Digraphs Homomorphism Problems with Maltsev Condition
我们考虑一个推广的同态寻找从一个输入有向图$G$到一个固定有向图$H$，HOM（$H$）。在此设置中，我们给出了一个输入有向图$G$以及一个从$G$到$2^H$的列表函数。目标是找到关于列表的从$G$到$H$的同态（如果存在）。我们表明，如果列表功能是Maltsev多态性，然后决定是否$G$承认一个同态$H$是多项式时间可解。在我们的方法中，我们只使用Maltsev多态性的存在性。此外，我们表明，决定是否一个关系结构$\mathcal{R}$承认Maltsev多态性是一个特殊的情况下，找到一个同构从图$G$到图$H$和列表功能与Maltsev多态性。由于我们的算法不需要Maltsev的存在，因此我们可以在多项式时间内决定关系结构$\mathcal{R}$是否允许Maltsev。我们还讨论了允许Maltsev列表多态的实例的禁止障碍。我们已经实现了我们的算法，并在线性方程组和其他类型的实例上进行测试。
2020-11-12 cs.CC cs.DS
The complexity of counting planar graph homomorphisms of domain size 3
我们证明了一个计算域大小为3的平面图同态的复杂性二分定理。给定任意3 × 3实值对称矩阵$H$定义了平面图$G \mapsto Z_H(G)$的一个图同态，我们根据矩阵$H$对该问题的计算复杂性进行了完全分类.我们证明了对于每一个$H$，问题是多项式时间可计算的或P-困难的。P-时间可计算的情况包括那些P-时间可计算的一般图（一个完整的分类是已知的）或可计算的Valiant的全息算法通过匹配门。我们还证明了几个关于平面图同态的一般域大小$q$的结果。证明主要使用分析论证。
2023-02-16 cs.CC
List-decoding homomorphism codes with arbitrary codomains
同态码$\operatorname{aHom}(G,H)$的码字是两个有限群$G$和$H$之间的仿射同态，推广了Hadamard码。在Goldreich-Levin（1989）、Grigorescu et al.（2006）、Dinur et al.（2008）以及Guo and Sudan（2014）的工作之后，我们进一步扩展了可以进行局部列表解码的群的范围，直到$\textsf{mindist}$，即码的最小距离。特别是，我们第一次不要求$G$或$H$是可解的。具体来说，我们演示了一个$\operatorname{poly}(1/\varepsilon)$绑定在列表大小上，即，当$(\textsf{mindist}-\varepsilon)$是阿贝尔群或交替群，$H$是任意（有限或无限）群时，我们猜想，一个类似的限制持有所有有限的简单群体作为域;交替组作为第一个测试用例。阿贝尔与任意的结果，然后允许我们适应以前的技术，以获得有效的本地列表解码这种情况下。我们还获得了交替群的置换表示的有效局部列表解码（即，当共域是对称群$S_m$时），在域$G=A_n$与共域$H=S_m$配对满足$m < 2^{n-1}/\sqrt{n}$的限制下。在后一种情况下，上域的限制来自于在某些情况下需要解决同态扩展（HomExt）问题所产生的严重技术困难;这些问题在另一篇论文中得到了解决（Wuu 20…
2018-06-08 cs.CC cs.IT math.IT
List homomorphism problems for signed trees
本文研究符号图列表同态问题的计算复杂性，分类了目标为树（可带环）时的复杂性，并开发了可用于其他符号图类分类的工具，揭示多项式情形具有类似双弧图的良好结构。
2023-05-27 cs.CC cs.DM cs.DS
Polynomial and analytic methods for classifying complexity of planar graph homomorphisms
本文引入多项式与解析方法处理平面图同态复杂性分类，分离出由matchgates张量积表示的P时间可处理矩阵，并证明了$4 \ imes 4$矩阵的复杂性二分法，表明Valiant的holographic algorithm在该设定下具有通用性。
2024-12-22 cs.CC
Counting list homomorphisms from graphs of bounded treewidth: tight complexity bounds
这项工作的目标是给出精确的计数复杂性的一个家庭的广义着色问题（列表同态）有界树宽图。给定图$G$、$H$和每个$v\in V(G)$的列表$L(v)\subseteq V(H)$，{ \em列表同态}是保留边的函数$f:V(G)\to V(H)$（即，$uv\in E(G)$意味着$f(u)f(v)\in E(H)$）并遵守列表（即，$f(v)\in L(v))$。标准技术表明，如果$G$是用宽度为$t$的树分解给出的，则列表同态的数量可以在时间上计数$|V(H)|^t\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$。我们的主要结果是确定，对于每一个固定的图$H$，有多少基本$|V(H)|$在运行时间可以提高。对于一个连通图$H$，我们定义$\operatorname{irr}(H)$如下：如果$H$有一个循环或者是非二分的，那么$\operatorname{irr}(H)$是一个集合$S\subseteq V(H)$的最大尺寸，其中任何两个顶点有不同的邻域;如果$H$是二分的，那么$\operatorname{irr}(H)$是这样一个集合的最大尺寸，它完全在一个二分类中。对于不连通的$H$，我们定义$\operatorname{irr}(H)$为$H$的每个连通分量$C$上的$\operatorname{irr}(C)$的最大值。我们发现，对于每个固定的图$H$，列表同态从$…
2021-10-29 cs.CC cs.DS
Note on "The Complexity of Counting Surjective Homomorphisms and Compactions"
Focke，Goldberg和Rumivnnovel（arXiv 2017）证明了从一个没有循环的大型输入图G到一个可能有循环的固定图H的满射同态计数问题的复杂性二分法。本文给出了一个较弱结果的简短证明：即我们只证明了更一般的G有环问题的P-硬度。我们的证明是Lovász（2012）的一个强大框架的应用，它类似于Curticapean，Dell和Marx（STOC 2017）的证明，他们研究了“对偶”问题，其中模式图G很小，主图H是输入。独立地，Chen（arXiv 2017）使用Lovász的框架证明了一个复杂性二分法，用于计算固定有限结构的满射同态。
2017-10-04 cs.CC
An Improved Homomorphism Preservation Theorem From Lower Bounds in Circuit Complexity
作者[39]以前的工作表明，经典模型论的同态保持定理在其陈述仅限于有限结构时仍然有效。在本文中，我们给出了一个新的证明，通过减少电路复杂性的下界，特别是在AC $^0$公式大小的着色子图同构问题。在形式上，我们证明了：如果一个一阶句子$Φ$的量词秩$k$在有限结构上的同态下保持不变，那么它在有限结构上等价于一个存在肯定句子$Ψ$的量词秩$k^{O(1)}$ .量化，这改进了[39]的结果，其中$Ψ$的量化器秩的上限是$k$的非初等函数。
2016-12-24 cs.CC
The Fine-Grained Complexity of Graph Homomorphism Parameterized by Clique-Width
一般同态问题，即输入图$G$是否允许同态到固定目标图$H$，已经在文献中被广泛研究。在这篇文章中，我们提供了一个细粒度的复杂性分类的同态问题的运行时间相对于的cumber-width的$G$（表示为$\operatorname{cw}$）几乎所有的选择$H$下的强指数时间假设。特别是，我们确定了一个属性的$H$称为签名数$s(H)$，并表明，对于每个$H$，同态问题可以解决的时间$\mathcal{O}^*(s(H)^{\operatorname{cw}})$。至关重要的是，我们然后表明，该算法可以用来获得本质上紧的上界。具体来说，我们提供了一个减少，产生匹配的下界为每个$H$，这是一个投影核心或图形承认一个因子分解与其他属性-允许我们覆盖所有可能的目标图下长期的布局。
2022-10-13 cs.CC
A Decidable Dichotomy Theorem on Directed Graph Homomorphisms with Non-negative Weights
图同态问题的复杂性一直是人们研究的热点。给出有向图同态的配分函数的（可判定的）复杂性二分法是一个长期存在的公开问题。本文证明了该问题的一个可判定的复杂性二分法定理，并且该定理适用于该问题的所有非负加权形式：给定任意具有非负代数元素的固定矩阵A，来自任意有向图G的有向图同态的划分函数ZA（G）要么在多项式时间内易处理，要么是#P-难的，取决于矩阵A.二分法定理的证明是组合的，但涉及到一个无限族图同态问题的定义。它的可判定性的证明是代数使用多项式的性质。
2010-08-05 cs.CC
Computing list homomorphisms in geometric intersection graphs
从图$G$到图$H$的同态是从$V(G)$到$V(H)$的边保持映射。设$H$是一个可能有环的固定图。在列表同态问题中，记为\textsc{LHom}（$H$），其实例是图$G$，其每个顶点都具有$V(H)$的一个子集，称为列表.我们询问是否存在从$G$到$H$的同态，使得来自$G$的每个顶点映射到来自其列表的顶点。我们研究的复杂性的\textsc{LHom}（$H$）问题的各种几何对象的相交图。特别是，我们有兴趣回答的问题是什么图$H$和什么类型的几何对象，\textsc{LHom}（$H$）的问题可以解决时间次指数的顶点数的实例。我们完全解决了这个问题的字符串图，即，平面上连续曲线的交图。非常令人惊讶的是，事实证明，二分法与排除固定路径作为导出子图的图的类似二分法完全一致[Okrasa，Rzewski，STACS 2021]。然后，我们把注意力转向弦图的子类，定义为胖对象的交叉点。我们观察到，在这样的类中的次指数时间算法的（不）存在与$H$中的最大自反团的大小$\mathrm{mrc}(H)$密切相关，即，成对相邻顶点的最大数量，每个顶点都有一个循环。我们研究的最大值的$\mathrm{mrc}(H)$，保证存在一个次指数时间算法的\textsc{LHom}（$H$）相交图（i）凸脂肪对象，（ii）脂肪相似大小的对象，和（iii）磁盘。在前两种情况下，我们得到最佳的结果，通过匹…
2022-02-17 cs.CC cs.DS
Graph Homomorphism Polynomials: Algorithms and Complexity
我们研究同态多项式，这是多项式，枚举所有同态从模式图$H$到$n$ -顶点图。这些多项式最近受到了很多关注，因为它们在计算和检测图模式的几个新算法中起着至关重要的作用，并且还用于获得代数复杂性类$\mathsf{VBP}$、$\mathsf{VP}$和$\mathsf{VNP}$的完备自然多项式族。我们发现，在单调设置，公式的复杂性，ABP复杂性，电路复杂性的多项式族的确切特征分别由树深，路径宽度，树宽的模式图。此外，我们建立了一个单一的，统一的框架，使用我们的表征，收集几个已知的结果，通过不同的方法独立获得。例如，我们达到超多项式分离电路，ABPs，和公式在单调设置，其中多项式家庭分离类都对应于充分研究的组合问题。此外，我们的证明重新发现这些模型之间的细粒度分离的常次数多项式。此外，产生新的空间-时间有效的算法的几个模式检测和计数问题的表征。
2020-11-16 cs.CC
Full complexity classification of the list homomorphism problem for bounded-treewidth graphs
从图$G$到图$H$的同态是从$V(G)$到$V(H)$的边保持映射。设$H$是一个可能有循环的固定图。在列表同态问题中，记为LHom（$H$），我们给出了一个图$G$，它的每个顶点$v$都被分配了一个$H$的顶点列表$L(v)$。我们问是否存在从$G$到$H$的同态$h$，它尊重列表$L$，即，对于每个$v \in V(G)$，它保持该$h(v) \in L(v)$。Feder、Hell和Huang [JGT 2003]证明了LHom的复杂性二分法（$H$）。我们感兴趣的问题的复杂性，参数化的输入图的树宽。这个问题由Egri，Marx和Rzewski [STACS 2018]研究，他们获得了自反图$H$特殊情况的严格复杂性界限。本文推广了他们关于\emph{all}相关图$H$的结果，即，对于这些问题，LHom{H}问题是NP难的。对于每个这样的$H$，我们发现一个常数$k = k(H)$，使得具有$n$顶点和树宽$t$ * 的实例上的LHom（$H$）可以在时间$k^{t} \cdot n^{\mathcal{O}(1)}$中求解，只要输入图与宽度$t$的树分解一起给出，对于任何$\varepsilon >0$，* 不能在时间$(k-\varepsilon)^{t} \cdot n^{\mathcal{O}(1)}$中求解，除非SETH失败。对于某些图$H$，$k(H)$的值远…
2020-09-22 cs.CC cs.DS
Counting Restricted Homomorphisms via Möbius Inversion over Matroid Lattices
我们提出了一个参数化计数问题的复杂性分类框架，可以用公式表示为小模式图H_1，...，H_l的系数对应于图拟阵格上的Möbius函数的赋值。这推广了Curticapean，Dell和Marx [STOC 17]的想法，他们使用了Lovász的一个结果，即从图H到图G的子图嵌入的数量可以表示为H的划分格上的总和。在第一步中，我们介绍了我们所谓的图形限制同态，除其他外，推广子图嵌入以及局部内射同态。我们提供了一个完整的参数化的复杂性二分法计数这样的同态，也就是说，我们确定类的模式的问题是固定参数易处理的（FPT），包括一个算法，并证明所有其他的模式类导致#W[1]-困难的问题。证明的主要成分是由于Curticapean，Dell和Marx [STOC 17]的同态线性组合的复杂性分类以及Rota的NBC定理的推论，该定理指出几何格上的莫比乌斯函数的符号仅取决于其参数的秩。我们使用一般定理来分类计数局部内射同态的复杂性，以及同态是内射的r-邻域常数r。此外，我们表明，前者有“真正的”FPT的情况下，通过考虑子图计数问题限制在两侧的树。最后，我们表明，二分法计数图形限制同态容易扩展到所谓的线性组合。
2017-06-26 cs.CC
The complexity of parity graph homomorphism: an initial investigation
给定一个图G，我们研究确定从G到另一个固定图H的同态数的奇偶性问题。我们猜想，这个问题表现出复杂性二分法，使所有的奇偶图同态问题是多项式时间可解或parityP-完全，并提供了一个简单的情况下，简化的特征。我们证明了该猜想是真实的限制的情况下，图H是一棵树，并提供了一些工具，可能是有用的进一步调查的奇偶图同态问题，和其他模的同态计数的问题。
2013-09-16 cs.CC math.CO
List Locally Surjective Homomorphisms in Hereditary Graph Classes
研究遗传图类中列表局部满射同态问题的复杂性，证明除非F是有界度森林或ETH失败否则无次指数算法，并对特定森林族给出二分定理。
2022-02-25 cs.CC cs.DS
One Hierarchy Spawns Another: Graph Deconstructions and the Complexity Classification of Conjunctive Queries
我们研究相对于一类查询的合取查询评估问题;该问题在这里被表述为相对于一类结构A的关系同态问题，其中每个实例必须是一对结构，使得第一个结构是A的元素。我们提出了一个全面的复杂性分类，这些问题，它强烈的联系图论性质的A相应的同态问题的复杂性。特别是，我们定义了一个二元关系图类，这是一个前序，并完全描述了由此产生的层次结构给出的这种关系。这种关系是根据我们称之为图解构的概念定义的，它是众所周知的树分解概念的变体。然后，我们使用这个层次结构的图形类来推断同态问题的复杂性层次结构，这是全面的计算上非常弱的概念减少，即参数化版本的量化自由的一阶约简。在这样做的过程中，我们得到一个显着细化的复杂性分类同态问题，以及一个统一的，模块化的，概念上干净的处理现有的复杂性分类。然后，我们提出和发展的理论Eschericht-Fraisse风格的卵石游戏，解决同态问题的核心结构在A有界树深度。最后，我们使用我们的框架来分类的复杂性模型检验存在句有界量词秩。
2016-03-01 cs.CC
Counting Homomorphisms Modulo a Prime Number
计数问题，特别是计数图同态，在组合学、计算机科学、统计物理学和其他领域有着广泛的应用。在这个领域中研究得最好的问题之一是#GraphHom（H）-找到从给定图G到图H的同态的数量的问题。不仅这个基本问题的复杂性是已知的，而且它的许多变种的有向图，更一般的关系结构，图的重量，和其他。在本文中，我们考虑#GraphHom（H）的一个修改，即#_p GraphHom（H）问题，p是素数：给定一个图G，求出从G到H模p的同态的个数。在Faben和Jerrum以及Goebel等人的一系列论文中，确定了在H（或者，事实上，从H导出的某个图）是无平方的，也就是说，不包含4-圈。另外，Goebel等人发现了当H是树时，对于任意素数p，#_p GraphHom（H）的复杂性。本文推广了上述结果，证明了当与H相关的导出图是无平方图且不是星图时，#_pGraphHom（H）问题是#_pP-困难的，从而完全区分了无平方图H的#_pGraphHom（H）问题的复杂性.
2019-05-25 cs.CC
Computational Complexity of the Minimum Cost Homomorphism Problem on Three-Element Domains
本文研究了（扩展的）最小费用同态问题（Min-Cost-Hom）的计算复杂性，它是一种约束语言的函数，即一组允许出现在实例中的约束关系和费用函数。各种各样的自然组合优化问题可以表示为最小成本霍姆斯和分类的复杂性将是非常可取的，无论是从直接的，应用的角度来看，以及从理论的角度。最小费用-霍姆可以理解为约束满足问题（CSP）的灵活优化版本或（一般值）值约束满足问题（VCSP）的限制。CSP的其他优化版本，如最小解问题（Min-Sol）和最小值问题（Min-Ones）是最小成本-Hom的特殊情况。近年来，VCSPs的研究取得了显著进展。Thapper和Zivny [STOC'13]对任意有限域上的有限值语言的复杂性给出了一个完整的分类。然而，理解非有限值语言的复杂性似乎更加困难。Min-Cost-Hom允许我们研究这种类型的有问题的语言，而不必处理VCSP的全部通用性。最近的分类的复杂性的三个元素明溶胶，乌普曼[ICALP'13]，采取了一个步骤，在这个方向上。在本文中，我们通过确定三元Min-Cost-Hom的复杂性，大大扩展了这一结果。
2013-09-29 cs.CC
The Complexity of Counting Surjective Homomorphisms and Compactions
从图G到图H的同态是从G的顶点到H的顶点的保持边的函数。一个同态是满射的，如果它使用H的所有顶点，它是一个压缩的，如果它使用H的所有顶点和H的所有非循环边。Hell和Nesetril给出了判定从输入图G到固定图H是否存在同态的复杂性的完整刻画。一个完整的特征是不知道满同态或紧，虽然有许多有趣的结果。Dyer和Greenhill给出了从输入图G到固定图H的同态计数复杂性的完整刻画。本文给出了从一个输入图G到一个固定图H的满射同态的计数复杂性的一个完整的刻画，同时也给出了从一个输入图G到一个固定图H的紧致的计数复杂性的一个完整的刻画.在附录中，我们使用我们的特征指出一个二分法的各自的近似计数问题的复杂性（在连接的情况下）。
2019-04-09 cs.CC cs.DM
The Dynamic Complexity of Acyclic Hypergraph Homomorphisms
寻找从一个超图$\mathcal{Q}$（或某种关系结构）到另一个超图$\mathcal{D}$的同态是计算机科学中的一个基本问题。我们表明，这个问题的答案可以保持在单边变化的$\mathcal{Q}$，只要它保持非循环，在DynFO框架的Patnaik和Immerman，使用更新表示的一阶逻辑。如果另外还允许$\mathcal{D}$的变化，我们表明，它是不可能的，同态的存在可以保持在DynFO。
2021-07-13 cs.CC cs.LO
The Complexity of Approximately Counting Tree Homomorphisms
我们研究两个计算问题，参数化的固定树H。#HomsTo（H）是计算从输入图G到H的同态的问题。#WhomsTo（H）是计算到H的加权同态的问题，给定输入图G和G的每个顶点v的权函数。即使H是一棵树，这些问题也足够丰富，可以捕获#P中所有已知的近似行为。如果H是一颗星，那么#WhomsTo（H）在FP中。若H不是星但不包含某个导出子图J_3，则#WHOmsTo（H）在近似保持（AP）约简下等价于#BIS（二分图中独立集的计数问题）.这个问题对于类#RHPi_1在AP-约简下是完全的。最后，如果H包含一个诱导的J_3，则#WHOmsTo（H）在AP-约简下等价于#SAT，即计数满足CNF布尔公式的赋值的问题。因此，#WHOmsTo（H）对于AP缩减下的#P是完全的。对于#HomsTo（H），结果是类似的，除了如果H包含诱导的J_3，则出现丰富的结构。我们证明了有树H，其中#HomsTo（H）是#SAT等价的（反驳了Kelk的一个似是而非的猜想）。在这些同态计数问题和铁磁Potts模型的配分函数近似问题之间有一个有趣的联系。特别地，我们证明了对于一个由正整数q参数化的图族J_q，问题#HomsTo（H）与q-状态Potts模型的配分函数的近似问题是AP-可互约的。以前不知道波茨模型有同态计数解释。我们使用这个连接来获得#HomsTo（J_q）的近似复杂度的一些额外的上界。
2014-02-27 cs.CC
Symmetric Algebraic Circuits and Homomorphism Polynomials
研究了对称代数复杂性理论，证明对称多项式可由小电路表示当且仅当其可表示为有限treewidth图的同态计数多项式的线性组合，并探讨了子图计数多项式的对称复杂性与模式图顶点覆盖数的关系。
2026-03-16 cs.CC
A dichotomy for bounded degree graph homomorphisms with nonnegative weights
我们考虑了由对称矩阵$A$定义的加权图同态的计数复杂性。每个对称矩阵$A$定义一个图同态函数$Z_A(\cdot)$，也称为分区函数。Dyer和Greenhill [10]对对称$\{0, 1\}$ -矩阵$A$建立了复杂性二分法$Z_A(\cdot)$，并进一步证明了它的#P-硬度部分对有界度图也成立. Bulatov和Grohe [4]将Dyer-Greenhill二分法推广到非负对称矩阵$A$上。然而，他们的硬度证明需要图的任意大的程度，以及是否有界的程度部分的Dyer-Greenhill二分法可以扩展一直是一个开放的问题15年。我们解决了这个公开的问题，并证明了非负对称$A$，无论是$Z_A(G)$是在多项式时间的所有图$G$，或它是#P-困难的有界度（和简单）图$G$。我们进一步扩展的复杂性二分法，包括非负的顶点权重。此外，我们证明了Goldberg等人[12]对$Z_A(\cdot)$的二分法的#P-硬度部分也适用于简单图，其中$A$是任何实对称矩阵。
2020-02-05 cs.CC
The Complexity of Counting Homomorphisms to Cactus Graphs Modulo 2
从图G到图H的同态是从V（G）到V（H）保持边的函数。数学和计算机科学中出现的许多组合结构可以自然地表示为图同态和图同态的加权和。本文研究了模2同态计数的复杂性。模计数的复杂性是由Papadimitriou和Zachos介绍的，它是由Valiant开创的，他着名地介绍了一个问题，其中模7计数很容易，但模2计数很难处理。模计数为研究同态问题的结构提供了丰富的背景。在这种情况下，图H的结构对问题的复杂性有很大的影响。因此，我们的方法是图论的。我们给出了仙人掌图类的一个完全解，仙人掌图是指每条边至多属于一个圈的连通图。仙人掌图出现在许多应用中，例如无线传感器网络的建模和基因组的比较。我们表明，对于某些仙人掌图H，计数同态到H模2可以在多项式时间。对于每一个其他固定的仙人掌图H，这个问题是完全的复杂性类奇偶校验-P，这是一个广泛的复杂性类，其中每个问题的多项式层次可以减少（使用随机减少）。确定哪个H导致易处理的问题可以在多项式时间内完成。我们的结果建立在Faben和Jerrum的工作之上，他们对H是树的情况给出了二分法。
2014-04-25 cs.CC math.CO
The complexity of frugal digraph homomorphisms
University of Victoria（维多利亚大学）；Vancouver Island University（温哥华岛大学）
本文研究有向图节俭同态的计算复杂性，对于t≥2给出了基于结构性质的二分法定理。
2026-05-22 cs.CC math.CO
Complexity of Correspondence Homomorphisms
对应同态既是标准同态的推广，也是对应染色的推广。对于固定的目标图$H$，问题是决定输入图$G$（其中每个边由$V(H)$的一对置换标记）是否允许与标签“对应”的$H$的同态，在下面解释的意义上。我们将这个问题的复杂性归类为固定图$H$的函数。事实证明，存在二分法-每个问题都是多项式时间可解的或NP完全的。虽然大多数图$H$产生NP完全问题，但也有一些有趣的情况，图$H$的问题可以通过高斯消去法解决。我们还分类的复杂性类似的对应{ \em列表同态}的问题，也是一个{ \em二分版本}的两个问题的复杂性。我们强调当$H$是自反的情况下的证明，但是，为了记录在案，我们在附录中包括了其余证明的粗略草图。
2018-03-28 cs.CC cs.DM math.CO
Homomorphisms are indeed a good basis for counting: Three fixed-template dichotomy theorems, for the price of one
许多自然的组合量可以通过计算固定关系结构的同态的数量来表示。例如，无向图$G$的3-着色数等于从$G$到$3$ -团的同态数。在这种设置中，接收同态的结构通常被称为模板;我们使用术语模板函数来指代从结构到自然数的函数，该函数可定义为固定模板的同态的数量。有文献研究模板函数的复杂性。目前的工作是有关模板函数的计数问题，相对于各种固定的模板，两种特殊类型的同态：满射同态和我们所称的凝聚的数量。在这篇文章中，我们解释了如何计数满射同态到一个固定的模板是多项式时间等价于计算一个线性组合的模板函数;我们也表明了这对任何问题的计数凝聚到一个固定的模板。通过一个定理，计算这样一个线性组合的复杂性的特点，我们展示了如何一个已知的二分法的模板函数可以用来推断二分法计数满同态固定模板，同样的二分法计数凝聚固定模板。我们的研究受到Curticapean，Dell和Marx（STOC 2017）的图形主题框架的强烈启发，基于该框架，并且可以被视为该框架的对偶;该框架反过来又基于Lovász（2012）的工作。
2017-09-30 cs.CC
Complexity classification of counting graph homomorphisms modulo a prime number
SFU（西蒙菲莎大学）
本研究证实了Faben与Jerrum提出的素数模下图同态计数复杂性猜想，并开发出可拓展至一般计数CSP的模计数归约技术，推进了模计数问题的复杂性理论研究。
2025-10-01 cs.CC cs.LO
Monotone Bounded Depth Formula Complexity of Graph Homomorphism Polynomials
Indian Institute of Technology Gandhinagar（印度理工学院甘地纳加尔分校）
研究通过袋状消除树定义了图同态和着色同构多项式的单调有界深度公式复杂度，证明其复杂度为Θ(n^{λ_Δ(H)})，并建立了单调电路与公式间的分离及深度层次。
2026-06-22 cs.CC
Complexity Aspects of Homomorphisms of Ordered Graphs
Charles University（查理大学）；University of Sheffield（谢菲尔德大学）；Warsaw University of Technology（华沙理工大学）；University of Warsaw（华沙大学）
本文研究了有序图同构问题的复杂性，证明了其NP完全性，并探讨了参数化复杂性及多项式时间可解的有序图类别。
2025-11-28 cs.CC cs.DM math.CO
List homomorphisms by deleting edges and vertices: tight complexity bounds for bounded-treewidth graphs
本文研究了有界树宽图上基于表同态的顶点和边删除优化问题，刻画了多项式可解与NP困难的分界，并在SETH假设下为所有NP困难情形确定了紧确的算法时间复杂度常数界限。
2024-02-13 cs.CC cs.DS
Minimum Cost Homomorphisms with Constrained Costs
最小费用同态问题可以看作是列表同态问题的推广。他们还扩展了两个著名的图着色问题：最小色和问题和最佳成本色划分问题。在这两个问题中，成本函数都满足一个额外的约束：对于输入图的每个顶点，使用特定颜色的成本都是相同的。我们研究最小费用同态问题的成本函数约束有这个属性。显然，当标准的最小费用同态问题是多项式时，那么具有约束费用的问题也是多项式。我们期望当标准的最小代价同态问题是NP-完全的时候，这同样适用。我们证明，这是树$H$的情况下：我们得到一个二分法的最小约束成本同态问题，符合标准的最小成本同态问题的二分法。对于一般图$H$，我们证明了一个部分二分法：当$H$是真区间图时，问题是多项式的;当$H$不是弦二部图时，问题是NP-完全的.
2016-08-22 cs.CC math.CO
Complexity of Counting CSP with Complex Weights
本文对具有复权重的计数约束满足问题（简称#CSP）给出了一个复杂性二分法。为此，我们给出了三个条件，其易处理性。设F是复值函数的有限集合，证明了当满足这三个条件时，#CSP（F）是多项式时间可解的，否则是#P-难的.我们的复杂性二分法推广了计数问题的一系列重要结果：（a）图同态的计数问题是F中存在单个对称二元函数的特殊情况，（b）有向图同态的计数问题是F中存在单个不一定对称二元函数的特殊情况;以及（c）#CSP的标准形式是当F中的所有函数都取{0，1}中的值时。
2011-11-10 cs.CC
The Complexity of Approximately Counting Retractions to Square-Free Graphs
收缩是从图$G$到$G$的导出子图$H$的同态，导出子图$H$是$H$上的恒等式。在一系列的研究中，已经在各种算法设置下研究了撤回。最近，考虑了近似计算撤回的问题。我们给出了一个完整的约计数收缩的复杂性，所有的无平方图（图，不包含一个周期的长度$4$）。事实证明，有一个丰富而有趣的图类，这个问题在$\#\mathrm{BIS}$类中是完全的。作为回缩一般化同态，我们的容易的结果扩展到重要的问题，近似计数同态。通过给出新的$\#\mathrm{BIS}$ -容易的结果，我们现在解决了复杂性的近似计数同态的整个类的非平凡的图，以前没有解决。
2021-03-22 cs.CC cs.DM
Spectral Methods for the Complexity of Planar Graph Homomorphisms
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文提出谱判据和行列式判据，证明平面图同态问题在循环矩阵和张量积矩阵下的复杂性分类，并展示FKT算法与全息变换的普适性。
2026-09-30 cs.CC
Sparsification Lower Bounds for List $H$-Coloring
我们调查列表$H$ -着色问题，图着色的推广，要求是否输入图$G$承认一个同态的无向图$H$（可能与循环），使每个顶点$v \in V(G)$被映射到一个顶点上的列表$L(v) \subseteq V(H)$。Feder，Hell，and Huang [JGT 2003]的一个重要结果表明，如果$H$是一个所谓的双弧图，则列表$H$ -着色是多项式时间可解的，否则是NP-完全的.我们从多项式时间稀疏化的角度研究了问题的NP完全情形：对于某些$\varepsilon > 0$，一个$n$顶点实例能否有效地简化为一个比特大小为$O(n^{2-\varepsilon})$的等价实例？我们证明，如果$H$是不是一个双弧图，那么列表$H$ -着色不承认这样的稀疏化算法，除非$NP \subseteq coNP/poly$。我们的证明相结合的技术，从核化下界的研究图$H$，这不是双弧图的结构。
2020-09-17 cs.CC
Graph Homomorphisms with Complex Values: A Dichotomy Theorem
图的同态是近年来研究的热点。给定一个m × m对称矩阵A，图同态函数定义为\[Z_A (G) = \sum_{f:V->[m]} \prod_{(u,v)\in E} A_{f(u),f(v)}, \]，其中G =（V，E）是任意无向图.函数Z_A可以编码许多有趣的图形属性，包括计算顶点覆盖和k-着色。本文研究了具有代数复值的任意对称矩阵A的Z_A的计算复杂性。基于Dyer和Greenhill，Bulatov和Grohe的工作，特别是Goldberg，Grohe，Jerrum和Thurley最近的漂亮工作，我们证明了这个问题的一个完整的二分法定理。我们证明了Z_A是多项式时间可计算的或#P-hard的，这显式地依赖于矩阵A。我们进一步证明了A上的易处理性准则是多项式时间可判定的。
2011-10-07 cs.CC
Planar Graph Homomorphisms: A Dichotomy and a Barrier from Quantum Groups
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文研究了平面图同态计数问题的复杂性，证明了当平面边装置能分离顶点对时，问题要么多项式时间可解，要么#P难，并揭示了量子自同构群理论在平面设置中的应用及不可判定性。
2026-01-30 cs.CC
Quantum Query Complexity of Subgraph Isomorphism and Homomorphism
设$H$是$n$顶点上的固定图。设$f_H(G) = 1$当且仅当$n$顶点上的输入图$G$包含$H$作为一个（不一定是导出的）子图.令$α_H$表示$H$的最大独立集的基数。在本文中，我们表明：\[Q(f_H) = Ω\left(\sqrt{α_H \cdot n}\right),\]其中$Q(f_H)$表示量子查询复杂性的$f_H$。因此，我们得到了一个下界$Q(f_H)$的$H$的其他几个参数，如平均度，最小顶点覆盖，色数，和临界概率。我们还使用上述界限表明，$Q(f_H) = Ω(n^{3/4})$的任何$H$，改善了以前最好的已知界限的$Ω(n^{2/3})$。直到最近，人们才相信量子查询复杂度至少是随机查询复杂度的平方根。我们的$Q(f_H)$的$Ω(n^{3/4})$界与$f_H$的随机查询复杂度的当前最佳界的平方根相匹配，该随机查询复杂度是由Gröger得出的$Ω(n^{3/2})$。有趣的是，$Ω(α_H \cdot n)$对$f_H$的随机化界限仍然是开放的。我们还研究了子图同态问题，记为$f_{[H]}$，并证明了$Q(f_{[H]}) = Ω(n)$。最后，我们将所得结果推广到$3$ -一致超图。特别是，我们展示了量子查询复杂度的子图同构的$Ω(n^{4/5})$界，改进了以前已知的$Ω(n^{3/4})$界。对于子图同态，我们得到了一个$Ω(n^{3/2}…
2015-09-22 cs.CC quant-ph
Near-Linear Time Homomorphism Counting in Bounded Degeneracy Graphs: The Barrier of Long Induced Cycles
在输入图$G$中计算恒定大小模式图$H$的同态是一个基本的计算问题。在对输入$G$和模式$H$的各种约束下，研究这个问题的复杂性有着丰富的历史。考虑到这个问题的重要性和现代输入的大尺寸，我们研究了近线性时间算法的可能性。我们专注于输入图有界退化的情况下，一个普遍研究和实际相关类同态计数。从以前的工作中得知，对于某些类的$H$，$H$ -同态可以在近线性时间内精确计数有界退化图。我们能否精确地描述模式$H$的特征，从而使近线性时间算法成为可能？我们完全解决了这个问题，发现了一个干净的二分法使用细粒度的复杂性。令$m$表示$G$中的边的数目。我们证明如下：如果$H$中的最大诱导圈的长度不超过$5$，则存在一个计算有界退化图中$H$ -同态的$O(m\log m)$算法.如果$H$中最大的诱导循环的长度至少为$6$，那么（假设标准的细粒度复杂度模型）存在一个常数$γ> 0$，这样就不存在计算$H$ -同态的$o(m^{1+γ})$时间算法。
2020-11-19 cs.CC cs.DS
A Dichotomy Theorem for Homomorphism Polynomials
本文给出了多项式求值复杂性的一个二分法定理。我们将每个图H关联到一个多项式，该多项式对与H同态的固定大小的所有图进行编码。我们表明，这个家庭是可计算的算术电路在恒定的深度，如果H有一个循环或没有边缘，它是困难的，否则（即，完成VNP，与#P相关的算术类）。我们还证明了截消元有理域上的硬度，截消元是Bürgisser定义的一个多项式，已知如果VP不等于VNP，则它在两个元素的域中既不是VP也不是VNP完全的（VP是一类可计算的多项式）通过多项式大小的算术电路）。
2012-10-29 cs.CC
Monotone Bounded-Depth Complexity of Homomorphism Polynomials
本文研究了同态多项式和彩色子图多项式的单调有界深度电路复杂度，提出图参数层次$\mathrm{tw}_Δ(H)$并证明了最优深度层次定理。
2025-05-28 cs.CC cs.DM
The Parameterised Complexity of Temporal Motif Counting, and a Lovász-Style Isomorphism Theorem
Indian Institute of Technology Palakkad（印度理工学院帕拉卡德分校）；School of Computing Science, University of Glasgow（格拉斯哥大学计算科学学院）；School of Electronic Engineering and Computer Science, Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院电子工程与计算机科学系）
研究小时间模式到大型时间图同态计数的参数复杂性，证明时间Lovász定理，引入toadwidth度量，给出全序时间模式同态计数的参数复杂性二分法及可处理性标准。
2026-07-10 cs.CC cs.DM
Complexity of the Graph Homomorphism Problem w.r.t. Degeneracy
Neapolis University Pafos（帕福斯新城市大学）；JetBrains Research（JetBrains 研究院）
研究图同态问题HOM在目标图H退化性方面的复杂性，通过对比其他图参数，发现其对HOM复杂性影响有差异，给出相关算法时间下限等结果，并引入无压缩障碍解释稀疏2-CSP下界不紧及多项式目标退化性更强下界难得出的原因。
2026-07-13 cs.CC
Subexponential algorithms for variants of homomorphism problem in string graphs
我们考虑了从具有$n$顶点的曲线（弦图）的交图到固定图$H$的加权同态的复杂性。我们提供了一个完整的二分法的问题：如果$H$没有两个顶点共享两个共同的邻居，那么这个问题可以解决的时间$2^{O(n^{2/3} \log n)}$，否则没有算法工作的时间$2^{o(n)}$，即使在相交图的部分，除非ETH失败。这推广了有关几何求交图计算问题复杂性的几个已知结果。然后我们考虑了图同态问题的两个变体，称为局部单射同态和局部双射同态，其中我们要求同态在每个顶点的邻域上是单射或双射的。我们表明，对于每个目标图$H$，这两个问题总是可以解决的时间$2^{O(\sqrt{n} \log n)}$在字符串图。对于以类似方式定义的局部满同态，情况似乎更复杂。我们证明了最大度为2的简单连通图$H$的二分法。如果$H$同构于$P_3$或$C_4$，则从具有$n$顶点的字符串图到$H$的局部满射同态的存在性可以在时间$2^{O(n^{2/3} \log^{3/2} n)}$上判定，否则问题不能在时间$2^{o(n)}$上求解，除非ETH失败。作为副产品，我们得到了几个结果有关的复杂性变种的同态问题的$P_t$ -free图。特别地，我们得到了加权同态的二分法，类似于弦图的二分法。
2019-06-21 cs.CC cs.DM cs.DS
Lower Bounds in Algebraic Complexity via Symmetry and Homomorphism Polynomials
IT-Universitetet i København（哥本哈根信息技术大学）；University of Cambridge（剑桥大学）
本文通过引入对称代数复杂性类，证明了对称代数电路的下界，并扩展了同态多项式在复杂性类中的完整性和下界分析。
2026-01-14 cs.CC cs.DM cs.LO
Dichotomy for Graph Homomorphisms with Complex Values on Bounded Degree Graphs
图同态的复杂性一直是一个深入研究的课题[11，12，4，42，21，17，6，20]。图同态的配分函数$Z_{\mathbf A}(\cdot)$由$\mathbb C$上的对称矩阵$\mathbf A$定义.证明了文[6]的复杂性二分法推广到有界度图。更准确地说，我们证明了，无论是$G \mapsto Z_{\mathbf A}(G)$是可计算的多项式时间的每一个$G$，或一些$Δ> 0$是P-硬（简单）图$G$的最大程度$Δ(G) \le Δ$。这种二分法的$\mathbf A$上的易处理性准则是明确的，并且可以在多项式时间内以$\mathbf A$的大小来确定。我们还表明，二分法是有效的，无论是P-时间算法，或减少从#SAT到，$Z_{\mathbf A}(\cdot)$可以构建从$\mathbf A$，在各自的情况下。
2020-04-14 cs.CC math.CO
Counting Homomorphisms and Partition Functions
关系结构之间的同态不仅是基本的数学对象，而且在应用计算环境中也是非常重要的。事实上，约束满足问题（CSP），一个发生在计算机科学的许多不同领域（如人工智能或数据库理论）的广泛的算法问题，可以被视为要求两个关系结构之间的同态[FedVar98]。在逻辑环境中，同态可以被视为关系语言中的正本原公式的证明。正如我们将看到的，同态，或者更准确地说，两个结构之间的同态数，也与统计物理学的一个基本计算问题有关。在这篇文章中，我们关注的是从一个给定的结构A到一个固定的结构B的同态计数的复杂性。实际上，我们主要感兴趣的是将这个问题推广到加权同态（或配分函数）。我们几乎只关注图表。文章的第一部分是一个简短的调查什么是已知的问题。在第二部分中，我们给出了Bulatov和本文第一作者[BulGro05]的一个定理的证明，该定理对由具有非负元素的矩阵描述的划分函数的复杂性进行了分类。我们在这里给出的证明基本上与原来的证明相同，由于[Thu09]而有一些捷径，但它是用一种不同的、更图论的语言来表达的，这可能使它更容易被大多数读者所理解。
2011-05-20 cs.CC cs.DM
Fine-grained complexity of the graph homomorphism problem for bounded-treewidth graphs
对于图$G$和$H$，从$G$到$H$的\emph{homomorphism}是从$G$的顶点集到$H$的顶点集的保边映射。对于一个固定的图$H$，我们用\textsc{Hom($H$)}表示一个计算问题，该问题询问给定的图$G$是否允许一个同态到$H$。如果$H$是一个具有$k$顶点的完全图，则\textsc{Hom($H$)}等价于$k$ - \textsc{Coloring}问题，因此图同态可以看作是着色的推广。众所周知，如果$H$是二分的或有一个带环的顶点，则\textsc{Hom($H$)}是多项式时间可解的，否则是NP-完全的[Hell和Nešethabil，JCTB 1990]。在本文中，我们感兴趣的问题的复杂性，参数化的树宽度的输入图$G$。如果$G$具有$n$顶点并且连同其宽度$\mathrm{tw}(G)$的树分解一起给出，则可以使用直接的动态规划在时间$|V(H)|^{\mathrm{tw}(G)} \cdot n^{\mathcal{O}(1)}$上求解该问题。我们探讨是否可以提高这个界限。我们表明，如果$H$是一个\emph{projective core}，那么存在这样一个更快的算法是不可能的：假设强指数时间假设（SETH），\textsc{Hom($H$)}问题不能解决的时间$(|V(H)|-ε)^{\mathrm{tw}(G)} \cdot n^{\…
2020-02-18 cs.CC cs.DM cs.DS
On Counting (Quantum-)Graph Homomorphisms in Finite Fields of Prime Order
研究了素数阶有限域$\mathbb{Z}_p$中从输入图$G$到固定（量子）图$\bar{H}$的同态个数的计算问题。图$H$的子问题是由Faben和Jerrum [ToC'15]介绍的，其复杂性受到越来越多的研究文章的影响，例如Focke，Goldberg，Roth和Zivnovel [SIDMA'21]的工作以及Bulatov和Kazeminia [STOC'22]的工作，继本文的会议版本之后。我们的贡献是三方面的。首先，我们将量子图的研究引入到模计数同态的研究中。我们表明，量子图$\bar{H}$的复杂性崩溃的复杂性标准，发现在1维：图。其次，为了证明棘手的情况下，我们建立了一个进一步的减少研究的二分图。最后，我们建立了一个二分法的所有二部（$K_{3,3}\backslash\{e\}$，${domino}$）-免费的图，通过一个彻底的结构研究，结合本地和全球的参数。这一结果包含了所有已知的素数模的二部图的所有结果，并显着地扩展了它们。即使对于$p$等于$2$的子问题，这也建立了新的结果。
2022-08-18 cs.CC cs.DM
An experiment of the complexity of sliding block puzzles by 2D heat flow in paramodulation
在本文中，我们提出了一个有趣的实验与热名单的策略解决滑块问题的调解。热表策略是自动推理中使用参数调节的前瞻策略之一。我们在推理过程中定义了两个热流-沿Y轴与热排列列表垂直，沿X轴水平。在实验中，我们生成了500个× 8的谜题，并通过计数反转的可解性检验进行了测试。我们已经获得了好奇的二维和三维图的复杂性，通过定义热流与热列表。我们可以区分几组在500板（拼图）的基础上耐热的概念。
2022-01-10 cs.CC
The Complexity of Approximately Counting Retractions
设$G$是包含导出子图$H$的图。从$G$到$H$的收缩是从$G$到$H$的同态，其是$H$上的恒等函数。收回是非常好的研究：给定$H$，决定是否存在从输入图$G$到$H$的收回的复杂性是完全分类的，在这个意义上，它是已知的，对于哪个$H$这个问题是易处理的（假设$\mathrm{P}\neq \mathrm{NP}$）。类似地，对从$G$到$H$的（精确）收回计数的复杂性进行分类（假设$\mathrm{FP}\neq \#\mathrm{P}$）。然而，几乎没有什么是已知的近似计数回撤。我们的第一个贡献是给出一个完整的三分法，用于大约计算周长至少为$5$的图的收缩。我们的第二个贡献是在相关近似计数问题的复杂性景观中定位每个$H$的回缩计数问题。有趣的是，我们的结果与精确计数的情况相反。我们发现，问题的近似计数回缩是分开的问题，近似计数同态和近似计数列表同态-而精确计数所有这三个问题是interreducible。我们还表明，撤回的数量至少是难以近似的满同态的数量和压缩的数量。相比之下，精确计数紧致是所有这些精确计数问题中最难的。
2020-03-12 cs.CC cs.DM
The Fine-Grained Complexity of Graph Homomorphism Problems: Towards the Okrasa and Rzążewski Conjecture
本文研究图同态（H-着色）问题的细粒度复杂度，通过分析二元对称关系的部分多态性表达能力，证明相关结构性质，刻画多态性与射影核，最终验证了顶点数≤7的图满足Okrasa与Rzążewski猜想。
2024-04-15 cs.CC math.CO
