关于埃尔多斯距离问题
On the Erdős distance problem
AI总结：
本文利用压缩方法，恢复了埃尔多斯单位距离问题的下界，并为不同距离猜想提供了另一种证明，同时将下界推广到更高维度。
摘要：
在本文中，利用压缩方法，我们恢复了埃尔多斯单位距离问题的下界，并为不同距离猜想提供了另一种证明。特别是，在$\mathbb{R}^k$中，对于所有$k\geq 2$，我们有\begin{align} \#\bigg\{||\vec{x_j}-\vec{x_t}||:~||\vec{x_j}-\vec{x_t}||=1,~1\leq t,j \leq n,~\vec{x_j},~\vec{x}_t \in \mathbb{R}^k\bigg\}\geq C\frac{\sqrt{k}}{2}n^{1+o(1)}\nonumber \end{align}对于某个$C>0$。我们还证明了\begin{align} \# \bigg\{d_j:d_j=||\vec{x_s}-\vec{y_t}||,~d_j\neq d_i,~1\leq s,t\leq n\bigg\}\geq D\frac{\sqrt{k}}{2}n^{\frac{2}{k}-o(1)}\nonumber \end{align}对于某个$D>0$。这些下界将埃尔多斯单位距离和不同距离问题的下界推广到更高维度。
英文摘要：
In this paper, using the compression method, we recover the lower bound for the Erdős unit distance problem and provide an alternative proof to the distinct distance conjecture. In particular, in $\mathbb{R}^k$ for all $k\geq 2$, we have \begin{align} \#\bigg\{||\vec{x_j}-\vec{x_t}||:~||\vec{x_j}-\vec{x_t}||=1,~1\leq t,j \leq n,~\vec{x_j},~\vec{x}_t \in \mathbb{R}^k\bigg\}\geq C\frac{\sqrt{k}}{2}n^{1+o(1)}\nonumber \end{align} for some $C>0$. We also show that \begin{align} \# \bigg\{d_j:d_j=||\vec{x_s}-\vec{y_t}||,~d_j\neq d_i,~1\leq s,t\leq n\bigg\}\geq D\frac{\sqrt{k}}{2}n^{\frac{2}{k}-o(1)}\nonumber \end{align} for some $D>0$. These lower bounds generalize the lower bounds of the Erdős unit distance and the distinct distance problem to higher dimensions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
