Counting Restricted Homomorphisms via Möbius Inversion over Matroid Lattices
我们提出了一个参数化计数问题的复杂性分类框架，可以用公式表示为小模式图H_1，...，H_l的系数对应于图拟阵格上的Möbius函数的赋值。这推广了Curticapean，Dell和Marx [STOC 17]的想法，他们使用了Lovász的一个结果，即从图H到图G的子图嵌入的数量可以表示为H的划分格上的总和。在第一步中，我们介绍了我们所谓的图形限制同态，除其他外，推广子图嵌入以及局部内射同态。我们提供了一个完整的参数化的复杂性二分法计数这样的同态，也就是说，我们确定类的模式的问题是固定参数易处理的（FPT），包括一个算法，并证明所有其他的模式类导致#W[1]-困难的问题。证明的主要成分是由于Curticapean，Dell和Marx [STOC 17]的同态线性组合的复杂性分类以及Rota的NBC定理的推论，该定理指出几何格上的莫比乌斯函数的符号仅取决于其参数的秩。我们使用一般定理来分类计数局部内射同态的复杂性，以及同态是内射的r-邻域常数r。此外，我们表明，前者有“真正的”FPT的情况下，通过考虑子图计数问题限制在两侧的树。最后，我们表明，二分法计数图形限制同态容易扩展到所谓的线性组合。
2017-06-26 cs.CC
Counting Homomorphisms to $K_4$-minor-free Graphs, modulo 2
研究了从一个输入图$G$到一个固定图$H$的同态个数的奇偶性问题。Faben和Jerrum [ToC'15]在图$H$上引入了一个显式准则，并证明了如果满足，则问题在多项式时间内可解，否则，问题对于奇偶校验问题的复杂性类$\oplus\mathrm{P}$是完全的。我们验证了他们的猜想，所有的图$H$，排除了完全图上的$4$顶点作为一个小的。此外，我们排除了存在的一个次指数时间算法的$\oplus\mathrm{P}$ -完全的情况下，假设随机指数时间假设。我们的证明引入了一种新的方法，从全局定义的子结构的固定图$H$的硬度。利用这一点，我们推翻了解决猜想的所有先前进展（Faben和Jerrum [ToC'15]; Göbel，Goldberg和Richerby [ToCT'14，'16]）。作为特殊情况下，我们的机器也产生了一个证明的猜想，最大程度的图最多$3$，以及一个完整的分类问题的计数列表同态，模$2$。
2021-07-27 cs.CC cs.DM
The complexity of counting solutions to Generalised Satisfiability Problems modulo k
广义可满足性问题（或称布尔约束满足问题）是由Schaefer于1978年提出的一种广义可满足性问题，它允许系统地研究具有不同类型约束的可满足性问题的复杂性。1979年，Valiant引入了复杂性类奇偶性P，即计算模2的NP问题的解的个数的问题。其他人已经考虑了对其他整数取模计数的问题。我们给出了一个二分法定理的复杂性计数的解决方案的数量的广义可满足性问题模整数。这是从早期的结果Credilu和赫尔曼这给了计数二分法这些类型的问题，和二分法本身几乎是相同的。具体地说，如果所有的关系都是仿射的，那么计算广义可满足性问题的解的个数可以在多项式时间内完成。否则，除了k = 2的特殊情况外，它是#_kP-完全的。
2008-09-10 cs.CC
The Complexity of Counting Surjective Homomorphisms and Compactions
从图G到图H的同态是从G的顶点到H的顶点的保持边的函数。一个同态是满射的，如果它使用H的所有顶点，它是一个压缩的，如果它使用H的所有顶点和H的所有非循环边。Hell和Nesetril给出了判定从输入图G到固定图H是否存在同态的复杂性的完整刻画。一个完整的特征是不知道满同态或紧，虽然有许多有趣的结果。Dyer和Greenhill给出了从输入图G到固定图H的同态计数复杂性的完整刻画。本文给出了从一个输入图G到一个固定图H的满射同态的计数复杂性的一个完整的刻画，同时也给出了从一个输入图G到一个固定图H的紧致的计数复杂性的一个完整的刻画.在附录中，我们使用我们的特征指出一个二分法的各自的近似计数问题的复杂性（在连接的情况下）。
2019-04-09 cs.CC cs.DM
Counting edge-injective homomorphisms and matchings on restricted graph classes
我们认为$\#\mathsf{W}[1]$ -硬问题的计数与$k$边缘在一个给定的输入图$G$的所有匹配，我们证明了它仍然是$\#\mathsf{W}[1]$ -硬图$G$是线图或二分图与度$2$的一侧。在我们的证明中，我们使用线图中的$k$ -匹配可以等价地看作是从$k$长度- $2$路径到（任意）宿主图的不交并的边内射同态。这里，从$H$到$G$的同态是边内射的，如果它将$H$的任何两个不同的边映射到$G$中的不同的边。我们证明了，如果$H$在去除孤立边后具有有界的顶点覆盖数，则模式图$H$的边内射同态可以在多项式时间内计数。对于模式图的遗传类$\mathcal{H}$，我们补充了这一结果：如果$\mathcal{H}$中的图在删除孤立边后仍有无界的顶点覆盖数，则从$\mathcal{H}$中计算模式的边内射同态是$\#\mathsf{W}[1]$ -困难的.我们的证明依赖于一个边着色的变体Holant问题和一个微妙的插值参数，两者都可能是独立的利益。
2018-01-19 cs.CC
The Complexity of Approximately Counting Tree Homomorphisms
我们研究两个计算问题，参数化的固定树H。#HomsTo（H）是计算从输入图G到H的同态的问题。#WhomsTo（H）是计算到H的加权同态的问题，给定输入图G和G的每个顶点v的权函数。即使H是一棵树，这些问题也足够丰富，可以捕获#P中所有已知的近似行为。如果H是一颗星，那么#WhomsTo（H）在FP中。若H不是星但不包含某个导出子图J_3，则#WHOmsTo（H）在近似保持（AP）约简下等价于#BIS（二分图中独立集的计数问题）.这个问题对于类#RHPi_1在AP-约简下是完全的。最后，如果H包含一个诱导的J_3，则#WHOmsTo（H）在AP-约简下等价于#SAT，即计数满足CNF布尔公式的赋值的问题。因此，#WHOmsTo（H）对于AP缩减下的#P是完全的。对于#HomsTo（H），结果是类似的，除了如果H包含诱导的J_3，则出现丰富的结构。我们证明了有树H，其中#HomsTo（H）是#SAT等价的（反驳了Kelk的一个似是而非的猜想）。在这些同态计数问题和铁磁Potts模型的配分函数近似问题之间有一个有趣的联系。特别地，我们证明了对于一个由正整数q参数化的图族J_q，问题#HomsTo（H）与q-状态Potts模型的配分函数的近似问题是AP-可互约的。以前不知道波茨模型有同态计数解释。我们使用这个连接来获得#HomsTo（J_q）的近似复杂度的一些额外的上界。
2014-02-27 cs.CC
Near-Linear Time Homomorphism Counting in Bounded Degeneracy Graphs: The Barrier of Long Induced Cycles
在输入图$G$中计算恒定大小模式图$H$的同态是一个基本的计算问题。在对输入$G$和模式$H$的各种约束下，研究这个问题的复杂性有着丰富的历史。考虑到这个问题的重要性和现代输入的大尺寸，我们研究了近线性时间算法的可能性。我们专注于输入图有界退化的情况下，一个普遍研究和实际相关类同态计数。从以前的工作中得知，对于某些类的$H$，$H$ -同态可以在近线性时间内精确计数有界退化图。我们能否精确地描述模式$H$的特征，从而使近线性时间算法成为可能？我们完全解决了这个问题，发现了一个干净的二分法使用细粒度的复杂性。令$m$表示$G$中的边的数目。我们证明如下：如果$H$中的最大诱导圈的长度不超过$5$，则存在一个计算有界退化图中$H$ -同态的$O(m\log m)$算法.如果$H$中最大的诱导循环的长度至少为$6$，那么（假设标准的细粒度复杂度模型）存在一个常数$γ> 0$，这样就不存在计算$H$ -同态的$o(m^{1+γ})$时间算法。
2020-11-19 cs.CC cs.DS
Counting homomorphisms in plain exponential time
在图同态计数问题（#GraphHom）中，问题是：给定图G，H，找出从G到H的同态的个数。这个问题通常是P-完全的，此外，Cygan等人证明了除非ETH是假的，否则没有算法可以在时间O内解决这个问题（|V（H）|^{0}（|V（G）|)}.然而，这并不排除更快的算法存在的可能性，这种限制性的问题。Wahlstrom证明了#GraphHom可以在普通的指数时间内求解，也就是说，在时间k^{|V（G）|+V（H）|} \poly（|V（H）|,|V（G）|），条件是H具有团宽度k。我们将这一结果推广到更大的一类图，并确定了其他几个图形类，承认一个普通的指数算法#GraphHom。
2018-10-07 cs.CC cs.DS math.CO
Recursion and proof theoretical characterizations of small circuit classes with modulo counting via discrete differential equations (long version)
本文提出一种隐式复杂度方法，通过离散常微分方程（ODE）刻画多项式大小、常数深度且含模常数计数门的电路所计算的函数，并给出所有FAC0[n]类的统一刻画及相应的一阶有界理论。
2026-05-22 cs.CC
Counting Homomorphisms and Partition Functions
关系结构之间的同态不仅是基本的数学对象，而且在应用计算环境中也是非常重要的。事实上，约束满足问题（CSP），一个发生在计算机科学的许多不同领域（如人工智能或数据库理论）的广泛的算法问题，可以被视为要求两个关系结构之间的同态[FedVar98]。在逻辑环境中，同态可以被视为关系语言中的正本原公式的证明。正如我们将看到的，同态，或者更准确地说，两个结构之间的同态数，也与统计物理学的一个基本计算问题有关。在这篇文章中，我们关注的是从一个给定的结构A到一个固定的结构B的同态计数的复杂性。实际上，我们主要感兴趣的是将这个问题推广到加权同态（或配分函数）。我们几乎只关注图表。文章的第一部分是一个简短的调查什么是已知的问题。在第二部分中，我们给出了Bulatov和本文第一作者[BulGro05]的一个定理的证明，该定理对由具有非负元素的矩阵描述的划分函数的复杂性进行了分类。我们在这里给出的证明基本上与原来的证明相同，由于[Thu09]而有一些捷径，但它是用一种不同的、更图论的语言来表达的，这可能使它更容易被大多数读者所理解。
2011-05-20 cs.CC cs.DM
Counting Homomorphisms to Square-Free Graphs, Modulo 2
本文研究了从一个输入图到一个固定无向图的同态的计数问题HomsTo $H$，模2，$H$ .模计数的一个特征是，与精确（非模）计数相比，取消使更广泛的实例类别变得易于处理，因此可以产生微妙的二分法定理。我们证明了以下二分法：对于任何不包含4-循环的$H$，HomsTo $H$要么是多项式时间的，要么是$\oplus P$ -完备的。这证实了Faben和Jerrum的一个猜想，这个猜想以前只适用于树和一类树宽为2的图，称为仙人掌图。我们证实了猜想的一类丰富的图，包括图的无界树宽。特别是，我们专注于无平方图，这是没有4-圈的图。这些图经常出现在组合数学中，例如与强完美图定理和某些图形算法有关。以前的二分法定理要求图是树状的，以便在证明中可以利用树状分解。我们证明了猜想更丰富的一类图，通过采用更一般的方法。
2015-08-26 cs.CC math.CO
The Complexity of Approximately Counting Retractions to Square-Free Graphs
收缩是从图$G$到$G$的导出子图$H$的同态，导出子图$H$是$H$上的恒等式。在一系列的研究中，已经在各种算法设置下研究了撤回。最近，考虑了近似计算撤回的问题。我们给出了一个完整的约计数收缩的复杂性，所有的无平方图（图，不包含一个周期的长度$4$）。事实证明，有一个丰富而有趣的图类，这个问题在$\#\mathrm{BIS}$类中是完全的。作为回缩一般化同态，我们的容易的结果扩展到重要的问题，近似计数同态。通过给出新的$\#\mathrm{BIS}$ -容易的结果，我们现在解决了复杂性的近似计数同态的整个类的非平凡的图，以前没有解决。
2021-03-22 cs.CC cs.DM
Solving Satisfiability Modulo Counting for Symbolic and Statistical AI Integration With Provable Guarantees
Purdue University（普渡大学）
提出XOR-SMC算法，通过随机化XOR约束将NP^PP-完全的模计数可满足性问题转化为SAT问题，在多项式时间内提供常数近似保证，并在AI向善实验中优于基线。
2023-12-30 cs.AI cs.CC cs.LO
Modular counting of subgraphs: Matchings, matching-splittable graphs, and paths
本文系统地研究了子图模式模固定整数计数的复杂性。例如，已知$k$ -匹配的数目的奇偶性可以在多项式时间内通过对行列式的简单简化来确定。我们推广到一个$n^{f(t,s)}$时间算法来计算模$2^t$的子图出现的模式，是$s$顶点远离匹配的数量。这表明子图检测的已知多项式时间情况（Jansen和Marx，SODA 2015）延续到计数模$2^t$的设置中。补充我们的算法，我们还给出了一个简单而独立的证明，即计数$k$ -匹配模奇数$q$是Mod_q-W[1]-完全的，并证明计数$k$ -路径模$2$是奇偶-W [1]-完全的，回答了Björklund，Dell和Husfeldt的一个开放问题（ICALP 2015）。
2021-07-01 cs.CC cs.DS
On Counting (Quantum-)Graph Homomorphisms in Finite Fields of Prime Order
研究了素数阶有限域$\mathbb{Z}_p$中从输入图$G$到固定（量子）图$\bar{H}$的同态个数的计算问题。图$H$的子问题是由Faben和Jerrum [ToC'15]介绍的，其复杂性受到越来越多的研究文章的影响，例如Focke，Goldberg，Roth和Zivnovel [SIDMA'21]的工作以及Bulatov和Kazeminia [STOC'22]的工作，继本文的会议版本之后。我们的贡献是三方面的。首先，我们将量子图的研究引入到模计数同态的研究中。我们表明，量子图$\bar{H}$的复杂性崩溃的复杂性标准，发现在1维：图。其次，为了证明棘手的情况下，我们建立了一个进一步的减少研究的二分图。最后，我们建立了一个二分法的所有二部（$K_{3,3}\backslash\{e\}$，${domino}$）-免费的图，通过一个彻底的结构研究，结合本地和全球的参数。这一结果包含了所有已知的素数模的二部图的所有结果，并显着地扩展了它们。即使对于$p$等于$2$的子问题，这也建立了新的结果。
2022-08-18 cs.CC cs.DM
The Complexity of Approximately Counting Retractions
设$G$是包含导出子图$H$的图。从$G$到$H$的收缩是从$G$到$H$的同态，其是$H$上的恒等函数。收回是非常好的研究：给定$H$，决定是否存在从输入图$G$到$H$的收回的复杂性是完全分类的，在这个意义上，它是已知的，对于哪个$H$这个问题是易处理的（假设$\mathrm{P}\neq \mathrm{NP}$）。类似地，对从$G$到$H$的（精确）收回计数的复杂性进行分类（假设$\mathrm{FP}\neq \#\mathrm{P}$）。然而，几乎没有什么是已知的近似计数回撤。我们的第一个贡献是给出一个完整的三分法，用于大约计算周长至少为$5$的图的收缩。我们的第二个贡献是在相关近似计数问题的复杂性景观中定位每个$H$的回缩计数问题。有趣的是，我们的结果与精确计数的情况相反。我们发现，问题的近似计数回缩是分开的问题，近似计数同态和近似计数列表同态-而精确计数所有这三个问题是interreducible。我们还表明，撤回的数量至少是难以近似的满同态的数量和压缩的数量。相比之下，精确计数紧致是所有这些精确计数问题中最难的。
2020-03-12 cs.CC cs.DM
The Parameterised Complexity of Temporal Motif Counting, and a Lovász-Style Isomorphism Theorem
Indian Institute of Technology Palakkad（印度理工学院帕拉卡德分校）；School of Computing Science, University of Glasgow（格拉斯哥大学计算科学学院）；School of Electronic Engineering and Computer Science, Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院电子工程与计算机科学系）
研究小时间模式到大型时间图同态计数的参数复杂性，证明时间Lovász定理，引入toadwidth度量，给出全序时间模式同态计数的参数复杂性二分法及可处理性标准。
2026-07-10 cs.CC cs.DM
Complexity of Counting CSP with Complex Weights
本文对具有复权重的计数约束满足问题（简称#CSP）给出了一个复杂性二分法。为此，我们给出了三个条件，其易处理性。设F是复值函数的有限集合，证明了当满足这三个条件时，#CSP（F）是多项式时间可解的，否则是#P-难的.我们的复杂性二分法推广了计数问题的一系列重要结果：（a）图同态的计数问题是F中存在单个对称二元函数的特殊情况，（b）有向图同态的计数问题是F中存在单个不一定对称二元函数的特殊情况;以及（c）#CSP的标准形式是当F中的所有函数都取{0，1}中的值时。
2011-11-10 cs.CC
Counting and Finding Homomorphisms is Universal for Parameterized Complexity Theory
计算从一个图$H$到另一个图$G$的同态是（参数化）计数复杂性理论的一个基本问题。在这项工作中，我们研究的情况下，\emph{both}图$H$和$G$干给定类的图：$H\in \mathcal{H}$和$G\in \mathcal{G}$。通过这一点，我们结合了这个问题的结构限制的版本，与语言限制的版本。我们的主要结果是一个建设的基础上Kneser图，将每个问题$\tt P$在$\#\mathsf{W[1]}$与两个类的图形$\mathcal{H}$和$\mathcal{G}$，使问题$\tt P$是\emph{equivalent}的问题$\#{\tt HOM}(\mathcal{H}\to \mathcal{G})$计数同态从一个图在$\mathcal{H}$的图在$\mathcal{G}$。鉴于Ladner对$\mathsf{NP}$ -中间问题[J.ACM'75]的存在性及其对参数化设置的适应性的开创性工作，在固定参数易处理和$\#\mathsf{W[1]}$ -完全情况下对类$\#\mathsf{W[1]}$进行分类是不可能的。因此，获得问题$\#{\tt HOM}(\mathcal{H}\to \mathcal{G})$的完整分类似乎是不可能的。此外，我们的证明很容易适应$\mathsf{W[1]}$。在寻找复杂性二分法，因此，我们转向特殊的图形类。这些类包括线图，无…
2021-08-03 cs.CC cs.DM cs.DS
Obstruction theory and the complexity of counting group homomorphisms
Purdue University（普渡大学）；University of Stuttgart（斯图加特大学）
研究给定群Γ计数映射Γ→G的计算复杂性，证明当G为非阿贝尔群时该问题为#P难，针对特定Γ提供多项式时间算法计算同态数量。
2026-04-20 cs.CC math.GR math.GT
Counting list homomorphisms from graphs of bounded treewidth: tight complexity bounds
这项工作的目标是给出精确的计数复杂性的一个家庭的广义着色问题（列表同态）有界树宽图。给定图$G$、$H$和每个$v\in V(G)$的列表$L(v)\subseteq V(H)$，{ \em列表同态}是保留边的函数$f:V(G)\to V(H)$（即，$uv\in E(G)$意味着$f(u)f(v)\in E(H)$）并遵守列表（即，$f(v)\in L(v))$。标准技术表明，如果$G$是用宽度为$t$的树分解给出的，则列表同态的数量可以在时间上计数$|V(H)|^t\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$。我们的主要结果是确定，对于每一个固定的图$H$，有多少基本$|V(H)|$在运行时间可以提高。对于一个连通图$H$，我们定义$\operatorname{irr}(H)$如下：如果$H$有一个循环或者是非二分的，那么$\operatorname{irr}(H)$是一个集合$S\subseteq V(H)$的最大尺寸，其中任何两个顶点有不同的邻域;如果$H$是二分的，那么$\operatorname{irr}(H)$是这样一个集合的最大尺寸，它完全在一个二分类中。对于不连通的$H$，我们定义$\operatorname{irr}(H)$为$H$的每个连通分量$C$上的$\operatorname{irr}(C)$的最大值。我们发现，对于每个固定的图$H$，列表同态从$…
2021-10-29 cs.CC cs.DS
Homomorphisms Are a Good Basis for Counting Small Subgraphs
我们引入图模参数，一类图参数，只依赖于常数大小的诱导子图的频率。Lovász的经典著作表明，许多有趣的量具有这种形式，包括，对于固定图$H$，输入图$G$中的$H$ -副本（诱导或未诱导）的数量，以及从$H$到$G$的同态的数量。使用的框架图模参数，我们得到更快的算法计算子图副本的固定图$H$在主机图$G$：对于图$H$的$k$边缘，我们展示了如何计算子图副本的$H$在时间$k^{O(k)}\cdot n^{0.174k + o(k)}$一个令人惊讶的简单算法。这改进了先前已知的运行时间，例如用于$k$边缘匹配的$O(n^{0.91k + c})$时间或用于$k$循环的$O(n^{0.46k + c})$时间。此外，我们证明了一个一般的复杂性二分法评估图的主题参数：给定一类$\mathcal C$等参数，我们考虑的问题，评估$f\in \mathcal C$输入图$G$，参数化的诱导子图的数量，$f$依赖。对于每一个递归可排类$\mathcal C$，我们证明了上述问题是FPT或#W[1]-困难的，并给出了明确的二分法准则.这使我们能够恢复已知的二分法计数子图，诱导子图，同态在一个统一的和简化的方式，以及改进的下界。最后，我们将图的模体参数扩展到着色子图，并证明了一个复杂度分解：对于顶点着色图$H$和$G$，其中$H$来自一个固定的类$\mathcal H$，我们要计数$G$中的保…
2017-05-03 cs.CC cs.DM cs.DS
Modular Counting CSP: Reductions and Algorithms
本文研究一般约束满足问题（CSP）的解的模计数问题，识别了与图情形的关键差异，在p=2时给出附加条件下的求解算法，并证明了在自同构假设下的困难性，同时将一般CSP归约到满足强条件的二元关系情形。
2025-01-23 cs.CC cs.LO
Graph Homomorphism Polynomials: Algorithms and Complexity
我们研究同态多项式，这是多项式，枚举所有同态从模式图$H$到$n$ -顶点图。这些多项式最近受到了很多关注，因为它们在计算和检测图模式的几个新算法中起着至关重要的作用，并且还用于获得代数复杂性类$\mathsf{VBP}$、$\mathsf{VP}$和$\mathsf{VNP}$的完备自然多项式族。我们发现，在单调设置，公式的复杂性，ABP复杂性，电路复杂性的多项式族的确切特征分别由树深，路径宽度，树宽的模式图。此外，我们建立了一个单一的，统一的框架，使用我们的表征，收集几个已知的结果，通过不同的方法独立获得。例如，我们达到超多项式分离电路，ABPs，和公式在单调设置，其中多项式家庭分离类都对应于充分研究的组合问题。此外，我们的证明重新发现这些模型之间的细粒度分离的常次数多项式。此外，产生新的空间-时间有效的算法的几个模式检测和计数问题的表征。
2020-11-16 cs.CC
A Dichotomy for Planar Graph Homomorphisms with Nonnegative Weights
Institute of Software, Chinese Academy of Sciences（中国科学院软件研究所）；University of Regensburg（雷根斯堡大学）
本文为带非负权重的平面图同态计数问题建立了完整复杂性二分法，并刻画了保持可处理性的顶点权重，通过熵延拓和距离几何证明，所有结果已在 Lean 4 中形式化验证。
2026-10-06 cs.CC
The complexity of parity graph homomorphism: an initial investigation
给定一个图G，我们研究确定从G到另一个固定图H的同态数的奇偶性问题。我们猜想，这个问题表现出复杂性二分法，使所有的奇偶图同态问题是多项式时间可解或parityP-完全，并提供了一个简单的情况下，简化的特征。我们证明了该猜想是真实的限制的情况下，图H是一棵树，并提供了一些工具，可能是有用的进一步调查的奇偶图同态问题，和其他模的同态计数的问题。
2013-09-16 cs.CC math.CO
Symmetric Algebraic Circuits and Homomorphism Polynomials
研究了对称代数复杂性理论，证明对称多项式可由小电路表示当且仅当其可表示为有限treewidth图的同态计数多项式的线性组合，并探讨了子图计数多项式的对称复杂性与模式图顶点覆盖数的关系。
2026-03-16 cs.CC
Planar Graph Homomorphisms: A Dichotomy and a Barrier from Quantum Groups
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文研究了平面图同态计数问题的复杂性，证明了当平面边装置能分离顶点对时，问题要么多项式时间可解，要么#P难，并揭示了量子自同构群理论在平面设置中的应用及不可判定性。
2026-01-30 cs.CC
Graph Homomorphisms with Complex Values: A Dichotomy Theorem
图的同态是近年来研究的热点。给定一个m × m对称矩阵A，图同态函数定义为\[Z_A (G) = \sum_{f:V->[m]} \prod_{(u,v)\in E} A_{f(u),f(v)}, \]，其中G =（V，E）是任意无向图.函数Z_A可以编码许多有趣的图形属性，包括计算顶点覆盖和k-着色。本文研究了具有代数复值的任意对称矩阵A的Z_A的计算复杂性。基于Dyer和Greenhill，Bulatov和Grohe的工作，特别是Goldberg，Grohe，Jerrum和Thurley最近的漂亮工作，我们证明了这个问题的一个完整的二分法定理。我们证明了Z_A是多项式时间可计算的或#P-hard的，这显式地依赖于矩阵A。我们进一步证明了A上的易处理性准则是多项式时间可判定的。
2011-10-07 cs.CC
Parameterized (Modular) Counting and Cayley Graph Expanders
研究了在一个大型宿主图$G$中计数满足给定图性质$Φ$的$k$ -边子图的问题$\#\mathrm{EdgeSub}(Φ)$.基于Curticapean，Dell和Marx（STOC 17）的突破性结果，我们将此类子图的数量表示为图同态计数的有限线性组合，并通过研究其系数推导出计算此数量的复杂性。我们的方法依赖于新的构造低度凯莱图扩张的$p$ -组，这可能是独立的利益。这些扩展器的性质允许我们分析在$\mathbb{F}_p$域上的上述线性组合中的系数，这使我们对系数的消除行为有更多的控制。我们的主要结果是一个详尽的和细粒度的复杂性分类的$\#\mathrm{EdgeSub}(Φ)$的小封闭属性$Φ$，关闭丢失的差距在以前的工作由罗斯，施密特和Wellnitz（ICALP 21）。此外，我们观察到，我们的方法也适用于模块计数。除其他外，我们研究的问题，模块计数的道路，循环，森林和拟阵基地。在我们的调查过程中，我们还提供了一个详尽的参数化复杂性分类计数图同态模一个素数$p$的问题。
2021-04-29 cs.CC cs.DM
Parameterised and Fine-grained Subgraph Counting, modulo $2$
本文证明 Curticapean 等人关于模 2 子图计数问题的猜想：对于遗传模式类和树模式类，固定参数可解性等价于匹配可分裂性，并给出几乎紧的细粒度界限。
2023-10-11 cs.CC cs.DM
Symmetric Parameterised Holants on Hypergraphs: Towards a Classification for Parameterised VCSPs
Hasso Plattner Institute, University of Potsdam（波茨坦大学哈索·普拉特纳研究所）；School of Electronic Engineering and Computer Science, Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院电子工程与计算机科学学院）
本文研究参数化计数约束满足问题的复杂性，通过超图建模更广泛的问题，建立明确的复杂性二分定理。
2026-04-28 cs.CC
Approximate counting of vertices of 0/1 polytopes: a stronger hardness result
University of Edinburgh（爱丁堡大学）；Queen Mary, University of London（伦敦玛丽女王大学）
该研究证明0/1多面体顶点近似计数问题是NP困难的，无FPRAS除非RP=NP，通过图同态近似计数归约得到，思路来自GPT-5.6 Sol Ultra。
2026-08-26 cs.CC math.CO
The Dichotomy of Evaluating Homomorphism-Closed Queries on Probabilistic Graphs
本文针对概率图上的同态封闭查询，证明了无界查询的评估是#P难的，并结合有界查询的已有分类，给出了完整的数据复杂度二分类，涵盖多种查询片段。
2022-01-06 cs.CC cs.DB cs.DS
A dichotomy for bounded degree graph homomorphisms with nonnegative weights
我们考虑了由对称矩阵$A$定义的加权图同态的计数复杂性。每个对称矩阵$A$定义一个图同态函数$Z_A(\cdot)$，也称为分区函数。Dyer和Greenhill [10]对对称$\{0, 1\}$ -矩阵$A$建立了复杂性二分法$Z_A(\cdot)$，并进一步证明了它的#P-硬度部分对有界度图也成立. Bulatov和Grohe [4]将Dyer-Greenhill二分法推广到非负对称矩阵$A$上。然而，他们的硬度证明需要图的任意大的程度，以及是否有界的程度部分的Dyer-Greenhill二分法可以扩展一直是一个开放的问题15年。我们解决了这个公开的问题，并证明了非负对称$A$，无论是$Z_A(G)$是在多项式时间的所有图$G$，或它是#P-困难的有界度（和简单）图$G$。我们进一步扩展的复杂性二分法，包括非负的顶点权重。此外，我们证明了Goldberg等人[12]对$Z_A(\cdot)$的二分法的#P-硬度部分也适用于简单图，其中$A$是任何实对称矩阵。
2020-02-05 cs.CC
Coloring invariants of knots and links are often intractable
设$G$是具有非平凡共轭类$C \subseteq G$的非交换单群.令$K$是$S^3$中的定向结的图，被认为是计算输入。我们表明，对于每个这样的$G$和$C$，计数同态$π_1(S^3\setminus K) \to G$发送子午线的$K$ $C$的问题几乎是简约的$\mathsf{\#P}$ -完全。这项工作是一个续集以前的结果，作者认为，计数同态从基本群的整数同源3-领域$G$几乎是简约的$\mathsf{\#P}$ -完全。我们以前在封闭的、未标记的曲面上使用映射类群动作，现在使用辫群动作。
2019-07-13 cs.CC math.GR math.GT
Homomorphism Indistinguishability, Multiplicity Automata Equivalence, and Polynomial Identity Testing
University of Antwerp（安特卫普大学）；IT-Universitetet i København（哥本哈根信息技术大学）
本文研究了同态不可区分性与多重自动机等价性问题，证明了其复杂度为C_L完全，并展示了算法在特定图类上的最优性。
2026-09-07 cs.CC cs.DM cs.DS
Tight bounds for counting colorings and connected edge sets parameterized by cutwidth
本文以图的割宽和树宽为参数，利用矩阵秩方法研究着色与连通生成边集计数的细粒度复杂度，在SETH下证明了模素数计数的紧致时间上下界。
2023-07-31 cs.CC cs.DS
A complexity dichotomy for hypergraph partition functions
研究了从$r$ -一致超图$G$到对称$r$ -元关系$H$的同态计数的复杂性.我们给出了一个二分法定理$r>2$，显示为$H$这个问题是在FP和为$H$它是#P-完全的。这推广了Dyer和Greenhill（2000）关于$r=2$情形的定理，它对应于计数图同态。我们的二分法定理扩展到关系$H$是加权的情况，目标是计算\emph{partition function}，这是同态的权重之和。这个问题的动机是统计物理学，它产生于计算粒子模型的配分函数，其中$r$位点的某些组合对称地相互作用。在加权情况下，我们的二分法定理推广了Bulatov和Grohe（2005）关于图的结果，其中$r=2$。当$r=2$时，二分法的多项式时间情况简单地对应于秩1权重。令人惊讶的是，对于所有的$r>2$，二分法的多项式时间情况具有更多的结构。事实证明，权重必须叠加在由阿贝尔群上的方程的解定义的组合结构上。我们的结果也给出了一个二分法密切相关的约束满足问题。
2010-01-01 cs.CC cs.DM
Tensor network complexity of multilinear maps
我们研究张量网络的算术计算模型评估多线性映射。这些捕获基于低边界秩张量分解的任何算法，例如$O(n^{ω+ε})$时间矩阵乘法，以及另外许多其他算法，例如$O(n \log n)$时间离散傅立叶变换和用于计算矩阵的积和的$O^*(2^n)$时间。然而，张量网络有时会产生比低秩分解更快的算法。例如，用于对$3t$ -团进行计数的已知最快的$O(n^{(ω+ε)t})$时间算法可以用张量网络来实现，即使底层张量具有针对所有$t \ge 2$的边界秩$n^{3t}$。对于一般模式图$P$在$n$顶点上到宿主图的同态的计数，我们得到了$O(n^{(ω+ε)\operatorname{bw}(P)/2})$的一个上界，其中$\operatorname{bw}(P)$是$P$的分支宽度.这基本上匹配计数集团的界限，并对$P$的许多选择产生比以前的算法小的改进。虽然功能强大，模型仍然有局限性，我们能够显示一些无条件的各种多线性映射的下限，包括：（a）一个$Ω(n^{\operatorname{bw}(P)})$时间下限计数从$P$到$n$ -顶点图的同态，如果$ω= 2$匹配的上限。特别是对于$P$一个$v$ -团，这产生了一个$Ω(n^{\lceil 2v/3 \rceil})$时间下界用于计数$v$ -团，对于$P$一个$k$ -均匀$v$ -超团，我们获得了一个$Ω(n^v)$时间下界用于…
2018-11-15 cs.CC cs.DS
Count on CFI graphs for #P-hardness
本文提出基于Cai-Fürer-Immerman图积的新归约技术，将彩色大树宽图同态计数问题在$4^{\Delta(S)}$时间内归约到无色版本，从而证明多个计数问题的#P-困难性。
2023-05-08 cs.CC math.CO
