The Erdős-Hajnal property for graphs with no fixed cycle as a pivot-minor
证明了对任意整数$k$，存在$\varepsilon > 0$，使得对任意n-顶点图$G$，不存在与$C_k$同构的子子图，存在不交集$A,B \subseteq V(G)$，使得$|A|,|B| \geq \varepsilon n$，以及$A$与$B$是完全的或反完全的.这证明了类似的Erdens-Hajnal猜想的类图没有图的子同构$C_k$。
2021-07-01 math.CO
The Erdős-Hajnal Property for the six-vertex Graph with Edge Set $\{ab,bc,cd,de,af,bf,df\}$
Department of Mathematics, National University of Singapore（新加坡国立大学数学系）
本研究证明了边集为{ab,bc,cd,de,af,bf,df}的6顶点图具有Erdős-Hajnal性质，采用迭代稀疏化方法完成证明。
2026-08-31 math.CO
Erdos-Hajnal for graphs with no 5-hole
Erdos-Hajnal猜想说，对于每个图H，存在c>0，使得每个不包含H作为诱导子图的图G具有至少|G| ^c的团或独立集。我们证明了当H是一个长度为5的圈时，这是真的。我们还证明了几个进一步的结果：例如，如果C是一个圈，H是一个森林的补图，则存在c>0使得每个不包含C，H作为诱导子图的图G都有一个团或稳定的基数集至少为|G| ^c.
2021-02-09 math.CO
A note on the Erdős-Hajnal hypergraph Ramsey problem
我们证明了存在一个绝对常数$c>0$，使得下列成立。对于每个$n > 1$，存在一个在至少$2^{2^{cn^{1/4}}}$顶点上的5-一致超图，其独立数至多为$n$，其中每6个顶点的集合至多导出3条边.顶点数的双指数增长性是急剧的。利用前两个作者建立的一个阶上引理，对$k$ -一致超图证明了类似的尖锐结果。这回答了倒数第二个开放的情况下，一个猜想在拉姆齐理论所提出的埃尔德什和Hajnal在1972年。
2020-02-28 math.CO
Pivot-minors and the Erdős-Hajnal conjecture
本文证明了 Kim 和 Oum 的猜想，即每个真轴转子式封闭图类都具有强 Erdős-Hajnal 性质，从而为 Erdős-Hajnal 猜想在轴转子式框架下提供了新的支持。
2025-04-08 math.CO
A problem of Erdős and Hajnal on paths with equal-degree endpoints
本文证明了 Erdős 和 Hajnal 提出的关于图中等度端点路径的问题，给出了边数下界，并推广到偶数阶图及相关极值问题。
2025-03-25 math.CO
All known prime Erdős-Hajnal tournaments satisfy $ε(H) = Ω(\frac{1}{|H|^{5}\log(|H|)})$
我们证明了存在$C>0$使得对于著名的Erdess-Hajnal猜想已被证明的每个素竞赛图$H$，$ε(H) \geq \frac{C}{|H|^{5}\log(|H|)}$，其中$ε(H)$是竞赛图$H$的Erdess-Hajnal系数。这是第一个多项式界的EH系数获得所有已知的总理Erdens-Hajnal比赛，特别是无限多个总理比赛。作为我们分析的副产品，我们肯定地回答了这个问题，是否存在一个无限族的素数竞赛图$H$与$ε(H)$下界由$\frac{1}{\textit{poly}(|H|)}$，其中$\textit{poly}$是一个多项式函数。此外，我们给出了更严格的界限比那些已知的EH系数的比赛没有大的齐次集。这使我们能够显着减少之间的差距最知名的EH系数的比赛的下限和上限。作为推论，我们证明了每个已知的素数Erdens-Hajnal竞赛图$H$满足：$-5 + o(1) \leq \frac{\log(ε(H))}{\log(|H|)} \leq -1 + o(1)$ .以前，这个表达式没有下限。我们还展示了这些结果的应用比赛着色问题。特别地，我们证明了对于每个已知的素数Erdens-Hajnal竞赛图$H$，每个无$H$的竞赛图至多有\textit{chromatic number} $O(n^{1-\frac{C}{|H|^{5}\log(|H|)}}\log(n…
2014-10-26 math.CO
An Erdős--Hajnal analogue for permutation classes
针对不含所有分层或共分层排列的排列类，证明其中每个长度为 n 的排列必含长度为 cn 的单调子序列，给出 Erdős--Hajnal 性质的类比结果。
2016-02-09 math.CO
Equivalence between Erdős-Hajnal and polynomial Rödl and Nikiforov conjectures
本文证明了多项式Rödl猜想、多项式Nikiforov猜想与Erdős-Hajnal猜想三者等价，并由此推出字符串图满足多项式Rödl猜想，同时将结果推广至超图、锦标赛、有序图和着色图。
2024-04-19 math.CO
Strong Erdős-Hajnal properties in chordal graphs
一个图类$\mathcal{G}$具有强Erdens-Hajnal性质（SEH-性质），如果存在一个常数$c=c(\mathcal{G}) > 0$使得对于$\mathcal{G}$的每个成员$G$，$G$或其补图都有$K_{m, m}$作为子图，其中$m \geq \left\lfloor c|V(G)|\right\rfloor$ .证明了这类弦图满足SEH-性质，且具有常数$c = 2/9$ .另一方面，Alon等人（2005）和Fox等人（2012）在几何设置中讨论了SEH性质的加强，我们称之为彩色Erdens-Hajnal性质。受他们的结果的启发，我们表明，对于每一对$F_1, F_2$的子树家庭的相同大小的树$T$与$k$叶，存在的子家庭$F'_1 \subseteq F_1$和$F'_2 \subseteq F_2$的大小$θ\left( \frac{\ln k}{k} \left| F_1 \right|\right)$，这样，无论是每一对不同的子家庭的代表相交或每一个这样的对不相交。我们的结果是渐近最优的。
2023-02-05 math.CO
On the solution to the Erdős-Hajnal problem on high-girth high-chromatic subgraphs
University of Oxford（牛津大学）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）
本文解释并优化了 Erdős-Hajnal 问题的高围长高色数子图的否定构造，将 Kohlmeyer 和 Kruer 的色数上界从 6 改进到 3。
2026-10-05 math.CO
Tournaments and the Erdös-Hajnal Conjecture
著名的Erdös-Hajnal猜想指出，对于每个无向图$H$，存在$ ε(H) > 0 $，使得每个不包含$H$作为诱导子图的$ n $顶点上的无向图包含大小至少为$ n^{ε(H)} $的团或独立集。这个猜想有一个有向等价版本，即对于每个竞赛图$H$，存在$ ε(H) > 0 $，使得每个无$H$的$n$顶点竞赛图$T$包含一个阶至少为$ n^{ε(H)} $的传递子竞赛图.这个猜想是证明了少数无限族的比赛。本文构造了一个新的竞赛图无限族$-$，即所谓的flotilla-星系族，并证明了对每个flotilla-星系竞赛图猜想的正确性。
2022-08-10 math.CO
On the Erd{\H o}s--Hajnal problem in the case of 3-graphs
设$m(n,r)$表示$n$ -一致超图中不可$r$ -着色的最小边数.关于这个问题的广泛历史，请参见[RaiSh]。已知对于固定的$n$，序列\[ \frac{m(n,r)}{r^n} \]具有极限。唯一不重要的情况是$n=2$，其中$m(2,r) = \binom{r+1}{2}$。在本说明中，我们将重点放在案例$n=3$上。首先，我们比较了现有的方法在这种情况下，然后改进的下界。
2019-07-11 math.CO
Tournaments and the Strong Erdős-Hajnal Property
Alon、Pach和Solymosi的一个猜想，等价于著名的Erdens-Hajnal猜想，指出对于每个竞赛图$S$，存在$ε(S)>0$，使得如果$T$是一个不包含$S$作为子竞赛图的$n$-顶点竞赛图，则$T$至少在$n^{ε(S)}$顶点上包含一个传递子竞赛图。设$C_5$是唯一的五顶点竞赛图，其中每个顶点有两个内邻居和两个外邻居。已知Alon-Pach-Solymosi猜想对于当$S=C_5$.在这里，我们证明了这个结果的加强，表明在每个比赛$T$没有subtorunament同构于$C_5$存在不相交的顶点子集$A$和$B$，每个包含一个线性比例的顶点的$T$，并使每个顶点的$A$是相邻的每个顶点的$B$。
2021-09-14 math.CO
On the Erdős-Hajnal conjecture for six-vertex tournaments
Erdés和Hajnal的一个著名的未解决的猜想指出，对于每个无向图$H$，存在$ε(H)>0$，使得每个不包含$H$作为导出子图的$n$顶点上的无向图包含大小至少为$n^{ε(H)}$的团或稳定集。该猜想有一个有向等价版本，即对于每个竞赛图$H$，存在$ε(H)>0$，使得每个无$n$的顶点竞赛图$T$包含一个阶至少为$n^{ε(H)}$的传递子竞赛图.我们说一个竞赛图是\textit{prime}，如果它没有非平凡的齐次集。到目前为止，该猜想仅针对某些特定的素竞赛图族（\cite{chorochudber, choromanski2}）和根据所谓的\textit{substitution procedure}（\cite{alon}）构造的竞赛图得到了证明。特别是，最近证明了所有五个顶点的比赛（\cite{chorochudber}）的猜想，但关于所有六个顶点的比赛猜想的正确性的问题仍然是开放的。本文证明了除了至多一个六点竞赛图外，所有六点竞赛图都满足Erdens-Hajnal猜想。这将六个顶点的情况简化为一个锦标赛。
2015-08-20 math.CO
Erdös-Hajnal Conjecture for New Infinite Families of Tournaments
Erdös-Hajnal猜想指出，对于每个无向图$H$，存在$ ε(H) > 0 $，使得每个不包含$H$作为诱导子图的$ n $顶点上的无向图包含大小至少为$ n^{ε(H)} $的团或独立集。这个猜想有一个有向等价版本，说明对于每个锦标赛$H$，存在$ ε(H) > 0 $，使得每个$H-$自由$n-$顶点锦标赛$T$包含阶至少为$ n^{ε(H)} $的传递子锦标赛。这个猜想是已知的持有一些无限家庭的比赛。本文构造了两个新的竞赛图无限族--蜘蛛星系族和蜘蛛星系族，并证明了这两个族的猜想的正确性。
2022-08-08 math.CO
A note on the Erdős-Hajnal property for stable graphs
在这篇短文中，我们对不具有$k$ -阶性质的有限（超）图族给出了Erdens-Hajnal猜想的一个相对简单的证明。它最初是由M. Malliaris和S. Shelah在“Regularity lemmas for stable graphs”，Transactions AMS，366，2014，1551-1585中。
2016-04-11 math.CO math.LO
A solution to Erdős and Hajnal's odd cycle problem
1981年，Erdens和Hajnal提出了一个问题：一个具有无限色数的图的奇数圈长的倒数之和是否必然是无限的.设$\mathcal{C}(G)$是图$G$中的圈长集，$\mathcal{C}_\text{odd}(G)$是$\mathcal{C}(G)$中的奇数集.证明了：若$G$有色数$k$，则有$\sum_{\ell\in \mathcal{C}_\text{odd}(G)}1/\ell\geq (1/2-o_k(1))\log k$ .这解决了Erdés和Hajnal的奇循环问题，而且，这个界限是渐近最优的。在1984年，Erdens提出了一个问题：是否存在某些$d$，使得每个色数至少为$d$（甚至可能是平均度至少为$d$）的图都有一个长度为2的幂的圈。我们表明，一个平均度条件是足够的这个问题，解决它的方法，适用于广泛的序列，除了2的权力。最后，我们使用我们的方法证明，对于每个$k$，都有一些$d$，使得每个平均度至少为$d$的图都对完全图$K_k$进行细分，其中每条边被细分相同的次数。这证实了1984年的一个猜想。
2022-09-19 math.CO
Induced subgraph density. V. All paths approach Erdos-Hajnal
本文证明 Erdős-Hajnal 猜想对所有路径几乎成立：任意无路径 $H$ 的 $n$ 顶点图都含有规模至少为 $2^{(\log n)^{1-o(1)}}$ 的团或稳定集，将此前仅覆盖至多五顶点路径的结果推广到所有路径。
2024-10-21 math.CO
Erdős-Hajnal properties for powers of sparse graphs
我们证明，对于每个无处稠密的图类$\mathcal{C}$、正整数$d$和$\varepsilon>0$，以下成立：在来自$\mathcal{C}$的每个$n$ -顶点图$G$中，可以找到两个不相交的顶点子集$A,B\subseteq V(G)$，使得$|A|\geq (1/2-\varepsilon)\cdot n$和$|B|=Ω(n^{1-\varepsilon})$，并且对于所有$a\in A$和$b\in B$，可以是$\operatorname{dist}(a,b)\leq d$，或者对于所有$a\in A$和$b\in B$，可以是$\operatorname{dist}(a,b)>d$。我们还展示了一些更强的变体，这句话，包括一个概括的一阶解释无处密集的图形类的设置。
2020-11-21 math.CO
Two Erdős--Hajnal-type Theorems in Hypergraphs
Erdens-Hajnal定理断言，非泛图，即不包含某个固定图$H$的导出副本的图，具有大小明显大于人们通常期望在图中找到的齐次集。在$r$ -一致超图的背景下，我们得到了这类超图的两个结果. Rödl的一个定理断言，如果一个$n$ -顶点图是非泛图，那么它包含一个大小为$Ω(n)$的几乎齐次集（即边密度非常接近$0$或$1$的几乎齐次集）。证明了如果$3$ -一致超图是非泛超图，则它包含一个大小为$Ω(\log n)$的几乎齐次集。1986年Rödl的一个例子表明这个界是紧的。设$R_r(t)$表示最大非泛$r$ -图$G$的大小，使得$G$及其补图都不包含部分大小为$t$的完全$r$ -部子图.我们证明了Erdens-Hajnal型步进引理，展示了如何将$R_{r}(t)$的下界转换为$R_{r+1}(t)$的下界。作为这个引理的应用，我们改进了Conlon-Fox-Sudakov的一个界，证明了$R_3(t) \geq t^{Ω(t)}$ .
2018-05-20 math.CO
Erdős-Hajnal conjecture beyond five-vertex graphs
Nankai University（南开大学）
本文证明 Erdős-Hajnal 猜想对不含诱导子图 E-图（在五顶点路径 P5 中间顶点添加一条悬挂边得到的图）的图成立，推广了 Nguyen、Scott 和 Seymour 关于五顶点路径的结果。
2026-09-01 math.CO
The Erdős-Hajnal conjecture for rainbow triangles
证明了不含彩虹三角形的n个顶点的完全图的边的每一个3-着色都包含一个至多使用两种颜色的阶为Omega（n^{1/3}log^2 n）的集合，并且这个界是紧到常数因子的.这验证了Hajnal的猜想，这是著名的Erdens-Hajnal猜想的一个推广。我们进一步建立了这个结果的推广。对于固定的正整数s和r，其中s最多为r，我们确定一个常数c_{r,s}，使得以下成立。不含彩虹三角形的n个顶点上的完全图的边的每一个r-染色都包含一个至多使用s个颜色的阶Omega（n^{r（r-1）/s（s-1）}（\log n）^{ c_{r,s} }）的集合，并且除了隐含的常数因子外，这个界是紧的.下界的证明利用了Gallai对完全图的彩虹三角形自由边着色的分类，Ramsey定理的一个新的加权扩展，以及边加权图中的一个差异不等式。上界的证明使用Erdans关于Ramsey数的下界，考虑没有大单色团的完全图的2-边着色的字典积。
2013-03-12 math.CO
The Erdős-Hajnal hypergraph Ramsey problem
给定整数$2\le t \le k+1 \le n$，令$g_k(t,n)$为最小$N$，使得$\{1, \ldots, N\}$的$k$ -子集的每个红/蓝着色产生包含$t$红色$k$ -子集的$(k+1)$ -集，或产生其所有$k$ -子集为蓝色的$n$ -集。1972年，Erdens和Hajnal证明了对于固定的$2\le t \le k$，存在正的常数$c_1$和$c_2$，使得$$ 2^{c_1 n} < g_k(t, n) < twr_{t-1} (n^{c_2}),$$，其中$twr_{t-1}$是高度为2的塔$t-2$。他们证明了塔增长率在上界是正确的。尽管许多研究人员对这个问题的密切相关和特殊情况进行了数十年的工作，但$2<t<k$的下限没有任何改进。在这里，我们解决了Erdens-Hajnal猜想在几乎所有情况下，在一个强的形式，通过确定正确的塔的增长率，并在一半的情况下，我们还确定正确的权力PDMATHAMT塔内。具体来说，我们证明，如果$2<t<k-1$和$k - t$是偶数，那么$$g_k(t, n) = twr_{t-1} (n^{k-t+1 + o(1)}).$$类似的结果证明$k - t$奇数。
2016-02-28 math.CO
Induced subgraph density. I. A loglog step towards Erdos-Hajnal
本文证明了对于每个图$H$，存在$c>0$使得每个$H$-free图$G$包含大小至少为$2^{c\sqrt{\log |G|\log\log|G|}}$的团或稳定集，改进了Erdős和Hajnal于1977年的经典结果。
2024-02-19 math.CO
The Erdős-Hajnal conjecture for three colors and multiple forbidden patterns
Erdenses和Szekeres的Ramsey定理的定量版本断言，任何n个顶点的完全图，如果边着色为两种颜色，则至少有1/2log（n）个顶点存在单色团。著名的Erdens-Hajnal猜想断言，禁止固定的颜色模式可以确保更大的单色集团。具体地说，它要求对任何固定整数k和任何k个顶点上的团K用两种颜色边着色，存在正常数a使得在任何不包含K的副本的用两种颜色边着色的完全n-顶点图中，至少在n^a个顶点上存在单色团。我们考虑三种颜色的边着色。对于三角形族H，每个三角形都用来自{r，b，y}的颜色着色，Forb（n，H）表示完全n-顶点图的使用来自{r，b，y}的颜色且不包含来自H的颜色的边着色族。设h_2（n，H）是使得Forb（n，H）中的任意着色在至少q个顶点上有一个团且至多使用两种颜色的最大q。本文对所有至多由三个三角形组成的族H给出了h_2（n，H）的界.对于其中的大多数，我们的边界是渐近紧的。这推广了Fox，Grinshpun和Pach的一个结果，他们对由彩虹三角形组成的H确定了h_2（n，H），并证实了Erdens-Hajnal猜想。
2021-07-29 math.CO
The Erdős-Hajnal Conjecture for Paths and Antipaths
证明了对任意k，存在$c_k>0$，使得任意n个顶点的图G不存在路$P_k$及其补图，且G包含一个团或一个大小为$n^{c_k}$的独立集.
2014-06-26 cs.DM math.CO
Forests and the Strong Erdos-Hajnal Property
Alon等人提出的著名的未解决的Erdos和Hajnal猜想的一个等价的有向版本指出，对于每个竞赛图H，存在n（H）> 0，使得每个无H的n-顶点竞赛图T包含一个阶至少为n^（n（H））的传递子竞赛图。竞赛图H具有强EH-性质，如果存在c > 0，使得对于每个|T| > 1的无H竞赛图T，存在不相交的顶点子集A和B，每个顶点的基数至少为c |T|，且A的每个顶点与B的每个顶点相邻. Berger等人证明了唯一的五点竞赛图C5具有强EH-性质，其中每个点都有两个内邻和两个外邻.我们知道，每个具有强EH-性质的竞赛图也具有EH-性质。在本文中，我们构造了一个无限的竞赛图类-所谓的螺旋星系，我们证明了每个螺旋星系具有强EH-性质。
2022-09-17 math.CO
The Erdős-Hajnal Conjecture for Long Holes and Anti-holes
Erdés和Hajnal证明了，对于每个图$H$，存在一个常数$c_H$，使得$n$顶点上的每个图$G$，如果不包含任何$H$的诱导拷贝，都有一个大小为$n^{c_H}$的团或稳定集.证明了对每个$k$，存在$c_k>0$，使得$n$顶点上的每个图$G$不包含长度至少为$k$的圈，也不包含其补图，且包含大小为$n^{c_k}$的团或稳定集.
2014-08-08 cs.DM math.CO
About the Erdös-Hajnal conjecture for seven-vertex tournaments
Erdös和Hajnal的一个著名的未解决猜想指出，对于每个无向图$H$，存在$ ε(H) > 0 $，使得每个不包含$H$作为诱导子图的$ n $顶点上的无向图包含大小至少为$ n^{ε(H)} $的团或稳定集。该猜想有一个有向等价版本，说明对于每个锦标赛$H$，存在$ ε(H) > 0 $，使得每个$H-$自由$n-$顶点锦标赛$T$包含阶至少为$ n^{ε(H)} $的传递子锦标赛。已知该猜想的有向和无向版本对于小图（锦标赛）都是正确的。到目前为止，该猜想仅针对某些特定的素数竞赛图族，根据所谓的$-$替换过程构造的竞赛图，允许构造更大的图，以及所有五个$-$顶点竞赛图被证明。最近，除了一个例外，该猜想在所有六个$-$顶点竞赛图上都得到了证明，但是关于该猜想在所有七个$-$顶点竞赛图上的正确性的问题仍然是开放的。本文对几个七点$-$竞赛图证明了该猜想的正确性。
2022-08-10 math.CO
Two Erdos-Hajnal-type theorems for forbidden order-size pairs
ETH（苏黎世联邦理工学院）；University of Toronto（多伦多大学）
本文针对超图提出两个Erdős-Hajnal型定理，证明特定条件下超图存在更大齐次集，推进了Axenovich等人提出的相关问题。
2026-10-20 math.CO
The Erdős--Hajnal hypergraph Ramsey problem for $r_4(6,n)$
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Data Science Institute, Shandong University（山东大学数据科学研究院）
本文证明了 $r_4(6,n)\ge 2^{2^{cn}}$，改进了先前界，从而确认了所有固定 $k\ge4$ 时 $r_k(k+2,n)$ 的 Erdős--Hajnal 猜想。
2026-09-23 math.CO
Induced subgraph density. IV. New graphs with the Erdős-Hajnal property
Princeton University（普林斯顿大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文证明了存在无限多个具有埃尔多斯-哈纳利性质的素图，通过引入迭代稀疏化技术，扩展了有序图和竞赛图的研究。
2026-04-18 math.CO
Towards the Erdős-Hajnal conjecture for $P_5$-free graphs
本文改进了 Erdős-Hajnal 猜想在最小未解决情形（$P_5$-free 图）下的下界，证明了此类图包含大小至少为 $2^{Ω(\log n)^{2/3}}$ 的团或独立集，并将该改进推广至无限族图。
2023-10-26 math.CO
Erdos-Hajnal conjecture for graphs with bounded VC-dimension
图的Vapnik-Chervonenkis维数（简称VC维数）定义为集合系统由其顶点邻域所诱导的VC维数。我们证明了每个VC维数有界的$n$ -顶点图都包含一个大小至少为$e^{(\log n)^{1 - o(1)}}$的团或独立集。对VC维的依赖性隐藏在$o(1)$项中。这提高了一般的下界，$e^{c\sqrt{\log n}}$，由于Erdos和Hajnal，这是有效的，在满足任何固定的非平凡的遗传性质的图类。我们的结果几乎是最优的，几乎匹配著名的Erdos-Hajnal猜想，根据该猜想，人们总是可以找到一个集团或一个独立的集的大小至少为$e^{Ω(\log n)}$。我们的结果部分地解释了为什么大多数几何交图出现在离散和计算几何有非常有利的拉姆齐型性质。我们的主要工具是由Lovász-Szegedy和Alon-Fischer-Newman发现的划分结果，该结果被称为具有有界VC-维数的图的“超强正则引理”。我们将这个引理推广到$k$ -一致超图，证明了在图的设置下，划分的部分数可以取为$(1/\varepsilon)^{O(d)}$，从而改进了原来的$(1/\varepsilon)^{O(d^2)}$的界.我们表明，这个界是紧的指数的一个绝对常数因子。此外，我们给出了一个$O(n^k)$的时间算法找到一个分区满足要求。最后，我们建立了具有有界VC-维数的图的Ramsey-Tu…
2017-10-10 math.CO
A note on multicolour Erdős-Hajnal conjecture
该研究将多色Erdős-Hajnal猜想归约为主团颜色数与禁用模式相同或多一种的情形，并发现带禁用模式的着色团中齐次集存在非单调性：主图多一种颜色可能减小最大齐次集的大小。
2023-12-12 math.CO
Galaxies and the Strong Erdos-Hajnal Property
Alon、Pack和Solymosi提出的著名的未解决的Erdos和Hajnal猜想的一个等价的有向版本指出，对于每个竞赛图H，存在n（H）>0，使得每个无H的n-顶点竞赛图T包含一个阶至少为n^（n（H））的传递子竞赛图。竞赛图H具有强EH-性质，如果存在c > 0，使得对于每个H-自由竞赛图T（|T| > 1），存在不相交的顶点子集A和B，每个顶点的基数至少为|T| n，且A的每个顶点与B的每个顶点相邻. Berger等人证明了唯一的五点竞赛图C5具有强EH-性质，其中每个点都有两个内邻和两个外邻.已知任何具有强EH-性质的竞赛图也具有EH-性质。本文证明了在顶点序下，当竞赛图的后边缘所构成的图是由至多两条边和连续叶子组成的森林时，竞赛图具有强EH-性质。
2023-01-28 math.CO
The Erdős-Hajnal conjecture for caterpillars and their complements
著名的Erdens-Hajnal猜想指出，对于每个真遗传图类$\mathcal{G}$，存在一个常数$\varepsilon = \varepsilon(\mathcal{G}) > 0$，使得每个图$G \in \mathcal{G}$包含一个团或一个大小为$|V(G)|^\varepsilon$的独立集。最近，人们对这个猜想的对称化变体越来越感兴趣，其中还需要$\mathcal{G}$在互补作用下闭合。我们表明，任何遗传图类，是封闭的补充下，并排除一个固定的毛毛虫作为一个诱导子图满足Erdens-Hajnal猜想。这里，毛虫是其度至少为三的顶点位于单个路径上的树（即，我们的毛毛虫可能有任意长的腿）。事实上，我们证明了一个更强的性质，这样的图类，在文献中称为强Erdens-Hajnal属性：对于每个这样的图类$\mathcal{G}$，存在一个常数$δ= δ(\mathcal{G}) > 0$，使每个图$G \in \mathcal{G}$包含两个不相交的集$A,B \subseteq V(G)$的大小至少$δ|V(G)|$，使要么所有的边缘之间的$A$和$B$都存在于$G$，或没有。这个结果显著地扩展了我们知道强Erdens-Hajnal性质成立的图类家族;对于不包括图$H$及其补图的图类，它以前只知道路径[Bousquet，Lagoutte，JCTB 2015]和钩子（即，在…
2017-10-24 cs.DM math.CO
Erdős-Hajnal-type results for ordered paths
一个有序图是一个在其顶点集上具有线性序的图。证明了对任意正整数$k$，存在一个常数$c_k>0$，使得$n$顶点上的任意有序图$G$，如果$G$及其补图都不包含大小为$k$的诱导单调路，则存在一个大小至少为$n^{c_k}$的团或独立集.这加强了Bousquet、Lagoutte和Lassé的一个结果，他们证明了无序图的类似结果。上述文件的一个关键思想是表明，任何无序图的$n$顶点，不包含一个诱导路径的大小$k$，其最大程度是最多$c(k)n$的一些小$c(k)>0$，包含两个不相交的线性大小的子集之间没有边缘。这种方法对于有序图是失败的，因为对于$k\geq 3$，通过Fox的构造，类似的陈述是假的。我们提供了进一步的例子，说明这种说法如何失败的有序图，避免其他有序树。
2020-04-09 math.CO
On a problem of Erdos and Hajnal
The Hebrew University of Jerusalem（耶路撒冷希伯来大学）；Rutgers University（罗格斯大学）
研究Erdos和Hajnal关于序数划分关系的问题，在GCH不成立的情况下证明负关系的一致性。
2026-06-29 math.CO math.LO
Forbidding Couples of Tournaments and the Erdös-Hajnal Conjecture
Erdös和Hajnal的一个著名的未解决猜想指出，对于每个无向图$H$，存在$ ε(H) > 0 $，使得每个不包含$H$作为导出子图的$ n $顶点上的无向图包含大小至少为$ n^{ε(H)} $的团或稳定集。这个猜想有一个有向等价版本，说明对于每个锦标赛$H$，存在$ ε(H) > 0 $，使得每个$H-$自由$n-$顶点锦标赛$T$包含大小至少为$ n^{ε(H)} $的传递子锦标赛。最近证明了猜想的所有六个顶点的比赛，除了$K_{6}$。在本文中，我们构建了两个无限族的比赛，其中的猜想仍然是开放的无限多的比赛在这两个家庭$-$家庭，所谓的超级星云和家庭的所谓的超三角星系。证明了对每个超级星云$H_{1}$和每个$Δ$星系$H_{2}$，存在$ε(H_{1},H_{2})$，使得每个$\lbrace H_{1},H_{2}\rbrace$ $-$自由竞赛图$T$包含一个大小至少为$\mid$ $T$ $\mid^{ε(H_{1},H_{2})}$的传递子竞赛图.我们还证明了对于每个中心三角星系$H$存在$ε(K_{6},H)$，使得每个$\lbrace K_{6},H\rbrace$ $-$自由锦标赛$T$包含一个大小至少为$\mid$ $T$ $\mid^{ε(K_{6},H)}$的传递子锦标赛。并给出了结果的一个推广。
2021-01-26 math.CO
Towards Erdős-Hajnal property for dp-minimal graphs
本文通过引入强$\inom{k}{2}$-自由图，并在稀疏性条件下构造彩虹封锁的降阶方法，为dp-极小图的Erdős-Hajnal性质提供了中间步骤。
2023-10-31 math.CO math.LO
Erdős-Hajnal problems for posets
该论文研究偏序集的 Erdős-Hajnal 问题，给出了着色偏序集、反链、链及小布尔格的 Erdős-Hajnal 数的界，并将偏序集 Ramsey 数的下界从 $2n+1$ 改进到 $2.02n$。
2025-03-29 math.CO
A note on Erdős-Hajnal property for graphs with VC dimension $\leq 2$
本文利用现有技术与替换方法，证明了 VC 维度 $\leq 2$ 的图满足 Erdős-Hajnal 性质，并指出 VC 维度 $1$ 图的该性质及可定义对称二元关系下的相关定理可无需 Shelah 的 2-rank 证明。
2023-10-25 math.CO math.LO
A parity Erdős-Hajnal theorem for $t$-intersecting curves
University of California at San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
对于平面上的$t$-相交曲线族，证明存在大子族使得所有交叉次数奇偶性一致，并应用于拓扑图边数上界。
2026-06-11 math.CO
Erdos-Hajnal-type theorems in hypergraphs
Erdos-Hajnal猜想指出，如果n个顶点上的图是H-自由的，也就是说，它不包含给定图H的导出副本，则它必须包含大小为n^{d（H）}的团或独立集，其中d（H）> 0仅取决于图H。除了少数特殊情况外，这个猜想仍然没有定论。然而，众所周知，一个H-自由图必须包含一个完全或空的二部图，其部分具有多项式大小。对于3-一致超图，我们证明了一个类似的结果，证明了如果n阶3-一致超图是H-free的，则对于任意给定的H，它必包含一个完全或空的三部子图，其部分的阶为c（log n）^{1/2 + d（H）}，其中d（H）> 0只依赖于H.这改进了c（log n）^{1/2}的界，它在所有3-一致超图中成立，并且直到常数d（H）的值，这是最好的可能。我们还证明了，对于k > 3，没有类似的标准Erdos-Hajnal猜想可以保持在k-一致超图。也就是说，存在k-一致超图H和无H超图序列，它们不包含大小明显大于人们通常期望的团或独立集。
2011-04-29 cs.DM math.CO
Rainbow triangles and the Erdős-Hajnal problem in projective geometries
University of Maryland, USA（马里兰大学）；Syracuse University, USA（雪城大学）；Louisiana State University, USA（路易斯安那州立大学）；University of Waterloo, Canada（滑铁卢大学）
本文提出Erdős-Hajnal猜想的射影几何版本，解决三角形着色所有情形，并证明彩虹三角形自由着色等价于双色分解。
2025-10-16 math.CO
The Strong EH-Property and the Erdős-Hajnal Conjecture
埃尔德什-哈伊纳尔猜想指出，对于每一个$H$，都存在一个常数$ε(H)>0$，使得每一个不包含$H$作为导出子图的图$G$都包含一个团或一个大小至少为$|V(G)|^{ε(H)}$的稳定集。此猜想仍未得到解决.一段时间以前，它的直接版本被制定（见：\cite{alon}）。在有向版本中，图被替换为竞赛图，团和稳定集被替换为传递子竞赛图。如果这个猜想不成立，那么最小的反例就是素数竞赛图。在很长一段时间里，人们只知道有限多个素数竞赛图的猜想。最近，在\cite{bcc}和\cite{choromanski2}中，包含无限多个素竞赛图的星系和星座的族证明了该猜想。在\cite{bcc}中，这个猜想也被证明适用于所有的$5$ -顶点竞赛图。我们说一个竞赛图$H$具有$EH$ -性质，如果它满足这个猜想。在本文中，我们引入了所谓的\textit{strong EH-property}，它使我们能够证明新的素竞赛图的猜想，但更有趣的是，它提供了一种机制，将满足猜想的竞赛图组合起来，得到满足猜想的更大的竞赛图，并且不一定非素的。我们给出了几个根据这一过程构造的竞赛图族的例子。在此之前，唯一已知的用于从满足猜想的较小竞赛图构造满足猜想的较大竞赛图的过程是所谓的\textit{substitution procedure}（参见：\cite{alon}）。然而，这个过程的结果总是一个非素数竞赛图，从…
2014-10-26 math.CO
A Single-Exponential Erdős--Hajnal Bound for Graphs of Bounded VC-Dimension
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
研究有界 VC 维数图的齐次集，改进 Nguyen 等人方法，给出更精确量化界\(\eta_d\geq (Cd)^{-d}\)，通过直接应用 VC 维数假设优化归纳，还推导多种相关图类的定量结果。
2026-07-13 math.CO
A note on strong Erdős-Hajnal for graphs with bounded VC-minimal complexity
受Adler的VC极小理论思路启发，研究者引入VC-极小复杂度概念，证明了有界VC-极小复杂度的有限二部图满足强Erdős-Hajnal性质，即存在正比例大小的二部子集构成完全二部子图或空二部子图。
2024-03-10 math.CO math.LO
Large independent sets from local considerations
下面的自然问题是由Erdens-Hajnal和Linial-Rabinovich在80年代后期独立提出的。如果图$G$的每一个$m$顶点都包含一个大小为$r$的独立集，那么图的独立数$α(G)$必须有多大？在本文中，我们将讨论新的方法来解决这个问题。第一种新的方法，基于某些图的Ramsey数的边界，使我们能够提高以前的最佳下界由于Linial-Rabinovich，Erdens-Hajnal和Alon-Sudakov。作为一个例子，我们证明了任何$n$ -顶点图$G$在每个$7$顶点之间有一个独立的大小集$3$，则它有$α(G) \ge Ω(n^{5/12})$ .这证实了Erdens和Hajnal的猜想，即$α(G)$应该至少是$n^{1/3+\varepsilon}$，并使指数达到$1/2$的最佳可能值的一半。我们的第二种方法处理上界。它依赖于将原始问题简化为以下自然极值问题。在没有独立的大小集$r$的$m$顶点上的图的$2$ -密度的最小可能值是多少？这使我们能够改善以前的上限由于Linial-Rabinovich，Krivelevich和Kostochka-Jancey。作为我们的论点的一部分，我们联系的问题Erdens-Hajnal和Linial-Rabinovich和我们的新极值$2$ -密度问题的一些其他研究问题。这为未来的研究带来了许多有趣的方向。
2023-01-14 math.CO
Caterpillars in Erdős-Hajnal
设$T$是一棵树，使得它的所有度大于2的顶点都在一条路上，即$T$是一个毛毛虫细分.证明了存在$ε>0$，使得对于每个有$|V(G)|\ge 2$且不含$T$作为导出子图的图$G$，或者某个顶点至少有$ε|V(G)|$邻居，或者存在两个不相交的顶点集$A,B$，且基数至少为$ε|V(G)|$，其中没有边连接$A$和$B$ .结果是：对每个毛虫细分$T$，存在$c>0$，使得对每个不含$T$及其补图作为导出子图的图$G$，$G$有至少$|V(G)|^c$顶点的团或稳定集.这扩展了Bousquet、Lagoutte和Pillassé的定理[JCTB 2015]，当$T$是路径时，他们证明了相同的定理，以及Choromanski、Falik、Liebenau、Patel和Pilipczuk的最近定理[Electron. J. Combin. 2018]，谁证明了当$T$是一个“钩子”。
2018-10-01 cs.DM math.CO
Induced subgraph density. VII. The five-vertex path
Princeton University（普林斯顿大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文证明了关于五顶点路径$P_5$的Erdős-Hajnal猜想，表明无诱导$P_5$的图中存在大规模的 clique 或 stable set。
2026-02-23 math.CO
Order plus size of $τ$-critical graphs
设$G=(V,E)$是具有$τ(G)=t$的$τ$ -临界图. Erdés和Gallai证明了$|V|\leq 2t$和结合的$|E|\leq {t+1\choose 2}$是由Erdés，Hajnal和Moon得到的。我们在这里给出了尖锐的组合界$|E|+|V|\leq {t+2\choose 2}$，并找到了所有的图具有平等。
2019-08-13 math.CO
