An invitation to the promise constraint satisfaction problem
约束满足问题（CSP）的复杂性研究是近二十年来的一个热点问题，主要围绕Feder-Vardi二分猜想展开。经过长期的努力和许多部分结果，二分猜想在2017年由Bulatov和Zhuk独立证明。大约在同一时间，CSP的广泛推广，称为Promise CSP，已经开始变得突出。在这次调查中，我们解释了承诺CSP的重要性，并强调了承诺CSP的研究所带来的许多新的非常有趣的功能。的承诺CSP的复杂性分类的追求是开放的，我们认为，尽管承诺CSP是更一般的，这种追求是更广泛的研究人员比二分法主导的研究的CSP已经。
2022-08-29 cs.CC cs.LO math.LO
Discrete Homotopy and Promise Constraint Satisfaction Problem
本文提出了一种基于离散同调的承诺约束满足问题研究方法，通过组合构造和群论概念，探讨了PCSP的复杂性及难度结果。
2025-10-12 cs.CC cs.LO
Local consistency as a reduction between constraint satisfaction problems
针对承诺CSP需更强表达归约的问题，提出一致性归约框架，覆盖多数承诺CSP的NP难度证明归约，刻画弧一致性相关片段，还可用于设计易解算法并描述Sherali-Adams层级。
2024-05-17 cs.CC cs.LO
Promise Constraint Satisfaction and Width
我们研究了固定模板Promise约束满足问题（PCSP）的边界宽度一致性算法的能力。我们的主要技术发现是，模板的每一个PCSP是可解的有界宽度满足一定的结构条件，这意味着它的代数闭包性质包括弱近的多态性的所有大的arities。虽然这与标准（非承诺）CSP理论相似，但证明方法却截然不同，甚至适用于次线性宽度的范围。我们还表明，与CSP世界相比，弱近多态性的存在下，所有大的arities不保证有界宽度的可解性。分离的例子甚至在线性规划松弛的Sherali-Adams（SA）层次结构的第二层中是可解的。这表明，与CSP不同，线性规划可以比有界宽度更强。这些方法的一个直接应用还表明，对于任意两个常数$p$和$q$使得$3 \leq p \leq q$，$p$ -可着色图的$q$-着色问题在有界甚至次线性宽度上都是不可解的.转向算法，我们注意到，Wigderson的算法$O(\sqrt{n})$ -着色$3$ -着色图与$n$顶点是可实现的宽度$4$。实际上，通过推广该方法，我们看到，对于任何小于$1/2$的$ε> 0$，解决具有$n$顶点的$O(n^ε)$ -着色$3$ -可着色图的问题的最佳宽度位于$n^{1-3ε}$和$n^{1-2ε}$之间。上界给出了一个简单的$2^{Θ(n^{1-2ε}\log(n))}$时间算法，该算法渐近地击败了直接的$2^{Θ(n^{1-ε})}$界，该界…
2021-07-13 cs.CC cs.DM
Promise Constraint Satisfaction: Algebraic Structure and a Symmetric Boolean Dichotomy
Schaefer（1978）的一个经典结果将布尔域上的所有约束满足问题（CSP）分类为$\mathsf{P}$或$\mathsf{NP}$ -难问题。本文考虑了一个承诺问题的变种CSP称为PCSP。在约束对$Γ$的有限集合上的PCSP由具有相同变量集合的CSP对$(Ψ_P, Ψ_Q)$组成，使得对于每个$(P, Q) \in Γ$，当且仅当$Q(x_{i_1}, ..., x_{i_k})$是$Ψ_Q$的子句时，$P(x_{i_1}, ..., x_{i_k})$是$Ψ_P$的子句。承诺问题$\operatorname{PCSP}(Γ)$是在给定$(Ψ_P, Ψ_Q)$的情况下，区分$Ψ_P$可满足和$Ψ_Q$不可满足的情况。许多自然界的问题，包括近似图和超图着色，都可以放在这个框架中。本文的动机是追求理解布尔承诺CSP的计算复杂性。作为我们的主要结果，我们表明，$\operatorname{PCSP}(Γ)$表现出二分法（它是多项式时间可解或$\mathsf{NP}$硬）时，在$Γ$的关系是对称的，并允许否定的变量。我们通过扩展Austrin，Guruswami和Håstad [FOCS '14]的弱多态性框架来实现我们的二分法，该框架本身就是研究CSP的代数方法的推广。在我们的证明的算法和硬度部分，我们采用了新的想法和技术没有利用在CSP的情况下。此外，我们表明，任何承诺CSP…
2021-05-06 cs.CC cs.DM cs.LO
Algebraic approach to promise constraint satisfaction
约束满足问题（CSP）的复杂性和可逼近性在过去的20年中得到了广泛的研究。一个新版本的CSP，承诺CSP（PCSP）最近被提出，动机的可满足性和图形着色的变体的近似性的开放问题。PCSP大大扩展了标准决策CSP。有限域上的固定约束语言的CSP的复杂性最近被完全分类，极大地指导了代数方法，它使用多态性-高维对称性的解决方案空间-分析问题的复杂性。PCSP的相应分类是广泛开放的，包括一些长期存在的开放问题，如近似图着色的复杂性，作为特例。PCSP的基本代数方法是由Brakensiek和Guruswami发起的，在本文中，我们显着扩展它，并将其从多态性的具体属性提升到其抽象属性。我们引入了一类新的问题，可以被视为代数版本的（间隙）标签覆盖问题，并表明，每一个PCSP与固定的约束语言是等价的，这种形式的问题。这使我们能够确定一个“对称性的措施”，这是非常适合于比较和相关的复杂性，不同的PCSP通过代数方法。我们证明了我们的理论可以应用于改善国家的最先进的近似图着色：我们表明，对于任何$k\geq 3$，这是NP-很难找到一个$(2k-1)$ -着色的一个给定的$k$ -coloured图。
2019-06-21 cs.CC cs.LO math.LO
Equations over Finite Monoids with Infinite Promises
University of Zaragoza（萨拉戈萨大学）；Hamburg University of Technology（汉堡工业大学）；University of Oxford（牛津大学）
本研究利用承诺约束满足问题的代数方法，拓展了有限幺半群上带承诺的方程组求解问题的复杂度分类，得到加任意关系时的复杂度二分法，并允许承诺侧幺半群为有限生成。
2026-05-05 cs.CC
On the Complexity of Trial and Error for Constraint Satisfaction Problems
2013年贝、陈和张介绍了一种试错计算模型，并应用于一些约束满足问题。在这个模型中，输入被隐藏的预言，对于一个候选的分配，揭示了一些信息，违反了约束，如果分配不满意。本文对试错模型中的约束满足问题进行了{ \em systematic}研究。为了实现这一点，我们首先采用了一个正式的框架CSP，并在此框架的基础上，我们定义了几种类型的揭示神谕。我们的主要贡献是开发一个\emph{transfer theorem}为每一种类型的启示神谕，下一个广泛的参数类。对于任何具有特定类型的揭示性预言的隐藏CSP，转移定理将另一个可能更难的CSP关联到正常设置中，使得它们的复杂性是多项式时间等价的。这在原则上转移的一大类隐藏CSP的研究，可能与承诺的情况下，在正常设置的CSP的研究。然后，我们应用转移定理得到多项式时间算法或隐藏CSP的硬度结果，包括满意度问题，单调图属性，同构问题，和唯一游戏问题的精确版本。这些结果的大多数证明是简短而直接的，这显示了转移定理的力量。
2017-08-16 cs.CC
The Sherali-Adams Hierarchy for Promise CSPs through Tensors
本文研究了承诺约束满足问题（PCSP）中的Sherali-Adams线性规划问题。当层次结构的一个级别接受一个实例时，我们将其转换为通过约束语言的张量幂获得的适当的多线性结构的同态问题。这种结构的几何，它包括在一个空间的张量满足一定的对称性，然后允许建立非解的近似图着色问题，通过不断的许多层次的Sherali-亚当斯。除了这个主要的应用程序，我们的张量化建设引入了一个新的工具，层次结构的算法松弛计算问题内（并可能超越）的上下文约束满足的研究。特别是，我们认为这是一个关键的一步，以代数表征的权力，谢拉利-亚当斯PCSP。
2022-11-10 cs.CC cs.DM cs.DS
Singleton algorithms for the Constraint Satisfaction Problem
本文基于单元素算法与调色盘对称多项式，证明了其在解决域大小不超过7的可处理CSP中的有效性，并展示了域大小为8时算法的局限性，揭示了有限性对Hales-Jewett论证的重要性。
2026-03-30 cs.CC cs.LO
The combined basic LP and affine IP relaxation for promise VCSPs on infinite domains
凸松弛在约束满足问题（CSP）的可解性以及CSP的三种不同概括（有值CSP、无限域CSP和最近的承诺CSP）中起着重要作用。在这项工作中，我们扩展了现有的易处理性结果的三个概括的CSP相结合：我们给出了一个充分条件相结合的基本线性规划和仿射整数规划松弛的承诺值CSP在无限域上的精确可解性。这扩展了Brakensiek和Guruswami [SODA'20]关于promise（非值）CSP（在有限域上）的结果。
2021-03-20 cs.CC cs.DM cs.DS
CLAP: A New Algorithm for Promise CSPs
提出了一种求解承诺约束满足问题的新算法。它是$\textbf{C}$约束基本$\textbf{L}$ P松弛和$\textbf{A}$仿射I $\textbf{P}$松弛（CLAP）的组合。我们给出了一个表征的权力CLAP的一个奴才同态。使用这种特性，我们确定了一定的弱对称性的概念，如果满足无限多的多态性的PCSP，保证易处理。我们证明，有PCSP解决CLAP没有解决任何现有的算法PCSP;特别是，不是由BLP+AIP算法的Brakensiek等人。[SICOMP'20]，而不是通过减少到易处理的有限域CSP。
2022-10-22 cs.CC cs.DM cs.DS
1-in-3 vs. Not-All-Equal: Dichotomy of a broken promise
本文研究承诺问题 1-in-3 vs. Not-All-Equal 在无彩虹结构削弱承诺后的复杂性，并建立了该类计算问题的复杂性二分性。
2025-02-17 cs.CC cs.DM cs.DS
Beyond PCSP (1-in-3,NAE)
承诺约束满足问题（promise constraint satisfaction problem，PCSP）是约束满足问题（constraint satisfaction problem，CSP）的一个推广，它描述了可满足实例的近似性。一个PCSP实例带有两种形式的约束：严格约束和弱约束。假设存在使用严格约束的解，则任务是使用弱约束找到解。虽然现在有几个二分法的PCSP片段的结果，他们都认为（在某种程度上）对称的PCSP。1-in-3-SAT和Not-All-Equal-3-SAT是布尔对称（非承诺）CSP的经典示例。虽然这两个问题都是NP难的，但Brakensiek和Guruswami证明了[SICOMP'21]，给定一个1-in-3-SAT的可满足实例，可以找到相应的（较弱的）不全等于3-SAT的解决方案。换句话说，PCSP模板（1-in-3，NAE）是易处理的。我们专注于非对称的PCSP。特别是，我们研究PCSP模板从布尔模板（t-in-k，NAE）通过添加元组到t-in-k或从NAE删除元组。对于前者，我们将所有模板分类为易于处理的或不可解决的，由目前已知的最强的PCSP算法，结合基本LP和Brakensiek，Guruswami，Wrochna，和Gracivnovik的仿射IP松弛[SICOMP'20]。对于后者，我们将所有模板分类为易处理或NP难。
2022-08-28 cs.CC cs.DM
The complexity of 3-colouring $H$-colourable graphs
研究了图同态问题在可满足实例上的逼近的复杂性。对于一个固定图$H$，$H$ -着色问题是判定一个给定的图是否与$H$有同态.根据Hell和Nešetzil的一个结果，对于任何非二部图$H$，该问题都是NP-难的.在Promise约束满足问题的背景下，Brakensiek和Guruswami证明了这个硬度结果扩展到Promise图同态如下：固定任何非二部图$H$和另一个图$G$具有从$H$到$G$的同态，从给定的$H$ -列图找到到$G$的同态是NP-困难的。可以说，这个猜想的两个最重要的特殊情况是当$H$固定为3点完全图时（$G$是任何带三角形的图）和当$G$是3点完全图时（$H$是任何3-列图）。前一种情况等价于众所周知的困难的近似图着色问题。在本文中，我们证实了Brakensiek-Guruswami猜想后一种情况。我们的证明依赖于一个新的组合的普遍代数方法来承诺约束满足，这是最近开发的Barto，Bulín和作者，从代数拓扑的一些想法。
2019-09-05 cs.CC cs.LO math.AT
Towards infinite PCSP: a dichotomy for monochromatic cliques
Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Charles University（查理大学）；Philipps University, Marburg（马尔堡菲利普斯大学）
本文研究了承诺MMSNP问题，证明其与有限域承诺CSP等价，并基于禁止单色团问题给出复杂性分类，依赖于Rich 2-to-1猜想。
2026-10-18 cs.CC
All or nothing: toward a promise problem dichotomy for constraint problems
有限约束语言$\mathscr{R}$是某个有限域$A$上的有限关系集。我们表明，在所有已知的情况下，约束满足问题$\operatorname{CSP}(\mathscr{R})$的棘手性可以被越来越不同的承诺条件的棘手承诺问题的无限层次所取代：其中实例保证要么根本没有解，要么是$k$ -鲁棒可满足的（对于任何固定的$k$），这意味着~ $k$变量上的每个“合理的”部分实例化都扩展到一个解决方案。例如，受假设$\texttt{P}\neq \texttt{NP}$，那么对于任何~ $k$，我们表明，没有多项式时间算法，可以区分非$3$ -colorphoto图，从那些任何合理的$3$ -着色的任何$k$的顶点可以扩展到一个完整的$3$ -着色。我们的主要结果表明，一个类似的声明举行所有已知的棘手的约束问题固定有限约束语言。
2017-04-30 cs.CC math.CO math.LO
Fixed-Template Promise Model Checking Problems
固定模板约束满足问题（CSP）可以看作是判定给定的本原正一阶句在固定结构（也称模型）中是否为真的问题。我们研究了一类问题，推广CSP同时在两个方向：我们固定一组$\mathcal{L}$的量词和布尔连接，我们指定两个版本的每个约束，一个强，一个弱。给定一个只使用$\mathcal{L}$中的符号的句子，任务是区分这个句子在强意义上是真的，还是在弱意义上是假的。我们将这些问题的计算复杂性分类为一阶逻辑的存在正不等式自由片段，即，$\mathcal{L} = \{\exists,\land,\lor\}$，我们证明了一些上界和下界的积极平等的自由片段，$\mathcal{L} = \{\exists,\forall,\land,\lor\}$。部分结果是足够的，例如，对于后一个片段的所有扩展。
2022-05-10 cs.CC math.LO
The complexity of promise SAT on non-Boolean domains
3-SAT是NP难问题，2-SAT在多项式时间内是可解的。Austrin、Guruswami和Håstad证明了一个被称为“$(2+\varepsilon)$ -SAT是NP难的”的结果[FOCS'14/SICOMP'17]。他们证明了区分g-可满足的k-CNF公式（即某些赋值在每个子句中至少满足g个文字）和甚至不是1-可满足的k-CNF公式的问题是NP-难的，如果$\frac{g}{k} < \frac{1}{2}$，否则在P中。我们研究了任意有限域上的SAT的推广，与条款是一元约束的析取，并建立类似的行为。因此，我们给出了一个二分法的一个自然片段的承诺约束满足问题（PCSP）的任意有限区域。硬度侧证明使用代数方法，通过一个新的通用NP-硬度标准的多态性的问题，基于一个缺口版本的分层标签覆盖问题。我们表明，以前使用的标准是不够的-因此，这个问题给出了一个有趣的基准代数技术证明硬度的近似问题，如PCSP。
2021-04-06 cs.CC cs.DM
Injective hardness condition for PCSPs
本研究提出一种不满足现有PCSP困难性条件的NP难问题模板，引入基于平滑分层PCP定理的单射困难性条件证明其NP难性，并基于该条件建立了线性阈值函数多态性模板定义的布尔PCSP的二分法。
2024-05-17 cs.CC
Combinatorial Gap Theorem and Reductions between Promise CSPs
CSP实例的值通常被定义为可以同时满足的约束的一部分。我们提出了另一种定义的一个实例的值，并表明，纯粹的组合的原因，一个不可解的实例的值是有界远离一个，我们称之为这一事实的间隙定理。我们发现，间隙定理意味着NP-硬度的间隙版本的分层标签覆盖问题。从PCP定理可以得到同样的结果，但是我们的简化的完整的、自包含的证明是相当短的，并且结果仍然可以为许多问题提供无PCP的NP-困难证明。我们的推理的简单性也表明，较弱版本的独特游戏类型的结构，例如，d到1猜想，可能是可访问的，并作为一个中间步骤，证明这些猜想在他们的全部力量。作为第二个主要应用，我们给出了一个充分条件，在此条件下，一个固定模板的承诺约束满足问题（PCSP）减少到另一个PCSP。归约的正确性取决于间隙定理，但归约本身非常简单。因此，我们得到每个CSP可以规范地减少到大多数已知的NP-困难的PCSP，如近似超图着色问题。
2021-07-20 cs.CC cs.LO
The Power of the Combined Basic LP and Affine Relaxation for Promise CSPs
在约束满足问题（CSP）领域，承诺CSP是一个令人兴奋的新的研究方向。在promise CSP中，每个约束都有两种形式：“严格”和“弱”，在相关的决策问题中，必须区分能够满足所有严格约束和不能满足所有弱约束。Promise CSP最常被引用的例子是近似图着色问题-最近已经看到了令人兴奋的进展[BKO 19，WZ 20]，受益于基于“多态性”的Promise CSP的系统代数方法，该操作将每个约束的严格形式的元组映射到相应弱形式的元组。在这项工作中，我们提出了一个简单的算法，在多项式时间解决了所有承诺CSP，承认无限多的对称多态性，这是在任意坐标排列不变的决策问题。这概括了前两位作者的工作[BG 19]。我们还将该算法扩展到更一般的块对称多态性类。作为一个推论，这个单一的算法解决所有多项式时间听话的布尔CSP同时。这些结果提供了一个新的视角Schaefer的经典二分法定理，并进一步阐明对称性的多态性如何使算法。最后，我们表明，块对称多态性不仅是充分的，而且是必要的，这种算法的工作，从而建立其精确的权力
2020-09-18 cs.CC cs.DS cs.LO
An Algorithmic Blend of LPs and Ring Equations for Promise CSPs
承诺CSP是一个放松的约束满足问题，其目标是找到一个分配满足放松版本的约束。几个著名的问题可以转换为承诺CSP，包括近似图着色，差异最小化，和有趣的可满足性的变体。与CSP类似，Promise CSP的易处理性可以与解空间上的操作结构（称为多态性）联系在一起，尽管在Promise世界中这些操作的约束要少得多。在非平凡多态性支配易处理性的论点下，承诺CSP因此为发现新算法提供了肥沃的土壤。在以前的工作中，我们分类布尔承诺CSP时，约束谓词是对称的。在这项工作中，我们大大推广这些算法的结果。具体来说，我们表明，承诺CSP承认家庭的“区域周期性”的多态性是在P，假设确定哪个区域的一个点是在多项式时间计算。这种多态性是相当普遍的，并且通过将在输入的不同块中的汉明权重中具有周期性的几个函数粘合在一起来获得。我们的算法是基于一种新的组合的线性规划和解决线性系统的环。我们还抽象了一个框架的基础上减少承诺CSP的CSP在一个无限的域，解决它，然后四舍五入的解决方案的承诺CSP实例的分配。舍入步骤与多态性家族密切相关，并澄清了多态性与算法之间的联系。作为一个关键的成分，我们介绍的技术，找到一个解决方案的线性规划与整数系数，位于不同的环（如$\mathbb Z[\sqrt{2}]$），以绕过临时调整躺在一个舍入边界。
2018-07-13 cs.CC cs.DS cs.LO
Conditional Dichotomy of Boolean Ordered Promise CSPs
本文研究布尔有序 Promise CSP，假设 Rich 2-to-1 猜想成立，证明了计算二分性：若多态性各坐标 Shapley 值可任意小则多项式可解，否则 NP 难。
2023-01-23 cs.CC cs.LO
On Boolean PCSPs with Polynomial Threshold Polymorphisms
该研究聚焦布尔PCSPs，针对多态性为有界次数PTFs的问题类，分别在非负系数条件下建立复杂度二分性，在Rich 2-to-1猜想下证明具显著影响坐标PTFs的硬度，还证明了随机2对1次要映射的相关性质。
2025-09-30 cs.CC
Hardness of 4-Colourings G-Colourable Graphs
本文在G和H均为4-可着色图的条件下，证实了Brakensiek和Guruswami关于承诺图同态问题NP难度的猜想，统一推广了此前两项结果，方法上结合了代数、拓扑组合学与等变阻碍理论。
2025-04-10 cs.CC math.AT math.CO
Toward a Uniform Algorithm and Uniform Reduction for Constraint Problems
本文提出统一框架，通过多valued minion描述约束问题的求解能力，引入新的SDP-like向量放松方法，证明其等价于AIP-Z_p放松的第k级，并解决二面体群D4的CSP问题。
2026-04-07 cs.CC cs.DS cs.LO
Small Promise CSPs that reduce to large CSPs
该研究探讨了 Promise 约束满足问题（PCSP）归约为 CSP 时，中间结构 C 可能任意大，即使归约到有限结构；并证明对于图，若 PCSP 可归约为可解 CSP，则原图本身可解，扩展了 Deng 等人的结果。
2022-08-19 cs.CC cs.LO math.RA
A Dichotomy for Maximum PCSPs on Graphs
University of Marburg（马尔堡大学）；University of Oxford（牛津大学）
研究图上最大PCSPs问题的二元性，证明在唯一游戏猜想下，只有当G为二分图且H包含三角形时问题可解。
2026-08-10 cs.CC cs.DM cs.DS
