Concepts of signed graph coloring
Eckhard Steffen, Alexander Vogel
本文综述了与符号图着色有关的概念的最新发展。提出并讨论了各种方法。
This paper surveys recent development of concepts related to coloring of signed graphs. Various approaches are presented and discussed.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Edge Coloring Signed Graphs
我们定义了一个边着色的方法签署的图，这意味着这样的着色是适当的。我们的方法有许多理想的性质：它专门针对通常的边染色的概念时，签署的图是全负的，它有一个自然的定义，在一个线图的顶点染色，和所需的最小颜色数的签署单图的适当着色是有界的Δ + 1以上平行于Vizing定理。事实上，Vizing定理是关于符号图的更困难的定理的特殊情况。
Coloring problem of signed interval graphs
最近定义了符号图的色数。研究了区间图的染色和团问题，并建立了多项式时间算法。在这里，我们考虑这些问题的签署区间图，并证明了签署区间图的着色问题是NP-完全的，而他们的普通团的问题是在P。我们还研究了进一步相关问题的复杂性。
Circular coloring of signed graphs
令$k, d$（$2d \leq k)$）是两个正整数。我们推广了研究得很好的概念$(k,d)$ -着色和循环色数$χ_c$的签署图。这意味着一个新的概念，染色的符号图，和相应的色数$χ$。证明了关于有号图的循环染色和循环色数的一些基本事实，并分析了与无号图结果的差异。特别地，我们证明了圈色数与符号图的色数之差至多为1。实际上，有符号图的差为1。另一方面，对于$n$顶点上的符号图，如果差小于1，则存在$ε_n>0$，使得差至多为$1 - ε_n$。我们还证明了$(k,d)$ -着色的概念等价于$r$ -着色（见（X. Zhu，Recent developments in circular coloring of graphs，in Topics in Discrete Mathematics Algorithms and Combinatorics Volume 26，Springer Berlin Heidelberg（2006）497-550）.
Hyperoctahedral Eulerian Idempotents, Hodge Decompositions, and Signed Graph Coloring Complexes
PhilHanlon证明了图G的色多项式的系数等于（直到符号）图G的色复形的上同调的Hodge型分解的被加数的维数。我们证明了一个B型类似的结果的色多项式的符号图使用超八面体欧拉幂等元。
Unlabeled Signed Graph Coloring
推广Hanlon关于无标号图的色多项式的工作，定义了无标号图的无标号色多项式.给出了符号分划格上的标号和非标号符号色多项式在不同序理想上的求和的显式公式。我们还定义了一个符号置换图的商，并证明了它的符号图的排列与一个特殊子空间上的诱导排列密切相关。最后，给出了符号图的无标号无圈定向数的一个公式，该公式与经典的Stanley和Zaslavsky的互易定理相类似。
Symmetric Set Coloring of Signed Graphs
有很多符号图着色的概念，它们都是通过给图的顶点赋予颜色来定义的。这些概念通常在使用的自反色数量上有所不同。我们引入了一个统一的概念，这种着色分配元素从对称集的顶点的符号图。本文的第一部分研究了自逆元个数固定的对称集上的元素的着色问题。我们证明了一个Brooks型定理和相应的色数的上界，根据基础图的色数。这些结果被用于第二部分，我们引入了符号图$(G,σ)$的对称集色数$χ_{sym}(G,σ)$。我们证明了对称集-色数给出了一个符号图的最小划分为独立集和非二部反平衡子图。特别是$χ_{sym}(G,σ) \leq χ(G)$。在最后一节中，我们表明，这些着色也可以形式化为$DP$ -着色。
The list-coloring function of signed graphs
已知对于图$G$的任何$k$ -列表分配$L$，$G$的$L$ -列表着色的数目至少是当$k>(m-1)/\ln(1+\sqrt{2})$ .本文将Whitney的破环定理推广到符号图的$L$ -染色，证明了如果$k> \binom{m}{3}+\binom{m}{4}+m-1$，则对任意的$k$ -赋值$L$，具有$m$边的符号图$Σ$的$L$ -染色数至少是$Σ$的真$k$ -染色数.此外，如果$L$不含$0$（相应地，包括$0$）和$k$是偶数（分别，奇数），则$k$的下限$\binom{m}{3}+\binom{m}{4}+m-1$可以改进为$(m-1)/\ln(1+\sqrt{2})$。
Fractional coloring of product signed graphs
本文研究符号图直积的分数色数，证明当其中一个因子为符号循环图时，直积的分数色数等于两个因子分数色数中的较小值。
Signed list edge coloring in graphs of bounded treewidth
本文研究符号图的列表边着色，将经典列表边着色与符号边着色推广，证明树宽为3的符号图及树宽4且Δ≥10的符号图满足 Vizing 猜想的符号类似。
A note on kernel-perfect orientations and DP-colorings from derangement assignments
该研究将Bondy-Bopanna-Siegel引理推广至错位排列指派下的DP-着色，并借此推导出无零符号列表着色的定向定理，拓展了相关图论着色结论的适用范围。
Fractional balanced chromatic number of signed subcubic graphs
针对带符号次立方图的平衡着色问题，本文证明除$(K_4,-)$及其开关等价图外所有此类图存在平衡$(5,3)$着色，且给出该特殊图的最优着色形式。
A note on a Brooks' type theorem for DP-coloring
Dvoclák和Postle \cite{DP}引入了一个单图的\textit{DP-coloring}作为列表着色的推广。他们证明了关于DP-染色的Brooks型定理，Bernshteyn，Kostochka和Pron \cite{BKP}将其推广到多重图的DP-染色。然而，当一个多重图不允许DP-染色的详细结构没有规定在\cite{BKP}。在本文中，我们明确了这一点，并给出了完整的结构。这也是由与符号图的符号着色的关系所激发的。
Circular $(4-ε)$-coloring of some classes of signed graphs
符号图$(G, σ)$的圆形$r$着色是圆周$r$的圆形$C_r$的点到$(G, σ)$的顶点的分配$ϕ$，使得对于$(G, σ)$的每个正边缘$uv$，$ϕ(v)$和$ϕ(v)$的距离至少为1，并且对于每个负边缘$uv$，$ϕ(u)$到$ϕ(v)$的对极的距离至少为1。$(G, σ)$的圆色数记为$χ_c(G, σ)$，是$r$的下确界，使得$(G, σ)$容许圆$r$ -着色。这一概念是最近定义的Naserasr，王，朱谁，除其他结果，证明了任何签署$d$退化简单图$\hat{G}$，我们有$χ_c(\hat{G})\leq 2d$。对于$d\geq 3$，给出了圆色数$2d$的符号$d$ -退化简单图的例子.但对于$d=2$，只给出了圆色数足够接近$4$的符号2-退化简单图的例子，注意这些例子也是符号二部平面图。在这项工作中，我们首先观察到以下重申的4-色定理：如果$(G,σ)$是一个有符号的二部平面简单图，其中一部分的顶点都是2度，那么$χ_c(G,σ)\leq \frac{16}{5}$。基于这一发现，我们给出了符号2-退化简单图在$n$顶点上的圆色数的一个改进的$ 4-\dfrac{2}{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor}$上界和符号二部平面简单图在$n$顶点上的圆色数的一个改进的$ 4-\dfrac{4}{\lfloor \frac{n+2}…
Circular chromatic number of signed graphs
带符号图是一对$(G, σ)$，其中$G$是一个图，$σ: E(G) \to \{+, -\}$是一个签名，它为$G$的每条边分配一个符号。符号图的着色的各种概念已被研究。本文将图的循环染色推广到符号图。给定一个符号图$(G, σ)$，$(G, σ)$的圆$r$ -染色是圆周上点的一个赋值$ψ$，@ MATHABMP到$G$的顶点，使得对于$G$的每条边$e=uv$，如果$σ(e)=+$，则$ψ(u)$和$ψ(v)$具有至少$1$的距离，并且如果$σ(e)=-$，则$ψ(v)$与$ψ(u)$的对映体的距离至少为$1$。符号图$(G, σ)$的循环色数$χ_c(G, σ)$是$(G, σ)$允许循环$r$ -染色的$r$的下确界.对于图$G$，我们定义$G$的符号循环色数为$\max\{χ_c(G, σ): σ\text{ is a signature of $ G $}\}$ .我们研究了符号图的循环染色的基本性质，并开发了计算$χ_c(G, σ)$的工具。研究了图的圈色数与符号圈色数之间的关系，给出了某些图族的符号圈色数的界。特别地，我们确定了大围长$k$ -色图、简单二部平面图、$d$ -退化图、简单外平面图和串-平行图的符号圆色数的上确界。构造了一个符号平面简单图，其圆色数为$4+\frac{2}{3}$ .这是基于并改进了由Kardos和Narboni构建的有符号图，作为M…
Signed bipartite circular cliques and a bipartite analogue of Grötzsch's theorem
符号图的循环染色是一个新的概念，它同时推广了图的循环染色和符号图的$0$ -free染色的概念。符号图$(G, σ)$的圆形$r$ -着色是将圆周$r$的圆的点$r\geq 2$分配给$G$的顶点，使得由正边连接的顶点的圆形距离至少为$1$，并且由负边连接的顶点的圆形距离至多为$\frac{r}{2}-1$。所有$(G, σ)$容许圆$r$ -着色的$r$的下确界称为$(G, σ)$的圆色数，记为$χ_c(G, σ)$。对于任意有理数$r=\frac{p}{q}$，给出了对应于边符号保持同态和切换同态的两个循环团的概念。它还表明，限制的循环色数的研究，一类的签署二部简单的图已经捕获的循环色数的研究，通过基本的图形操作，即使每个签署二部图的循环色数是有界以上的$4$。在这项工作中，我们考虑限制的循环色数，这类签署的图和构造签署的二部循环集团就这两个概念的同态。然后，我们提出了重新制定的$4$ -颜色定理和Grötzsch定理。作为Grötzsch定理的一个二部类比，我们证明了每一个负围长至少为$6$的带符号二部平面图的圆色数至多为$3$ .
A Sufficient condition for DP-4-colorability
单图的DP-染色是列表染色的推广，也是带号图的带号染色的推广。已知对每个$k \in \{3, 4, 5, 6\}$，每个不含$C_k$的可平面图都是4-可选的.此外，Jin，Kang和Steffen \cite{JKS}证明了对于每个$k \in \{3, 4, 5, 6\}$，每个没有$C_k$的带符号可平面图是带符号4-可选的。本文证明了对每个$k \in \{3, 4, 5, 6\}$，每个不含$C_k$的可平面图都是4-DP-可着色的，这是上述结果的推广.
Homomorphism bounds of signed bipartite $K_4$-minor-free graphs and edge-colorings of $2k$-regular $K_4$-minor-free multigraphs
符号图$(G, Σ)$是一个图$G$和它的边的子集$Σ$，它对应于边的符号分配：$Σ$中的边是负的，而不在$Σ$中的边是正的。一个有符号图的闭行走是平衡的，如果它的边（包括重复）的符号的乘积是正的，否则是不平衡的。符号图的不平衡围长是最短不平衡闭行走的长度（如果存在这种行走）。$(G,Σ)$到$(H,Π)$的同态是$G$到$H$的同态，它保持了闭游动的平衡。本文给出了一个不平衡围长$2k$的带符号二部图$(B, Π)$，证明了$(B, Π)$允许任何不平衡围长$2k$的带符号二部图同态的一个充要条件，该图的基础图是$K_4$ -minor-free.该条件可以在关于$B$的阶数的多项式时间内检查。设$SPC(2k)$是顶点集$\mathbb{Z}_2^{2k-1}$上的带符号二部图，其中如果顶点$u$和$v$的差在$\{e_1,e_2, \ldots, e_{2k-1}\}$内（其中$e_i$形成标准基），则顶点$u$和$v$与正边相邻，如果它们的差是$J$（即，全1向量），则顶点$v$与负边相邻。作为我们工作的一个应用，我们证明了不平衡围长$2k$的所有符号二部$K_4$ -minor free图都与$SPC(2k)$同态.这支持了Guenin的一个猜想，即每个不平衡围长$2k$的有符号二部平面图都与$SPC(2k)$同态（这是四色定理的一个推广）。我们也给出了我们的工作的一个应…
Acyclic Orientations and the Chromatic Polynomial of Signed Graphs
给出了符号图（对称图）的无圈定向与染色之间的一个新的对应关系。Goodall等人引入了一个二元色多项式$χ_G(k,l)$，它使用颜色$0,\pm1,\dots,\pm k$以及$l-1$对称颜色$0_1,\dots,0_{l-1}$来计算有符号着色的数量。我们证明了二元色多项式$|χ_G(-1,2)|$的评价等于符号图的非循环方向数模交换源和汇产生的等价关系。我们提出了三个证明这一事实，证明使用环面超平面安排，证明使用删除压缩，和直接证明。
A Polynomial Method for Counting Colorings of Sparse Graphs
本文提出一种统一的多项式方法，为满足稀疏性条件的图的$S$-标号着色数给出指数下界，并利用$S$的结构改进下界适用性，从而改进了DP-着色、平面图色多项式、列表着色及符号图着色等各类着色数的枚举下界。
Circular Game Coloring of Signed Graphs
本文将圆形博弈色数理论扩展至符号图，基于切换等价原理和基本圈性质，证明了平衡与反平衡符号图及二部图的紧致界限，并提出了计算复杂性与平面图扩展的开放问题。
Edge coloring of products of signed graphs
本文研究带符号图乘积的边着色问题，证明了笛卡尔积、张量积和冠积在特定条件下仅需Δ种颜色即可完成边着色。
Signed Chromatic Polynomials of Signed Book Graphs
2015年，Matthias Beck和他的团队在SAGE中开发了一个计算机程序，可以有效地确定给定符号图的符号正确$k$ -着色的数量。在这篇文章中，我们确定了书图上的不同签名的数量，直到切换同构。我们还找到了符号Book图的符号色多项式的一个递归公式。
On the 4-color theorem for signed graphs
有几种方法可以将图着色推广到符号图。Máčajová，Raspaud和Škoviera介绍了其中之一，并证明在这种情况下，对于有符号的可平面图，四色总是足够的，从而推广了四色定理。我们推翻了这个猜想。
A short proof of Brooks' theorem
我们给出了一个简单的简短证明布鲁克斯定理只使用归纳法和贪婪着色，同时避免了图的连通性问题。这个论证很容易推广到Brooks定理的一些扩展，包括列表着色，符号图着色和对应着色的变体。
Degree choosable signed graphs
有符号图是其中每个边都用$+1$或$-1$标记的图。符号图的顶点着色是一个映射$\f$，它为每个顶点$v\in V(G)$分配一个颜色$\f(v)\in \mz$，使得$G$的每条边$vw$满足$\f(v)\not= \sg(vw)\f(w)$，其中$\sg(vw)$是边$vw$的符号。对于整数$h\geq 0$，设$\Ga_{2h}=\{\pm1,\pm2, \ldots, \pm h\}$和$\Ga_{2h+1}=\Ga_{2h} \cup \{0\}$。在\cite{MaRS2015}之后，$G$的带符号色数$\scn(G)$是最小整数$k$，使得$G$允许顶点着色$\f$与${\rm im}(\f)\subseteq \Ga_k$。如在\cite{MaRS2015}中证明的，每个符号图$G$满足$\scn(G)\leq \De(G)+1$，并且存在三种类型的符号连通简单图，其中等式成立。我们将通过考虑具有多条边的图来扩展Brooks型结果。我们还将证明这个结果的一个列表版本，通过描述度可选择的符号图。此外，我们将建立一些基本的事实，色临界符号图。
Chromatic Index of Signed Generalized Book Graphs and Signed Complete Graphs
本文研究了符号广义书图和阶数不超过六的符号完全图的色数问题，通过分析符号图的边着色规则，确定了这两种图类的色数。
Winding number and circular 4-coloring of signed graphs
本文构造两类具有 2k²-k+1 个顶点、最短负环长 2k 且循环色数为 4 的符号二部图，并以此给出广义 Mycielski 图循环色数为 4 的初等证明。
Bounding signed bipartite partial t-trees and application to edge-coloring
本文研究了有向二分图的边界问题，并将其应用于边着色，证明了某些平面图的边着色性质。
Circular chromatic number of Cartesian product of signed graphs
本文研究了有向图Cartesian乘积的环色数，证明了类型1和类型2乘积的环色数上界及计算方法。
Nowhere-Harmonic Colorings of Graphs
图的真点着色与它的边界映射有关，也称为它的符号点边关联矩阵。图的顶点拉普拉斯算子是边界映射的自然扩张，它使我们引入无处调和着色和类似的色多项式以及斯坦利定理，该定理将色多项式的负评价与非循环方向联系起来。此外，我们还讨论了一些例子，证明无处调和着色更复杂，从枚举的角度比适当的着色。
A note on the vertex arboricity of signed graphs
符号图$(G,σ)$的符号树着色是顶点着色$c$使得$G^{c}(i,\pm)$是每个$i\in c(u)$和$u\in V(G)$的森林，其中$G^{c}(i,\pm)$是$(G,σ)$的子图，其顶点集是被$i$或$-i$着色的顶点集，边集是具有两个端点都被$i$或都被$-i$着色的正边集，以及一个端顶点由$i$着色而另一个由$-i$着色的负边集。如果$c$是从$V(G)$到$M_n$的函数，其中如果$n=2k$，则$M_n$是$\{\pm 1,\pm 2,\ldots,\pm k\}$，如果$n=2k+1$，则$\{0,\pm 1,\pm 2,\ldots,\pm k\}$，则$c$是$(G,σ)$的带符号树- $n$ -着色。使得$(G,σ)$允许符号树- $n$ -着色的最小整数$n$是$(G,σ)$的符号顶点荫度，记为$va(G,σ)$。本文首先证明了两个交换等价的符号图具有相同的符号顶点荫度，然后证明了对每个平衡符号三角剖分和对每个具有平衡符号的边极大$K_5$ -minor自由图，都有$va(G,σ)\leq 3$.这推广了平面图的顶点荫度至多为3的著名结果。
A categorification for the signed chromatic polynomial
通过符号着色构造符号图的符号色多项式，并构建其分次上同调群，使得分次欧拉示性数等于符号色多项式，且上同调群满足对应于符号删除-收缩规则的长正合序列。
Tutte's dichromate for signed graphs
我们引入了“三变量Tutte多项式”的一个有符号的图作为一个不变量的有符号的图顶点切换，其中包含其评价的数量适当的着色和nowhere零流的数量。在这一点上，它平行于图的Tutte多项式，其中包含色多项式和流多项式作为专门化。无处零紧张局势的数量（签署的图，他们不是简单地涉及到适当的着色，因为他们是图）是在评价的三变量Tutte多项式在两个不同的点。有趣的是，有偏图的二元二色多项式，由Zaslavsky所示，与图的Tutte多项式共享许多类似的属性，一般不会产生有符号图的无零流的数量。因此，符号图的“重色”（我们的三元Tutte多项式）不同于重色多项式（秩大小生成函数）。符号图的三元Tutte多项式可以推广到公共基集上的拟阵的序偶的不变量--对于符号图，其基础图的圈拟阵和其框架拟阵形成相应的拟阵对。这个不变量是规范定义的Tutte多项式的拟阵对的共同基础上的一个最近的文件的意义上的Kraubrski，Moffatt和Tanasa，并首先研究了威尔士和Kayibi作为一个四变量连接多项式的拟阵对的共同基础上。
Bounds for the chromatic index of signed multigraphs
本文将 Shannon 和 König 的经典边着色定理推广到符号多重图，证明其色指数上界为 $\lfloor \frac{3}{2} Δ(G) \rfloor$，并刻画了平衡符号多重图中色指数达到 $Δ(H)$ 的情形。
A bivariate chromatic polynomial for signed graphs
本文研究了Dohmen-Pönitz-Tittmann的二元色多项式$c_Γ(k,l)$，它对图$Γ$的所有$(k+l)$ -着色进行计数，使得如果邻顶点是$\le k$，则它们得到不同的颜色.我们的第一个贡献是将$c_Γ(k,l)$推广到有符号图上，得到了一个包含-排除公式和几个特殊的评价，例如，到编码平衡子图的多项式。我们的第二个目标是推导出组合互易定理$c_Γ(k,l)$和它的签名图类似物，让人想起斯坦利的互易定理连接色多项式的非循环方向。
The Chromatic Polynomials of Signed Petersen Graphs
Zaslavsky在2012年证明，直到切换同构，有六个不同的符号彼得森图，它们可以通过它们的色多项式区分开来，通过显示后者在3时给出不同的结果。他指出，六个不同的带符号彼得森图也有不同的无零色多项式，并且两种类型的色多项式在\emph{any}正整数上有不同的求值。我们开发并执行了一个计算机程序（运行在{ \tt SAGE}），有效地确定适当的$k$着色的数量为一个给定的签名图，我们的计算签名彼得森图证实Zaslavsky的猜想。我们还计算了所有最多五个顶点的符号完全图的色多项式。
Mapping sparse signed graphs to $(K_{2k}, M)$
符号图$(G, σ)$到$(H, π)$的同态是$G$的顶点和边到$H$的顶点和边的映射，使得保持闭游动的邻接、关联和符号的乘积。出于重新制定的$k$ -着色问题在这种语言中，特别是在与结果$3$ -着色的平面图，如Grötzsch定理，在这项工作中，我们考虑的最大平均度的界限是足以映射到有符号的图形$(K_{2k}, σ_m)$（$k\geq 3$），其中$σ_m$分配到边缘的一个完美的匹配的负号。对于$k=3$，我们证明了最大平均度严格小于$\frac{14}{5}$是充分的，并且这个界是紧的。对于$k\geq 4$的所有值，我们发现最佳的最大平均度必然是3。虽然符号图的同态是一个相对较新的课题，但通过与$2$ -边着色图的同态的联系，已经给出了一些较早的界。特别地，它由Borodin，O.五、金，S.- J.，Kostochka，A.五、West，D. B、大围长稀疏图的同态。J. Combin。理论系列B（2004）”如果$G$是围长至少为7且最大平均度为$\frac{28}{11}$的图，则对于任何签名$σ$，带符号图$(G,σ)$映射到$(K_6, σ_m)$。我们讨论了我们的工作签署平面图的应用程序，除其他外，我们提出了类似于斯坦伯格的猜想类签署二分平面图的问题。
An Extension of Stanley's Symmetric Acyclicity Theorem to Signed Graphs
1995年，Richard Stanley引入了图$G$的色对称函数$X_G$，并证明了，当用初等对称函数表示时，它揭示了具有给定汇数的$G$的非循环定向数。本文将这一结果推广到符号图，即边被标记为$+$或$-$，并且着色和方向可以与它们的符号相互作用的图。此外，我们引入了一个非齐次的基础上，检测的数量的水槽，不仅给出了斯坦利型的结果，签署的图形，但给出了类似的结果，这种形式的无符号图以及。
On the achromatic number of signed graphs
本文将完全染色和消色数的概念推广到2-边有色图和符号图。我们给出了这些无色数的不同可能定义之间的一些有用的关系，并证明了计算它们中的任何一个都是NP-完全的。
Every signed planar graph is $5$-choosable: A short proof and refinements
本文通过一个简短、自包含且“符号盲”的归纳证明，证明了每个符号平面图都是 $5$-可选的，并推导出对称调色板下的符号五色定理、外平面图的 $3$-可选性、平面图的 $1$-缺陷符号 $4$-可选性等结果。
Fractional balanced chromatic number and arboricity of planar (signed) graphs
本文构造平面符号图，证明其分数平衡色数可大于2，反驳了平面图分数树状度上界为2的猜想，并给出色数上确界至少为83/41、树状度极限为2+2/25的序列。
New concept of connection in signed graphs
在有符号图中，每条边都有一个符号，$+1$或$-1$。本文利用点间正负链的存在性，给出了符号图中连通度的一个新定义。我们证明了这个定义的一些结果和性质，如符号组件，符号关节顶点，和符号峡，我们比较相应的图和符号图形拟阵的性质。我们将我们的结果应用到没有正圈的符号图。对于每条边都是负的符号图，我们的性质变成了奇偶性。
Brooks' theorem for signed graphs with $Δ=3$
本文研究最大度为3的符号图的圆形色数上界，证明除 $(K_4,-)$ 分量外均满足 $χ_c\leq 10/3$，并通过 Petersen 图证明该界紧。
The chromatic spectrum of signed graphs
符号图$(G,σ)$的色数$χ((G,σ))$是存在函数$c : V(G) \rightarrow \mathbb{Z}_k$使得对每条边$e = vw$有$c(v) \not= σ(e) c(w)$的最小数$k$。令$Σ(G)$为$G$的所有签名的集合。研究了$(G,σ)$的光谱$Σ_χ(G) = \{χ((G,σ))\colon\ σ\in Σ(G)\}$。令$M_χ(G) = \max\{χ((G,σ))\colon\ σ\in Σ(G)\}$，和$m_χ(G) = \min\{χ((G,σ))\colon\ σ\in Σ(G)\}$。我们表明，$Σ_χ(G) = \{k : m_χ(G) \leq k \leq M_χ(G)\}$。我们还证明了临界图的一些基本事实。对于由Máčajová、Raspaud和Škoviera提出的符号图的顶点着色的概念，也得到了类似的结果。
Edge coloring of graphs of signed class 1 and 2
本研究引入符号图的$1^±$类与$2^±$类，刻画色指数不随符号变化的图，证明多类图属$1^±$类并给出$2^±$类的充要条件。
A generalization of Noel-Reed-Wu Theorem to signed graphs
设$Σ$是一个符号图，其中允许连接同一对顶点的两条边具有相反的符号。$Σ$的无零色数$χ^*(Σ)$是使$G$允许正常染色$f\colon\,V(Σ)\mapsto \{\pm 1,\pm 2,\ldots,\pm k\}$的最小偶数$2k$。无零列表色数$χ^*_l(Σ)$是无零列表色数的列表形式。如果是$χ^*_l(Σ)=χ^*(Σ)$，则$Σ$称为零自由色选。我们证明了如果$Σ$最多有$χ^*(Σ)+1$顶点，那么$Σ$是零自由色选的。这一结果加强了Noel-Reed-Wu定理，该定理指出每个顶点数不超过$2χ(G)+1$的图$G$是色可选的，其中$χ(G)$是$G$的色数.
Graph Complexity and Link Colorings
有限符号图的扭复杂度定义为由其Laplacian矩阵表示的阿贝尔群的扭子群的阶。当$G$是$d$周期性的（即，$G$有一个自由的${\mathbb Z}^d$ -作用，它的Laplacian多项式的Mahler测度是$G$的有限商的复杂性的增长率.任何一个1周期平面图$G$确定一个链路$\ell \cup C$与非打结组件$C$。在这种情况下，$G$的拉普拉斯多项式与链路的亚历山大多项式相关。Lehmer问题是一个关于monic整多项式根的公开问题，等价于一个关于符号1-周期图的复杂性增长的问题。
Vector Valued Switching in Signed Graphs
本文提出带符号图的向量值切换函数概念，定义平衡维度与强平衡维度以分类不平衡程度，并给出其界的估计与部分图类的计算。
r-orientation of a signed graph and its application on coronae of signed graphs
本文引入反向定向（r-orientation）概念定义了符号图的冠图变体，利用符号coronal获得了正则符号图在r-定向下多种矩阵的特征多项式，并借此构造了无限多对共谱符号图族。
Density of $C_{-4}$-critical signed graphs
一个带符号的二部（简单）图$(G, σ)$称为$C_{-4}$ -临界图，如果它不允许与$C_{-4}$（负4-圈）同态，但它的每个真子图都允许。在这项工作中，首先，我们表明，4-着色的图形和签署的图形的概念是捕获，通过简单的图形操作，由同态的概念，$C_{-4}$。具体地说，四色定理等价于：给定一个平面图$G$，通过用长度为2的负路径替换$G$的每条边得到的带符号二部图映射到$C_{-4}$。证明了除一个特殊的7点9边的符号二部图外，任何$C_{-4}$ -临界的$n$点的符号图都至少有$\lceil\frac{4n}{3}\rceil$边，并且对每个$n\geq 9$的值都有这个界或$\lceil\frac{4n}{3}\rceil+1$.作为应用，我们得到了所有负围长的带符号二部平面图至少$8$映射到$C_{-4}$的结论。此外，我们还证明了存在一个例子，它不映射到$C_{-4}$的周长$6$的有符号二部平面图，显示$8$是最好的可能和反驳的猜想Naserasr，Rollova和Spena，在上述重述的4CT的扩展。
Energy of signed digraphs
本文将能量的概念推广到符号有向图。得到了符号有向图能量的Coulson积分公式。计算了符号有向圈的能量公式，证明了非圈平衡符号有向圈的能量随顶点数单调增加。给出了能量为零的符号有向图的特征。本文将非完全扩展$p$和（简称NEPS）的概念推广到有向符号图。构造了一类无限的等能符号有向图。此外，我们还将McClelland不等式推广到了符号有向图，并得到了符号有向图的能量关于弧数的精确上界。最后还提出了一些有待解决的问题。
Equitable Dominator Coloring of Graphs
提出公平支配着色新概念，结合支配着色与公平着色，研究基本图类的公平支配色数及其界。
Inside-Out Polytopes
我们提出了一个共同的推广计算的合理多面体格点和计数适当的图形着色，无零流的图形，幻方和图形，反幻方和图形，组成的一个整数的部分是部分不同的，和广义拉丁方。我们的方法是将Ehrhart的格点计数理论推广到由超平面排列分割的凸多胞体。我们特别开发的应用程序，图和签名图着色，组成的整数，和antimagic标签。
Some concepts in list coloring
本文研究了唯一列表可着色图.一个图G被称为是唯一k-列表可着色的，如果它允许一个k-列表分配，从该分配G有一个唯一的列表着色。G不是唯一k-列表可染的最小k称为G的M-数。本文证明了任何无三角形且色数为色数k+1的图都是唯一k-列表可染的。给出了图的M-数的一个界，并利用这个界证明了每个可平面图的M-数至多为4。在图中引入了列表临界性，刻画了所有3-列表临界图.证明了每个$χ_\ell$ -临界图都是$χ'$ -临界图，并证明了这个猜想与著名的列表着色猜想是等价的.
Fall-colorings and b-colorings of graph products
给定图$G$的适当着色$f$，$f$中的b-顶点是与除了它自己的颜色类之外的每个颜色类相邻的顶点。如果每个色类至少包含一个b-顶点，则它是b-染色;如果每个顶点都是b-顶点，则它是落染色。$G$的b-色数是$G$具有$b(G)$颜色的b-染色的最大整数$b(G)$，而$G$的落色数和落色数分别是$G$具有落染色的最小和最大整数$f_1(G),f_2(G)$。本文研究了b-同态和II型同态的概念，它们推广了b-染色和落染色的概念，并给出了关于乘积图的一些元定理。因此，我们得出一些以前已知的事实，这些指标的图形产品。我们也给出了一个否定的答案所提出的一个问题，考尔和Mitillos关于完美图的秋天着色。
On the signed chromatic number of some classes of graphs
带符号图$(G, σ)$是图$G$以及函数$σ: E(G) \to \{+,-\}$。一个符号图的闭行走是正的（分别是，负的）如果它有偶数（相应地，奇数）负边缘的数量，计数重复。一个（简单）符号图到另一个符号图的同态是一个顶点映射，它保持了闭行走的邻接和符号。符号图的符号色数$(G, σ)$是指符号图$(H, π)$中允许同态的最小顶点数$|V(H)|$.符号图的同态在过去的几十年里受到了越来越多的关注，特别是由于它们与图着色和图的子式理论有着密切的联系.这些同态已经通过符号色数的范围进行了特别的研究。在这项工作中，我们提供了一些家庭的符号图（平面图，triangle-free平面图，$K_n$ -minor-free图，和有界度图）的符号色数的新结果和界。
Circular flows in mono-directed signed graphs
本文引入了单向符号图$(G, σ)$中循环$r$流的概念。这是一对$(D, f)$，其中$D$是$G$上的方向，并且$f: E(G)\to (-r,r)$满足对于每个正边缘$e$的$|f(e)|\in [1, r-1]$和对于每个负边缘$e$的$|f(e)|\in [0, \frac{r}{2}-1]\cup [\frac{r}{2}+1, r)$，并且总流入等于每个顶点处的总流出。没有正桥的符号图$(G, σ)$的循环流指数，记为$Φ_c(G,σ)$，是使得$(G, σ)$允许循环$r$ -流的最小$r$。这是最近在[Circular chromatic number of signed graphs.]中引入的符号图的循环染色和循环色数的对偶概念。R. Naserasr，Z. Wang和X.竹Electronic Journal of Combinatorics，28（2）（2021），\#P2.44]，并且不同于与文献中研究的符号图相关联的双向图中的循环流的概念。给出了几个等价的定义，研究了单向符号图中循环流的基本性质，探讨了循环流与图中流的关系，并利用$G$的边连通性给出了$Φ_c(G,σ)$的上界.同时，我们注意到，对于特定值的$r_{_k}=\frac{2k}{k-1}$，并限制到两个自然子类的有符号图，循环$r_{_k} $ -流的存在是强连接的存在模$k$ -方向，…
Deficiency in Signed Graphs
我们在符号图中引入了亏数的概念。颜色的不足是未使用的颜色的数量。对2-色图的亏数进行了分类。关于3-色符号图的最小亏数和最大亏数有四个判定问题。我们用一个确定3-色符号图的最大亏数的多项式时间算法回答了其中两个问题。
DP-Degree Colorable Hypergraphs
为了解决可平面图的列表着色问题，Dvopiák和Postle引入了DP-着色的概念，从而推广了列表着色的概念。Bernshteyn、Kostochka和Pron对图和重图的DP-染色进行了详细的分析;他们刻画了DP-度可染色重图，并由此导出了一个Brooks型结果。相应的“坏”封面的特征后来由Kim和Ozeki给出。本文将DP-染色的概念推广到具有多重边的超图。我们刻画了DP-度可着色超图，并进一步刻画了相应的“坏”覆盖。这给出了超图的DP-色数的Brooks型结果.在第四部分中，我们研究了DP-临界图，并建立了关于其结构的一些基本事实以及关于最小边数的Gallai型界。
Extension of the Gyárfás-Sumner conjecture to signed graphs
本文将Gyárfás-Sumner猜想推广至符号图，通过引入GS集研究符号图遗传类的平衡着色问题，并完全刻画了阶为2的GS集的充分条件。
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