Minimal coloring number for $\mathbb{Z}$-colorable links II
一个$\mathbb{Z}$-可着色链路的最小着色数是链路图上非平凡$\mathbb{Z}$-着色的最小颜色数。在本文中，我们证明了任何不可分裂的$\mathbb{Z}$-可着色链的最小染色数是4。作为一个例子，我们考虑通过将给定链接的每个组件替换为几个平行链而获得的链接，我们称之为链接的平行。我们发现，一个甚至平行的链接是$\mathbb{Z}$-着色的情况下，除了2平行与非零环绕数。然后，我们给出了一个简单的方法来获得一个图，达到最小的染色数，甚至平行的链接。
2017-08-03 math.GT
Quandle Coloring Quivers of (p, 2)-Torus Links
Quandle着色图是Karina Cho和Sam Nelson提出的一种图结构，它定义在一个有向纽结或环的quandle着色集合上。研究了（p，2）-环面纽结和环链关于二面角圈的圈染色箭图。
2022-09-11 math.GT
Twisted intersection colorings, invariants and double coverings of twisted links
扭曲链路是经典链路的推广，对应于加厚曲面中链路的稳定等价类。本文引入了图的扭交染色，并利用这种染色构造了扭链环的两个不变量。作为应用，我们证明了存在无穷多对双绞线，使得每对双绞线的两个双绞线不等价，但它们的双覆盖是等价的。我们还介绍了一种方法，构造一对双绞线的双重覆盖是等效的。
2022-07-22 math.GT
Minimal coloring number on minimal diagrams for $\mathbb{Z}$-colorable links
证明了任何$\mathbb{Z}$ -可着色链都有一个图，它允许至多四种颜色的非平凡$\mathbb{Z}$ -着色.本文研究了$\mathbb{Z}$ -可着色链的极小图上的非平凡$\mathbb{Z}$-着色的极小颜色数问题。证明了对于任意正整数$N$，存在一个$\mathbb{Z}$可着色链路的极小图，使得图上的任意$\mathbb{Z}$着色至少有$N$颜色.另一方面，它表明，某些$\mathbb{Z}$着色环面链接有最小的图表承认$\mathbb{Z}$着色只有四种颜色。
2017-12-23 math.GT
Widths of links via diagram colorings
本研究通过链环图着色定义链环不变量，证明其与标准Morse函数下的各类链环宽度概念一致，该方法算法化且易编程实现，还计算了万余个14交叉以内链环的最大宽度。
2024-01-30 math.GT
Coloring link diagrams by Alexander quandles
本文利用Alexander Quandles研究了连通图的可着色性。证明了若约化的Alexander多项式$Δ_{L}(t)$为零，则$L$允许由任何非平凡的Alexander quandle $Q$进行的非平凡染色;若$Δ_{L}(t)=1$，则$L$只允许由任何Alexander quandle $Q$进行的平凡染色;还证明了若$Δ_{L}(t)\not=0, 1$，则$L$允许由Alexander quandle $Λ/(Δ_{L}(t))$进行的非平凡染色.
2011-05-18 math.GT
The Minimal Coloring Number Of Any Non-splittable $\mathbb{Z}$-colorable Link Is Four
K. Ichihara和E. Matsudo引入了$\mathbb{Z}$ -可着色链和$\mathbb{Z}$ -可着色链的最小着色数的概念，这是链的不变量之一.他们证明了不可分裂的$\mathbb{Z}$ -可着色链路的最小着色数的下界是4。本文证明了不可分裂的$\mathbb{Z}$ -可着色环的最小色数为4。
2017-06-11 math.AT math.GT
Biquasile Colorings of Oriented Surface-Links
我们介绍了着色的定向表面链接的双拟使用标记图。我们使用这些着色来定义计数不变量和玻尔兹曼增强的双准计数不变量定向表面链接。我们提供的例子表明，不变量可以区分闭曲面链接和配边，是敏感的方向。
2018-01-10 math.GT math.QA
Quandle coloring quivers of links using dihedral quandles
K. Cho和S.纳尔逊引入了quandle着色的概念，这是一个quiver值的链接不变量，和quandle上循环的概念，这是quandle着色的增强，通过分配给每个顶点的权重使用quandle 2-上循环计算。本文利用二面角quandle研究了quandle染色箭图，并引入了影子quandle染色箭图和影子quandle上圈箭图的概念，它们是quandle染色箭图和quandle上圈箭图的影子形式.我们证明了，当我们使用一个素数阶的二面角quandle时，quandle染色箭图等价于quandle染色数;当我们使用一个素数阶的二面角quandle和Mochizuki的3-上循环时，影子quandle上循环箭图等价于影子quandle上循环不变量.
2020-04-26 math.GT
Quandle coloring quivers of pretzel links
本文系统研究pretzel链环的二面体quandle着色及着色拟阵，确定3-pretzel情形，并在n为素数时给出4-pretzel及一般m-pretzel链环的着色数和拟阵结构，附完整证明。
2026-09-25 math.AT math.GT
Coloring invariants for links in $Σ_g\times S^1$
本文针对亏格g的闭定向曲面Σ_g与S¹的乘积空间中的链环，研究其着色不变量及推广形式的定义问题，属于几何拓扑领域的理论研究。
2024-05-24 math.GT
Quandle Coloring Quivers of Surface-Links
Quandle着色箭图是有向节点和链接的有向图值不变量，使用有限quandle $X$和自同态集合$S\subset\mathrm{Hom}(X,X)$的选择来定义.从一个quandle着色图，多项式结不变量被称为\textit{in-degree quiver polynomial}的定义。我们认为quandle着色不变量为导向的表面链接，表示标记的图形图。我们提供的例子计算所有定向表面链接CH指数高达10的quandles和自同态的选择。
2020-09-30 math.GT math.QA
The bridge number of surface links and kei colorings
本文利用 kei 着色建立曲面链环桥数的下界，证明对每个整数 $n\geq4$ 都存在无穷多个桥数恰为 $n$ 的曲面纽结。
2020-12-31 math.GT
Coloring Link Diagrams And Conway-type Polynomial Of Braids
本文定义并给出了Artin辫群$B_m$中共轭类的三元Laurent多项式不变量的一个简单组合公式。我们证明了这个Laurent多项式满足Conway绞关系，并且它的系数是辫子的Vassiliev不变量。
2013-10-08 math.GT
Quandle colorings vs. biquandle colorings
双quandles是quandles的推广。以及quandles，biquandles给我们许多面向经典/虚拟/表面链接的不变量。一些来自双量子点的不变量被认为比那些来自量子点的虚链路的不变量更强。然而，到目前为止，我们还没有找到一个本质上精炼的经典/表面链接不变。在本文中，我们给出了一个显式的双quandle染色和quandle染色之间的一对一的对应经典/表面链接。我们还证明了双量子同伦不变量和量子同伦不变量是等价的。作为一个副产品，我们可以解释双量子上循环不变量的影子量子上循环不变量。
2020-03-26 math.GT math.QA
Two-tone colorings and surjective dihedral representations for links
本文针对多分支链环引入双色着色方法，给出了链环群容许满射二面体群表示的条件，并证明至少含3个分支的链环群存在到任意次数二面体群的满射同态。
2024-04-28 math.GT
Up-down colorings of virtual-link diagrams and the necessity of Reidemeister moves of type II
我们介绍了一个上下着色的虚拟链接图。的着色性给出了一个下界的最小数量的Reidemeister移动的类型II之间需要两个2组件的虚拟链接图。利用Quandle上循环不变量的概念，我们确定了平凡虚结图对的Reidemeister移动的必要性。这意味着对于任何虚拟结图$D$，存在表示相同虚拟结的图$D'$，使得它们之间的任何广义Reidemeister移动序列包括至少一个类型II的Reidemeister移动。
2017-03-10 math.GT
An Improvement of the lower bound for the minimum number of link colorings by quandles
我们改进了在Colorings beyond Fox：The other linear Alexander quandles（线性代数及其应用，第548卷，2018年）的定理1.2中给出的结的线性Alexander quandle着色的最小颜色数的下界。我们表示这个下界的考虑结的减少亚历山大多项式的程度k。我们证明了对于L-空间纽结，它恰好是k + 1。然后将这些结果应用于环面纽结和椒盐卷饼纽结P（-2，3，2l + 1），l>=0.我们注意到，这个下界可以达到某些特定的纽结。此外，我们证明了上述定理1.2可以推广到多个分支的链路。
2022-10-12 math.GT
On the Maximum Number of Colors for Links
对于每个奇素数p，并为每个非分裂链接承认非平凡的p-着色，我们证明了福克斯颜色的最大数量是p。我们还证明了，我们可以组装一个非平凡的p-着色与任何数量的颜色，从最小到最大数量的颜色。此外，对于任意有理环，我们证明了它的任意Schubert标准形都存在一个非平凡的染色，模其行列式，它使用了所有可用的颜色。如果这个行列式是一个奇素数，那么这个舒伯特范式的任何非平凡着色，模行列式，使用所有可用的颜色。我们还证明了在舒伯特标准形的交叉数等于两倍的行列式的链接减去2。还证明了环面链及其着色能力的事实。
2013-02-22 math.GT
Biquandles with structures related to virtual links and twisted links
我们在双量子点上引入了两种结构，称为v-结构和t-结构。这些结构用于虚拟链路和扭曲链路的图的着色，使得着色的数量是不变的。给定一个双量子线或一个量子线，我们给出了用这些结构构造一个双量子线的方法。使用着色的数量，我们表明，Bourgoin的twofoil和不可定向的虚拟$m$ -箔不代表虚拟链接。
2011-09-24 math.GT
Continued fraction algorithm for Sturmian colorings of trees
正则树的顶点着色$ϕ$的因子复杂度$b_ϕ(n)$是直到保色自同构的着色$n$ -球的数量。Sturmian着色是最小无界因子复杂度$b_ϕ(n) = n+2$的着色。在这篇文章中，我们证明了一个归纳算法的Sturmian着色使用彩球的方式类似的Sturmian词的归纳算法。此外，我们表征Sturmian着色的归纳算法的数据。
2017-04-14 math.CO math.DS math.GT
Fox $p$-Colorings as Fixed Points of Braid Representations
Sunchon National University（顺天国立大学）
该研究将纽结与链环的Fox p-着色转化为辫群表示的不动点，给出着色数显式公式，并应用于环面链环与螺旋链环得到Fox 3-着色空间的显式描述。
2026-09-01 math.GT
Equivalence Classes of Colorings
对于任何链路和任何模$m$，我们引入一个等价关系的一组非平凡的m-染色的链接（一个m-染色的值在Z/mZ）。给定一个链路图，非平凡m-着色的等价类是由图中弧的颜色分配形成的，这些弧是由前一个着色通过在每个交叉处保持着色条件的弧中的颜色置换获得的。这个要求意味着等价类的拓扑不变性。我们表明，对于一个素数模的等价类的数量取决于模和染色矩阵的秩（相对于这个模）。
2014-05-07 math.GT
Symmetric quandle colorings and ribbon concordance
本文证明Yoshikawa表中的曲面链环$10_1^{-1,-1}$无法被阶为4的对称二面体quandle着色，并揭示了该着色缺失如何阻碍其与可着色链环$8_1^{-1,-1}$间的广义ribbon合痕。
2024-06-04 math.GT
On Medial Quandle Coloring Link Invariant and Detecting Causality
本文研究中间quandle着色链环不变量在(2+1)维全局双曲时空中检测因果性的能力，证明在特定等价关系下无法区分关键链环，并给出充分条件及广义定理。
2026-09-30 math.GT
Knot Theory: from Fox 3-colorings of links to Yang-Baxter homology and Khovanov homology
本文是我的“在希腊结2016年”会议上的介绍性全体会议讲话的延伸。我们从历史的角度对纽结理论进行简短的介绍，从赫拉克拉文本开始（公元一世纪），提到R.Llull（1232年至1315年），A.Kircher（1602年至1680年），莱布尼茨的想法Geometria Situs（1679年），和JB上市（学生高斯）工作的1847年。我们花了一些空间在拉尔夫H。Fox（1913-1973）图解着色的基本介绍（1956）。在第二节中，我们介绍了如何福克斯工作是广义的分配着色（机架和quandles），并最终在工作的琼斯和Turaev链接不变量通过杨巴克斯特运营商，在这里的重要性，统计力学拓扑将被提及。最后，我们介绍了最近的事态发展，开始与米哈伊尔Khovanov工作分类的琼斯多项式。通过类比Khovanov同调，我们建立了分配结构的同调（包括Fox着色的同调），并将其推广到Yang-Baxter算子的同调。我们推测，与支持的证据，共循环不变量的结来自杨巴克斯特同源。在这里的工作芬-鲁尔克桑德森（几何实现的前三次集的链接图）和卡特Kamada齐藤（共循环不变的链接）将进行讨论和扩展。献给卢·考夫曼70岁生日。
2018-08-31 math.GT
Enhancements of link colorings via idempotents of quandle rings
本文利用quandle环的幂等元构造了链环着色不变量的增强，证明其强于经典着色不变量及medial情形下的Hom quandle不变量，并通过计算小阶quandle的幂等元与Peirce谱支持相关猜想。
2022-07-19 math.GT math.QA math.RA
Bridging colorings of virtual links from virtual biquandles to biquandles
本文建立虚拟双拟群与双拟群着色不变量的联系，证明虚拟链环的虚拟双拟群着色数可由双拟群着色恢复，并引入新标记规则仅用经典交叉关系构造基本虚拟双拟群表示。
2024-05-16 math.GR math.GT
An example of semiquandle and u-polynomials for flat virtual knots via this semiquandle coloring
本文给出一个半拟群例子，利用其着色定义平坦虚纽结的不变量，并阐明其与u-多项式的联系。
2024-11-07 math.GT
The Hilbert Polynomial of Quandles and Colorings of Random Links
本文研究随机辫子闭包的 quandle 着色数平均值，证明其对应一个 Hilbert 多项式，计算了所有阶不大于 4 的 quandle 的不变量，并将已有稳定性结果从周期稳定性改进为稳定性。
2023-04-17 math.GT
Quandle Coloring Quivers
我们考虑一个有向纽结或链环图的quandle着色集上的一个结构。这个结构包含大量的结和链接不变量，并提供了最字面意义上的quandle计数不变量的分类，即，给Quandle着色集一个不被Reidemeister移动改变的小范畴的结构。我们推导出一些新的增强的计数不变量，从这种结构，并表明增强是适当的明确的例子。
2018-10-06 math.GT math.QA
Categorifying Coloring Numbers
着色数是描述纽结和链环的最简单的组合不变量之一。随着乔伊斯对困惑的介绍，我们可以更好地理解它们。但是我们能把这些不变量扩展到缠结上吗--有自由端的结和链？的确，我们可以，一旦我们分类。从色数的定义出发，我们将对它们进行分类，并建立这种对缠结的推广。然后，去范畴化将留给我们缠结的幺半范畴的矩阵表示。
2008-03-11 math.CT math.GT
Dehn colorings and vertex-weight invariants for spatial graphs
本文研究了空间图的Dehn染色，给出了一类空间图的点权不变量。我们给出了一些空间图的例子，可以区分的顶点重量不变，而区分既不是他们的组成链接，也不是德恩染色的数量。
2020-03-06 math.GT
MC-Biquandles and MC-Biquandle Coloring Quivers
本文提出mc-双量子代数结构，用于构造经典与虚拟链环的可计算同态集不变量，并通过范畴化得到着色箭图，进而定义新的链环不变量。
2024-06-30 math.GT math.QA
3-coloring and other elementary invariants of knots
本文有两个目的：从R。福克斯为了让本科生看到三叶结是非平凡的，并以统计力学结尾。在路上，我们证明了各种（旧的和新的）关于结的事实。我们与福克斯3着色琼斯和考夫曼多项式的链接，我们使用这种连接来勾画的方法近似unknotting数的一个结。我们讨论了纽结理论中的一些基本的开放性问题，并表明Fox着色在试图解决这些问题时是有用的。最后，我们展示了如何分析福克斯着色可以让我们了解同源性和基本群的分支覆盖沿链接。
2006-08-07 math.GT math.HO
Quasi-Sturmian colorings on regular trees
本文研究正则树上的拟Sturmian着色，将其分为有界与无界两类，提出类似Sturmian着色的归纳算法，并利用回归函数区分这两类着色。
2018-08-16 math.CO math.DS math.GT
Coloring invariants of knots and links are often intractable
设$G$是具有非平凡共轭类$C \subseteq G$的非交换单群.令$K$是$S^3$中的定向结的图，被认为是计算输入。我们表明，对于每个这样的$G$和$C$，计数同态$π_1(S^3\setminus K) \to G$发送子午线的$K$ $C$的问题几乎是简约的$\mathsf{\#P}$ -完全。这项工作是一个续集以前的结果，作者认为，计数同态从基本群的整数同源3-领域$G$几乎是简约的$\mathsf{\#P}$ -完全。我们以前在封闭的、未标记的曲面上使用映射类群动作，现在使用辫群动作。
2019-07-13 cs.CC math.GR math.GT
Symplectic quandles and parabolic representations of 2-bridge Knots and Links
本文通过在Conway图上确定弧着色向量，研究了2-桥连杆的抛物线表示。我们采用的方法是将共轭量子方程组转化为辛量子方程组。在该方法中，我们对每个2-桥链路$K$有一个整系数首一多项式$P_K(u)$，并且该多项式的每个零点给出$K$图上满足辛量子方程组的一组弧着色向量，这给出了$K$的抛物表示的显式公式。然后，我们解释这些弧着色向量给我们的封闭形式公式的复杂体积和尖点形状的代表。作为该方法的其它应用，我们给出了Riley多项式和迹场的一些有趣的算术性质，并描述了2-桥链群之间满态存在的一个充要条件，即相应的Riley多项式的整除性.
2020-02-25 math.GT
Chirality of torus-covering $T^2$-links of degree three
Saga University（佐贺大学）；Kanazawa University（金泽大学）
研究三次度的 торus 覆盖 $T^2$ 链结的手性，通过三链结数、Fox $p$-着色数和与 $p$-着色相关的quandle cocycle不变量等不变量进行探讨，确定与三色的quandle cocycle不变量。
2026-04-09 math.GT
A note on Dehn colorings and invariant factors
如果$A$是阿贝尔群，$ϕ$是整数，则令$A(ϕ)$是$A$的子群，由元素$a \in A$组成，使得$ϕ\cdot a=0$。证明了：如果$D$是一个经典链接图$L$，且$0=ϕ_0,ϕ_1,\dots,ϕ_{n-1}$是$D$的一个调整后的Goeritz矩阵的不变因子，则$D$的Dehn染色群$\mathcal{D}_{A}(D)$同构于$A$与$A=A(ϕ_{0}),A(ϕ_1),\dots,A(ϕ_{n-1})$的直积.由此可见，$L$的Dehn染色群同构于圆环链的连通和$T_{(2,ϕ_1)} \text{ }\# \text{ } \cdots \text{ } \# \text{ } T_{(2,ϕ_{n-1})}$的Dehn染色群。
2018-09-03 math.GT
A lower bound on minimal number of colors for links
我们证明了非零行列式链环的所有有效$n$ -着色的最小颜色数至少为$1+\log_2 n$。
2015-07-15 math.GT
Multivariate Alexander colorings
我们扩展的概念，链接着色与亚历山大quandle中的值的链接着色与模块$M$的劳伦多项式环$Λ_μ=\mathbb{Z}[t_1^{\pm1},\dots,t_μ^{\pm1}]$的值。如果$D$是一个带有$μ$组件的链接$L$的图，那么带有$M$中的值的$D$的着色形成一个$Λ_μ$ -模块$\mathrm{Color}_A(D,M)$。推广了Inoue [Kodai Math.\ J. 33（2010），116-122]，我们证明了$\mathrm{Color}_A(D,M)$同构于$Λ_μ$的模-从$L$的Alexander模到$M$的线性映射。特别地，假设$M$是域，$φ:Λ_μ \to M$是具有单位元的环的同态。然后，$φ$在$M$上定义了一个$Λ_μ$ -模块结构，我们将其表示为$M_φ$。证明了$\mathrm{Color}_A(D,M_φ)$作为$M$上的向量空间的维数是由$L$的初等理想在$φ$下的象决定的.这个结果适用于Fox三色的特殊情况，对应于$M=GF(3)$和$φ(t_i) \equiv-1$。实例表明，即使在这种特殊情况下，较高的亚历山大多项式也不足以确定$|\mathrm{Color}_A(D,M_φ)|$ ;这一观察纠正了Inoue的错误陈述[J. Knot Theory Ramifications 10（2001），813-821; op. c…
2018-09-03 math.GT
Removing Colors 2k, 2k-1, and k
证明了如果一个环允许非平凡的（2k+1）-染色，且素数2k+1>7，则它也允许不涉及颜色2k，2k-1，或k的非平凡的（2k+1）-染色.
2013-08-24 math.GT
On the classification of rational tangles
本文给出了有理缠结分类的两个新的组合拓扑证明。每一个证明都依赖于一个优雅的引理，证明了有理缠结与规范的交替有理缠结是同位素的。第一个证明定义了标准形的缠结分数，并使用flyping来证明不变性。第二个证明定义了一个有理数缠结通过积分染色的缠结的分数。然后，着色方法被用来证明的Kauffman-Harary着色猜想交替纽结和链接的情况下，合理的纽结和链接（关闭的合理缠结）。本文形成的基础上，续集的合理的纽结和链接的分类。
2004-01-12 math.GT math.NT
New Polynomial Decategorifications of the Quandle Coloring Quiver
本文提出了两族基于quandle染色拟阵去范畴化的有向经典与虚拟纽结及链环多项式不变量，通过示例展示了其计算方法，证明其独立于quandle计数不变量，并给出了小quandle的不变量值表。
2025-08-14 math.GT math.QA
On the Jones polynomials of checkerboard colorable virtual knots
引入了虚拟链接和抽象链接的棋盘可染性概念。研究了虚链路和抽象链路的Jones多项式。证明了经典链环的琼斯多项式的某些性质对允许棋盘着色的虚链环也是有效的。
2000-08-10 math.GT
On invariants of multiplexed virtual links
本文提出虚拟纽结的 r-多重化构造方法，将所得虚拟链环的不变量归结为原纽结不变量，并由此统一解释 Manturov 虚拟 n-染色与经典 n-染色的关系。
2023-12-01 math.GT
Psyquandles, Singular Knots and Pseudoknots
我们推广的概念biquandles的psyquandles，并使用这些来定义不变量的定向奇异链接和pseudolinks。除了psyquandle计数不变量，我们引入亚历山大psyquandle和相应的不变量，如亚历山大psyquandle多项式和亚历山大-Gröbner psyquandle不变量的定向奇异结和链接。我们考虑了伪链的Alexander psyquandle着色和伪链的p-着色之间的关系。作为一个特殊的情况下，我们定义了一个推广的亚历山大多项式为导向的奇异链接和伪链接，我们称之为Jablan多项式，并计算不变量的所有pseudoknots与多达5个交叉点和所有2束图与多达6个经典的交叉点。
2017-10-23 math.GT math.QA
Twist formulas for one-row colored $A_2$ webs and $\mathfrak{sl}_3$ tails of $(2,2m)$-torus links
利用两行杨氏图$λ$对链路元件进行着色，得到$\mathfrak{sl}_3$着色琼斯多项式$J_λ^{\mathfrak{sl}_3}(L)$。虽然一般情况下计算$J_λ^{\mathfrak{sl}_3}(L)$比较困难，但我们可以利用Kuperberg的$A_2$绞链关系来计算它。本文给出了$A_2$网空间中被单行Young图着色的两股绞合链的计算公式，并计算了有向$(2,2m)$ -环面链的$J_{(n,0)}^{\mathfrak{sl}_3}(T(2,2m))$.这些显式公式导出$T(2,2m)$的$\mathfrak{sl}_3$尾部。他们还给出了明确的描述$\mathfrak{sl}_3$假θ系列与单行着色，因为$T(2,2m)$的$\mathfrak{sl}_2$尾部被称为假θ系列。
2020-05-12 math.GT math.QA
