Non-dense orbits of systems with approximate product property
Peng Sun
我们证明了对于任何具有近似乘积性质的拓扑动力系统，其前向轨道不累积到一个大集合中任何一点的点集具有全拓扑压力.
We show that for any topological dynamical system with approximate product property, the set of points whose forward orbits do not accumulate to any point in a large set carries full topological pressure.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Weakly Mixing Systems with Dense Prime Orbits
我们证明了$\mathbb{T}^2$上某些线性流的光滑、弱混合重参数化的存在性，其中所有在素数时刻采样的轨道都是稠密的。
Monotone flows with dense periodic orbits
证明了在周期点稠密的条件下，一类单调流具有全局周期。
Simultaneous dense and nondense orbits for commuting maps
我们证明了，对于环面的两个交换自同构和紧致高阶齐性空间上的Cartan作用的两个元素，许多点对于两个映射具有截然不同的轨道结构。具体地说，利用测度刚性，我们证明了在一个映射下具有稠密轨道而在第二个映射下具有非稠密轨道的点集具有全豪斯多夫维数。
On non-dense orbits of certain non-algebraic dynamical systems
在本文中，我们设法将施密特对策应用到某些非代数动力系统。更准确地说，我们表明，一个$C^2$ -Anosov同构下的非稠密前向轨道的一组点与非稳定流形上的共形性是施密特游戏的一个获胜集。证明了对于$C^{1+θ}$ -扩张自同态，前向轨道不稠密的点集是Schmidt对策的获胜集.
The dimension of the non-dense orbit set for expanding maps
本文基于Cao、Pesin和Zhao给出的排斥子Hausdorff维数精确下界，为膨胀映射的非稠密轨道集的Hausdorff维数提供了新证明，并证明其Carathéodory奇异维数与排斥子相等。
Non-dense orbits on topological dynamical systems
针对带指定性质的拓扑动力系统，研究非稠密轨道集$E(z_0)$，证明对任意非传递点$z_0$，该集合要么为空要么具有满拓扑压。
Topologically transitive semigroup actions of real linear fractional transformations
该研究刻画了实线性分式变换半群在闭子区间上拓扑传递的映射对，证明其与超循环性等等价，还分类了仿射映射半群的作用类型，指出线性分式变换半群作用的传递性边界。
Monotone local flows with dense periodic orbits
设X是n维欧几里得空间中的连通开集，被内部非空的闭凸锥K偏序：y > x当且仅当y-x非零且在K中.定理：若F是X中的单调局部流，且其周期点在X中稠密，则F是全局周期的。
Somewhere dense orbit of abelian subgroup of diffeomorphisms maps acting on C^n
本文给出了C ^n中任意一个自同态李群G的交换子群G在C ^n中有某处稠密轨道G（x），x的一个刻划：G（x）在C ^n中某处稠密当且仅当存在f_{1}，.，f_{2n +1 in exp ^{-1}（G）使得f_{2n+1} in vect（f_{1}，...，f_{2n}）和Z. f_{1}（x）+.+ z. f_{2n+1}（x）是C ^n的稠密子群，其中向量（f_{1}，.，f_{2n}）是由f_{1}生成的R上的向量空间，.，f_{2n}。
On co-$σ$-porosity of the parameters with dense critical orbits for skew tent maps and matching on generalized $β$-transformations
我们证明了Lebesgue-a. e.的临界点和点$1$有稠密轨道，双参数斜帐篷族中的参数对和广义$β$ -变换。作为一个应用，我们表明，对于广义$β$ -变换与tribonacci数作为斜率，有匹配（即，$T^n(0)=T^n(1)$（对于某些$n \geq 1$），Lebesgue-a.e.翻译参数
Simultaneous dense and nondense orbits for toral diffeomorphisms
证明了在$2$ -torus上，对于双曲双曲环体自同构对，在一个映射下具有稠密正向轨道而在另一个映射下具有非稠密正向轨道的点是稠密的不可数集.这对映射可以是非交换的。我们也证明了同样的$C^2$ -Anosov同态对上的$2$ -环面。(The对必须满足轻微的约束。）我们的主要工具是Baire范畴定理和一个尺规作图法，它使我们能够给出分形的几何表征，分形是一组具有前向轨道的点，这些点错过了某个开集。
Non-dense orbit sets carry full metric mean dimension
本文针对具有指定性质的紧致度量空间连续变换，证明非传递点对应的非稠密轨道集要么为空，要么具有满的Bowen上下度量平均维数，丰富了动力系统中轨道集维数性质的相关结论。
Note on the points with dense orbit under $\times 2$ and $\times 3$ maps
Furstenberg证明了对任何$x\in [0,1]\backslash Q$，$$ \dim_H \bar{\{2^nx ({\text{mod}}\ 1): n\ge 1\}}+ \dim_H \bar{\{3^nx ({\text{mod}}\ 1): n\ge 1\}}\ge 1. $$当$x$是一个正规数时，上述结果平凡地成立。本文给出了上述维数公式成立的显式非正规数。
Simultaneously Non-dense Orbits Under Different Expanding Maps
给定一个点和单位区间上的一个可扩映射，我们考虑在这个映射下的前向轨道有界远离给定点的点集。对于像乘以模1的整数这样的映射，这样的集合具有全豪斯多夫维数。我们证明了这样的集合有一个大的交叉性质，即这样的集合的可数交叉也有完整的豪斯多夫维数。这一结果不仅适用于整数模1乘法之类的映射，而且适用于$x \mapsto 1/x$模1之类的非线性映射。我们证明了同样的事情适用于乘法模1由一个密集的非整数1和2之间的数字。
Simultaneous dense and nondense orbits for noncommuting toral endomorphisms
设$S$和$T$是$\mathbb{T}^d$的双曲自同态，且$S$收缩的子空间与$T$收缩的子空间的跨度为$\mathbb{R}^d$ .证明了在$S$下具有等分布轨道的点集与在$T$下具有非稠密轨道的点集的交的豪斯多夫维数是满的.在$S$和$T$是拟双曲自同构的情况下，我们证明了当我们假设$\mathbb{R}^d$被由$S$和$T$收缩的子空间以及$S$和$T$的中心特征空间所张成时，交集的豪斯多夫维数又是满的.
Dense times-b orbits from times-a invariant sets and measures, in zero entropy
本文证明在零熵条件下，乘法独立整数对应的不变测度几乎处处具有稠密轨道，并推广至环面自同态，得出复杂度极值无理数的存在性。
Simultaneous dense and nondense orbits and the space of lattices
证明了对应于扩张的次球面子群的点集在圆上的$\times n$ -映射下是非稠密的，而在圆上的诱导映射下是测地流稠密的.我们还显示了类似的结果toral自同构的$2$ -环面和对角流。我们的结果可以用数论术语来解释：在$\times n$ -映射下非稠密的良好逼近数的集合具有全豪斯多夫维数。类似地，在双曲环体自同构下非稠密的良好逼近的$2$ -向量的集合具有全豪斯多夫维数。我们的结果数是对应的经典结果考夫曼，并给出了一个全面的理解。
Semigroups of matrices with dense orbits (revised version)
本研究针对特定数学对象，构造两个矩阵生成半群，证明其对满足条件的向量轨道稠密，剩余向量在不变超平面，得出超循环矩阵半群仅需两个生成元的结论，还给出假设重述、可检验的密度准则及相关应用实例。
Ergodic Average Of Typical Orbits And Typical Functions
在这篇文章中，我们主要的目的是知道什么样的典型轨道的渐近行为可以显示。例如，我们证明了在任何传递系统中，一个典型轨道的经验测度可以覆盖稠密轨道的所有经验测度，并且可以与某些类物理测度相交。特别地，如果所有稠密轨道的经验测度的并集不是单点的，则典型轨道对典型连续函数同时表现出历史行为，并且沿每个连续函数的遍历平均极限集等于所有稠密轨道上遍历平均极限集的并集所组成的闭区间.此外，如果所有稠密轨道的经验测度的并集包含所有遍历测度，则上述区间等于旋转集。这些结果不仅适用于具有类规格化性质的系统或极小系统，而且也适用于许多其他系统，包括所有一般（非一致双曲）非平凡同宿类和Bowen眼。此外，我们引入了一个新的性质称为m-g-乘积性质，它弱于经典的规格性质和极小性质，并构造了非平凡的例子。
Dense real Rel flow orbits and absolute period leaves
我们证明了实Rel流在具有至少两个不同零点的全纯1-形式的每一层的每一连通分支的面积1轨迹上的稠密轨道的存在性。为此，我们建立了一个通用的密度准则${\rm SL}(2,\mathbb{R})$ -轨道闭包，基于找到一个真正的Rel流，其封闭包含一个horocycle的轨道。这个准则可以用具有周期性水平叶理的全纯1-形式的显式构造来验证。我们的建设也提供了明确的例子，密集的叶的绝对周期叶理和许多subfoliations这些位点。
Quasi-Minimal, Pseudo-Minimal Systems and Dense Orbits
我们给出了一个简短的讨论关于极小性的一个较弱的形式（称为拟极小性）。我们称一个系统是拟极小的，如果所有的稠密轨道形成一个开集。很难找到不是已经很少的例子。由于椭圆行为使它们极小，这些系统被视为抛物系统。事实上，我们证明了流形上的拟极小同胚是不扩张的（双曲的）。
Uniform distribution of orbits of lattices on spaces of frames
本文研究了R^n（1 \le 1 \le n-1）中l-标架空间V_{n,l}中格Γ<SL（n，R）的轨道分布.稠密的Γ-轨道的例子可以从Dani、Raghavan和Veech的工作中得知。我们证明了在V_{n,l}中关于一个明确描述的测度，Γ的稠密轨道是均匀分布的.对于作用在迷向n-框架空间上的Sp（n，R）中的格，我们也建立了类似的结果。
Canonical Heights and Monomial Maps: On Effective Lower Bounds for Points with Dense Orbit
对于由Silverman [15]定义的单式映射的标准高度，证明了具有实Jordan型矩阵诱导的自同态的情形，具有Zebraki稠密轨道的点的高度的有效下界的存在性.
Some remarks on periodic billiard orbits in rational polygons
一个多边形被称为有理的，如果每对边之间的角度是$π.$的有理倍数。我们要证明的主要定理是定理1：对于有理多边形，台球流的周期点在台球流的相空间中是稠密的。这是对Masur定理的加强，Masur定理证明了任何有理多边形都有“许多”周期性台球轨迹;更确切地说，周期性轨迹的方向集在速度方向集$§^1.$中是稠密的。我们还将证明定理1的一些改进：周期轨道在多边形中的"良好分布“和点$q \in Q$具有稠密周期方向集的剩余性。
Modified Schmidt games and non-dense forward orbits of partially hyperbolic systems
设$f: M \to M$是一个$C^{1+θ}$ -部分双曲同态.引入了一类由$f$导出的在任意不稳定流形上进行的修正Schmidt对策。利用它我们推广了\cite{Wu}的一些结果如下。考虑一组具有非稠密前向轨道的点：对于某些$y \in M$为$$E(f, y) := \{ z\in M: y\notin \overline{\{f^k(z), k \in \mathbb{N}\}}\}$$，对于任何$x\in M$为$$E_{x}(f, y) := E(f, y) \cap W^u(x)$$。我们发现，$E_x(f,y)$是一个胜利的设置，这样修改施密特游戏上$W^u(x)$，这意味着$E_x(f,y)$的Hausdorff维数等于$\dim W^u(x)$。然后，对任意非空开集$V \subset M$，通过构造$E(f, y)$上的测度，证明了$E(f, y) \cap V$的全Hausdorff维数等于$\dim M$，且$E(f, y)$的低逐点维数逼近$\dim M$ .
Periodic billiard orbits in right triangles II
周期台球轨道在无理直角三角形的相空间中是稠密的。一个更强的逐点密度结果也被证明。
Simultaneously bounded and dense orbits for commuting Cartan actions
该研究证明齐性空间$X_3$中满足一个正则对角流轨道有界、另一交换对角流轨道稠密的点集具满Hausdorff维数，引入纤维式非发散概念，推出存在稠密子集满足锥作用轨道纤维式非发散且所有对角流轨道无界，为一致Littlewood猜想提供支撑。
Dense existence of periodic Reeb orbits and ECH spectral invariants
本文证明了：（1）对任何具有$C^\infty$ -一般切触形式的闭切触三流形，周期Reeb轨道的并是稠密的;（2）对任何具有$C^\infty$ -一般黎曼度量的闭曲面，闭测地线的并是稠密的.关键的观察结果是$C^\infty$ -3D Reeb流的封闭引理，它源于嵌入接触同调（ECH）谱不变量恢复体积的事实。
Topological transitive Abelian subgrouns of GL(n,R)
本文给出了GL（n，R）的交换子群的一个完全刻画，并给出了它们的局部稠密性.稠密）的轨道。对于GL（n，R）生成的子群，这一特征是显式的，并证明了由[（n+1）/2 ]矩阵生成的GL（n，R）的交换子群在R^n中不可能有稠密轨道。（[ ]表示整数部分）。
Absolutely Periodic Billiard Orbits of Arbitrarily High Order
证明了对任意自然数n，包含n阶绝对周期轨道的域的集合在具有光滑边界的有界严格凸域的集合中稠密。证明这样一个轨道的存在是对Gonchenko、Shilnikov和Turaev的一篇论文的结果的台球映射的推广，其中证明了这样的映射在实解析保面积二维映射的区域中的纽豪斯域中是稠密的。我们的结果是一个步骤，对证伪的猜想，没有绝对的周期台球轨道的无限阶存在于欧几里德台球，也是一个迹象表明，Ivrii的猜想的措施集的周期轨道可能不是真的。
The existence of Zariski dense orbits for polynomial endomorphisms of the affine plane
在本文中，我们证明了以下定理。设$f:\mathbb{A}^2\rightarrow \mathbb{A}^2$是定义在特征为$0$的代数闭域$k$上的控制多项式自同态.若不存在满足$g\circ f=g$的非常数有理函数$g:\mathbb{A}^2-rightarrow \mathbb{P}^1$，则在$\mathbb{A}^2$中存在一个点$p\in \mathbb{A}^2(k)$，其在$f$下的轨道是Zerkki稠密的.这个结果肯定地回答了Amerik，Bogomolov和Rovinsky（和Zhang）关于仿射平面上多项式自同态的一个猜想.
On the dynamic of holomorphic diffeomorphisms groups fixing a commune point, on C^n
本文研究了C^n的全纯自同构群G在C^n上的作用。假设C^n中有x，它有一个生成C^n的轨道，E（x）=C^n，其中E（x）是由L_{G} ={ D_{0} fx，f in G }生成的向量空间。给出了一个重要的条件，使得轨道G（x）与线性群L_{G}的轨道L_{G}（x）同构（通过线性映射）.如果G是阿贝尔的，我们证明了在C^n中存在G-不变开集U，dense，其中每个轨道O都是相对最小的（即O在U中的闭包是一个闭的非空的G-不变集，并且没有具有这些性质的真子集）.此外，如果G在C^n中有稠密轨道，则U的每个轨道在C^n中都是稠密的。
Characterization of Non-Deterministic Chaos in Two-Dimensional Non-Smooth Vector Fields
本文研究二维流形上具有有限切点的Filippov系统，证明拓扑传递性是非确定性混沌出现的充要条件，并建立其与稠密轨道及正拓扑熵之间的联系。
On Dense Orbit Transversality for Endomorphisms of Abelian Varieties
研究阿贝尔簇上自同态的稠密轨道横截性，证明所有阿贝尔簇上存在稠密的代表元集合。
Graph representations of surface flows
对于具有多个奇点但没有局部稠密轨道的非游荡曲面流，我们构造了一个完全不变量。精确地说，我们证明了在紧致连通曲面$S$上具有多个奇点的流$v$是一个没有局部稠密轨道的非游荡流当且仅当$S/v_{\mathrm{ex}}$是一个非平凡的嵌入多重图，其中如果它们属于同一个轨道或同一个多重鞍形连接，则扩展轨道空间$S/v_{\mathrm{ex}}$是由$x \sim y$定义的商空间.此外，通过将非平凡嵌入多重图$S/v_{\mathrm{ex}}$的边折叠成单例，商空间$(S/v_{\mathrm{ex}})/\sim_E$是一个抽象多重图，其特殊化阶为Alexandroff拓扑.因此，具有多个奇点但没有局部稠密轨道的非游荡流$v$可以用有限的组合结构重构，即多鞍形连接图和带标号的抽象多重图$(S/v_{\mathrm{ex}})/\sim_E$.此外，虽然环面上无理旋转（即极小流）的拓扑等价类的集合是不可数的，但紧致曲面上具有多个奇点但不具有局部稠密轨道的非游荡流的拓扑等价类的集合在算法上是可由组合结构表示的.
Typical path components in tent map inverse limits
在帐篷映射$f_s$的逆极限${\hat{I}}_s$中，路径分量为双无限双稠密的点集$\mathcal{GR}$关于$f_s$的唯一绝对连续不变测度在$\hat{I}_s$上导出的测度具有满测度.关于拓扑学，有一个二分法。当参数$s$使得$f_s$的临界轨道不稠密时，$\mathcal{GR}$包含稠密$G_δ$集。相反，当$f_s$的临界轨道是稠密的时，$\mathcal{GR}$的补包含稠密的$G_δ$集。
The existence of Zariski dense orbits for endomorphisms of projective surfaces (with an appendix in collaboration with Thomas Tucker)
在本文中，我们证明了以下定理。设$f$是特征为$0$的代数闭域上光滑射影曲面的支配自同态.若在$f$下不存在非常数不变有理函数，则存在闭点，其在$f$下的轨道是Zebraki稠密的.这一结果肯定地回答了Medvedev和Scanlon，Amerik，Bogomolov和Rovinsky以及Zhang关于光滑射影曲面的自同态的Zebriki稠密轨道猜想.此外，我们定义了代数闭域上簇的一个新的标准拓扑，该代数闭域在$\mathbb{Q}$上具有有限超越度。我们称之为阿德利克拓扑。阿德利克拓扑是强于Zebraki拓扑和一个不可约的品种仍然是不可约的在这个拓扑。利用阿德尔拓扑，我们提出了Zagliki稠密轨道猜想的阿德尔版本。这个版本比原来的版本更强，它量化了有多少个这样的轨道。我们还证明了这个adelic版本的自同态光滑射影曲面。此外，我们还证明了交换簇和分裂多项式映射的自同态的Zapriki稠密轨道猜想的绝对性。在这两种情况下，这为原始版本提供了新的证明。在附录A中，我们研究了$k$ -仿射空间上的自同态。证明了在$k$ -仿射空间$X$上，对一定的自同态$f$，$f$的吸引子$Y$是Zerkiki闭子集，并且$f$的动力学半共轭到它对$Y.$的限制上。在与Thomas Tucker合作编写的附录B中，我们证明了$(\mathbb{P}^1)^N.$的自同态的Zerkki稠密轨道猜想
Weak density of orbit equivalence classes of free group actions
证明了自由群$G$的本质自由保概率测度作用的轨道等价类在$G$的作用空间中是弱稠密的.
A note on Zariski dense orbit conjecture
本文给出Zariski稠密轨道猜想的一个注记，简化了射影三维簇自同构的ZDO结果，并证明了不规则度足够大的射影簇的ZDO成立。
Robust Transitivity for Endomorphisms
我们解决了在什么条件下自同态具有稠密轨道的问题，证明了一个足够接近的扰动映射也表现出稠密轨道。在这个方向上，我们给充分条件，覆盖了一大类的例子，为n维环面上的自同态是鲁棒传递的：自同态必须体积膨胀和任何大的连接弧必须包含一个点，使其未来的轨道属于一个扩大的区域。
Surjective endomorphisms of projective surfaces: the existence of infinitely many dense orbits
设$f \colon X \to X$是正规射影曲面的满射自同态。当$\operatorname{deg} f \geq 2$，应用$f$ -等变极小模型程序（EMMP）的迭代，确定了$X$的几何结构.利用这一点，我们将第二作者的结果扩展到奇异曲面，使$X$有一个$f$不变的非常数有理函数，或$f$有无穷多个Zerkiki稠密前向轨道;这一结果也扩展到Adelic拓扑（比Zerkiki拓扑更精细）。
On dense orbits in the space of subequivalence relations
本文研究了非奇异可数等价关系子等价关系空间的密集轨道问题，通过构造波兰拓扑并讨论全群和自同构群的自然作用，得出关于ergodic超有限p.m.p.等价关系子等价关系密集轨道的特征化结果。
Arithmetic degree and its application to Zariski dense orbit conjecture
证明了拟射影簇上支配有理自映射存在算术度接近第一动力度的良定义轨道，并据此证得特定双有理映射（含三维簇上第一动力度>1的情形）满足扎里斯基稠密轨道猜想。
A brief remark on orbits of $SL(2,Z)$ in the euclidean plane
Ledrappier和Nogueira描述了$\textrm{SL}(2,\dr Z)$在欧几里得平面上稠密轨道的再分配。我们在这里描述的具体模式，可以通过实验看到，它与丢番图逼近理论。
Periodic points and transitivity on dendrites
我们研究了传递性、混合性和枝晶上的周期点之间的关系。我们证明了当有一个点的稠密轨道是不是一个端点，那么周期点是密集的，有一个终端周期分解（我们提供了一个例子的动力系统上的树突与密集的端点满足这一假设）。我们还表明，它可能会发生，所有的周期点，除了一个（点与密集轨道）包含在（密集）的端点集。也可能发生动力系统是传递的，但存在唯一的周期点，这实际上是唯一的不动点。我们还证明了在几乎meshed连续统（一类包含拓扑图和具有闭或可数端点集的树突的连续统）上，周期点是稠密的当且仅当它们对于在所有非空紧子集的超空间上诱导的映射是稠密的.
Periodic billiard orbits in right triangle
存在一个开的直角三角形集合，使得对于这个集合中的每个无理三角形，（i）周期台球轨道在相空间中是稠密的，（ii）存在唯一的非奇异的垂直台球轨道，它不是周期的，并且（iii）垂直的周期轨道填充相应的不变曲面。
Propagation of Zariski Dense Orbits
本文研究了定义在数域上的光滑射影簇中Zariski稠密轨道的传播性质，提出并证明了若存在一点其轨道Zariski稠密则此类点众多的命题，涵盖射影空间、Abel簇和曲面。
On subsets of integers having dense orbits
本文研究了极小系统中具有稠密轨道的整数子集性质，并探讨了散射系统与极小系统的关系。
Dimension estimates for the set of points with non-dense orbit in homogeneous spaces
令$X = G/Γ$，其中$G$是李群，$Γ$是$G$中的格，令$U$是$X$的子集，其补是紧的。我们使用$X$上的可对角化流的指数混合结果来给出其轨迹错过$U$的点集的豪斯多夫维数的上估计。这扩展了卡德罗夫最近的结果，并产生新的应用丢番图逼近，如上界的豪斯多夫维数的一组加权一致严重逼近系统的线性型，推广估计由于布罗德里克和Kleinbock。
Answering two open problems on Banks theorem for non-autonomous dynamical systems
本文证明了：（1）存在一个拓扑传递的NADS，它具有两个不相交的不变周期轨道，且具有稠密的周期点，它是非周期的，但不是周期的;（2）存在一个拓扑传递的非周期生成的NADS，它具有两个不相交的不变周期轨道，且具有稠密的周期点，但不是敏感的.这肯定地回答了[8]中提出的开放问题4.1和4.2。
Density of orbits of semigroups of endomorphisms acting on the Adeles
我们研究了A/Q中一点的轨道在Q的子集S的自然作用下在A/Q中是否稠密的问题。证明了：如果集合S是一个乘法半群，且至少包含两个乘法无关的元素，其中一个元素是整数，则具有无理实坐标的任意点在S下的轨道是稠密的.
Limiting distribution of dense orbits in a moduli space of rank $m$ discrete subgroups in $(m+1)$-space
本文研究格点子群在齐性空间上稠密轨道随范数球增长的极限分布，并将具有无穷多非平凡连通分支的 $H$ 用于刻画秩 $m$ 离散子群模空间。
Asymptotic density of collision orbits in the Restricted Circular Planar 3 Body Problem
对于限制性圆平面三体问题，我们证明了在相空间中存在一个与固定测度无关的开集$\mathcal U$，其中导致碰撞的初始点集是$O(μ^\frac{1}{20})$稠密的$μ\rightarrow 0$ .
Examples of nearly integrable systems on $\mathbb{A}^3$ with asymptotically dense projected orbits
给定一个整数$κ\geq2$，我们在$κ\geq2$上引入一类几乎可积系统，其形式为$$ H_n(θ,r)=\frac12 \Vert r\Vert ^2+\tfrac{1}{n} U(θ_2,θ_3)+f_n(θ,r) $$，其中$U\in C^κ(\mathbb{T}^2)$是一般的势函数，$f_n$是$C^{κ-1}$的附加扰动，使得$\Vert f_n\Vert_{C^{κ-1}(\mathbb{A}^3)}\leq \tfrac{1}{n}$，从而$H_n$是完全可积系统$h(r)=\frac12\Vert r\Vert ^2$的扰动.设$Π:\mathbb{A}^3\to\mathbb{R}^3$为正则投影。我们证明，对于每个$δ>0$，存在$n_0$，使得对于$n\geq n_0$，系统$H_n$承认能量为$\frac12$的轨道$Γ_n$，其投影$Π(Γ_n)$是$δ$ -在$Π(H_n^{-1}(\tfrac{1}{2}))$中稠密的，从这个意义上说，$δ$-$\mathbb{R}^3$中$Π(Γ_n)$的邻居覆盖了$Π(H_n^{-1}(\frac{1}{2}))$。
Endomorphisms of quasi-projective varieties -- towards Zariski dense orbit and Kawaguchi-Silverman conjectures
本文研究了拟射影簇上有限满射自同态的Zariski稠密轨道猜想（ZDO）、Adelic Zariski稠密轨道猜想（AZO）及Kawaguchi-Silverman猜想（KSC），并在光滑仿射曲面、射影簇和半阿贝尔簇等特定条件下证明了这些猜想成立。
Points with finite orbits for trace maps
我们研究了${\rm Aut}(F_n)$对$\mathbb{R}^{2^n-1}$的作用，通过迹映射，定义了使用$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$中具有实迹的矩阵的$n$ -元组的迹。我们确定这个作用的有限轨道。这些轨道基本上来自于（i）$\mathrm{SL}(2,\mathbb C)$的有限子群，和（ii）$n$ -环面的嵌入商中的（有理）点的稠密集。
Arithmetic degrees and Zariski dense orbits of cohomologically hyperbolic maps
本研究针对定义在代数数域代数闭包上的p-上同调双曲有理自映射，探究了算术次数下界、扎里斯基稠密轨道点存在性及预周期点有限性，证明了1-上同调双曲映射的相关性质，并证实算术次数可为超越数。
Weak density of orbit equivalence classes and free products of infinite abelian groups
本文证明了：如果可数群$G$是无限阿贝尔群的自由积，则对每个自由群，概率测度保持（p.m.p.）作用空间中，它的轨道等价类是弱稠密的.这推广了Lewis Bowen关于自由群的结果.
A conjecture strengthening the Zariski dense orbit problem for birational maps of dynamical degree one
我们制定了一个加强的Zagliki稠密轨道猜想的动力度为1的双有理映射。因此，给定一个定义在特征$0$的代数闭域$K$上的拟投射簇$X$，赋予一个动态度为$1$的双有理自映射$ϕ$，我们期望要么存在一个非常数有理函数$f:X\dashrightarrow \mathbb{P}^1$使得$f\circ ϕ=f$，要么存在一个真子簇$Y\subset X$，其性质是对于任何不变的真子簇$Z\subset X$，我们有那个$Z\subseteq Y$。证明了半交换簇$X$的动力度为$1$的自同构$ϕ$的猜想.同时，我们证明了半交换簇$X$的正则占优自映射$ϕ$的一个相关结果：假设$ϕ$不保持一个非常数有理函数，我们得到$ϕ$的动力度大于$1$当且仅当$X$的所有$ϕ$不变真子簇的并集是Zerkki稠密的.我们给出了应用我们的结果表示论问题的扭曲齐次坐标环相关的阿贝尔品种。
Topological proof of Benoist-Quint's orbit closure theorem for SO(d,1)
本文给出了Benoist-Quint定理的一个新证明：设$G:=SO^\circ(d,1)$，$d\ge 2$和$Δ<G$是余紧格.在$Δ\backslash G$中，$G$的Zurski稠密子群$Γ$的任何轨道要么是有限的，要么是稠密的。虽然Benoist和Quint的证明是基于固定措施的分类，我们的证明是拓扑的，使用的想法从研究动力学的单能流的无限体积齐性空间$Γ\backslash G$。
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