{N}$ there is a $t_k\in\mathbb{N}$ such that for every digraph $G$ there are either $k$ edge-disjoint directed cycles in $G$ or a set $X$ of at most $t_k$ edges such that $G-X$ contains no directed cycle.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Even $A$-cycles have the edge-Erdős-Pósa property
证明了即使是$A$ -圈也具有边-Erdens-Pósa性质。
A half-integral Erdős-Pósa theorem for directed odd cycles
本文证明了有向图存在半整数Erdős-Pósa定理，即存在函数$f$使得有向图包含$k$个顶点至多重叠两次的有向奇圈，或有至多$f(k)$个顶点击中所有有向奇圈，并给出了固定$k$的多项式时间算法，将Reed的无向结果扩展至有向图。
Long cycles have the edge-Erdős-Pósa property
证明了长圈集具有边-Erdibs-Pósa性质：对于每个固定整数$\ell\ge 3$和每个$k\in\mathbb{N}$，每个图$G$要么包含长度至少为$\ell$（长圈）的$k$边不相交圈，要么包含长度为$O(k^2\log k + \ell k)$的边集$X$，使得$G-X$不包含任何长圈.这回答了Birmelé、Bondy和Reed的一个问题（Combinatorica 27（2007），135- 145）。
Generalized Andrásfai--Erdős--Sós theorems for odd cycles
本研究针对两类涉及奇环的广义Turán问题，建立了Andrásfai–Erdős–Sós型稳定性定理，拓展了Erdős五边形问题，强化了已有结论并简化了部分证明。
Improved Erdős-Pósa inequalities for odd cycles in planar graphs
本文改进了平面图中奇圈的埃罗什-波萨不等式，证明其比值不超过4，优于之前的6。
A unified Erdős-Pósa theorem for constrained cycles
一个双群标号图是一个定向图，它的边用两个群的直和$Γ_1,Γ_2$的元素标号。一个双群标号图中的圈是$(Γ_1,Γ_2)$ -非零的，如果它在两个坐标上都不为零.我们的主要结果是将Robertson和Seymour的平壁定理推广到双群标号图上。作为应用，我们确定了双群标号图中$(Γ_1,Γ_2)$ -非零圈的Erdens-Pósa性质的所有正则障碍.这些障碍意味着半积分Erdens-Pósa性质对于$(Γ_1,Γ_2)$ -非零圈总是成立。此外，我们的方法给出了一个统一的框架，证明包装结果的限制循环图。例如，作为直接推论，我们恢复了圈和$S$ -圈的Erdens-Pósa性质以及奇圈和奇$S$ -圈的半积分Erdens-Pósa性质。进一步恢复了Reed的土墙定理。我们还证明了许多新的包装结果作为直接推论。例如，我们证明了半积分Erdens-Pósa性质对不与零同调的圈、不与零同调的奇圈和不与零同调的$S$ -圈成立。此外，在可定向曲面上的$S_1$ - $S_2$ -圈和非同调于零的圈都具有（完全）Erdens-Pósa性质。最后，我们还描述了不同调于零的圈和奇$S$ -圈的Erdens-Pósa性质的正则障碍。
A proof of the Erdős-Gallai cycle decomposition conjecture
本文证明了 Erdős--Gallai 猜想：任意 n 顶点图的边可分解为 O(n) 个环和边，并由此推出 Hajós 猜想在常数因子意义下成立。
Towards the Erdős-Gallai Cycle Decomposition Conjecture
本文改进了 Erdős-Gallai 环分解猜想的上界，证明任意 n 顶点图可分解为 O(n log* n) 个环和边，优于先前 O(n log log n) 的结果。
The Erdős-Hajnal property for graphs with no fixed cycle as a pivot-minor
证明了对任意整数$k$，存在$\varepsilon > 0$，使得对任意n-顶点图$G$，不存在与$C_k$同构的子子图，存在不交集$A,B \subseteq V(G)$，使得$|A|,|B| \geq \varepsilon n$，以及$A$与$B$是完全的或反完全的.这证明了类似的Erdens-Hajnal猜想的类图没有图的子同构$C_k$。
Towards a conjecture of Birmelé-Bondy-Reed on the Erdős-Pósa property of long cycles
Birmelé，Bondy和Reed的一个猜想指出，对于任意整数$\ell\geq 3$，每个不存在两个长度至少为$\ell$的顶点不相交圈的图$G$包含一个至多为$\ell$的顶点集，该顶点集满足所有长度至少为$\ell$的圈.他们表明存在这样一组至多$2\ell+3$顶点。Meierling、Rautenbach和Sasse将其改进为$5\ell/3+29/2$。在这里，我们提出了一个证明，表明在最多$3\ell/2+7/2$顶点足够。
A tight Erdős-Pósa function for long cycles
一个经典的结果Erdés和Pósa说，任何图包含$k$顶点不相交的循环或可以通过删除最多$O(k \log k)$顶点成为无循环的。在这里，我们推广了这个结果，证明了对所有的数字$k$和$l$，并为每个图$G$，要么$G$包含$k$顶点不相交的周期长度至少$l$，或存在一个集$X$的$\mathcal O(kl+k\log k)$，满足所有的周期长度至少$l$在$G$。作为一个推论，任何图$G$的树宽度不包含长度至少为$l$的$k$顶点不相交圈，则树宽度为$\mathcal O(kl+k\log k)$阶。这些结果改进了Birmelé，Bondy和Reed '07以及Fiorini和Herinckx '14的工作，并且在常数因子下是最优的。
Parity linkage and the Erdős-Pósa property of odd cycles through prescribed vertices in highly connected graphs
我们证明了以下每个充分连通图$G$，$G$的任何顶点子集$S$，和给定的整数$k$：有$k$不相交的奇循环在$G$每个包含一个顶点的$S$或有一个集合$X$的最多$2k-2$顶点，使$G-X$不包含任何奇循环，包含一个顶点的$S$。我们通过Kawarabayashi和Reed关于奇偶- $k$ -链接图的结果（Combinatorica 29，215-225）的推广证明了这一点。从这个结果很容易推出其他几个著名的关于高连通图中奇圈的Erdens-Pósa性质的结果。这分别加强了Rautenbach和Reed（Combinatorica 21，267-278）的结果。
Long cycles through prescribed vertices have the Erdős-Pósa property
我们证明，对于每个图，任何顶点子集$S$，并给定整数$k,\ell$：有$k$不相交的周期长度至少$\ell$，每个包含至少一个顶点从$S$，或顶点集的大小$O(\ell \cdot k \log k)$，满足所有这样的周期。这概括了Fiorini和Hendrickx以及Pontecorvi和Wollan以前的结果。此外，我们描述了我们的主要结果，运行在$O(k \log k \cdot s^2 \cdot (f(\ell) \cdot n+m))$时间，其中$s$表示的基数$S$的算法。
The Erdos-Posa Property for Directed Graphs
Erdos和Posa的一个经典结果表明，存在一个函数$f: {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$，使得对于每个$k$，每个图$G$包含$k$两两点不相交的圈或至多有$f(k)$个顶点的集合$T$，使得$G-T$是无圈的.这个结果的推广到有向图被称为杨格猜想，并证明了里德，罗伯逊，西摩和托马斯在1996年。这个所谓的Erdos-Posa-性质可以自然地推广到任意图和有向图。Robertson和Seymour证明了图$H$具有Erdos-Posa-性质当且仅当$H$是平面图。本文研究了有向图的相应问题。我们得到了一类具有Erdos-Posa-性质的强连通有向图的一个完整的刻画（包括拓扑和蝶形子图）。我们还将这一结果推广到不强连通的有向图类。特别地，我们研究了顶点循环有向图类（没有平凡强分支的有向图）。对于这个自然类的有向图，我们得到了一个几乎完整的特性的有向图在这个类的Erdos-Posa-财产。特别是，我们给出了积极的和算法的例子，有向图的Erdos-Posa属性使用有向树分解在一个新的方式。
A directed Andrásfai-Erdős-Sós theorem and chromatic profiles of oriented cycles
本文确定了有向图色轮廓的精确值，给出了有向Andrásfai-Erdős-Sós定理，并解决了有向奇圈及五边形所有定向的色轮廓问题。
Strengthening theorems of Dirac and Erdős on disjoint cycles
设$k \ge 3$为整数，$H_{k}(G)$为图$G$中度至少为$2k$的顶点集，$L_{k}(G)$为图$G$中度至多为$2k-2$的顶点集. 1963年，Dirac和Erdans证明了当$|H_{k}(G)| - |L_{k}(G)| \ge k^{2} + 2k - 4$时，$G$包含$k$（顶点-）不交圈.本文的主要结果是：对于$k \ge 2$，每个图$G$，若$|V(G)| \ge 3k$最多包含$t$不交三角形，若$|H_{k}(G)| - |L_{k}(G)| \ge 2k + t$最多包含$k$不交圈。这产生如果$k \ge 2$和$|H_{k}(G)| - |L_{k}(G)| \ge 3k$，则$G$包含$k$不相交的循环。这推广了Corrádi-Hajnal定理，该定理指出每个具有$H_{k}(G) = V(G)$和$|H_{k}(G)| \ge 3k$的图$G$包含$k$不相交的圈。
A solution to Erdős and Hajnal's odd cycle problem
1981年，Erdens和Hajnal提出了一个问题：一个具有无限色数的图的奇数圈长的倒数之和是否必然是无限的.设$\mathcal{C}(G)$是图$G$中的圈长集，$\mathcal{C}_\text{odd}(G)$是$\mathcal{C}(G)$中的奇数集.证明了：若$G$有色数$k$，则有$\sum_{\ell\in \mathcal{C}_\text{odd}(G)}1/\ell\geq (1/2-o_k(1))\log k$ .这解决了Erdés和Hajnal的奇循环问题，而且，这个界限是渐近最优的。在1984年，Erdens提出了一个问题：是否存在某些$d$，使得每个色数至少为$d$（甚至可能是平均度至少为$d$）的图都有一个长度为2的幂的圈。我们表明，一个平均度条件是足够的这个问题，解决它的方法，适用于广泛的序列，除了2的权力。最后，我们使用我们的方法证明，对于每个$k$，都有一些$d$，使得每个平均度至少为$d$的图都对完全图$K_k$进行细分，其中每条边被细分相同的次数。这证实了1984年的一个猜想。
Spectral analogues of Erdős' and Moon-Moser's theorems on Hamilton cycles
1962年，Erdens用图的顶点数、边数和最小度给出了Hamilton圈的一个充分条件，推广了Ore定理。一年后，Moon和Moser对平衡二部图中的Hamilton圈给出了类似的结果。本文分别给出了Erdés定理和Moon-Moser定理的谱类比。设$\mathcal{G}_n^k$是阶为$n$且最小度至少为$k$的非哈密顿图类.我们确定了$\mathcal{G}_n^k$中图的最大（无符号Laplacian）谱半径（对于足够大的$n$），以及$\mathcal{G}_n^k$中图的补图的最小（无符号Laplacian）谱半径.确定了补图的最大（无符号拉普拉斯）谱半径和最小（无符号拉普拉斯）谱半径的所有极图.我们还解决了平衡二部图和拟补图的类似问题。
A unified Erdős-Pósa theorem for cycles in graphs labelled by multiple abelian groups
本文统一了图中多种循环的埃尔多斯-波萨定理，并扩展到带多重阿贝尔群标签的图中，提供了新的结果和障碍特征化。
An old problem of Erdős: a graph without two cycles of the same length
本文研究Erdős于1975年提出的问题：n个顶点上任意两条回路长度不同的图的最大边数，证明了当n充分大时最大回路长度不超过15/16 n，并提出极限为0的猜想。
Stability in the Erdős--Gallai Theorem on cycles and paths, II
Erdens-Gallai定理指出，对于$k \geq 3$，任何没有长度至少为$k$的圈的$n$ -顶点图至多有$\frac{1}{2}(k-1)(n-1)$边. Kopylov给出了一个更强版本的Erdens-Gallai定理：如果$G$是一个2-连通$n$ -顶点图，没有长度至少为$k$的圈，则有$e(G) \leq \max\{h(n,k,2),h(n,k,\lfloor \frac{k-1}{2}\rfloor)\}$，其中$h(n,k,a) := {k - a \choose 2} + a(n - k + a)$ .此外，Kopylov提出了两个可能的极值图，一个与$h(n,k,2)$边和一个与$h(n,k,\lfloor \frac{k-1}{2}\rfloor)$边。在本文中，我们完成了一个稳定性定理，加强了Kopylov的结果。特别地，我们证明了对$k \geq 3$奇图和所有$n \geq k$，每个$n$ -顶点$2$ -连通图$G$（没有长度至少为$k$的圈）是两个极图或$e(G) \leq \max\{h(n,k,3),h(n,k,\frac{k-3}{2})\}$之一的子图.这里的$e(G)$的上界是紧的。
Extremal problems of Erdős, Faudree, Schelp and Simonovits on paths and cycles
对于正整数$n>d\geq k$，令$ϕ(n,d,k)$表示最小整数$ϕ$，使得每个具有至少$ϕ$度至少为$d$的顶点的$n$ -顶点图包含$k+1$顶点上的路.许多年前，Erdens，Faudree，Schelp和Simonovits提出了对函数$ϕ(n,d,k)$的研究，并证明了对任何正整数$n>d\geq k$，它都成立$ϕ(n,d,k)\leq \lfloor\frac{k-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{n}{d+1}\rfloor+ε$，其中如果$k$是奇数，则为$ε=1$，否则为$ε=2$.本文精确地确定了函数$ϕ(n,d,k)$的值。这证实了Erdans等人对所有正整数$k\neq 4$的上述猜想，并对$k=4$的情况进行了修正。我们的证明利用，除其他外，一个引理的Erdalos等人。\cite{EFSS89}，一个定理的杰克逊\cite{J81}，和一个（轻微）的扩展非常最近的定理Kostochka，罗和Zirlin \cite{KLZ}，其中后两个结果涉及最大圈在二分图。此外，我们构建的例子，以提供两个密切相关的问题的答案提出的Erdalys等人。
A unified half-integral Erdős-Pósa theorem for cycles in graphs labelled by multiple abelian groups
本文提出一个关于带多个阿贝尔群标记的图中循环的统一半整数埃罗什-波萨定理，证明了在特定条件下循环包容量与击中所有循环的最小顶点集之间的对偶性。
The exact bound for the Erdős-Ko-Rado theorem for $t$-cycle-intersecting permutations
在本文中，我们采用了Ahlswede和Khachatrian在证明完整Erdos-Ko-Rado定理时使用的技术来表明，如果$n \geq 2t+1$，则任何成对的$t$ -循环相交排列族的基数小于或等于$(n-t)!$。此外，唯一能达到这个大小的族是$t$点的稳定子，也就是说，由共有$t$ 1-圈的所有排列组成的族。这是一个加强以前的结果Ku和Renshaw和支持最近的猜想埃利斯，Friedgut和Pilpel关于相应的限制$t$交叉家庭的排列。
Erdős-Pósa property of chordless cycles and its applications
图$G$中的一个无弦圈，或等价地一个洞，是$G$的一个诱导子图，它是一个长度至少为$4$的圈。我们证明了Erdens-Pósa性质对无弦圈成立，从而解决了关于Erdens-Pósa性质的主要问题.我们的证明是建设性的：在多项式时间内，可以找到$k+1$顶点不相交的无弦循环，或$c_1k^2 \log k+c_2$顶点击中每个无弦循环的一些常数$c_1$和$c_2$。这直接意味着弦顶点删除的因子$\mathcal{O}(\sf{opt}\log {\sf opt})$的近似算法。我们补充我们的主要结果表明，无弦周期的长度至少$\ell$为任何固定的$\ell\ge 5$不具有Erdens-Pósa属性。
On Hamilton cycles in Erdős-Rényi subgraphs of large graphs
给定$n$顶点和$m$边上的图$Γ= (V, E)$，我们定义具有主机$Γ$的Erdös-Rényi图过程如下。随机均匀地选择$E$的置换$e_1,\dots,e_m$，对于$t\leq m$，我们设$Γ_t = (V, \{e_1,\dots,e_t\})$。假设对于某个常数$\varepsilon > 0$，$Γ$的最小度是$δ(Γ) \geq (1/2 + \varepsilon)n$。那么，$Γ_t$很有可能在其最小度至少为2的同时成为哈密顿量。给定$0\leq p\leq 1$，我们让$Γ_p$是$Γ$的Erdens-Rényi子图，通过以概率$p$独立地保留每条边而获得。当为$δ(Γ)\geq (1/2 + \varepsilon)n$时，我们为哈密顿性提供阈值函数$p_0$，使得如果为$(p-p_0)n\to -\infty$，则$Γ_p$不是哈密顿whp，并且如果为$(p-p_0)n\to\infty$，则$Γ_p$是哈密顿whp。
Spectral radius, edge-disjoint cycles and cycles of the same length
本文给出了保证两个边不交圈和两个等长圈存在的谱条件。这两个结果可以看作是Erdés和Posa的尺寸条件和Erdés关于不存在两个等长圈的经典问题的谱类似。利用双前导特征向量技巧，进一步给出了保证$k$边不交三角形存在的谱条件。
Erdős-Gyárfás Conjecture for $P_8$-free graphs
一个图是$P_8$ -free的，如果它在八个顶点上不包含同构于路$P_8$的诱导子图. 1995年，Erds和Gyárfás证明了每个最小度至少为3的图都包含一个长度为2的幂的圈。本文证明了关于无$P_8$图的一个猜想：在每一个最小度至少为3的无$P_8$图中，存在一个长为4或8的圈.
Few Non-derogatory Directed Graphs from Directed Cycles
通过在有向圈上加弧的方法构造了几个非贬损有向图，并计算了它们的特征多项式和特征指数。
Erdős-Pósa property of tripods in directed graphs
本文定义了有向图中由两条共享后缀的S-T路径构成的三脚架子图，并证明其满足Erdős-Pósa性质，即若不存在k个顶点不相交的三脚架，则可用f(k)个顶点覆盖所有三脚架。
Hamilton cycles in weighted Erdős-Rényi graphs
给定一个对称的$n\times n$矩阵$P$，其上有$0 \le P(u, v)\le 1$，通过独立地包含任意边$\{u, v\}$，概率为$P(u, v)$，我们定义了一个$[n]$上的随机图$G_{n, P}$.对于$k\ge 1$，令$\mathcal{A}_k$是包含$\lfloor k/2 \rfloor$ Hamilton圈的性质，如果$k$是奇数，则有一个完美匹配，所有边不相交。通过对$P$的特征值条件和对它的行和的条件，$G_{n, P}\in \mathcal{A}_k$以高概率发生当且仅当$G_{n, P}$具有最小度$k$ whp。我们还提供了一个点击时间版本。作为一种特殊情况，当PDMATHABM_Z为常数时，伪随机$(n, d, μ)$ -图上的随机图过程具有$\mathcal{A}_k$性质，只要它以高概率获得最小度$k$.
Stability in the Erdos--Gallai Theorem on cycles and paths
Erdens-Gallai定理指出，对于$k \geq 2$，每个平均度大于$k - 2$的图都包含一条$k$ -顶点路.这个结果是Kopylov的一个更强结果的推论：如果$k$是奇数，$k=2t+1\geq 5$，$n \geq (5t-3)/2$，和$G$是一个至少有$h(n,k,t) := {k-t \choose 2} + t(n -k+ t)$边的$n$ -顶点$2$ -连通图，则$G$包含一个长度至少为$k$的圈，除非$G = H_{n,k,t} := K_n - E(K_{n - t})$ .在本文中，我们证明了一个稳定的版本的Erdens-Gallai定理：我们表明，对所有的$n \geq 3t > 3$，和$k \in \{2t+1,2t + 2\}$，每个$n$ -顶点2-连通图$G$与$e(G) > h(n,k,t-1)$要么包含一个周期的长度至少$k$或包含一组$t$顶点，其删除给出了一个明星森林。特别地，如果是$k = 2t + 1 \neq 7$，则显示$G \subseteq H_{n,k,t}$。在这些结果中的下限$e(G) > h(n,k,t-1)$是紧的，并且比Kopylov的界$h(n,k,t)$小一个$n-t-O(1)$项。
A sharp Dirac-Erdős type bound for large graphs
设$k \geq 3$为整数，$h_{k}(G)$为图$G$中度至少为$2k$的顶点数，$\ell_{k}(G)$为图$G$中度至多为$2k-2$的顶点数. Dirac和Erdans在1963年证明了，如果$h_{k}(G) - \ell_{k}(G) \geq k^{2} + 2k - 4$，那么$G$包含$k$顶点不交圈。对于每个$k\geq 2$，他们还显示了一个无限序列的图$G_k(n)$与$h_{k}(G_k(n)) - \ell_{k}(G_k(n)) = 2k-1$，使得$G_k(n)$没有$k$不相交的循环。最近，作者证明了对于$k \geq 2$，$3k$的界足以保证$k$不交圈的存在，并对每个$k$给出了一个有$h_{k}(G_0(k)) - \ell_{k}(G_0(k))=3k-1$和无$k$不交圈的图$G_0(k)$.本文的目标是细化和锐化这一结果：我们表明，Dirac-Erdés的建设是最佳的意义上说，对于每一个$k \geq 2$，只有100多个图$G$与$h_{k}(G) - \ell_{k}(G) \geq 2k$，但没有$k$不相交的循环。特别地，每个具有$|V(G)| \geq 19k$和$h_{k}(G) - \ell_{k}(G) \geq 2k$的图$G$包含$k$不相交圈。
The Erdős-Gallai bound for consecutive even cycle lengths
该研究将Erdős–Gallai界扩展到不含t个连续偶环长度的图，解决了Verstraëte的猜想，还确定了强制特定模长环的边阈值，证明采用了增强稳定性的次线性扩张器方法。
On a problem of Duke-Erdos-Rodl on cycle-connected subgraphs
本文证明了当β< 1/5时，每个n阶n条边的图G都包含一个至少有cn条边的子图G'，使得G'中的每对边都在一个长度不超过8的圈上.此外，G'中共享一个顶点的边一起位于长度至多为6的圈上。这一结果是最好的可能的常数因子和解决猜想杜克，鄂尔多斯，和Rodl。
Chvátal-Erdős condition for pancyclicity
一个$n$ -顶点图是哈密尔顿图，如果它包含一个覆盖它所有顶点的圈，如果它包含从$3$到$n$的所有长度的圈，它是泛圈的。一个著名的邦迪元猜想指出，每一个非平凡的条件意味着哈密尔顿性也意味着泛圈性（可能有几个例外的图）。我们证明了每个具有$κ(G) > (1+o(1)) α(G)$的图$G$都是泛圈图。这扩展了著名的Chvátal-Erdós条件的哈密顿性，并渐近证明了一个$30$岁的猜想杰克逊和Ordaz。
When all directed cycles have length three
本文针对所有有向环长度均为三的有向图，提出一种构造方法，完整刻画了这类有向图的结构。
Erdős-Sós for digraphs
本文证明了弧数超过 (t-1)n 的欧拉有向图必含任意 t 边有向树，界紧，是 Erdős-Sós 猜想的有向类比，由 GPT-6 Astra 证明。
Cycle packing
在20世纪60年代，Erdés和Gallai证明了n阶图的边集可以划分为O（n）圈和边。他们观察到，通过反复删除最长循环的边缘，可以很容易地得到O（n log n）上界。我们在这个问题上取得了第一个进展，表明O（n log log n）周期和边缘就足够了。我们还证明了随机图和具有线性最小度的图的Erdens-Gallai猜想。
Spanning cycles in random directed graphs
研究随机有向图中生成圈的出现时间，证明任意有向圈几乎必然早于有向哈密顿圈出现，并确定其尖锐阈值，证实了 Ferber-Long 猜想。
A tighter Erdös-Pósa function for long cycles
证明了存在一个二元函数f，f（k，l）= O（lklogk），使得对任意自然数k和l，任意图G至少有k个点不相交的长度至少为l的圈，或者有一个至多f（k，l）个点的集合满足所有长度至少为l的圈.这改进了Birmelé、Bondy和Reed（Combinatorica，2007）的结果，他们证明了f（k，l）= Θ（l k^2）的相同结果。
Semi-degree threshold for anti-directed Hamiltonian cycles
1960年，Ghouila-Houri将狄拉克定理推广到有向图，证明了如果D是n个顶点的有向图，其最小出度和入度至少为n/2（即最小半度至少为n/2），则D包含有向哈密顿圈。当然，有向图中的圈还有其他方向，并且不清楚有向哈密顿圈的半度阈值与其他方向的半度阈值是否相同。1980年，格兰特提出了确定反定向哈密顿圈（一种连续边交替方向的方向）的最小半度阈值的问题。本文证明了：对于充分大的偶数n，若D是n阶有向图，且最小半度至少为n/2+1，则D包含一个反有向哈密顿圈.这个结果是尖锐的。
Erdos-Hajnal for graphs with no 5-hole
Erdos-Hajnal猜想说，对于每个图H，存在c>0，使得每个不包含H作为诱导子图的图G具有至少|G| ^c的团或独立集。我们证明了当H是一个长度为5的圈时，这是真的。我们还证明了几个进一步的结果：例如，如果C是一个圈，H是一个森林的补图，则存在c>0使得每个不包含C，H作为诱导子图的图G都有一个团或稳定的基数集至少为|G| ^c.
A note on directed 4-cycles in digraphs
本文利用组合技巧证明了：若$α\geq 0.28866$，则$n$顶点上最小出度至少为$αn$的任何有向图都含有长度不超过4的有向圈.
On the directed Oberwolfach Problem with equal cycle lengths: the odd case
证明了完全对称有向图$K_{2m}^\ast$对所有奇数$m$，$5 \le m \le 49$都可分解为长度为$m$的有向圈.因此，$K_{n}^\ast$允许对所有$n \equiv 0 \pmod{2m}$和奇数$m$，$5 \le m \le 49$，可分解为长度为$m$的有向圈。
An Erd{\H o}s-Ko-Rado theorem for permutations with fixed number of cycles
令$S_{n}$表示$[n]=\{1,2,\dots, n\}$的置换集。对于正整数$k$，将$S_{n,k}$定义为具有恰好$k$不相交循环的$[n]$的所有排列的集合，即，\[ S_{n,k} = \{π\in S_{n}: π= c_{1}c_{2} \cdots c_{k}\},\]，其中$c_1,c_2,\dots ,c_k$为不相交循环。$S_{n,k}$的大小由$\left [ \begin{matrix}n\\ k \end{matrix}\right]=(-1)^{n-k}s(n,k)$给出，其中$s(n,k)$是第一类斯特林数。如果$\mathcal{A}$的任何两个元素至少有$t$公共圈，则称族$\mathcal{A} \subseteq S_{n,k}$为$t$ -{ \em相交}。本文证明了，给定任意正整数$k,t$，$k\geq t+1$，存在一个整数$n_0=n_0(k,t)$，使得对所有的$n\geq n_0$，如果$\mathcal{A} \subseteq S_{n,k}$是$t$ -相交的，则\[ |\mathcal{A}| \le \left [ \begin{matrix}n-t\\ k-t \end{matrix}\right],\]具有相等性当且仅当$\mathcal{A}$是$t$不动点的稳定子.
Long cycles in subgraphs of (pseudo)random directed graphs
本文研究了随机和伪随机有向图关于具有长有向圈的弹性。对于每一个$0 < γ< 1/2$，我们找到一个常数$c=c(γ)$，使得以下成立。设$G=(V,E)$是$n$顶点上的（伪）随机有向图，$G'$是$G$的一个有$(1/2+γ)|E|$边的子图.则$G'$包含长度至少为$(c-o(1))n$的有向环。此外，存在$G$的具有$(1/2+γ-o(1))|E|$边的子图$G''$，其不包含长度至少为$cn$的圈。
A spectral Erdős-Pósa Theorem
一组圈被称为独立的，如果它们中没有两个有一个共同的顶点。设$S_{n, 2k-1}$是完全分裂图，它是大小为$2k-1$的团与大小为$n-2k+1$的独立集的联。1962年，Erdés和Pósa建立了如下边极值定理：对任何不含$k$独立圈的$n$阶图$G$，其中$k\geq2$和$n\geq 24k$，我们有$e(G)\leq (2k-1)(n-k),$相等当且仅当$G\cong S_{n,2k-1}.$本文证明了Erdés-Pósa定理的谱形式.设$k\geq1$和$n\geq \frac{16(2k-1)}{λ^{2}}$与$λ=\frac1{120k^2}$。如果$G$是一个图的顺序$n$，其中不包含$k$独立的循环，那么$ρ(G)\leq ρ(S_{n,2k-1}),$的等式成立当且仅当$G\cong S_{n,2k-1}.$这提出了一个新的例子说明，其中边极值问题有谱类似物。最后，提出了相关的问题，以进一步研究。
Longest Cycle above Erdős-Gallai Bound
1959年，Erdés和Gallai证明了平均顶点度为ad（G）\geq 2的图G中存在一个长度至少为ad（G）的圈.我们给出了一个算法，对k个\geq 0，时间2^{O（k）} n^{O（1）}判定一个2-连通n-顶点图G是否包含一个长度至少为ad（G）+k的圈.这解决了几篇论文中明确提到的一个公开问题。我们的算法的主要成分是新的图论结果有趣的自己。
On the Directed Hamilton-Waterloo Problem with Two Cycle Sizes
有向Hamilton-Waterloo问题要求完全对称有向图$K_v^*$的有向$2$ -因子分解，其中有两个非同构的$2$ -因子.在问题的统一版本中，因子由有向$m$ -圈或$n$ -圈组成。本文给出了该问题有解的必要条件，并用$(m, n)\in \{(4,6),(4,8),(4,12),(4,16),(6,12)$，$(8,16),(3,5),(3,15),(5,15)\}$求解了因子问题。
The Directed Uniform Hamilton-Waterloo Problem Involving Even Cycle Sizes
本文研究完全对称有向图的均匀分解问题，推广无向Hamilton-Waterloo问题，证明除少数例外，可分解为两个非同构均匀因子，涉及有向偶圈。
Asymptotics of the Minimal Feedback Arc Set in Erdős-Rényi Graphs
本文研究 Erdős-Rényi 随机有向图中最小反馈弧集问题，证明了前馈弧与被移除反馈弧数量之比大于 $1+ε$ 的概率随顶点数趋于无穷大而渐近为零。
Decompositions of the wreath product of certain directed graphs into directed hamiltonian cycles
本文针对 Alspach 等人提出的圈积保持哈密顿分解性猜想，证明偶数阶可分解有向图与较长有向圈或完全对称有向图的圈积可哈密顿分解，并给出与短圈圈积不可分解的反例。
Arbitrary orientations of Hamilton cycles in directed graphs of large minimum degree
本文将 Ghouila-Houri 的有向 Hamilton 圈定理渐近推广到任意圈定向，证明最小度至少为 (1+o(1))n 的有向图包含所有可能长度圈的各种定向，仅非强连通情形下有向 Hamilton 圈例外。
Counting Hamilton cycles in sparse random directed graphs
设D（n，p）是n个顶点上的随机有向图，其中n（n-1）条可能的弧中的每一条都以概率p独立存在. Frieze的一个著名结果表明，如果$p\ge(\log n+ω(1))/n$，则D（n，p）通常有一个有向Hamilton圈，这是最好的可能.本文得到了这个结果的一个加强，证明了在相同条件下，D（n，p）中有向Hamilton圈的个数典型地为$n!(p(1+o(1)))^{n}$ .我们还证明了这一说法的命中时间版本，表明在随机有向图过程中，只要每个顶点的入/出度至少为1，通常有$n!(\log n/n(1+o(1)))^{n}$有向Hamilton圈。
Spanning trees in directed circulant graphs and cycle power graphs
一类生成元线性依赖于$βn$顶点数的有向循环图的生成树数，以及$βn$ -圈的第$n$次和第$(n-1)$次幂图的生成树数被计算为$\lceilβ/2\rceil-1$项的乘积.
Extrema Property of the $k$-Ranking of Directed Paths and Cycles
有向图$G$的$k$ -排序是用$k$正整数对$G$的顶点集进行标记，使得连接具有相同标记的两个顶点的每个有向路径包括其间具有较大标记的顶点。$G$的等级数被定义为最小的$k$，使得$G$具有$k$等级。我们找到了最大可能的有向图，可以从一个有向路径或一个有向圈附加新的边缘的顶点，使新的图具有相同的秩数作为原始的图形。结果图的邻接矩阵嵌入Sierpienski三角形中。我们提出了一个连接的边缘，可以添加到路径和第二类斯特林数之间的数量。这些结果被推广到创建有向图，这是工会的有向路和有向圈，保持秩数的基本图的有向路或有向圈。
Holes with hats and Erdős-Hajnal
图$G$中的“带帽洞”是$G$的一个诱导子图，它由一个长度至少为4的圈和另一个顶点组成，该顶点在圈中正好有两个相邻的邻居，并且“房子”是最小的，在五个顶点上。目前还不知道是否存在$ε>0$，使得每个不包含房子的图$G$都有一个团或稳定的基数集，至少是$|G|^ε$ ;这是Erdens-Hajnal猜想的三个最小的开放情况之一，并且一直是许多研究的主题。证明了存在$ε>0$使得每个不含带帽洞的图$G$都有一个团或稳定的基数集至少为$|G|^ε$
Subset powers of directed cycles
对于任何顶点集为V的有向图G，称图G^（d）是G的子集幂，并定义其顶点集等于V的d元子集的集合;在G^（d）中，存在从A到B的边当且仅当我们可以标记A和B的元素，使得G中每对对应元素之间存在一条边。我们确定了C^（d）的完全圈结构，其中C是长度为l的有向圈。
Packing, Counting and Covering Hamilton cycles in random directed graphs
有向图中的哈密尔顿圈是通过所有顶点的圈，其中所有弧都朝向相同的方向。在有向图中寻找哈密尔顿圈的问题已经得到了很好的研究，并且被认为是困难的。其中一个主要原因，是没有一个通用的工具，寻找汉密尔顿圈的有向图可比的所谓的位置？用于无向类似物的“旋转-延伸”技术。设${\mathcal D}(n,p)$表示顶点集$[n]$上的随机有向图，该图是通过以概率$p$独立地添加每个有向边而得到的.在这里，我们提出了一个一般的和一个非常简单的方法，使用已知的结果，攻击问题的包装和计数的随机有向图的Hamilton圈，每一个边概率$p>\log^C(n)/n$。我们的结果是渐近最优的所有参数，并同样适用于无向的情况。
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