Topology and adjunction in promise constraint satisfaction
近似图着色问题，其复杂性在大多数情况下是未解决的，涉及到找到一个$c$ -着色的图，这是承诺是$k$ -college，其中$c\geq k$。这个问题自然地推广到承诺图同态问题，并进一步承诺约束满足问题。这些问题的复杂性最近已经通过代数方法进行了研究。本文介绍了两种分析Promise CSP复杂性的新方法：一种是基于拓扑的方法，另一种是基于邻接的方法。我们应用这些技术，再加上以前介绍的代数方法，获得新的无条件NP-硬度结果的一个显着的类近似图着色和承诺图同态问题。
2022-09-29 cs.CC cs.DM cs.LO
Complexity of approximate conflict-free, linearly-ordered, and nonmonochromatic hypergraph colourings
University of Marburg（马尔堡大学）；University of Oxford（牛津大学）；University of Warsaw（华沙大学）
本文基于代数方法研究了三种超图着色变种的复杂性，证明了非单色、冲突自由和线性有序着色问题在特定条件下均为NP难，改进了现有研究成果。
2026-04-30 cs.CC cs.DM math.CO
Partitioning H-Free Graphs of Bounded Diameter
增加我们对NP完全图问题的理解的一个自然方法是将输入限制为一个特殊的图类。$H$ -free图，即不包含某些图$H$作为导出子图的图，已被证明是这种复杂性研究的理想测试平台。然而，如果禁止图$H$包含圈或爪，则这些问题通常保持NP完全。最近对$k$ -着色问题的复杂性研究表明，如果我们也限制$H$ -free输入图的直径，我们仍然可以获得易于处理的结果。我们继续这条线的研究发起的复杂性研究的影响，限制在$H$自由图的各种经典的顶点划分问题的直径的边界。我们证明了边界的直径并没有帮助的独立集，但导致新的易处理的情况下密切相关的问题3-着色。也就是说，我们表明，近二分性，独立反馈顶点集，独立奇圈translation，无圈3-着色和星3-着色都是多项式时间可解的有界直径的无椅图。为了得到这些结果，我们利用了一个新的结构性质的3-colorchair-free图。
2022-04-18 cs.CC cs.DM cs.DS
On the Parameterized Complexity of $k$-Edge Colouring
对于每个固定整数$k \geq 1$，我们证明了$k$ -边着色是固定参数-易处理的参数时，最大程度的顶点数。
2019-02-21 cs.CC cs.DM cs.DS
A Survey on the Computational Complexity of Colouring Graphs with Forbidden Subgraphs
对于正整数$k$，图$G=(V,E)$的$k$ -着色是一个映射$c: V\rightarrow\{1,2,...,k\}$，使得$c(u)\neq c(v)$，无论何时$uv\in E$ .着色问题是决定对于给定的$G$和$k$，是否存在$G$的$k$着色。如果$k$是固定的（也就是说，它不是输入的一部分），我们就有决策问题$k$ -着色。我们调查已知的结果的计算复杂性的着色和$k$ -着色的图形类，其特征在于由一个或两个禁止诱导子图。我们还考虑了一些变体：例如，问题是延长部分着色，或允许的颜色列表中给出每个顶点。
2016-02-15 cs.CC cs.DM math.CO
Algebraic approach to promise constraint satisfaction
约束满足问题（CSP）的复杂性和可逼近性在过去的20年中得到了广泛的研究。一个新版本的CSP，承诺CSP（PCSP）最近被提出，动机的可满足性和图形着色的变体的近似性的开放问题。PCSP大大扩展了标准决策CSP。有限域上的固定约束语言的CSP的复杂性最近被完全分类，极大地指导了代数方法，它使用多态性-高维对称性的解决方案空间-分析问题的复杂性。PCSP的相应分类是广泛开放的，包括一些长期存在的开放问题，如近似图着色的复杂性，作为特例。PCSP的基本代数方法是由Brakensiek和Guruswami发起的，在本文中，我们显着扩展它，并将其从多态性的具体属性提升到其抽象属性。我们引入了一类新的问题，可以被视为代数版本的（间隙）标签覆盖问题，并表明，每一个PCSP与固定的约束语言是等价的，这种形式的问题。这使我们能够确定一个“对称性的措施”，这是非常适合于比较和相关的复杂性，不同的PCSP通过代数方法。我们证明了我们的理论可以应用于改善国家的最先进的近似图着色：我们表明，对于任何$k\geq 3$，这是NP-很难找到一个$(2k-1)$ -着色的一个给定的$k$ -coloured图。
2019-06-21 cs.CC cs.LO math.LO
Narrowing the Complexity Gap for Colouring ($C_s$,$P_t$)-Free Graphs
对于正整数$k$和图$G=(V,E)$，$G$的$k$ -着色是一个映射$c: V\rightarrow\{1,2,\ldots,k\}$，使得无论何时$uv\in E$都是$c(u)\neq c(v)$. $k$ -着色问题是对于给定的$G$，决定是否存在$G$的$k$ -着色。$k$ -预着色扩展问题是针对给定的$G=(V,E)$，决定$V$的子集的着色是否可以扩展为$G$的$k$ -着色。图的$k$ -列表分配是将列表-$\{1,\ldots,k\}$的子集-分配给每个顶点，并且列表$k$ -着色问题是决定对于给定的$G$，$G$是否具有$k$ -着色，其中每个顶点用其列表中的颜色着色。我们继续研究这三个决策问题的计算复杂性时，限制到图，既不包含一个循环的$s$顶点，也不包含一个路径的$t$顶点作为诱导子图（固定的正整数$s$和~ $t$）。
2014-07-06 cs.CC cs.DM math.CO
The Complexity of the Empire Colouring Problem
我们调查的帝国着色问题（定义珀西希伍德在1890年）的地图包含帝国形成的确切$r > 1$国家的计算复杂性。我们证明了这个问题可以在多项式时间内解决，使用$s$颜色的地图，其基础邻接图没有诱导子图的平均度大于$s/r$。然而，如果是$s \geq 3$，即使图是任意长度的路径森林（对于任何$r \geq 2$，只要$s < 2r - \sqrt(2r + 1/4+ 3/2)$。此外，我们得到了一个完整的表征的情况下，当输入图是一棵树，而我们的结果为任意平面图的问题的复杂性下降只是短的一个类似的二分法。具体来说，我们证明了帝国着色问题是NP难的树，任何$r \geq 2$，如果$3 \leq s \leq 2r-1$（多项式时间可解，否则）。对于任意平面图，证明了若$s<7$对$r=2$，$s < 6r-3$对$r \geq 3$，则为NP-困难图.平面图的结果也证明了厚度为2的小于7色图和厚度为$r \geq 3$的小于$6r-3$色图着色的NP-困难性。
2011-09-09 cs.CC
Filling the Complexity Gaps for Colouring Planar and Bounded Degree Graphs
图$G=(V,E)$的着色是函数$c: V\rightarrow\{1,2,\ldots \}$，使得对于每个$uv\in E$，$c(u)\neq c(v)$。$k$-$G$的常规列表分配是具有域$V$的函数$L$，使得对于每个$u\in V$，$L(u)$是大小为$k$的$\{1, 2, \dots\}$的子集。如果对于每个$u\in V$都有$c(u)\in L(u)$，则$G$的着色$c$遵守$G$的$k$ -常规列表分配$L$。一个图$G$是$k$ -可选的，如果对于$G$的每个$k$ -正则列表分配$L$，存在一个尊重$L$的$G$着色。我们也可以问，对于给定的图$G$的给定的$k$ -正则列表分配$L$，是否存在尊重$L$的$G$的着色。这产生了$k$ -常规列表着色问题。对于$k\in \{3,4\}$，我们确定一个家庭的类${\cal G}$的平面图，这样，无论是$k$ -定期列表着色是NP-完全的实例$(G,L)$与$G\in {\cal G}$，或每一个$G\in {\cal G}$是$k$ -choosable。通过使用已知的非$3$ -可选和非$4$ -可选图的例子，这使得我们能够将$k$ -正则列表着色的复杂性限制到平面图、平面二部图、平面无三角形图以及没有$4$ -圈和没有$5$ -圈的平面图。我们还分类的复杂性$k$ -定期列表着色和一些相关的着色问…
2019-02-07 cs.CC cs.DM cs.DS
All or nothing: toward a promise problem dichotomy for constraint problems
有限约束语言$\mathscr{R}$是某个有限域$A$上的有限关系集。我们表明，在所有已知的情况下，约束满足问题$\operatorname{CSP}(\mathscr{R})$的棘手性可以被越来越不同的承诺条件的棘手承诺问题的无限层次所取代：其中实例保证要么根本没有解，要么是$k$ -鲁棒可满足的（对于任何固定的$k$），这意味着~ $k$变量上的每个“合理的”部分实例化都扩展到一个解决方案。例如，受假设$\texttt{P}\neq \texttt{NP}$，那么对于任何~ $k$，我们表明，没有多项式时间算法，可以区分非$3$ -colorphoto图，从那些任何合理的$3$ -着色的任何$k$的顶点可以扩展到一个完整的$3$ -着色。我们的主要结果表明，一个类似的声明举行所有已知的棘手的约束问题固定有限约束语言。
2017-04-30 cs.CC math.CO math.LO
The complexity of entangled graph colouring via polymorphisms
本文通过将多态性归约推广至纠缠CSP，证明了超过三种颜色的纠缠图染色问题的不可判定性。
2026-10-05 cs.CC quant-ph
A complexity trichotomy for approximately counting list H-colourings
本文研究了图的H-着色列表的近似计数的计算复杂性。我们发现了一个基于图H的结构的自然的图论可割性。如果H是非自反二部图或自反完全图，则列表H-着色的计数是在多项式时间内平凡的.另外，若H是非自反二部置换图或自反真区间图，则列表H-着色的近似计数等价于二部图中独立集的近似计数问题#BIS。这是一个研究得很好的问题，被认为是中等复杂性-据信，它没有一个FPRAS，但它并不像近似最困难的计数问题在#P.对于每一个其他图H，近似计数列表H-着色是完整的#P关于近似保持减少（所以没有FPRAS，除非NP=RP）。该图的两个令人满意的特征是：（i）它在遗传图类方面有一个自然的公式，（ii）证明在很大程度上是自包含的，不需要任何泛代数（不像加权情况下的类似二分法）。我们能够将硬度结果扩展到有界度设置，表明所有硬度结果都适用于最大度至多为6的输入图。
2017-01-05 cs.CC math.CO
Surjective H-Colouring over Reflexive Digraphs
满射H-染色问题是检验给定图是否允许顶点满射同态到固定图H。这个问题的复杂性已经在无向（部分）自反图中得到了很好的研究。我们引入endo-triviality，属性的结构，它的所有自同态，不具有范围的大小为1的自同构，作为一种手段，以获得复杂性理论分类满射H-染色的情况下，自反有向图。Chen [2014]证明了，在约束满足问题的设置中，满射H-着色是NP-完全的，如果H具有所有多态性本质上是一元的性质。我们给出了他的结果的第一个具体应用，证明了每一个endo-trivial自反有向图H都有这个性质。然后，我们使用的概念endo-triviality证明，作为我们的主要结果，一个二分法满射H-染色时，H是一个自反锦标赛：如果H是传递的，那么满射H-染色是在NL，否则它是NP-完全的。通过结合这个结果与一些已知的和新的结果，我们得到了满射H-染色的复杂性分类时，H是一个部分自反有向图的大小最多为3。
2017-12-28 cs.CC math.CO
Hierarchical complexity of 2-clique-colouring weakly chordal graphs and perfect graphs having cliques of size at least 3
一个图的团是一个最大的顶点集的大小至少为2，导致一个完全图。一个图的$k$ -团着色是顶点至多用$k$颜色着色，使得没有团是单色的。Défossez证明了完美图的2-色是一个$Σ_2^P$ -完全问题[J. Graph Theory 62（2009）139--156].我们加强了这一结果，它仍然是$Σ_2^P$ -完全弱弦图。然后，我们确定一个层次结构的嵌套子类的弱弦图，其中每个图形类是在一个不同的复杂性类，即$Σ_2^P$ -完全，$\mathcal{NP}$ -完全，和$\mathcal{P}$。我们解决了Kratochvíl和Tuza提出的一个公开问题，以确定所有团的大小至少为3的完美图的2-团着色的复杂性[J. Algorithms 45（2002），40- 54]，证明这是一个$Σ_2^P$ -完全问题。然后，我们确定了一个层次结构的完美图的嵌套子类与所有集团的大小至少为3，其中每个图形类是在一个不同的复杂性类，即$Σ_2^P$ -完全，$\mathcal{NP}$ -完全，和$\mathcal{P}$。
2013-12-11 cs.CC cs.DM math.CO
Classifying k-Edge Colouring for H-free Graphs
一个图是$H$ -free的，如果它不包含同构于$H$的导出子图。对于任意整数$k$和任意图$H$，我们确定了无$H$图的$k$ -边着色的计算复杂性.
2018-10-10 cs.CC cs.DM cs.DS
Hereditary Graph Classes: When the Complexities of Colouring and Clique Cover Coincide
如果一个图不包含同构于$H_1$或$H_2$的导出子图，则对于一对图$H_1,H_2$，该图是$(H_1,H_2)$ -free的.在2001年，Král '，Kratochv' ıl，Tuza和Woeginger开始了一项关于无$(H_1,H_2)$图着色复杂性的研究。从那时起，其他人试图完成他们的研究，但许多案件仍然悬而未决。我们主要研究$H_2$是$H_1$的补$\overline{H_1}$的无$(H_1,H_2)$图.由于这些类在互补下是封闭的，因此着色和团覆盖的计算复杂性一致。通过结合新的和已知的结果，我们能够分类的复杂性着色和团覆盖的$(H,\overline{H})$ -自由图的所有情况下，除了当$H=sP_1+ P_3$的$s\geq 3$或$H=sP_1+P_4$的$s\geq 2$。我们还分类的复杂性着色的图形类，其特征在于禁止有限数量的自互补诱导子图，我们发起了一项研究的$k$ -着色的$(P_r,\overline{P_r})$ -自由图。
2017-06-07 cs.CC cs.DM cs.DS
Acyclic, Star, and Injective Colouring: Bounding the Diameter
我们研究的影响，边界的直径，以及研究变种的着色问题。一个着色是非循环的，星，或内射，如果任何两个颜色类导致森林，星森林或不相交的顶点和边，分别工会。相应的决策问题有无圈着色、星着色和内射着色。最后一个问题也被称为$L(1,1)$ -标签，我们也考虑了$L(a,b)$ -标签的框架。我们证明了一些（几乎）完整的复杂性分类。特别是，我们表明，对于图的直径最$d$，无环$3$ -着色是多项式时间可解的，如果$d\leq 2$，但NP-完全，如果$d\geq 4$，和明星$3$ -着色是多项式时间可解的，如果$d\leq 3$，但NP-完全的$d\geq 8$。据我们所知，星$3$ -着色是第一个问题，表现出复杂性跳跃的一些$d\geq 3$。我们的第三个主要结果是，$L(1,2)$ -标签是NP-完全的图直径$2$，我们涉及后一个问题的一个特殊情况下的哈密顿路径。
2021-09-08 cs.CC cs.DM cs.DS
A unified algorithm for colouring graphs of bounded clique-width
图的宽度是图的复杂性度量之一，导致多项式特殊情况下的算法，通常是NP完全问题，例如图的可着色性。最好的两个目前已知的算法，用于验证的c-colourability的表示为candle宽度项的图优化对两个不同的极端情况下，一个恒定的颜色和一个非常大的颜色数量。我们提出了一种方法来统一这些方法在一个单一的相对简单的算法，实现了最先进的复杂性，在这两种情况下。统一算法还提供了大量颜色的加速。
2021-08-11 cs.CC cs.DS
Colouring Graphs Without a Subdivided H-Graph: A Full Complexity Classification
Durham University（杜伦大学）；KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷语鲁汶大学库尔克-科特赖克校区）；ENS Lyon（里昂高等师范学院）
本文研究了无细分H图的着色问题，通过开发新的分解定理和多项式时间算法，实现了对H₀和H₁两类图的完全复杂性分类，并扩展至稳定切割和反馈顶点集问题。
2026-02-20 cs.CC cs.DM cs.DS
On Colouring $(2P_2,H)$-Free and $(P_5,H)$-Free Graphs
着色问题的问题是，对于给定的整数$k$，图的顶点是否可以用至多$k$颜色着色，使得没有两个相邻的顶点接收相同的颜色。一个图是$(H_1,H_2)$ -free的，如果它没有同构于$H_1$或$H_2$的导出子图.如果已知$(H_1,H_2)$ -free图上的着色对于除有限个连通图$H_2$之外的所有图都是多项式时间可解或NP完全的，则连通图$H_1$几乎被分类。证明了除爪图$K_{1,3}$和$5$ -顶点路$P_5$外的所有连通图$H_1$几乎都是可分类的.我们还证明了一些新的硬度结果着色$(2P_2,H)$ -免费的图形。这使我们能够列出所有图$H$，其着色的复杂性在$(2P_2,H)$ -free图上是开放的，以及所有图$H$，其着色的复杂性在$(P_5,H)$ -free图上是开放的。事实上，我们证明这两个列表是一致的。此外，我们证明了$(2P_2,H)$ -free图和$(P_5,H)$ -free图的着色的复杂性对于所有已知的情况是相同的。
2017-12-06 cs.CC cs.DS math.CO
Role colouring graphs in hereditary classes
研究了遗传类图的角色着色的计算复杂性。我们感兴趣的是描述家庭的遗传类上的角色着色与k颜色可以计算在多项式时间。特别地，我们希望描述“难”和“易”类之间的边界。边界类的概念是阿列克谢耶夫为了研究这种边界而引入的。我们的主要结果是一个边界类的k-角色着色问题和相关的k-优惠券着色问题，最近得到了很多关注的文献。后一个结果使用的技术，用于生成任意围长的规则图，这可能是独立的利益。
2018-02-27 cs.CC math.CO
Finding Shortest Paths between Graph Colourings
$k$ -着色重构问题询问，对于给定的图$G$，$G$的两个正确的$k$ -着色$α$和$β$，以及正整数$\ell$，是否存在一个至多$\ell+1$的正确的$k$ -着色$G$的序列，该序列以$α$开始并以$β$结束，并且序列中的连续着色在$G$的恰好一个顶点上不同.我们给出了一个完整的图片的参数化的复杂性的$k$着色重新配置问题为每个固定的$k$时，参数化的$\ell$。首先，我们表明，$k$着色重新配置问题是多项式时间可解的$k=3$，解决Cereceda，范登Heuvel和约翰逊的一个开放的问题。然后，对于所有的$k \geq 4$，我们表明，$k$着色重新配置问题，当参数化的$\ell$，是固定参数易处理的（解决问题的Mouawad，西村，拉曼，Simjour和铃木），但它没有多项式内核，除非多项式层次崩溃。
2014-10-29 cs.CC cs.DS
Undefinability of Approximation of 2-to-2 Games
University of Cambridge（剑桥大学）
本文证明了2到2游戏近似性的FPC不可定义性，并展示了其对其他NP难性问题的普遍影响。
2026-09-22 cs.CC cs.LO
Coloring a Dominating Set Without Conflicts: q-Subset Square Coloring
图$G$的\emph{Square Colouring}是指图的顶点的着色，使得距离至多为2的任何两个不同的顶点接收不同的颜色。在本文中，我们开始研究一个相关的着色问题称为图的\emph{subset square colouring}。广义地说，图的子集平方着色研究图的支配集的平方着色，使用$q$颜色。这里，目标是优化使用的颜色数量。这也推广了研究得很好的有效支配集问题。我们证明了q-子集平方着色问题是NP-困难的所有值的$q$，甚至在二部图和弦图。我们进一步研究了这个问题的参数化的复杂性时，参数化的一些结构参数。我们进一步展示了一些图类的子集平方颜色所需的颜色的数量上的界限。
2023-03-13 cs.CC
Hardness Transitions of Star Colouring and Restricted Star Colouring
本文研究星着色及其受限变体随最大度变化的计算复杂度，确定了使两类着色问题在正则图上保持NP-完全性的最大度临界阈值。
2023-09-20 cs.CC math.CO
Approximately Counting H-Colourings is #BIS-Hard
考虑从一个输入图G到一个目标图H的H-染色的计数问题。我们表明，如果H是任何固定的图没有平凡的组件，那么这个问题是困难的著名的问题#BIS，这是（近似）计数独立集的问题在一个二分图。#BIS是近似计数的重要复杂性类中的完整问题，并且被认为没有FPRAS。如果是这样的话，那么我们的结果表明，对于每个图H没有平凡的组件，H-着色计数问题没有FPRAS。10年前，Goldberg、Kelk和Paterson研究了这个问题。他们能够证明近似采样H着色是#BIS困难的，但不知道如何获得近似计数的结果。我们的解决方案建立在使用Lovasz工作的非建设性想法之上。
2015-12-23 cs.CC cs.DM
Space complexity of list H-colouring: a dichotomy
约束满足问题（CSP）的二分法猜想指出每个CSP都在P中或者是NP完全的（Feder-Vardi，1993）。它已被证明为保守问题（也称为列表同态问题）由A。Bulatov（2003年）。我们通过证明对于有向图模板H，每个保守的CSP，记为LHOM（H），在对数空间中是可解的或者对于NL是困难的来增强这个结果。更确切地说，我们引入了一个有向图结构，我们称之为循环N，并证明了以下二分法：如果H不包含循环N，那么LHOM（H）允许一个对数空间算法，否则LHOM（H）对于NL是困难的。我们的算法通过基于辅助有向图的新分解以复杂的方式减少列表，结合Reingold算法的无向可达性（2005）的重复应用。我们还证明了这个二分法的代数版本：没有循环N的有向图正是那些承认有限链的多态性满足Hagemann-Mitschke身份。这证实了Larose和Tesson（2007）对LHOM（H）的一个猜想。此外，我们证明了循环N的存在性可以在H的大小的时间多项式中确定。
2013-08-01 cs.CC cs.DM math.CO
Surjective H-Colouring: New Hardness Results
从图G到图H的同态是从图G的顶点集到图H的顶点集的顶点映射f，使得只要G的顶点u和顶点v之间存在边，则H的顶点f（u）和f（v）之间就存在边。H-着色问题是判定一个图G是否允许与一个固定图H同态。我们继续研究这个问题的一个变种，即满射H-着色问题，它规定的同态是顶点满射。我们建立在以前的结果，并表明，这个问题是NP-完全的每一个连通图H，正好有两个顶点的自循环，只要这两个顶点不相邻。结果表明，对于任意的至多四个顶点的图H，满射H-染色的计算复杂性是可以分类的。
2017-03-26 cs.CC math.CO
Colouring $(P_r+P_s)$-Free Graphs
Charles University, Prague, Czech Republic（布拉格查理大学）；Czech Technical University in Prague, Czech Republic（捷克布拉格理工大学）；Durham University, Durham, UK（达勒姆大学）；University of Warsaw, Warsaw, Poland（华沙大学）
本文研究了 $(P_r+P_s)$-free 图的 $3$-着色和列表 $3$-着色问题，证明了在特定图类中这些问题的多项式时间可解性，并给出了复杂性分类。
2021-03-17 cs.CC cs.DS
Colouring Graphs of Bounded Diameter in the Absence of Small Cycles
对于$k\geq 1$，$G$的$k$着色$c$是从$V(G)$到$\{1,2,\ldots,k\}$的映射，使得对于任何两个非相邻顶点的$c(u)\neq c(v)$为$u$和$v$ . $k$ -着色问题是判定图$G$是否具有$k$ -着色。对于图族${\cal H}$，如果$G$不包含任何来自${\cal H}$的图作为导出子图，则图$G$是${\cal H}$ -free的.令$C_s$为$s$ -顶点循环。在以前的工作（MFCS 2019）中，我们研究了直径对$(C_3,\ldots,C_s)$ -free图和$H$ -free图的$3$ -着色复杂性的影响，其中$H$是一些polyad。在这里，我们证明了$s$的某些小的值，$3$ -着色是多项式时间可解的$C_s$ -自由图的直径$2$和$(C_4,C_s)$ -自由图的直径$2$。事实上，我们的结果适用于更一般的问题列表$3$ -着色。我们补充这些结果与直径$4$的一些硬度结果。
2021-01-19 cs.CC cs.DM cs.DS
Graph Homomorphism Reconfiguration and Frozen $H$-Colourings
对于一个固定的图$H$，$H$ -着色（即与$H$的同态）的重构问题是：给定一个图$G$和$G$的两个$H$ -着色$φ$和$ψ$，是否存在一个$H$ -着色的序列$f_0,\dots,f_m$，使得对于每个$0\leq i<m$和$uv\in E(G)$，$f_0=φ$，$f_m=ψ$和$f_i(u)f_{i+1}(v)\in E(H)$？如果图$G$是无环的，那么这等价于询问是否可以通过每次改变一个顶点的颜色将$φ$转换为$ψ$，使得所有中间映射都是$H$ -着色。在肯定的情况下，我们说$φ$重新配置为$ψ$。目前，仅当$H$是团、圆形团、无$C_4$图或在容易从这些图导出的少数其他情况下，才知道决定$H$着色$φ$是否重新配置为$H$着色$ψ$的复杂性.当$H$是奇轮时，证明了该问题是PSPACE完全的.在研究$H$ -着色的重构问题时，一个重要的概念是冻结的$H$ -着色，即一个$H$ -着色的$φ$，使得$φ$不重构为任何$H$ -着色的$ψ$，使得$ψ\neq φ$ .对于给定的图$G$是否允许冻结$H$ -着色的问题，我们得到了一个显式的二分法.硬度证明涉及减少CSP问题，这是NP完全的，通过建立不存在某种类型的多态性。
2017-12-01 cs.CC cs.DM math.CO
Colouring Square-Free Graphs without Long Induced Paths
对于无$H$的图，{ \sc着色}的复杂性是完全理解的，但是如果两个导出子图$H_1$和$H_2$是禁止的，则仍然存在主要的复杂性差距.设$H_1$为$s$ -顶点循环$C_s$，$H_2$为$t$ -顶点路径$P_t$ .我们证明了{ \sc着色}对于$s=4$和$t\leq 6$是多项式时间可解的，加强了几个已知的结果。我们的主要方法是发起一个遗传图类的原子（图没有团割集）的团宽度的有界性的研究。我们首先证明了无$H$图和无$H$原子的圈宽有界性的分类是一致的。然后，我们表明，这是不是这样的情况下，如果两个图是禁止的：我们证明了$(C_4,P_6)$ -自由原子的最大宽度约18。我们的关键证明成分是一个分而治之的方法来界定的一个子类的$C_4$ -免费的图形和建设的一个新的界限上的candel-width（一般）图的candel-width递归定义的子图诱导的齐次对和三元组的集合。作为补充，我们证明了{ \sc Colouring}对于$s=4$和$t\geq 9$是\NP -完全的，这是关于无$(C_4,P_t)$图的{ \sc Colouring}的第一个硬度结果.结合我们的新的结果与已知的结果导致几乎完全二分法的\cn限制到$(C_s,P_t)$ -免费的图形。
2018-05-21 cs.CC cs.DM cs.DS
Optimal b-Colourings and Fall Colourings in $H$-Free Graphs
Inha University（仁荷大学）；Durham University（杜伦大学）；ENS Lyon（里昂高等师范学校）；University of Glasgow（格拉斯哥大学）
研究H-free图中四种着色问题的计算复杂性，揭示b着色数、崩溃着色数和崩溃无色数的复杂性分类，并发现H存在使得b着色数为NP难而紧b着色数为多项式时间可解。
2026-03-27 cs.CC cs.DM cs.DS
Tight Lower and Upper Bounds for the Complexity of Canonical Colour Refinement
如果图的任意两个相同颜色的顶点具有相同颜色的邻域，则图的顶点的颜色分配是稳定的。颜色细化的目标是找到一个稳定的着色，使用最少的颜色。这是一个广泛使用的图同构测试算法的子例程，因为任何自同构都需要保持颜色。我们给出了一个$O((m+n)\log n)$算法，找到这样一个稳定的着色的规范版本，在图与$n$顶点和$m$边。我们表明，没有更快的算法是可能的，在一些适度的假设下，算法的类型，它捕获所有已知的颜色细化算法。
2015-09-28 cs.CC cs.DS
The complexity of the list homomorphism problem for graphs
我们完全分类的计算复杂性的列表H-着色问题的图（与可能的循环）在组合和代数方面：对于每个图H的问题是NP-完全，NL-完全，L-完全或一阶可定义的描述性复杂性等价物，以及通过数据库及其片段。我们的代数特征匹配约束满足问题研究中的重要特征。
2010-02-03 cs.CC
A dichotomy theorem for $Γ$-switchable $H$-colouring on $m$-edge coloured graphs
研究 $m$-边着色图上通过切换操作实现到固定图 $H$ 的颜色保持同态的存在性，并在 $\Gamma$ 传递时给出二分定理。
2025-01-22 cs.CC math.CO
LCL problems on grids
LCL或局部可检查标记问题（例如最大独立集，最大匹配和顶点着色）在计算的循环（环形1维网格）中得到了很好的理解：每个问题都有$O(1)$，$Θ(\log^* n)$或$Θ(n)$的复杂性，并且最优算法的设计可以完全自动化。本文发展了二维环形网格LCL问题的复杂性理论。复杂度类与一维情况相同：$O(1)$、$Θ(\log^* n)$和$Θ(n)$。然而，给定一个LCL问题，它的复杂性是$Θ(\log^* n)$或$Θ(n)$在二维网格是不可判定的。然而，如果我们正确地猜测问题的复杂性是$Θ(\log^* n)$，我们就可以完全自动化地设计最优算法。对于任何问题，我们可以找到一个算法，是一个范式$A' \circ S_k$，其中$A'$是一个有限的功能，$S_k$是一个算法，以寻找一个最大的独立集的$k$ th权力的网格，和$k$是一个常数。最后，部分自动化设计工具的帮助下，我们分类的复杂性，几个具体的拼箱问题有关的着色和方向。
2017-05-24 cs.CC cs.DC cs.DS
Rainbow Colouring of Split Graphs
边着色图中的彩虹路径是没有两条边着色相同的路径。连通图G的彩虹着色是指G的边的着色，使得G中的每对顶点至少有一条彩虹路相连，使G彩虹着色所需的最少颜色数称为G的彩虹连接数。在他们之间，Chakraborty等人[J. Comb. Optim.，2011]和Ananth等人[FSTTCS，2012]已经证明，对于每个整数k，k \geq 2，决定给定图是否可以使用k种颜色被彩虹着色是NP-完全的。分裂图是指其顶点集可以划分为团和独立集的图。Alfred ran和Rajendraprasad已经证明，决定给定分裂图G是否可以使用3种颜色进行彩虹着色的问题是NP完全的，并且进一步描述了一个线性时间算法来使用最多一种颜色对任何分裂图进行彩虹着色[COCOON，2012]。在这篇文章中，我们解决了分裂图问题的计算复杂性，从而发现了一个有趣的二分法。具体来说，我们表明，问题的决定是否一个给定的分裂图可以彩虹色使用k种颜色是NP-完全的k \in {2，3}，但可以解决在多项式时间的所有其他值的k。
2014-04-17 cs.CC cs.DM math.CO
Approximating 1-in-3 SAT by linearly ordered hypergraph 3-colouring is NP-hard
针对民间猜想中阻碍进展的线性有序3一致超图3着色对应谓词，证明其问题为NP难，为Promise CSP分类提供依据，且该问题是首个同时体现两种拓扑组合学使用特征的例子。
2025-08-20 cs.CC
Towards infinite PCSP: a dichotomy for monochromatic cliques
Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Charles University（查理大学）；Philipps University, Marburg（马尔堡菲利普斯大学）
本文研究了承诺MMSNP问题，证明其与有限域承诺CSP等价，并基于禁止单色团问题给出复杂性分类，依赖于Rich 2-to-1猜想。
2026-10-18 cs.CC
Complexity of Correspondence Homomorphisms
对应同态既是标准同态的推广，也是对应染色的推广。对于固定的目标图$H$，问题是决定输入图$G$（其中每个边由$V(H)$的一对置换标记）是否允许与标签“对应”的$H$的同态，在下面解释的意义上。我们将这个问题的复杂性归类为固定图$H$的函数。事实证明，存在二分法-每个问题都是多项式时间可解的或NP完全的。虽然大多数图$H$产生NP完全问题，但也有一些有趣的情况，图$H$的问题可以通过高斯消去法解决。我们还分类的复杂性类似的对应{ \em列表同态}的问题，也是一个{ \em二分版本}的两个问题的复杂性。我们强调当$H$是自反的情况下的证明，但是，为了记录在案，我们在附录中包括了其余证明的粗略草图。
2018-03-28 cs.CC cs.DM math.CO
A complexity dichotomy for partition functions with mixed signs
配分函数，也称为同态函数，形成了一个丰富的图形不变量家族，其中包含组合不变量，例如k-着色的数量或图形的独立集的数量，以及统计物理学的某些“自旋玻璃”模型（如伊辛模型）的配分函数。基于Dyer，Greenhill和Bulatov，Grohe的早期工作，我们完全分类了配分函数的计算复杂性。我们的主要结果是一个二分法定理，说明每个配分函数是在多项式时间或#P-完全可计算的。用实元素对称矩阵描述了配分函数，并证明了在多项式时间内，给定的配分函数是在多项式时间内还是#P-完全的，都可以用矩阵来判定.虽然在一般情况下，这是非常复杂的，以明确的代数或组合描述的听话的情况下，分区功能所描述的阿达玛矩阵-这些原来是中央在我们的证明-我们得到一个简单的代数听话的标准，这说，听话的情况下是那些“代表”的二次多项式在外地GF（2）。
2009-05-05 cs.CC cs.DM
Reconfiguring Graph Homomorphisms on the Sphere
本文研究球面及射影平面图的 $H$-着色重构复杂性，证明无 $K_{2,3}$ 四边形剖分和自反无 $K_4$ 三角剖分在非平凡情形下均导致 PSPACE 完全。
2019-11-20 cs.CC cs.DM math.CO
